Theorem pilem3 13459

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	|- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 )

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables f g q x t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem2 13458	. 2 |- E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )
2		df-pi 11605	. . . . . 6 |- pi = inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < )
3		lttri3 7988	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
4	3	adantl 275	. . . . . . 7 |- ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
5		elioore 9858	. . . . . . . 8 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. RR )
6	5	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. RR )
7		0re 7909	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 0 e. RR )
9		2re 8937	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 2 e. RR )
11		2pos 8958	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 0 < 2 )
13		eliooord 9874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> ( 2 < q /\ q < 4 ) )
14	13	simpld 111	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 2 < q )
15	8, 10, 5, 12, 14	lttrd 8034	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 0 < q )
16	5, 15	elrpd 9639	. . . . . . . . 9 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. RR+ )
17	16	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. RR+ )
18		simprl 526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( sin ` q ) = 0 )
19		sinf 11656	. . . . . . . . . . . . 13 |- sin : CC --> CC
20		ffun 5348	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin : CC --> CC -> Fun sin )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun sin
22	5	recnd 7937	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. CC )
23	19	fdmi 5353	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom sin = CC
24	22, 23	eleqtrrdi 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. dom sin )
25		funbrfvb 5537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun sin /\ q e. dom sin ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> q sin 0 ) )
26	21, 24, 25	sylancr 412	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> q sin 0 ) )
27	26	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> q sin 0 ) )
28	18, 27	mpbid 146	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q sin 0 )
29		0nn0 9139	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
30		vex 2733	. . . . . . . . . . 11 |- q e. _V
31	30	eliniseg 4979	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. NN0 -> ( q e. ( `' sin " { 0 } ) <-> q sin 0 ) )
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( q e. ( `' sin " { 0 } ) <-> q sin 0 )
33	28, 32	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. ( `' sin " { 0 } ) )
34	17, 33	elind 3312	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) )
35		fveq2 5494	. . . . . . . . . 10 |- ( x = t -> ( sin ` x ) = ( sin ` t ) )
36	35	breq2d 3999	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( 0 < ( sin ` x ) <-> 0 < ( sin ` t ) ) )
37		simprr 527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )
38	37	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )
39		elinel1 3313	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> t e. RR+ )
40	39	rpred 9642	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> t e. RR )
41	40	ad2antlr 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> t e. RR )
42	39	rpgt0d 9645	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> 0 < t )
43	42	ad2antlr 486	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> 0 < t )
44		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> t < q )
45		0xr 7955	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
46	5	rexrd 7958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. RR* )
47	46	ad3antrrr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> q e. RR* )
48		elioo2 9867	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ q e. RR* ) -> ( t e. ( 0 (,) q ) <-> ( t e. RR /\ 0 < t /\ t < q ) ) )
49	45, 47, 48	sylancr 412	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> ( t e. ( 0 (,) q ) <-> ( t e. RR /\ 0 < t /\ t < q ) ) )
50	41, 43, 44, 49	mpbir3and 1175	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> t e. ( 0 (,) q ) )
51	36, 38, 50	rspcdva 2839	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> 0 < ( sin ` t ) )
52		elinel2 3314	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> t e. ( `' sin " { 0 } ) )
53	7	ltnri 8001	. . . . . . . . . . 11 |- -. 0 < 0
54		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- t e. _V
55	54	eliniseg 4979	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. NN0 -> ( t e. ( `' sin " { 0 } ) <-> t sin 0 ) )
56	29, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) <-> t sin 0 )
57		funbrfv 5533	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun sin -> ( t sin 0 -> ( sin ` t ) = 0 ) )
58	21, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t sin 0 -> ( sin ` t ) = 0 )
59	56, 58	sylbi 120	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) -> ( sin ` t ) = 0 )
60	59	breq2d 3999	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) -> ( 0 < ( sin ` t ) <-> 0 < 0 ) )
61	53, 60	mtbiri 670	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) -> -. 0 < ( sin ` t ) )
62	52, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> -. 0 < ( sin ` t ) )
63	62	ad2antlr 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> -. 0 < ( sin ` t ) )
64	51, 63	pm2.65da 656	. . . . . . 7 |- ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> -. t < q )
65	4, 6, 34, 64	infminti 7001	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) = q )
66	2, 65	eqtrid 2215	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> pi = q )
67		simpl 108	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. ( 2 (,) 4 ) )
68	66, 67	eqeltrd 2247	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> pi e. ( 2 (,) 4 ) )
69	66	fveqeq2d 5502	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( ( sin ` pi ) = 0 <-> ( sin ` q ) = 0 ) )
70	18, 69	mpbird 166	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( sin ` pi ) = 0 )
71	68, 70	jca 304	. . 3 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 ) )
72	71	rexlimiva 2582	. 2 |- ( E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) -> ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 ) )
73	1, 72	ax-mp 5	1 |- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   i^i cin 3120   {csn 3581   class class class wbr 3987   `'ccnv 4608   dom cdm 4609   "cima 4612   Fun wfun 5190   -->wf 5192   ` cfv 5196  (class class class)co 5851  infcinf 6957   CCcc 7761   RRcr 7762   0cc0 7763   RR*cxr 7942   < clt 7943   2c2 8918   4c4 8920   NN0cn0 9124   RR+crp 9599   (,)cioo 9834   sincsin 11596   picpi 11599

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883  ax-pre-suploc 7884  ax-addf 7885  ax-mulf 7886

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-disj 3965  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-of 6059  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-irdg 6347  df-frec 6368  df-1o 6393  df-oadd 6397  df-er 6510  df-map 6625  df-pm 6626  df-en 6716  df-dom 6717  df-fin 6718  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-5 8929  df-6 8930  df-7 8931  df-8 8932  df-9 8933  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-xneg 9718  df-xadd 9719  df-ioo 9838  df-ioc 9839  df-ico 9840  df-icc 9841  df-fz 9955  df-fzo 10088  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-fac 10649  df-bc 10671  df-ihash 10699  df-shft 10768  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-clim 11231  df-sumdc 11306  df-ef 11600  df-sin 11602  df-cos 11603  df-pi 11605  df-rest 12570  df-topgen 12589  df-psmet 12742  df-xmet 12743  df-met 12744  df-bl 12745  df-mopn 12746  df-top 12751  df-topon 12764  df-bases 12796  df-ntr 12851  df-cn 12943  df-cnp 12944  df-tx 13008  df-cncf 13313  df-limced 13380  df-dvap 13381

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  13460  sinpi  13461  pire  13462