Theorem elnei 12004

Description: A point belongs to any of its neighborhoods. Property V_iii of [BourbakiTop1] p. I.3. (Contributed by FL, 28-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnei	|- ( ( J e. Top /\ P e. A /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> P e. N )

Proof of Theorem elnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 12003	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> { P } C_ N )
2	1	3adant2 965	. 2 |- ( ( J e. Top /\ P e. A /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> { P } C_ N )
3		snssg 3595	. . 3 |- ( P e. A -> ( P e. N <-> { P } C_ N ) )
4	3	3ad2ant2 968	. 2 |- ( ( J e. Top /\ P e. A /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( P e. N <-> { P } C_ N ) )
5	2, 4	mpbird 166	1 |- ( ( J e. Top /\ P e. A /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> P e. N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   /\ w3a 927   e. wcel 1445   C_ wss 3013   {csn 3466   ` cfv 5049   Topctop 11848   neicnei 11990

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-top 11849  df-nei 11991

This theorem is referenced by: (None)