ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnei GIF version

Theorem elnei 13523
Description: A point belongs to any of its neighborhoods. Property Viii of [BourbakiTop1] p. I.3. (Contributed by FL, 28-Sep-2006.)
Assertion
Ref Expression
elnei ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝐴𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃𝑁)

Proof of Theorem elnei
StepHypRef Expression
1 ssnei 13522 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
213adant2 1016 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝐴𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → {𝑃} ⊆ 𝑁)
3 snssg 3726 . . 3 (𝑃𝐴 → (𝑃𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
433ad2ant2 1019 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝐴𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → (𝑃𝑁 ↔ {𝑃} ⊆ 𝑁))
52, 4mpbird 167 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑃𝐴𝑁 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑃})) → 𝑃𝑁)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  w3a 978  wcel 2148  wss 3129  {csn 3592  cfv 5215  Topctop 13366  neicnei 13509
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-f1 5220  df-fo 5221  df-f1o 5222  df-fv 5223  df-top 13367  df-nei 13510
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator