Theorem enssdom 6853

Description: Equinumerosity implies dominance. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
enssdom	|- ~~ C_ ~<_

Proof of Theorem enssdom

Dummy variables x y f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relen 6831	. 2 |- Rel ~~
2		f1of1 5521	. . . . 5 |- ( f : x -1-1-onto-> y -> f : x -1-1-> y )
3	2	eximi 1623	. . . 4 |- ( E. f f : x -1-1-onto-> y -> E. f f : x -1-1-> y )
4		opabid 4302	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } <-> E. f f : x -1-1-onto-> y )
5		opabid 4302	. . . 4 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } <-> E. f f : x -1-1-> y )
6	3, 4, 5	3imtr4i 201	. . 3 |- ( <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } -> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } )
7		df-en 6828	. . . 4 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
8	7	eleq2i 2272	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ~~ <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y } )
9		df-dom 6829	. . . 4 |- ~<_ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y }
10	9	eleq2i 2272	. . 3 |- ( <. x , y >. e. ~<_ <-> <. x , y >. e. { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y } )
11	6, 8, 10	3imtr4i 201	. 2 |- ( <. x , y >. e. ~~ -> <. x , y >. e. ~<_ )
12	1, 11	relssi 4766	1 |- ~~ C_ ~<_

Syntax hints:   E.wex 1515   e. wcel 2176   C_ wss 3166   <.cop 3636   {copab 4104   -1-1->wf1 5268   -1-1-onto->wf1o 5270   ~~ cen 6825   ~<_ cdom 6826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-opab 4106  df-xp 4681  df-rel 4682  df-f1o 5278  df-en 6828  df-dom 6829

This theorem is referenced by:  endom  6854