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Theorem ctinf 12398
Description: A set is countably infinite if and only if it has decidable equality, is countable, and is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctinf  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A ) )
Distinct variable group:    A, f, y, x

Proof of Theorem ctinf
Dummy variables  a  b  n  k  u  g  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ctinfom 12396 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
21simplbi 274 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
31simprbi 275 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  E. f
( f : om -onto-> A  /\  A. n  e. 
om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) ) )
4 simpl 109 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )  ->  f : om -onto-> A )
54a1i 9 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )  ->  f : om -onto-> A ) )
65eximdv 1878 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) )  ->  E. f 
f : om -onto-> A
) )
73, 6mpd 13 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  E. f 
f : om -onto-> A
)
8 nnenom 10404 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
9 entr 6774 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
108, 9mpan2 425 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  ->  A  ~~  om )
1110ensymd 6773 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  om  ~~  A )
12 endom 6753 . . . 4  |-  ( om 
~~  A  ->  om  ~<_  A )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  om  ~<_  A )
142, 7, 133jca 1177 . 2  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A ) )
15 simp1 997 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
16 3simpb 995 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A ) )
17 simp2 998 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  f : om -onto-> A )
18 simp2 998 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  f : om -onto-> A )
19 simpl1 1000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
20 equequ1 1710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  y  <->  u  =  y ) )
2120dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (DECID  x  =  y  <-> DECID  u  =  y )
)
2221ralbidv 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  ( A. y  e.  A DECID  x  =  y  <->  A. y  e.  A DECID  u  =  y ) )
2322cbvralv 2701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y 
<-> 
A. u  e.  A  A. y  e.  A DECID  u  =  y )
2419, 23sylib 122 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  A. u  e.  A  A. y  e.  A DECID  u  =  y
)
25 simpl3 1002 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  om  ~<_  A )
26 fof 5430 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
f : om --> A )
27 imassrn 4974 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f
" n )  C_  ran  f
28 frn 5366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : om --> A  ->  ran  f  C_  A )
2927, 28sstrid 3164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om --> A  -> 
( f " n
)  C_  A )
3026, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( f " n
)  C_  A )
3130ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  ( f "
n )  C_  A
)
32313adantl1 1153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  (
f " n ) 
C_  A )
33 simpl2 1001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  f : om -onto-> A )
34 equequ1 1710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  y  <->  a  =  y ) )
3534dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (DECID  x  =  y  <-> DECID  a  =  y )
)
36 equequ2 1711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  (
a  =  y  <->  a  =  b ) )
3736dcbid 838 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (DECID  a  =  y  <-> DECID  a  =  b )
)
3835, 37cbvral2v 2714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y 
<-> 
A. a  e.  A  A. b  e.  A DECID  a  =  b )
39 ssralv 3217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f " n ) 
C_  A  ->  ( A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. b  e.  ( f " n
)DECID  a  =  b ) )
4030, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. b  e.  (
f " n )DECID  a  =  b ) )
4140ralimdv 2543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. a  e.  A  A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  (
f " n )DECID  a  =  b ) )
42 ssralv 3217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f " n ) 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  (
f " n )DECID  a  =  b  ->  A. a  e.  ( f " n
) A. b  e.  ( f " n
)DECID  a  =  b ) )
4330, 41, 42sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. a  e.  A  A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. a  e.  (
f " n ) A. b  e.  ( f " n )DECID  a  =  b ) )
4438, 43biimtrid 152 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. a  e.  (
f " n ) A. b  e.  ( f " n )DECID  a  =  b ) )
4533, 19, 44sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  A. a  e.  ( f " n
) A. b  e.  ( f " n
)DECID  a  =  b )
46 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  n  e.  om )
47 fofun 5431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : om -onto-> A  ->  Fun  f )
4847ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  Fun  f )
49 ordom 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Ord  om
50 ordtr 4372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Tr  om
52 trss 4105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr 
om  ->  ( n  e. 
om  ->  n  C_  om )
)
5351, 46, 52mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  n  C_  om )
5426fdmd 5364 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : om -onto-> A  ->  dom  f  =  om )
5554ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  dom  f  =  om )
5653, 55sseqtrrd 3192 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  n  C_  dom  f )
57 fores 5439 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  f  /\  n  C_ 
dom  f )  -> 
( f  |`  n
) : n -onto-> ( f " n ) )
5848, 56, 57syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  ( f  |`  n ) : n
-onto-> ( f " n
) )
59 vex 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
6059resex 4941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  |`  n )  e.  _V
61 foeq1 5426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  |`  n )  ->  (
g : n -onto-> ( f " n )  <-> 
( f  |`  n
) : n -onto-> ( f " n ) ) )
6260, 61spcev 2830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  |`  n ) : n -onto-> ( f
" n )  ->  E. g  g :
n -onto-> ( f "
n ) )
6358, 62syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. g  g : n -onto-> ( f "
n ) )
64 foeq2 5427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  n  ->  (
g : m -onto-> ( f " n )  <-> 
g : n -onto-> ( f " n ) ) )
6564exbidv 1823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  n  ->  ( E. g  g :
m -onto-> ( f "
n )  <->  E. g 
g : n -onto-> ( f " n ) ) )
6665rspcev 2839 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  E. g  g : n
-onto-> ( f " n
) )  ->  E. m  e.  om  E. g  g : m -onto-> ( f
" n ) )
6746, 63, 66syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. m  e.  om  E. g  g : m
-onto-> ( f " n
) )
68673adantl1 1153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. m  e.  om  E. g  g : m -onto-> ( f
" n ) )
69 fidcenum 6945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f " n )  e.  Fin  <->  ( A. a  e.  ( f " n ) A. b  e.  ( f " n )DECID  a  =  b  /\  E. m  e.  om  E. g  g : m -onto-> ( f
" n ) ) )
7045, 68, 69sylanbrc 417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  (
f " n )  e.  Fin )
7124, 25, 32, 70inffinp1 12397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. u  e.  A  -.  u  e.  ( f " n
) )
72 simprl 529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  u  e.  A )
73 foelrn 5744 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  u  e.  A
)  ->  E. k  e.  om  u  =  ( f `  k ) )
7433, 72, 73syl2an2r 595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  E. k  e.  om  u  =  ( f `  k ) )
75 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  /\  u  =  (
f `  k )
)  ->  u  =  ( f `  k
) )
76 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  -.  u  e.  ( f " n ) )
7776ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  /\  u  =  (
f `  k )
)  ->  -.  u  e.  ( f " n
) )
7875, 77eqneltrrd 2272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  /\  u  =  (
f `  k )
)  ->  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) )
7978ex 115 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  ->  ( u  =  ( f `  k )  ->  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
8079reximdva 2577 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  ( E. k  e.  om  u  =  ( f `  k )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) ) )
8174, 80mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) )
8271, 81rexlimddv 2597 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) )
8382ralrimiva 2548 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )
8418, 83jca 306 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
85843com23 1209 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  f : om -onto-> A )  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
86853expia 1205 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  ->  ( f : om -onto-> A  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
8786eximdv 1878 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  ->  ( E. f 
f : om -onto-> A  ->  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
8816, 17, 87sylc 62 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
8915, 88, 1sylanbrc 417 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  A  ~~  NN )
9014, 89impbii 126 1  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105  DECID wdc 834    /\ w3a 978    = wceq 1353   E.wex 1490    e. wcel 2146   A.wral 2453   E.wrex 2454    C_ wss 3127   class class class wbr 3998   Tr wtr 4096   Ord word 4356   omcom 4583   dom cdm 4620   ran crn 4621    |` cres 4622   "cima 4623   Fun wfun 5202   -->wf 5204   -onto->wfo 5206   ` cfv 5208    ~~ cen 6728    ~<_ cdom 6729   Fincfn 6730   NNcn 8892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-addcom 7886  ax-addass 7888  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-1o 6407  df-er 6525  df-pm 6641  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-dju 7027  df-inl 7036  df-inr 7037  df-case 7073  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8893  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-fz 9980  df-seqfrec 10416
This theorem is referenced by:  qnnen  12399  unbendc  12422
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