Theorem domentr 6836

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	|- ( ( A ~<_ B /\ B ~~ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 6808	. 2 |- ( B ~~ C -> B ~<_ C )
2		domtr 6830	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )
3	1, 2	sylan2 286	1 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~~ C ) -> A ~<_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   class class class wbr 4029   ~~ cen 6783   ~<_ cdom 6784

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-f1 5251  df-f1o 5253  df-en 6786  df-dom 6787

This theorem is referenced by:  xpdom1g  6878  domen2  6890  phplem4dom  6909  phpm  6912  fisbth  6930  infnfi  6942  fientri3  6962  exmidfodomrlemr  7252  exmidfodomrlemrALT  7253  hashennnuni  10840  xpct  12543  pwf1oexmid  15435  sbthom  15461