Theorem enssdom 6816

Description: Equinumerosity implies dominance. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
enssdom	|- ~~ C_ ~<_

Proof of Theorem enssdom

Dummy variables x y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6798	. 2 |- Rel ~~
2		f1of1 5499	. . . . 5 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> f : x -1-1-> y )
3	2	eximi 1611	. . . 4 |- ( E. f f : x -1-1-onto-> y -> E. f f : x -1-1-> y )
4		opabid 4286	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } <-> E. f f : x -1-1-onto-> y )
5		opabid 4286	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } <-> E. f f : x -1-1-> y )
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	. . 3 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } )
7		df-en 6795	. . . 4 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
8	7	eleq2i 2260	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ~~ <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } )
9		df-dom 6796	. . . 4 |- ~<_ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y }
10	9	eleq2i 2260	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ~<_ <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } )
11	6, 8, 10	3imtr4i 201	. 2 |- ( <. x , y >. e. ~~ -> <. x , y >. e. ~<_ )
12	1, 11	relssi 4750	1 |- ~~ C_ ~<_

Syntax hints:   E.wex 1503   e. wcel 2164   C_ wss 3153   <.cop 3621   {copab 4089   -1-1->wf1 5251   -1-1-onto->wf1o 5253   ~~ cen 6792   ~<_ cdom 6793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-opab 4091  df-xp 4665  df-rel 4666  df-f1o 5261  df-en 6795  df-dom 6796

This theorem is referenced by:  endom  6817