Theorem elnei 14089

Description: A point belongs to any of its neighborhoods. Property V_iii of [BourbakiTop1] p. I.3. (Contributed by FL, 28-Sep-2006.)

Assertion

Ref	Expression
elnei	|- ( ( J e. Top /\ P e. A /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> P e. N )

Proof of Theorem elnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 14088	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> { P } C_ N )
2	1	3adant2 1018	. 2 |- ( ( J e. Top /\ P e. A /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> { P } C_ N )
3		snssg 3741	. . 3 |- ( P e. A -> ( P e. N <-> { P } C_ N ) )
4	3	3ad2ant2 1021	. 2 |- ( ( J e. Top /\ P e. A /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> ( P e. N <-> { P } C_ N ) )
5	2, 4	mpbird 167	1 |- ( ( J e. Top /\ P e. A /\ N e. ( ( nei ` J ) ` { P } ) ) -> P e. N )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   /\ w3a 980   e. wcel 2160   C_ wss 3144   {csn 3607   ` cfv 5232   Topctop 13934   neicnei 14075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-top 13935  df-nei 14076

This theorem is referenced by: (None)