Theorem enssdom 7042

Description: Equinumerosity implies dominance. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
enssdom	|- ~~ C_ ~<_

Proof of Theorem enssdom

Dummy variables x y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 7020	. 2 |- Rel ~~
2		f1of1 5636	. . . . 5 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> f : x -1-1-> y )
3	2	eximi 1653	. . . 4 |- ( E. f f : x -1-1-onto-> y -> E. f f : x -1-1-> y )
4		opabid 4396	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } <-> E. f f : x -1-1-onto-> y )
5		opabid 4396	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } <-> E. f f : x -1-1-> y )
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	. . 3 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } )
7		df-en 7017	. . . 4 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
8	7	eleq2i 2305	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ~~ <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } )
9		df-dom 7018	. . . 4 |- ~<_ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y }
10	9	eleq2i 2305	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ~<_ <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } )
11	6, 8, 10	3imtr4i 201	. 2 |- ( <. x , y >. e. ~~ -> <. x , y >. e. ~<_ )
12	1, 11	relssi 4864	1 |- ~~ C_ ~<_

Syntax hints:   E.wex 1545   e. wcel 2209   C_ wss 3220   <.cop 3711   {copab 4189   -1-1->wf1 5372   -1-1-onto->wf1o 5374   ~~ cen 7014   ~<_ cdom 7015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-opab 4191  df-xp 4778  df-rel 4779  df-f1o 5382  df-en 7017  df-dom 7018

This theorem is referenced by:  endom  7043