Theorem ssnei 15175

Description: A set is included in any of its neighborhoods. Generalization to subsets of elnei 15176. (Contributed by FL, 16-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ssnei	|- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ N )

Proof of Theorem ssnei

Dummy variable g is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neii2 15173	. 2 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) )
2		sstr 3256	. . 3 |- ( ( S C_ g /\ g C_ N ) -> S C_ N )
3	2	rexlimivw 2664	. 2 |- ( E. g e. J ( S C_ g /\ g C_ N ) -> S C_ N )
4	1, 3	syl 14	1 |- ( ( J e. Top /\ N e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2209   E.wrex 2529   C_ wss 3220   ` cfv 5372   Topctop 15021   neicnei 15162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-top 15022  df-nei 15163

This theorem is referenced by:  elnei  15176  0nnei  15177  opnneissb  15179  opnssneib  15180  tpnei  15184