Theorem domentr 6781

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	|- ( ( A ~<_ B /\ B ~~ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 6753	. 2 |- ( B ~~ C -> B ~<_ C )
2		domtr 6775	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )
3	1, 2	sylan2 286	1 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~~ C ) -> A ~<_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   class class class wbr 3998   ~~ cen 6728   ~<_ cdom 6729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-f1o 5215  df-en 6731  df-dom 6732

This theorem is referenced by:  xpdom1g  6823  domen2  6833  phplem4dom  6852  phpm  6855  fisbth  6873  infnfi  6885  fientri3  6904  exmidfodomrlemr  7191  exmidfodomrlemrALT  7192  hashennnuni  10727  xpct  12364  pwf1oexmid  14309  sbthom  14335