ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pilem3 Unicode version

Theorem pilem3 12877
Description: Lemma for pi related theorems. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
pilem3  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )

Proof of Theorem pilem3
Dummy variables  f  g  q  x  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sin0pilem2 12876 . 2  |-  E. q  e.  ( 2 (,) 4
) ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) )
2 df-pi 11366 . . . . . 6  |-  pi  = inf ( ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) ,  RR ,  <  )
3 lttri3 7851 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
43adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) ) )  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
5 elioore 9702 . . . . . . . 8  |-  ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  q  e.  RR )
65adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  q  e.  RR )
7 0re 7773 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
87a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  0  e.  RR )
9 2re 8797 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  RR
109a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  2  e.  RR )
11 2pos 8818 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
1211a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  0  <  2 )
13 eliooord 9718 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  (
2  <  q  /\  q  <  4 ) )
1413simpld 111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  2  <  q )
158, 10, 5, 12, 14lttrd 7895 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  0  <  q )
165, 15elrpd 9488 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  q  e.  RR+ )
1716adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  q  e.  RR+ )
18 simprl 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  ( sin `  q
)  =  0 )
19 sinf 11418 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sin : CC
--> CC
20 ffun 5275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( sin
: CC --> CC  ->  Fun 
sin )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  Fun  sin
225recnd 7801 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  q  e.  CC )
2319fdmi 5280 . . . . . . . . . . . . 13  |-  dom  sin  =  CC
2422, 23eleqtrrdi 2233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  q  e.  dom  sin )
25 funbrfvb 5464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Fun  sin  /\  q  e.  dom  sin )  -> 
( ( sin `  q
)  =  0  <->  q sin 0 ) )
2621, 24, 25sylancr 410 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  (
( sin `  q
)  =  0  <->  q sin 0 ) )
2726adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  ( ( sin `  q )  =  0  <-> 
q sin 0 ) )
2818, 27mpbid 146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  q sin 0
)
29 0nn0 8999 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  NN0
30 vex 2689 . . . . . . . . . . 11  |-  q  e. 
_V
3130eliniseg 4909 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( q  e.  ( `' sin " { 0 } )  <-> 
q sin 0 ) )
3229, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  ( `' sin " { 0 } )  <-> 
q sin 0 )
3328, 32sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  q  e.  ( `' sin " { 0 } ) )
3417, 33elind 3261 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  q  e.  (
RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )
35 fveq2 5421 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  t  ->  ( sin `  x )  =  ( sin `  t
) )
3635breq2d 3941 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  t  ->  (
0  <  ( sin `  x )  <->  0  <  ( sin `  t ) ) )
37 simprr 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) )
3837ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( q  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) ) )  /\  t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) )
39 elinel1 3262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
t  e.  RR+ )
4039rpred 9490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
t  e.  RR )
4140ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) ) )  /\  t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  t  e.  RR )
4239rpgt0d 9493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
0  <  t )
4342ad2antlr 480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) ) )  /\  t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  0  <  t )
44 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) ) )  /\  t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  t  <  q )
45 0xr 7819 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR*
465rexrd 7822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  ->  q  e.  RR* )
4746ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( q  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) ) )  /\  t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  q  e.  RR* )
48 elioo2 9711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  q  e.  RR* )  ->  (
t  e.  ( 0 (,) q )  <->  ( t  e.  RR  /\  0  < 
t  /\  t  <  q ) ) )
4945, 47, 48sylancr 410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( q  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) ) )  /\  t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  ( t  e.  ( 0 (,) q
)  <->  ( t  e.  RR  /\  0  < 
t  /\  t  <  q ) ) )
5041, 43, 44, 49mpbir3and 1164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( q  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) ) )  /\  t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  t  e.  ( 0 (,) q
) )
5136, 38, 50rspcdva 2794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( q  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) ) )  /\  t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  0  <  ( sin `  t ) )
52 elinel2 3263 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  -> 
t  e.  ( `' sin " { 0 } ) )
537ltnri 7863 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  0  <  0
54 vex 2689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  t  e. 
_V
5554eliniseg 4909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  e.  NN0  ->  ( t  e.  ( `' sin " { 0 } )  <-> 
t sin 0 ) )
5629, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ( `' sin " { 0 } )  <-> 
t sin 0 )
57 funbrfv 5460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Fun 
sin  ->  ( t sin 0  ->  ( sin `  t )  =  0 ) )
5821, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t sin 0  ->  ( sin `  t )  =  0 )
5956, 58sylbi 120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  e.  ( `' sin " { 0 } )  ->  ( sin `  t
)  =  0 )
6059breq2d 3941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  e.  ( `' sin " { 0 } )  ->  ( 0  < 
( sin `  t
)  <->  0  <  0
) )
6153, 60mtbiri 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( `' sin " { 0 } )  ->  -.  0  <  ( sin `  t ) )
6252, 61syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) )  ->  -.  0  <  ( sin `  t ) )
6362ad2antlr 480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( q  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) ) )  /\  t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  /\  t  <  q
)  ->  -.  0  <  ( sin `  t
) )
6451, 63pm2.65da 650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q )  =  0  /\  A. x  e.  ( 0 (,) q
) 0  <  ( sin `  x ) ) )  /\  t  e.  ( RR+  i^i  ( `' sin " { 0 } ) ) )  ->  -.  t  <  q )
654, 6, 34, 64infminti 6914 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  -> inf ( ( RR+  i^i  ( `' sin " {
0 } ) ) ,  RR ,  <  )  =  q )
662, 65syl5eq 2184 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  pi  =  q )
67 simpl 108 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  q  e.  ( 2 (,) 4 ) )
6866, 67eqeltrd 2216 . . . 4  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  pi  e.  ( 2 (,) 4 ) )
6966fveqeq2d 5429 . . . . 5  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  ( ( sin `  pi )  =  0  <-> 
( sin `  q
)  =  0 ) )
7018, 69mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  ( sin `  pi )  =  0 )
7168, 70jca 304 . . 3  |-  ( ( q  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) ) )  ->  ( pi  e.  ( 2 (,) 4
)  /\  ( sin `  pi )  =  0 ) )
7271rexlimiva 2544 . 2  |-  ( E. q  e.  ( 2 (,) 4 ) ( ( sin `  q
)  =  0  /\ 
A. x  e.  ( 0 (,) q ) 0  <  ( sin `  x ) )  -> 
( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 ) )
731, 72ax-mp 5 1  |-  ( pi  e.  ( 2 (,) 4 )  /\  ( sin `  pi )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    i^i cin 3070   {csn 3527   class class class wbr 3929   `'ccnv 4538   dom cdm 4539   "cima 4542   Fun wfun 5117   -->wf 5119   ` cfv 5123  (class class class)co 5774  infcinf 6870   CCcc 7625   RRcr 7626   0cc0 7627   RR*cxr 7806    < clt 7807   2c2 8778   4c4 8780   NN0cn0 8984   RR+crp 9448   (,)cioo 9678   sincsin 11357   picpi 11360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747  ax-pre-suploc 7748  ax-addf 7749  ax-mulf 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-disj 3907  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-map 6544  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-9 8793  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-xneg 9566  df-xadd 9567  df-ioo 9682  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-icc 9685  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-bc 10501  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363  df-cos 11364  df-pi 11366  df-rest 12132  df-topgen 12151  df-psmet 12166  df-xmet 12167  df-met 12168  df-bl 12169  df-mopn 12170  df-top 12175  df-topon 12188  df-bases 12220  df-ntr 12275  df-cn 12367  df-cnp 12368  df-tx 12432  df-cncf 12737  df-limced 12804  df-dvap 12805
This theorem is referenced by:  pigt2lt4  12878  sinpi  12879  pire  12880
  Copyright terms: Public domain W3C validator