Theorem ctinf 11943

Description: A set is countably infinite if and only if it has decidable equality, is countable, and is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctinf	|- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) )

Distinct variable group:   A, f, y, x

Proof of Theorem ctinf

Dummy variables a b n k u g m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctinfom 11941	. . . 4 |- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
2	1	simplbi 272	. . 3 |- ( A ~~ NN -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
3	1	simprbi 273	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
4		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> f : om -onto-> A )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( A ~~ NN -> ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> f : om -onto-> A ) )
6	5	eximdv 1852	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> ( E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> E. f f : om -onto-> A ) )
7	3, 6	mpd 13	. . 3 |- ( A ~~ NN -> E. f f : om -onto-> A )
8		nnenom 10207	. . . . . 6 |- NN ~~ om
9		entr 6678	. . . . . 6 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> A ~~ om )
10	8, 9	mpan2 421	. . . . 5 |- ( A ~~ NN -> A ~~ om )
11	10	ensymd 6677	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> om ~~ A )
12		endom 6657	. . . 4 |- ( om ~~ A -> om ~<_ A )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( A ~~ NN -> om ~<_ A )
14	2, 7, 13	3jca 1161	. 2 |- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) )
15		simp1 981	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
16		3simpb 979	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) )
17		simp2 982	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> E. f f : om -onto-> A )
18		simp2 982	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> f : om -onto-> A )
19		simpl1 984	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
20		equequ1 1688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( x = y <-> u = y ) )
21	20	dcbid 823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> (DECID x = y <-> DECID u = y ) )
22	21	ralbidv 2437	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( A. y e. A DECID x = y <-> A. y e. A DECID u = y ) )
23	22	cbvralv 2654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y <-> A. u e. A A. y e. A DECID u = y )
24	19, 23	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> A. u e. A A. y e. A DECID u = y )
25		simpl3 986	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> om ~<_ A )
26		fof 5345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : om -onto-> A -> f : om --> A )
27		imassrn 4892	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f " n ) C_ ran f
28		frn 5281	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : om --> A -> ran f C_ A )
29	27, 28	sstrid 3108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : om --> A -> ( f " n ) C_ A )
30	26, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : om -onto-> A -> ( f " n ) C_ A )
31	30	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> ( f " n ) C_ A )
32	31	3adantl1 1137	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> ( f " n ) C_ A )
33		simpl2 985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> f : om -onto-> A )
34		equequ1 1688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( x = y <-> a = y ) )
35	34	dcbid 823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> (DECID x = y <-> DECID a = y ) )
36		equequ2 1689	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = b -> ( a = y <-> a = b ) )
37	36	dcbid 823	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = b -> (DECID a = y <-> DECID a = b ) )
38	35, 37	cbvral2v 2665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y <-> A. a e. A A. b e. A DECID a = b )
39		ssralv 3161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f " n ) C_ A -> ( A. b e. A DECID a = b -> A. b e. ( f " n )DECID a = b ) )
40	30, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : om -onto-> A -> ( A. b e. A DECID a = b -> A. b e. ( f " n )DECID a = b ) )
41	40	ralimdv 2500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : om -onto-> A -> ( A. a e. A A. b e. A DECID a = b -> A. a e. A A. b e. ( f " n )DECID a = b ) )
42		ssralv 3161	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f " n ) C_ A -> ( A. a e. A A. b e. ( f " n )DECID a = b -> A. a e. ( f " n ) A. b e. ( f " n )DECID a = b ) )
43	30, 41, 42	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : om -onto-> A -> ( A. a e. A A. b e. A DECID a = b -> A. a e. ( f " n ) A. b e. ( f " n )DECID a = b ) )
44	38, 43	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : om -onto-> A -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> A. a e. ( f " n ) A. b e. ( f " n )DECID a = b ) )
45	33, 19, 44	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> A. a e. ( f " n ) A. b e. ( f " n )DECID a = b )
46		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> n e. om )
47		fofun 5346	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : om -onto-> A -> Fun f )
48	47	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> Fun f )
49		ordom 4520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Ord om
50		ordtr 4300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord om -> Tr om )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Tr om
52		trss 4035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Tr om -> ( n e. om -> n C_ om ) )
53	51, 46, 52	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> n C_ om )
54	26	fdmd 5279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : om -onto-> A -> dom f = om )
55	54	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> dom f = om )
56	53, 55	sseqtrrd 3136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> n C_ dom f )
57		fores 5354	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun f /\ n C_ dom f ) -> ( f |` n ) : n -onto-> ( f " n ) )
58	48, 56, 57	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> ( f |` n ) : n -onto-> ( f " n ) )
59		vex 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- f e. _V
60	59	resex 4860	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f |` n ) e. _V
61		foeq1 5341	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( f |` n ) -> ( g : n -onto-> ( f " n ) <-> ( f |` n ) : n -onto-> ( f " n ) ) )
62	60, 61	spcev 2780	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f |` n ) : n -onto-> ( f " n ) -> E. g g : n -onto-> ( f " n ) )
63	58, 62	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> E. g g : n -onto-> ( f " n ) )
64		foeq2 5342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = n -> ( g : m -onto-> ( f " n ) <-> g : n -onto-> ( f " n ) ) )
65	64	exbidv 1797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = n -> ( E. g g : m -onto-> ( f " n ) <-> E. g g : n -onto-> ( f " n ) ) )
66	65	rspcev 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. om /\ E. g g : n -onto-> ( f " n ) ) -> E. m e. om E. g g : m -onto-> ( f " n ) )
67	46, 63, 66	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> E. m e. om E. g g : m -onto-> ( f " n ) )
68	67	3adantl1 1137	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> E. m e. om E. g g : m -onto-> ( f " n ) )
69		fidcenum 6844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f " n ) e. Fin <-> ( A. a e. ( f " n ) A. b e. ( f " n )DECID a = b /\ E. m e. om E. g g : m -onto-> ( f " n ) ) )
70	45, 68, 69	sylanbrc 413	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> ( f " n ) e. Fin )
71	24, 25, 32, 70	inffinp1 11942	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> E. u e. A -. u e. ( f " n ) )
72		simprl 520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) -> u e. A )
73		foelrn 5654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : om -onto-> A /\ u e. A ) -> E. k e. om u = ( f ` k ) )
74	33, 72, 73	syl2an2r 584	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) -> E. k e. om u = ( f ` k ) )
75		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) /\ k e. om ) /\ u = ( f ` k ) ) -> u = ( f ` k ) )
76		simprr 521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) -> -. u e. ( f " n ) )
77	76	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) /\ k e. om ) /\ u = ( f ` k ) ) -> -. u e. ( f " n ) )
78	75, 77	eqneltrrd 2236	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) /\ k e. om ) /\ u = ( f ` k ) ) -> -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
79	78	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) /\ k e. om ) -> ( u = ( f ` k ) -> -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
80	79	reximdva 2534	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) -> ( E. k e. om u = ( f ` k ) -> E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
81	74, 80	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) -> E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
82	71, 81	rexlimddv 2554	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
83	82	ralrimiva 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
84	18, 83	jca 304	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
85	84	3com23 1187	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ f : om -onto-> A ) -> ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
86	85	3expia 1183	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) -> ( f : om -onto-> A -> ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
87	86	eximdv 1852	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
88	16, 17, 87	sylc 62	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
89	15, 88, 1	sylanbrc 413	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> A ~~ NN )
90	14, 89	impbii 125	1 |- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 819   /\ w3a 962   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   C_ wss 3071   class class class wbr 3929   Tr wtr 4026   Ord word 4284   omcom 4504   dom cdm 4539   ran crn 4540   |` cres 4541   "cima 4542   Fun wfun 5117   -->wf 5119   -onto->wfo 5121   ` cfv 5123   ~~ cen 6632   ~<_ cdom 6633   Fincfn 6634   NNcn 8720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-addcom 7720  ax-addass 7722  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-ltadd 7736

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-1o 6313  df-er 6429  df-pm 6545  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-dju 6923  df-inl 6932  df-inr 6933  df-case 6969  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-inn 8721  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-fz 9791  df-seqfrec 10219

This theorem is referenced by:  qnnen  11944