ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnei GIF version

Theorem elnei 12335
Description: A point belongs to any of its neighborhoods. Property Viii of [BourbakiTop1] p. I.3. (Contributed by FL, 28-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnei ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝐴𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃𝑁)

Proof of Theorem elnei
StepHypRef Expression
1 ssnei 12334 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
213adant2 1000 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝐴𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
3 snssg 3656 . . 3 (𝑃𝐴 → (𝑃𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
433ad2ant2 1003 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝐴𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑃𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
52, 4mpbird 166 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝐴𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104  w3a 962  wcel 1480  wss 3071  {csn 3527  cfv 5123  Topctop 12178  neicnei 12321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-top 12179  df-nei 12322
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator