Theorem 0nnei 14332

Description: The empty set is not a neighborhood of a nonempty set. (Contributed by FL, 18-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
0nnei	|- ( ( J e. Top /\ S =/= (/) ) -> -. (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) )

Proof of Theorem 0nnei

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnei 14330	. . . . 5 |- ( ( J e. Top /\ (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S C_ (/) )
2		ss0b 3487	. . . . 5 |- ( S C_ (/) <-> S = (/) )
3	1, 2	sylib 122	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) -> S = (/) )
4	3	ex 115	. . 3 |- ( J e. Top -> ( (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) -> S = (/) ) )
5	4	necon3ad 2406	. 2 |- ( J e. Top -> ( S =/= (/) -> -. (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) ) )
6	5	imp 124	1 |- ( ( J e. Top /\ S =/= (/) ) -> -. (/) e. ( ( nei ` J ) ` S ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   C_ wss 3154   (/)c0 3447   ` cfv 5255   Topctop 14176   neicnei 14317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-top 14177  df-nei 14318

This theorem is referenced by: (None)