Theorem ssnei 12163

Description: A set is included in any of its neighborhoods. Generalization to subsets of elnei 12164. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssnei	|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ N )

Proof of Theorem ssnei

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 12161	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) )
2		sstr 3071	. . 3 |- ( ( S C_ g /\ g C_ N ) -> S C_ N )
3	2	rexlimivw 2519	. 2 |- ( E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) -> S C_ N )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1463   E.wrex 2391   C_ wss 3037   ` cfv 5081   Topctop 12007   neicnei 12150

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-top 12008  df-nei 12151

This theorem is referenced by:  elnei  12164  0nnei  12165  opnneissb  12167  opnssneib  12168  tpnei  12172