Theorem endomtr 6737

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	|- ( ( A ~~ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 6710	. 2 |- ( A ~~ B -> A ~<_ B )
2		domtr 6732	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )
3	1, 2	sylan 281	1 |- ( ( A ~~ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   class class class wbr 3967   ~~ cen 6685   ~<_ cdom 6686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-f1o 5179  df-en 6688  df-dom 6689

This theorem is referenced by:  cnvct  6756  xpdom1g  6780  xpdom3m  6781  domen1  6789  mapdom1g  6794  phplem4dom  6809  phpm  6812  fict  6815  fisbth  6830  fientri3  6861  difinfsn  7046  pw1dom2  7164  qnnen  12230  nninfdc  12254