Theorem pilem3 15473

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	|- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 )

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables f g q x t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem2 15472	. 2 |- E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )
2		df-pi 12180	. . . . . 6 |- pi = inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < )
3		lttri3 8237	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
5		elioore 10120	. . . . . . . 8 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. RR )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. RR )
7		0re 8157	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 0 e. RR )
9		2re 9191	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 2 e. RR )
11		2pos 9212	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 0 < 2 )
13		eliooord 10136	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> ( 2 < q /\ q < 4 ) )
14	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 2 < q )
15	8, 10, 5, 12, 14	lttrd 8283	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 0 < q )
16	5, 15	elrpd 9901	. . . . . . . . 9 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. RR+ )
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. RR+ )
18		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( sin ` q ) = 0 )
19		sinf 12231	. . . . . . . . . . . . 13 |- sin : CC --> CC
20		ffun 5476	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin : CC --> CC -> Fun sin )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun sin
22	5	recnd 8186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. CC )
23	19	fdmi 5481	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom sin = CC
24	22, 23	eleqtrrdi 2323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. dom sin )
25		funbrfvb 5676	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun sin /\ q e. dom sin ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> q sin 0 ) )
26	21, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> q sin 0 ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> q sin 0 ) )
28	18, 27	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q sin 0 )
29		0nn0 9395	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
30		vex 2802	. . . . . . . . . . 11 |- q e. _V
31	30	eliniseg 5098	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. NN0 -> ( q e. ( `' sin " { 0 } ) <-> q sin 0 ) )
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( q e. ( `' sin " { 0 } ) <-> q sin 0 )
33	28, 32	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. ( `' sin " { 0 } ) )
34	17, 33	elind 3389	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) )
35		fveq2 5629	. . . . . . . . . 10 |- ( x = t -> ( sin ` x ) = ( sin ` t ) )
36	35	breq2d 4095	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( 0 < ( sin ` x ) <-> 0 < ( sin ` t ) ) )
37		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )
39		elinel1 3390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> t e. RR+ )
40	39	rpred 9904	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> t e. RR )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> t e. RR )
42	39	rpgt0d 9907	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> 0 < t )
43	42	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> 0 < t )
44		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> t < q )
45		0xr 8204	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
46	5	rexrd 8207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. RR* )
47	46	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> q e. RR* )
48		elioo2 10129	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ q e. RR* ) -> ( t e. ( 0 (,) q ) <-> ( t e. RR /\ 0 < t /\ t < q ) ) )
49	45, 47, 48	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> ( t e. ( 0 (,) q ) <-> ( t e. RR /\ 0 < t /\ t < q ) ) )
50	41, 43, 44, 49	mpbir3and 1204	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> t e. ( 0 (,) q ) )
51	36, 38, 50	rspcdva 2912	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> 0 < ( sin ` t ) )
52		elinel2 3391	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> t e. ( `' sin " { 0 } ) )
53	7	ltnri 8250	. . . . . . . . . . 11 |- -. 0 < 0
54		vex 2802	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- t e. _V
55	54	eliniseg 5098	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. NN0 -> ( t e. ( `' sin " { 0 } ) <-> t sin 0 ) )
56	29, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) <-> t sin 0 )
57		funbrfv 5672	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun sin -> ( t sin 0 -> ( sin ` t ) = 0 ) )
58	21, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t sin 0 -> ( sin ` t ) = 0 )
59	56, 58	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) -> ( sin ` t ) = 0 )
60	59	breq2d 4095	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) -> ( 0 < ( sin ` t ) <-> 0 < 0 ) )
61	53, 60	mtbiri 679	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) -> -. 0 < ( sin ` t ) )
62	52, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> -. 0 < ( sin ` t ) )
63	62	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> -. 0 < ( sin ` t ) )
64	51, 63	pm2.65da 665	. . . . . . 7 |- ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> -. t < q )
65	4, 6, 34, 64	infminti 7205	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) = q )
66	2, 65	eqtrid 2274	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> pi = q )
67		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. ( 2 (,) 4 ) )
68	66, 67	eqeltrd 2306	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> pi e. ( 2 (,) 4 ) )
69	66	fveqeq2d 5637	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( ( sin ` pi ) = 0 <-> ( sin ` q ) = 0 ) )
70	18, 69	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( sin ` pi ) = 0 )
71	68, 70	jca 306	. . 3 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 ) )
72	71	rexlimiva 2643	. 2 |- ( E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) -> ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 ) )
73	1, 72	ax-mp 5	1 |- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   i^i cin 3196   {csn 3666   class class class wbr 4083   `'ccnv 4718   dom cdm 4719   "cima 4722   Fun wfun 5312   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007  infcinf 7161   CCcc 8008   RRcr 8009   0cc0 8010   RR*cxr 8191   < clt 8192   2c2 9172   4c4 9174   NN0cn0 9380   RR+crp 9861   (,)cioo 10096   sincsin 12171   picpi 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128  ax-arch 8129  ax-caucvg 8130  ax-pre-suploc 8131  ax-addf 8132  ax-mulf 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7162  df-inf 7163  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-q 9827  df-rp 9862  df-xneg 9980  df-xadd 9981  df-ioo 10100  df-ioc 10101  df-ico 10102  df-icc 10103  df-fz 10217  df-fzo 10351  df-seqfrec 10682  df-exp 10773  df-fac 10960  df-bc 10982  df-ihash 11010  df-shft 11342  df-cj 11369  df-re 11370  df-im 11371  df-rsqrt 11525  df-abs 11526  df-clim 11806  df-sumdc 11881  df-ef 12175  df-sin 12177  df-cos 12178  df-pi 12180  df-rest 13290  df-topgen 13309  df-psmet 14523  df-xmet 14524  df-met 14525  df-bl 14526  df-mopn 14527  df-top 14688  df-topon 14701  df-bases 14733  df-ntr 14786  df-cn 14878  df-cnp 14879  df-tx 14943  df-cncf 15261  df-limced 15346  df-dvap 15347

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  15474  sinpi  15475  pire  15476