Theorem endomtr 6752

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	|- ( ( A ~~ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 6725	. 2 |- ( A ~~ B -> A ~<_ B )
2		domtr 6747	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )
3	1, 2	sylan 281	1 |- ( ( A ~~ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   class class class wbr 3981   ~~ cen 6700   ~<_ cdom 6701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ral 2448  df-rex 2449  df-v 2727  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-br 3982  df-opab 4043  df-id 4270  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-f1o 5194  df-en 6703  df-dom 6704

This theorem is referenced by:  cnvct  6771  xpdom1g  6795  xpdom3m  6796  domen1  6804  mapdom1g  6809  phplem4dom  6824  phpm  6827  fict  6830  fisbth  6845  fientri3  6876  difinfsn  7061  pw1dom2  7179  qnnen  12360  nninfdc  12382