Theorem pilem3 15255

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	|- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 )

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables f g q x t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem2 15254	. 2 |- E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )
2		df-pi 11964	. . . . . 6 |- pi = inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < )
3		lttri3 8152	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
5		elioore 10034	. . . . . . . 8 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. RR )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. RR )
7		0re 8072	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 0 e. RR )
9		2re 9106	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 2 e. RR )
11		2pos 9127	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 0 < 2 )
13		eliooord 10050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> ( 2 < q /\ q < 4 ) )
14	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 2 < q )
15	8, 10, 5, 12, 14	lttrd 8198	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 0 < q )
16	5, 15	elrpd 9815	. . . . . . . . 9 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. RR+ )
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. RR+ )
18		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( sin ` q ) = 0 )
19		sinf 12015	. . . . . . . . . . . . 13 |- sin : CC --> CC
20		ffun 5428	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin : CC --> CC -> Fun sin )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun sin
22	5	recnd 8101	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. CC )
23	19	fdmi 5433	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom sin = CC
24	22, 23	eleqtrrdi 2299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. dom sin )
25		funbrfvb 5621	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun sin /\ q e. dom sin ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> q sin 0 ) )
26	21, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> q sin 0 ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> q sin 0 ) )
28	18, 27	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q sin 0 )
29		0nn0 9310	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
30		vex 2775	. . . . . . . . . . 11 |- q e. _V
31	30	eliniseg 5052	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. NN0 -> ( q e. ( `' sin " { 0 } ) <-> q sin 0 ) )
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( q e. ( `' sin " { 0 } ) <-> q sin 0 )
33	28, 32	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. ( `' sin " { 0 } ) )
34	17, 33	elind 3358	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) )
35		fveq2 5576	. . . . . . . . . 10 |- ( x = t -> ( sin ` x ) = ( sin ` t ) )
36	35	breq2d 4056	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( 0 < ( sin ` x ) <-> 0 < ( sin ` t ) ) )
37		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )
39		elinel1 3359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> t e. RR+ )
40	39	rpred 9818	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> t e. RR )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> t e. RR )
42	39	rpgt0d 9821	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> 0 < t )
43	42	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> 0 < t )
44		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> t < q )
45		0xr 8119	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
46	5	rexrd 8122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. RR* )
47	46	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> q e. RR* )
48		elioo2 10043	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ q e. RR* ) -> ( t e. ( 0 (,) q ) <-> ( t e. RR /\ 0 < t /\ t < q ) ) )
49	45, 47, 48	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> ( t e. ( 0 (,) q ) <-> ( t e. RR /\ 0 < t /\ t < q ) ) )
50	41, 43, 44, 49	mpbir3and 1183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> t e. ( 0 (,) q ) )
51	36, 38, 50	rspcdva 2882	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> 0 < ( sin ` t ) )
52		elinel2 3360	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> t e. ( `' sin " { 0 } ) )
53	7	ltnri 8165	. . . . . . . . . . 11 |- -. 0 < 0
54		vex 2775	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- t e. _V
55	54	eliniseg 5052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. NN0 -> ( t e. ( `' sin " { 0 } ) <-> t sin 0 ) )
56	29, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) <-> t sin 0 )
57		funbrfv 5617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun sin -> ( t sin 0 -> ( sin ` t ) = 0 ) )
58	21, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t sin 0 -> ( sin ` t ) = 0 )
59	56, 58	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) -> ( sin ` t ) = 0 )
60	59	breq2d 4056	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) -> ( 0 < ( sin ` t ) <-> 0 < 0 ) )
61	53, 60	mtbiri 677	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) -> -. 0 < ( sin ` t ) )
62	52, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> -. 0 < ( sin ` t ) )
63	62	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> -. 0 < ( sin ` t ) )
64	51, 63	pm2.65da 663	. . . . . . 7 |- ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> -. t < q )
65	4, 6, 34, 64	infminti 7129	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) = q )
66	2, 65	eqtrid 2250	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> pi = q )
67		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. ( 2 (,) 4 ) )
68	66, 67	eqeltrd 2282	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> pi e. ( 2 (,) 4 ) )
69	66	fveqeq2d 5584	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( ( sin ` pi ) = 0 <-> ( sin ` q ) = 0 ) )
70	18, 69	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( sin ` pi ) = 0 )
71	68, 70	jca 306	. . 3 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 ) )
72	71	rexlimiva 2618	. 2 |- ( E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) -> ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 ) )
73	1, 72	ax-mp 5	1 |- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   E.wrex 2485   i^i cin 3165   {csn 3633   class class class wbr 4044   `'ccnv 4674   dom cdm 4675   "cima 4678   Fun wfun 5265   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5944  infcinf 7085   CCcc 7923   RRcr 7924   0cc0 7925   RR*cxr 8106   < clt 8107   2c2 9087   4c4 9089   NN0cn0 9295   RR+crp 9775   (,)cioo 10010   sincsin 11955   picpi 11958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045  ax-pre-suploc 8046  ax-addf 8047  ax-mulf 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-disj 4022  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-of 6158  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-frec 6477  df-1o 6502  df-oadd 6506  df-er 6620  df-map 6737  df-pm 6738  df-en 6828  df-dom 6829  df-fin 6830  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-xneg 9894  df-xadd 9895  df-ioo 10014  df-ioc 10015  df-ico 10016  df-icc 10017  df-fz 10131  df-fzo 10265  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-fac 10871  df-bc 10893  df-ihash 10921  df-shft 11126  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-clim 11590  df-sumdc 11665  df-ef 11959  df-sin 11961  df-cos 11962  df-pi 11964  df-rest 13073  df-topgen 13092  df-psmet 14305  df-xmet 14306  df-met 14307  df-bl 14308  df-mopn 14309  df-top 14470  df-topon 14483  df-bases 14515  df-ntr 14568  df-cn 14660  df-cnp 14661  df-tx 14725  df-cncf 15043  df-limced 15128  df-dvap 15129

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  15256  sinpi  15257  pire  15258