Theorem ctinf 12385

Description: A set is countably infinite if and only if it has decidable equality, is countable, and is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)

Assertion

Ref	Expression
ctinf	|- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) )

Distinct variable group:   A, f, y, x

Proof of Theorem ctinf

Dummy variables a b n k u g m are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ctinfom 12383	. . . 4 |- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
2	1	simplbi 272	. . 3 |- ( A ~~ NN -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
3	1	simprbi 273	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
4		simpl 108	. . . . . 6 |- ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> f : om -onto-> A )
5	4	a1i 9	. . . . 5 |- ( A ~~ NN -> ( ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> f : om -onto-> A ) )
6	5	eximdv 1873	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> ( E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) -> E. f f : om -onto-> A ) )
7	3, 6	mpd 13	. . 3 |- ( A ~~ NN -> E. f f : om -onto-> A )
8		nnenom 10390	. . . . . 6 |- NN ~~ om
9		entr 6762	. . . . . 6 |- ( ( A ~~ NN /\ NN ~~ om ) -> A ~~ om )
10	8, 9	mpan2 423	. . . . 5 |- ( A ~~ NN -> A ~~ om )
11	10	ensymd 6761	. . . 4 |- ( A ~~ NN -> om ~~ A )
12		endom 6741	. . . 4 |- ( om ~~ A -> om ~<_ A )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( A ~~ NN -> om ~<_ A )
14	2, 7, 13	3jca 1172	. 2 |- ( A ~~ NN -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) )
15		simp1 992	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
16		3simpb 990	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) )
17		simp2 993	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> E. f f : om -onto-> A )
18		simp2 993	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> f : om -onto-> A )
19		simpl1 995	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
20		equequ1 1705	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = u -> ( x = y <-> u = y ) )
21	20	dcbid 833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = u -> (DECID x = y <-> DECID u = y ) )
22	21	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = u -> ( A. y e. A DECID x = y <-> A. y e. A DECID u = y ) )
23	22	cbvralv 2696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y <-> A. u e. A A. y e. A DECID u = y )
24	19, 23	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> A. u e. A A. y e. A DECID u = y )
25		simpl3 997	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> om ~<_ A )
26		fof 5420	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : om -onto-> A -> f : om --> A )
27		imassrn 4964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f " n ) C_ ran f
28		frn 5356	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : om --> A -> ran f C_ A )
29	27, 28	sstrid 3158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : om --> A -> ( f " n ) C_ A )
30	26, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : om -onto-> A -> ( f " n ) C_ A )
31	30	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> ( f " n ) C_ A )
32	31	3adantl1 1148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> ( f " n ) C_ A )
33		simpl2 996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> f : om -onto-> A )
34		equequ1 1705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = a -> ( x = y <-> a = y ) )
35	34	dcbid 833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = a -> (DECID x = y <-> DECID a = y ) )
36		equequ2 1706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = b -> ( a = y <-> a = b ) )
37	36	dcbid 833	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = b -> (DECID a = y <-> DECID a = b ) )
38	35, 37	cbvral2v 2709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y <-> A. a e. A A. b e. A DECID a = b )
39		ssralv 3211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( f " n ) C_ A -> ( A. b e. A DECID a = b -> A. b e. ( f " n )DECID a = b ) )
40	30, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : om -onto-> A -> ( A. b e. A DECID a = b -> A. b e. ( f " n )DECID a = b ) )
41	40	ralimdv 2538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f : om -onto-> A -> ( A. a e. A A. b e. A DECID a = b -> A. a e. A A. b e. ( f " n )DECID a = b ) )
42		ssralv 3211	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f " n ) C_ A -> ( A. a e. A A. b e. ( f " n )DECID a = b -> A. a e. ( f " n ) A. b e. ( f " n )DECID a = b ) )
43	30, 41, 42	sylsyld 58	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( f : om -onto-> A -> ( A. a e. A A. b e. A DECID a = b -> A. a e. ( f " n ) A. b e. ( f " n )DECID a = b ) )
44	38, 43	syl5bi 151	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( f : om -onto-> A -> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y -> A. a e. ( f " n ) A. b e. ( f " n )DECID a = b ) )
45	33, 19, 44	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> A. a e. ( f " n ) A. b e. ( f " n )DECID a = b )
46		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> n e. om )
47		fofun 5421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( f : om -onto-> A -> Fun f )
48	47	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> Fun f )
49		ordom 4591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- Ord om
50		ordtr 4363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Ord om -> Tr om )
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- Tr om
52		trss 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Tr om -> ( n e. om -> n C_ om ) )
53	51, 46, 52	mpsyl 65	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> n C_ om )
54	26	fdmd 5354	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( f : om -onto-> A -> dom f = om )
55	54	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> dom f = om )
56	53, 55	sseqtrrd 3186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> n C_ dom f )
57		fores 5429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( Fun f /\ n C_ dom f ) -> ( f |` n ) : n -onto-> ( f " n ) )
58	48, 56, 57	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> ( f |` n ) : n -onto-> ( f " n ) )
59		vex 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- f e. _V
60	59	resex 4932	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f |` n ) e. _V
61		foeq1 5416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = ( f |` n ) -> ( g : n -onto-> ( f " n ) <-> ( f |` n ) : n -onto-> ( f " n ) ) )
62	60, 61	spcev 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( f |` n ) : n -onto-> ( f " n ) -> E. g g : n -onto-> ( f " n ) )
63	58, 62	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> E. g g : n -onto-> ( f " n ) )
64		foeq2 5417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( m = n -> ( g : m -onto-> ( f " n ) <-> g : n -onto-> ( f " n ) ) )
65	64	exbidv 1818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( m = n -> ( E. g g : m -onto-> ( f " n ) <-> E. g g : n -onto-> ( f " n ) ) )
66	65	rspcev 2834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( n e. om /\ E. g g : n -onto-> ( f " n ) ) -> E. m e. om E. g g : m -onto-> ( f " n ) )
67	46, 63, 66	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> E. m e. om E. g g : m -onto-> ( f " n ) )
68	67	3adantl1 1148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> E. m e. om E. g g : m -onto-> ( f " n ) )
69		fidcenum 6933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f " n ) e. Fin <-> ( A. a e. ( f " n ) A. b e. ( f " n )DECID a = b /\ E. m e. om E. g g : m -onto-> ( f " n ) ) )
70	45, 68, 69	sylanbrc 415	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> ( f " n ) e. Fin )
71	24, 25, 32, 70	inffinp1 12384	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> E. u e. A -. u e. ( f " n ) )
72		simprl 526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) -> u e. A )
73		foelrn 5732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : om -onto-> A /\ u e. A ) -> E. k e. om u = ( f ` k ) )
74	33, 72, 73	syl2an2r 590	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) -> E. k e. om u = ( f ` k ) )
75		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) /\ k e. om ) /\ u = ( f ` k ) ) -> u = ( f ` k ) )
76		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) -> -. u e. ( f " n ) )
77	76	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) /\ k e. om ) /\ u = ( f ` k ) ) -> -. u e. ( f " n ) )
78	75, 77	eqneltrrd 2267	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) /\ k e. om ) /\ u = ( f ` k ) ) -> -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
79	78	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) /\ k e. om ) -> ( u = ( f ` k ) -> -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
80	79	reximdva 2572	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) -> ( E. k e. om u = ( f ` k ) -> E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
81	74, 80	mpd 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) /\ ( u e. A /\ -. u e. ( f " n ) ) ) -> E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
82	71, 81	rexlimddv 2592	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) /\ n e. om ) -> E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
83	82	ralrimiva 2543	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) )
84	18, 83	jca 304	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
85	84	3com23 1204	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A /\ f : om -onto-> A ) -> ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
86	85	3expia 1200	. . . . 5 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) -> ( f : om -onto-> A -> ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
87	86	eximdv 1873	. . . 4 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ om ~<_ A ) -> ( E. f f : om -onto-> A -> E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) ) )
88	16, 17, 87	sylc 62	. . 3 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> E. f ( f : om -onto-> A /\ A. n e. om E. k e. om -. ( f ` k ) e. ( f " n ) ) )
89	15, 88, 1	sylanbrc 415	. 2 |- ( ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) -> A ~~ NN )
90	14, 89	impbii 125	1 |- ( A ~~ NN <-> ( A. x e. A A. y e. A DECID x = y /\ E. f f : om -onto-> A /\ om ~<_ A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   Tr wtr 4087   Ord word 4347   omcom 4574   dom cdm 4611   ran crn 4612   |` cres 4613   "cima 4614   Fun wfun 5192   -->wf 5194   -onto->wfo 5196   ` cfv 5198   ~~ cen 6716   ~<_ cdom 6717   Fincfn 6718   NNcn 8878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-1o 6395  df-er 6513  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-dju 7015  df-inl 7024  df-inr 7025  df-case 7061  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-seqfrec 10402

This theorem is referenced by:  qnnen  12386  unbendc  12409