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Theorem ctinf 12414
Description: A set is countably infinite if and only if it has decidable equality, is countable, and is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctinf  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A ) )
Distinct variable group:    A, f, y, x

Proof of Theorem ctinf
Dummy variables  a  b  n  k  u  g  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ctinfom 12412 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
21simplbi 274 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
31simprbi 275 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  E. f
( f : om -onto-> A  /\  A. n  e. 
om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) ) )
4 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )  ->  f : om -onto-> A )
54a1i 9 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )  ->  f : om -onto-> A ) )
65eximdv 1880 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) )  ->  E. f 
f : om -onto-> A
) )
73, 6mpd 13 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  E. f 
f : om -onto-> A
)
8 nnenom 10420 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
9 entr 6778 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
108, 9mpan2 425 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  ->  A  ~~  om )
1110ensymd 6777 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  om  ~~  A )
12 endom 6757 . . . 4  |-  ( om 
~~  A  ->  om  ~<_  A )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  om  ~<_  A )
142, 7, 133jca 1177 . 2  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A ) )
15 simp1 997 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
16 3simpb 995 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A ) )
17 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  f : om -onto-> A )
18 simp2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  f : om -onto-> A )
19 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
20 equequ1 1712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  y  <->  u  =  y ) )
2120dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (DECID  x  =  y  <-> DECID  u  =  y )
)
2221ralbidv 2477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  ( A. y  e.  A DECID  x  =  y  <->  A. y  e.  A DECID  u  =  y ) )
2322cbvralv 2703 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y 
<-> 
A. u  e.  A  A. y  e.  A DECID  u  =  y )
2419, 23sylib 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  A. u  e.  A  A. y  e.  A DECID  u  =  y
)
25 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  om  ~<_  A )
26 fof 5434 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
f : om --> A )
27 imassrn 4977 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f
" n )  C_  ran  f
28 frn 5370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : om --> A  ->  ran  f  C_  A )
2927, 28sstrid 3166 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om --> A  -> 
( f " n
)  C_  A )
3026, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( f " n
)  C_  A )
3130ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  ( f "
n )  C_  A
)
32313adantl1 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  (
f " n ) 
C_  A )
33 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  f : om -onto-> A )
34 equequ1 1712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  y  <->  a  =  y ) )
3534dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (DECID  x  =  y  <-> DECID  a  =  y )
)
36 equequ2 1713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  (
a  =  y  <->  a  =  b ) )
3736dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (DECID  a  =  y  <-> DECID  a  =  b )
)
3835, 37cbvral2v 2716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y 
<-> 
A. a  e.  A  A. b  e.  A DECID  a  =  b )
39 ssralv 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f " n ) 
C_  A  ->  ( A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. b  e.  ( f " n
)DECID  a  =  b ) )
4030, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. b  e.  (
f " n )DECID  a  =  b ) )
4140ralimdv 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. a  e.  A  A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  (
f " n )DECID  a  =  b ) )
42 ssralv 3219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f " n ) 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  (
f " n )DECID  a  =  b  ->  A. a  e.  ( f " n
) A. b  e.  ( f " n
)DECID  a  =  b ) )
4330, 41, 42sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. a  e.  A  A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. a  e.  (
f " n ) A. b  e.  ( f " n )DECID  a  =  b ) )
4438, 43biimtrid 152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. a  e.  (
f " n ) A. b  e.  ( f " n )DECID  a  =  b ) )
4533, 19, 44sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  A. a  e.  ( f " n
) A. b  e.  ( f " n
)DECID  a  =  b )
46 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  n  e.  om )
47 fofun 5435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : om -onto-> A  ->  Fun  f )
4847ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  Fun  f )
49 ordom 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Ord  om
50 ordtr 4375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Tr  om
52 trss 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr 
om  ->  ( n  e. 
om  ->  n  C_  om )
)
5351, 46, 52mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  n  C_  om )
5426fdmd 5368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : om -onto-> A  ->  dom  f  =  om )
5554ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  dom  f  =  om )
5653, 55sseqtrrd 3194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  n  C_  dom  f )
57 fores 5443 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  f  /\  n  C_ 
dom  f )  -> 
( f  |`  n
) : n -onto-> ( f " n ) )
5848, 56, 57syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  ( f  |`  n ) : n
-onto-> ( f " n
) )
59 vex 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
6059resex 4944 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  |`  n )  e.  _V
61 foeq1 5430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  |`  n )  ->  (
g : n -onto-> ( f " n )  <-> 
( f  |`  n
) : n -onto-> ( f " n ) ) )
6260, 61spcev 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  |`  n ) : n -onto-> ( f
" n )  ->  E. g  g :
n -onto-> ( f "
n ) )
6358, 62syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. g  g : n -onto-> ( f "
n ) )
64 foeq2 5431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  n  ->  (
g : m -onto-> ( f " n )  <-> 
g : n -onto-> ( f " n ) ) )
6564exbidv 1825 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  n  ->  ( E. g  g :
m -onto-> ( f "
n )  <->  E. g 
g : n -onto-> ( f " n ) ) )
6665rspcev 2841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  E. g  g : n
-onto-> ( f " n
) )  ->  E. m  e.  om  E. g  g : m -onto-> ( f
" n ) )
6746, 63, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. m  e.  om  E. g  g : m
-onto-> ( f " n
) )
68673adantl1 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. m  e.  om  E. g  g : m -onto-> ( f
" n ) )
69 fidcenum 6949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f " n )  e.  Fin  <->  ( A. a  e.  ( f " n ) A. b  e.  ( f " n )DECID  a  =  b  /\  E. m  e.  om  E. g  g : m -onto-> ( f
" n ) ) )
7045, 68, 69sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  (
f " n )  e.  Fin )
7124, 25, 32, 70inffinp1 12413 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. u  e.  A  -.  u  e.  ( f " n
) )
72 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  u  e.  A )
73 foelrn 5748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  u  e.  A
)  ->  E. k  e.  om  u  =  ( f `  k ) )
7433, 72, 73syl2an2r 595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  E. k  e.  om  u  =  ( f `  k ) )
75 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  /\  u  =  (
f `  k )
)  ->  u  =  ( f `  k
) )
76 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  -.  u  e.  ( f " n ) )
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  /\  u  =  (
f `  k )
)  ->  -.  u  e.  ( f " n
) )
7875, 77eqneltrrd 2274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  /\  u  =  (
f `  k )
)  ->  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) )
7978ex 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  ->  ( u  =  ( f `  k )  ->  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
8079reximdva 2579 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  ( E. k  e.  om  u  =  ( f `  k )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) ) )
8174, 80mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) )
8271, 81rexlimddv 2599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) )
8382ralrimiva 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )
8418, 83jca 306 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
85843com23 1209 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  f : om -onto-> A )  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
86853expia 1205 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  ->  ( f : om -onto-> A  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
8786eximdv 1880 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  ->  ( E. f 
f : om -onto-> A  ->  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
8816, 17, 87sylc 62 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
8915, 88, 1sylanbrc 417 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  A  ~~  NN )
9014, 89impbii 126 1  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1492    e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456    C_ wss 3129   class class class wbr 4000   Tr wtr 4098   Ord word 4359   omcom 4586   dom cdm 4623   ran crn 4624    |` cres 4625   "cima 4626   Fun wfun 5206   -->wf 5208   -onto->wfo 5210   ` cfv 5212    ~~ cen 6732    ~<_ cdom 6733   Fincfn 6734   NNcn 8908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-addcom 7902  ax-addass 7904  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-ltadd 7918
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-1o 6411  df-er 6529  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-dju 7031  df-inl 7040  df-inr 7041  df-case 7077  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-inn 8909  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-fz 9996  df-seqfrec 10432
This theorem is referenced by:  qnnen  12415  unbendc  12438
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