Theorem 0nnei 14695

Description: The empty set is not a neighborhood of a nonempty set. (Contributed by FL, 18-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0nnei	|- ( ( J e. Top /\ S =/= (/) ) -> -. (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) )

Proof of Theorem 0nnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 14693	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ (/) )
2		ss0b 3504	. . . . 5 |- ( S C_ (/) <-> S = (/) )
3	1, 2	sylib 122	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S = (/) )
4	3	ex 115	. . 3 |- ( J e. Top -> ( (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> S = (/) ) )
5	4	necon3ad 2419	. 2 |- ( J e. Top -> ( S =/= (/) -> -. (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
6	5	imp 124	1 |- ( ( J e. Top /\ S =/= (/) ) -> -. (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   =/= wne 2377   C_ wss 3170   (/)c0 3464   ` cfv 5279   Topctop 14539   neicnei 14680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-top 14540  df-nei 14681

This theorem is referenced by: (None)