Theorem pilem3 14174

Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
pilem3	|- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 )

Proof of Theorem pilem3

Dummy variables f g q x t are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sin0pilem2 14173	. 2 |- E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )
2		df-pi 11660	. . . . . 6 |- pi = inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < )
3		lttri3 8036	. . . . . . . 8 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
4	3	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
5		elioore 9911	. . . . . . . 8 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. RR )
6	5	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. RR )
7		0re 7956	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 0 e. RR )
9		2re 8988	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. RR
10	9	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 2 e. RR )
11		2pos 9009	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 < 2
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 0 < 2 )
13		eliooord 9927	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> ( 2 < q /\ q < 4 ) )
14	13	simpld 112	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 2 < q )
15	8, 10, 5, 12, 14	lttrd 8082	. . . . . . . . . 10 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> 0 < q )
16	5, 15	elrpd 9692	. . . . . . . . 9 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. RR+ )
17	16	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. RR+ )
18		simprl 529	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( sin ` q ) = 0 )
19		sinf 11711	. . . . . . . . . . . . 13 |- sin : CC --> CC
20		ffun 5368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( sin : CC --> CC -> Fun sin )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 |- Fun sin
22	5	recnd 7985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. CC )
23	19	fdmi 5373	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom sin = CC
24	22, 23	eleqtrrdi 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. dom sin )
25		funbrfvb 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun sin /\ q e. dom sin ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> q sin 0 ) )
26	21, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> q sin 0 ) )
27	26	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( ( sin ` q ) = 0 <-> q sin 0 ) )
28	18, 27	mpbid 147	. . . . . . . . 9 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q sin 0 )
29		0nn0 9190	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. NN0
30		vex 2740	. . . . . . . . . . 11 |- q e. _V
31	30	eliniseg 4998	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 e. NN0 -> ( q e. ( `' sin " { 0 } ) <-> q sin 0 ) )
32	29, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( q e. ( `' sin " { 0 } ) <-> q sin 0 )
33	28, 32	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. ( `' sin " { 0 } ) )
34	17, 33	elind 3320	. . . . . . 7 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) )
35		fveq2 5515	. . . . . . . . . 10 |- ( x = t -> ( sin ` x ) = ( sin ` t ) )
36	35	breq2d 4015	. . . . . . . . 9 |- ( x = t -> ( 0 < ( sin ` x ) <-> 0 < ( sin ` t ) ) )
37		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) )
39		elinel1 3321	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> t e. RR+ )
40	39	rpred 9695	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> t e. RR )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> t e. RR )
42	39	rpgt0d 9698	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> 0 < t )
43	42	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> 0 < t )
44		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> t < q )
45		0xr 8003	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. RR*
46	5	rexrd 8006	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q e. ( 2 (,) 4 ) -> q e. RR* )
47	46	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> q e. RR* )
48		elioo2 9920	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 0 e. RR* /\ q e. RR* ) -> ( t e. ( 0 (,) q ) <-> ( t e. RR /\ 0 < t /\ t < q ) ) )
49	45, 47, 48	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> ( t e. ( 0 (,) q ) <-> ( t e. RR /\ 0 < t /\ t < q ) ) )
50	41, 43, 44, 49	mpbir3and 1180	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> t e. ( 0 (,) q ) )
51	36, 38, 50	rspcdva 2846	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> 0 < ( sin ` t ) )
52		elinel2 3322	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> t e. ( `' sin " { 0 } ) )
53	7	ltnri 8049	. . . . . . . . . . 11 |- -. 0 < 0
54		vex 2740	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- t e. _V
55	54	eliniseg 4998	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0 e. NN0 -> ( t e. ( `' sin " { 0 } ) <-> t sin 0 ) )
56	29, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) <-> t sin 0 )
57		funbrfv 5554	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Fun sin -> ( t sin 0 -> ( sin ` t ) = 0 ) )
58	21, 57	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( t sin 0 -> ( sin ` t ) = 0 )
59	56, 58	sylbi 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) -> ( sin ` t ) = 0 )
60	59	breq2d 4015	. . . . . . . . . . 11 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) -> ( 0 < ( sin ` t ) <-> 0 < 0 ) )
61	53, 60	mtbiri 675	. . . . . . . . . 10 |- ( t e. ( `' sin " { 0 } ) -> -. 0 < ( sin ` t ) )
62	52, 61	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) -> -. 0 < ( sin ` t ) )
63	62	ad2antlr 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) /\ t < q ) -> -. 0 < ( sin ` t ) )
64	51, 63	pm2.65da 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) /\ t e. ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) ) -> -. t < q )
65	4, 6, 34, 64	infminti 7025	. . . . . 6 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> inf ( ( RR+ i^i ( `' sin " { 0 } ) ) , RR , < ) = q )
66	2, 65	eqtrid 2222	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> pi = q )
67		simpl 109	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> q e. ( 2 (,) 4 ) )
68	66, 67	eqeltrd 2254	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> pi e. ( 2 (,) 4 ) )
69	66	fveqeq2d 5523	. . . . 5 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( ( sin ` pi ) = 0 <-> ( sin ` q ) = 0 ) )
70	18, 69	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( sin ` pi ) = 0 )
71	68, 70	jca 306	. . 3 |- ( ( q e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) ) -> ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 ) )
72	71	rexlimiva 2589	. 2 |- ( E. q e. ( 2 (,) 4 ) ( ( sin ` q ) = 0 /\ A. x e. ( 0 (,) q ) 0 < ( sin ` x ) ) -> ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 ) )
73	1, 72	ax-mp 5	1 |- ( pi e. ( 2 (,) 4 ) /\ ( sin ` pi ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   i^i cin 3128   {csn 3592   class class class wbr 4003   `'ccnv 4625   dom cdm 4626   "cima 4629   Fun wfun 5210   -->wf 5212   ` cfv 5216  (class class class)co 5874  infcinf 6981   CCcc 7808   RRcr 7809   0cc0 7810   RR*cxr 7990   < clt 7991   2c2 8969   4c4 8971   NN0cn0 9175   RR+crp 9652   (,)cioo 9887   sincsin 11651   picpi 11654

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-pre-suploc 7931  ax-addf 7932  ax-mulf 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3981  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-map 6649  df-pm 6650  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-5 8980  df-6 8981  df-7 8982  df-8 8983  df-9 8984  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-ioo 9891  df-ioc 9892  df-ico 9893  df-icc 9894  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-bc 10727  df-ihash 10755  df-shft 10823  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361  df-ef 11655  df-sin 11657  df-cos 11658  df-pi 11660  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-met 13419  df-bl 13420  df-mopn 13421  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-ntr 13566  df-cn 13658  df-cnp 13659  df-tx 13723  df-cncf 14028  df-limced 14095  df-dvap 14096

This theorem is referenced by:  pigt2lt4  14175  sinpi  14176  pire  14177