Theorem domentr 6441

Description: Transitivity of dominance and equinumerosity. (Contributed by NM, 7-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
domentr	|- ( ( A ~<_ B /\ B ~~ C ) -> A ~<_ C )

Proof of Theorem domentr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		endom 6413	. 2 |- ( B ~~ C -> B ~<_ C )
2		domtr 6435	. 2 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~<_ C ) -> A ~<_ C )
3	1, 2	sylan2 280	1 |- ( ( A ~<_ B /\ B ~~ C ) -> A ~<_ C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   class class class wbr 3814   ~~ cen 6388   ~<_ cdom 6389

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-rn 4415  df-fun 4974  df-fn 4975  df-f 4976  df-f1 4977  df-f1o 4979  df-en 6391  df-dom 6392

This theorem is referenced by:  xpdom1g  6482  domen2  6492  phplem4dom  6511  phpm  6514  fisbth  6532  infnfi  6544  fientri3  6555  exmidfodomrlemr  6749  exmidfodomrlemrALT  6750  hashennnuni  10036  xpct  11003