Theorem endom 7049

Description: Equinumerosity implies dominance. Theorem 15 of [Suppes] p. 94. (Contributed by NM, 28-May-1998.)

Assertion

Ref	Expression
endom	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

Proof of Theorem endom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enssdom 7048	. 2 ⊢ ≈ ⊆ ≼
2	1	ssbri 4175	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   class class class wbr 4130   ≈ cen 7020   ≼ cdom 7021

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781  df-f1o 5384  df-en 7023  df-dom 7024

This theorem is used by:  domrefg  7053  endomtr  7077  domentr  7078  rex2dom  7110  nnct  10872  hashennnuni  11218  ctinf  13321  umgrislfupgrenlem  16371  umgrislfupgrdom  16372  usgrislfuspgrdom  16431