ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctinf Unicode version

Theorem ctinf 11838
Description: A set is countably infinite if and only if it has decidable equality, is countable, and is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctinf  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A ) )
Distinct variable group:    A, f, y, x

Proof of Theorem ctinf
Dummy variables  a  b  n  k  u  g  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ctinfom 11836 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
21simplbi 270 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
31simprbi 271 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  E. f
( f : om -onto-> A  /\  A. n  e. 
om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) ) )
4 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )  ->  f : om -onto-> A )
54a1i 9 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )  ->  f : om -onto-> A ) )
65eximdv 1834 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) )  ->  E. f 
f : om -onto-> A
) )
73, 6mpd 13 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  E. f 
f : om -onto-> A
)
8 nnenom 10147 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
9 entr 6644 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
108, 9mpan2 419 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  ->  A  ~~  om )
1110ensymd 6643 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  om  ~~  A )
12 endom 6623 . . . 4  |-  ( om 
~~  A  ->  om  ~<_  A )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  om  ~<_  A )
142, 7, 133jca 1144 . 2  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A ) )
15 simp1 964 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
16 3simpb 962 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A ) )
17 simp2 965 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  f : om -onto-> A )
18 simp2 965 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  f : om -onto-> A )
19 simpl1 967 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
20 equequ1 1671 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  y  <->  u  =  y ) )
2120dcbid 806 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (DECID  x  =  y  <-> DECID  u  =  y )
)
2221ralbidv 2412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  ( A. y  e.  A DECID  x  =  y  <->  A. y  e.  A DECID  u  =  y ) )
2322cbvralv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y 
<-> 
A. u  e.  A  A. y  e.  A DECID  u  =  y )
2419, 23sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  A. u  e.  A  A. y  e.  A DECID  u  =  y
)
25 simpl3 969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  om  ~<_  A )
26 fof 5313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
f : om --> A )
27 imassrn 4860 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f
" n )  C_  ran  f
28 frn 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : om --> A  ->  ran  f  C_  A )
2927, 28sstrid 3076 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om --> A  -> 
( f " n
)  C_  A )
3026, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( f " n
)  C_  A )
3130ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  ( f "
n )  C_  A
)
32313adantl1 1120 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  (
f " n ) 
C_  A )
33 simpl2 968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  f : om -onto-> A )
34 equequ1 1671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  y  <->  a  =  y ) )
3534dcbid 806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (DECID  x  =  y  <-> DECID  a  =  y )
)
36 equequ2 1672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  (
a  =  y  <->  a  =  b ) )
3736dcbid 806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (DECID  a  =  y  <-> DECID  a  =  b )
)
3835, 37cbvral2v 2637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y 
<-> 
A. a  e.  A  A. b  e.  A DECID  a  =  b )
39 ssralv 3129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f " n ) 
C_  A  ->  ( A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. b  e.  ( f " n
)DECID  a  =  b ) )
4030, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. b  e.  (
f " n )DECID  a  =  b ) )
4140ralimdv 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. a  e.  A  A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  (
f " n )DECID  a  =  b ) )
42 ssralv 3129 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f " n ) 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  (
f " n )DECID  a  =  b  ->  A. a  e.  ( f " n
) A. b  e.  ( f " n
)DECID  a  =  b ) )
4330, 41, 42sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. a  e.  A  A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. a  e.  (
f " n ) A. b  e.  ( f " n )DECID  a  =  b ) )
4438, 43syl5bi 151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. a  e.  (
f " n ) A. b  e.  ( f " n )DECID  a  =  b ) )
4533, 19, 44sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  A. a  e.  ( f " n
) A. b  e.  ( f " n
)DECID  a  =  b )
46 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  n  e.  om )
47 fofun 5314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : om -onto-> A  ->  Fun  f )
4847ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  Fun  f )
49 ordom 4488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Ord  om
50 ordtr 4268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Tr  om
52 trss 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr 
om  ->  ( n  e. 
om  ->  n  C_  om )
)
5351, 46, 52mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  n  C_  om )
5426fdmd 5247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : om -onto-> A  ->  dom  f  =  om )
5554ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  dom  f  =  om )
5653, 55sseqtrrd 3104 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  n  C_  dom  f )
57 fores 5322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  f  /\  n  C_ 
dom  f )  -> 
( f  |`  n
) : n -onto-> ( f " n ) )
5848, 56, 57syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  ( f  |`  n ) : n
-onto-> ( f " n
) )
59 vex 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
6059resex 4828 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  |`  n )  e.  _V
61 foeq1 5309 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  |`  n )  ->  (
g : n -onto-> ( f " n )  <-> 
( f  |`  n
) : n -onto-> ( f " n ) ) )
6260, 61spcev 2752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  |`  n ) : n -onto-> ( f
" n )  ->  E. g  g :
n -onto-> ( f "
n ) )
6358, 62syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. g  g : n -onto-> ( f "
n ) )
64 foeq2 5310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  n  ->  (
g : m -onto-> ( f " n )  <-> 
g : n -onto-> ( f " n ) ) )
6564exbidv 1779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  n  ->  ( E. g  g :
m -onto-> ( f "
n )  <->  E. g 
g : n -onto-> ( f " n ) ) )
6665rspcev 2761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  E. g  g : n
-onto-> ( f " n
) )  ->  E. m  e.  om  E. g  g : m -onto-> ( f
" n ) )
6746, 63, 66syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. m  e.  om  E. g  g : m
-onto-> ( f " n
) )
68673adantl1 1120 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. m  e.  om  E. g  g : m -onto-> ( f
" n ) )
69 fidcenum 6810 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f " n )  e.  Fin  <->  ( A. a  e.  ( f " n ) A. b  e.  ( f " n )DECID  a  =  b  /\  E. m  e.  om  E. g  g : m -onto-> ( f
" n ) ) )
7045, 68, 69sylanbrc 411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  (
f " n )  e.  Fin )
7124, 25, 32, 70inffinp1 11837 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. u  e.  A  -.  u  e.  ( f " n
) )
72 simprl 503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  u  e.  A )
73 foelrn 5620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  u  e.  A
)  ->  E. k  e.  om  u  =  ( f `  k ) )
7433, 72, 73syl2an2r 567 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  E. k  e.  om  u  =  ( f `  k ) )
75 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  /\  u  =  (
f `  k )
)  ->  u  =  ( f `  k
) )
76 simprr 504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  -.  u  e.  ( f " n ) )
7776ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  /\  u  =  (
f `  k )
)  ->  -.  u  e.  ( f " n
) )
7875, 77eqneltrrd 2212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  /\  u  =  (
f `  k )
)  ->  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) )
7978ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  ->  ( u  =  ( f `  k )  ->  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
8079reximdva 2509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  ( E. k  e.  om  u  =  ( f `  k )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) ) )
8174, 80mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) )
8271, 81rexlimddv 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) )
8382ralrimiva 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )
8418, 83jca 302 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
85843com23 1170 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  f : om -onto-> A )  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
86853expia 1166 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  ->  ( f : om -onto-> A  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
8786eximdv 1834 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  ->  ( E. f 
f : om -onto-> A  ->  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
8816, 17, 87sylc 62 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
8915, 88, 1sylanbrc 411 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  A  ~~  NN )
9014, 89impbii 125 1  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   A.wral 2391   E.wrex 2392    C_ wss 3039   class class class wbr 3897   Tr wtr 3994   Ord word 4252   omcom 4472   dom cdm 4507   ran crn 4508    |` cres 4509   "cima 4510   Fun wfun 5085   -->wf 5087   -onto->wfo 5089   ` cfv 5091    ~~ cen 6598    ~<_ cdom 6599   Fincfn 6600   NNcn 8677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-er 6395  df-pm 6511  df-en 6601  df-dom 6602  df-fin 6603  df-dju 6889  df-inl 6898  df-inr 6899  df-case 6935  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8678  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-fz 9731  df-seqfrec 10159
This theorem is referenced by:  qnnen  11839
  Copyright terms: Public domain W3C validator