ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enssdom Unicode version

Theorem enssdom 6459
Description: Equinumerosity implies dominance. (Contributed by NM, 31-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
enssdom  |-  ~~  C_  ~<_

Proof of Theorem enssdom
Dummy variables  x  y  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relen 6441 . 2  |-  Rel  ~~
2 f1of1 5236 . . . . 5  |-  ( f : x -1-1-onto-> y  ->  f : x -1-1-> y )
32eximi 1536 . . . 4  |-  ( E. f  f : x -1-1-onto-> y  ->  E. f  f : x -1-1-> y )
4 opabid 4075 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }  <->  E. f  f :
x
-1-1-onto-> y )
5 opabid 4075 . . . 4  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-> y }  <->  E. f  f : x -1-1-> y )
63, 4, 53imtr4i 199 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }  ->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x
-1-1-> y } )
7 df-en 6438 . . . 4  |-  ~~  =  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-onto-> y }
87eleq2i 2154 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ~~  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-onto-> y } )
9 df-dom 6439 . . . 4  |-  ~<_  =  { <. x ,  y >.  |  E. f  f : x -1-1-> y }
109eleq2i 2154 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e. 
~<_ 
<-> 
<. x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. f 
f : x -1-1-> y } )
116, 8, 103imtr4i 199 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ~~  ->  <. x ,  y >.  e.  ~<_  )
121, 11relssi 4517 1  |-  ~~  C_  ~<_
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   E.wex 1426    e. wcel 1438    C_ wss 2997   <.cop 3444   {copab 3890   -1-1->wf1 4999   -1-1-onto->wf1o 5001    ~~ cen 6435    ~<_ cdom 6436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-opab 3892  df-xp 4434  df-rel 4435  df-f1o 5009  df-en 6438  df-dom 6439
This theorem is referenced by:  endom  6460
  Copyright terms: Public domain W3C validator