Theorem endomtr 6858

Description: Transitivity of equinumerosity and dominance. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endomtr	|- ( ( A ~~ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem endomtr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 6831	. 2 |- ( A ~~ B -> A ~<_ B )
2		domtr 6853	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( A ~~ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   class class class wbr 4034   ~~ cen 6806   ~<_ cdom 6807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-f1o 5266  df-en 6809  df-dom 6810

This theorem is referenced by:  cnvct  6877  xpdom1g  6901  xpdom3m  6902  domen1  6912  mapdom1g  6917  phplem4dom  6932  phpm  6935  fict  6938  fisbth  6953  fientri3  6985  difinfsn  7175  pw1dom2  7310  qnnen  12673  nninfdc  12695  isnzr2  13816