Theorem domentr 7031

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	|- ( ( A ~<_ B /\ B ~~ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 7002	. 2 |- ( B ~~ C -> B ~<_ C )
2		domtr 7025	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )
3	1, 2	sylan2 286	1 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~~ C ) -> A ~<_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   class class class wbr 4109   ~~ cen 6973   ~<_ cdom 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-f1o 5359  df-en 6976  df-dom 6977

This theorem is referenced by:  xpdom1g  7084  domen2  7096  phplem4dom  7116  phpm  7120  fisbth  7140  infnfi  7152  fientri3  7175  exmidfodomrlemr  7505  exmidfodomrlemrALT  7506  hashennnuni  11142  xpct  13147  umgrislfupgrenlem  16125  lfgrnloopen  16128  pwf1oexmid  16773  sbthom  16806