Theorem endom 7055

Description: Equinumerosity implies dominance. Theorem 15 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endom	|- ( A ~~ B -> A ~<_ B )

Proof of Theorem endom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enssdom 7054	. 2 |- ~~ C_ ~<_
2	1	ssbri 4176	1 |- ( A ~~ B -> A ~<_ B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   class class class wbr 4131   ~~ cen 7026   ~<_ cdom 7027

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132  df-opab 4194  df-xp 4782  df-rel 4783  df-f1o 5387  df-en 7029  df-dom 7030

This theorem is used by:  domrefg  7059  endomtr  7083  domentr  7084  rex2dom  7116  nnct  10892  hashennnuni  11239  ctinf  13378  umgrislfupgrenlem  16593  umgrislfupgrdom  16594  usgrislfuspgrdom  16653