ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ctinf Unicode version

Theorem ctinf 11966
Description: A set is countably infinite if and only if it has decidable equality, is countable, and is infinite. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Aug-2023.)
Assertion
Ref Expression
ctinf  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A ) )
Distinct variable group:    A, f, y, x

Proof of Theorem ctinf
Dummy variables  a  b  n  k  u  g  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ctinfom 11964 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
21simplbi 272 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
31simprbi 273 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  E. f
( f : om -onto-> A  /\  A. n  e. 
om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) ) )
4 simpl 108 . . . . . 6  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )  ->  f : om -onto-> A )
54a1i 9 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )  ->  f : om -onto-> A ) )
65eximdv 1852 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) )  ->  E. f 
f : om -onto-> A
) )
73, 6mpd 13 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  E. f 
f : om -onto-> A
)
8 nnenom 10231 . . . . . 6  |-  NN  ~~  om
9 entr 6681 . . . . . 6  |-  ( ( A  ~~  NN  /\  NN  ~~  om )  ->  A  ~~  om )
108, 9mpan2 421 . . . . 5  |-  ( A 
~~  NN  ->  A  ~~  om )
1110ensymd 6680 . . . 4  |-  ( A 
~~  NN  ->  om  ~~  A )
12 endom 6660 . . . 4  |-  ( om 
~~  A  ->  om  ~<_  A )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( A 
~~  NN  ->  om  ~<_  A )
142, 7, 133jca 1161 . 2  |-  ( A 
~~  NN  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A ) )
15 simp1 981 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
16 3simpb 979 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A ) )
17 simp2 982 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f  f : om -onto-> A )
18 simp2 982 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  f : om -onto-> A )
19 simpl1 984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y
)
20 equequ1 1688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  u  ->  (
x  =  y  <->  u  =  y ) )
2120dcbid 823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  u  ->  (DECID  x  =  y  <-> DECID  u  =  y )
)
2221ralbidv 2437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  ( A. y  e.  A DECID  x  =  y  <->  A. y  e.  A DECID  u  =  y ) )
2322cbvralv 2654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y 
<-> 
A. u  e.  A  A. y  e.  A DECID  u  =  y )
2419, 23sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  A. u  e.  A  A. y  e.  A DECID  u  =  y
)
25 simpl3 986 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  om  ~<_  A )
26 fof 5348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
f : om --> A )
27 imassrn 4895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f
" n )  C_  ran  f
28 frn 5284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : om --> A  ->  ran  f  C_  A )
2927, 28sstrid 3108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om --> A  -> 
( f " n
)  C_  A )
3026, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( f " n
)  C_  A )
3130ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  ( f "
n )  C_  A
)
32313adantl1 1137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  (
f " n ) 
C_  A )
33 simpl2 985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  f : om -onto-> A )
34 equequ1 1688 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  a  ->  (
x  =  y  <->  a  =  y ) )
3534dcbid 823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  a  ->  (DECID  x  =  y  <-> DECID  a  =  y )
)
36 equequ2 1689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  (
a  =  y  <->  a  =  b ) )
3736dcbid 823 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  (DECID  a  =  y  <-> DECID  a  =  b )
)
3835, 37cbvral2v 2665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y 
<-> 
A. a  e.  A  A. b  e.  A DECID  a  =  b )
39 ssralv 3161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f " n ) 
C_  A  ->  ( A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. b  e.  ( f " n
)DECID  a  =  b ) )
4030, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. b  e.  (
f " n )DECID  a  =  b ) )
4140ralimdv 2500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. a  e.  A  A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. a  e.  A  A. b  e.  (
f " n )DECID  a  =  b ) )
42 ssralv 3161 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f " n ) 
C_  A  ->  ( A. a  e.  A  A. b  e.  (
f " n )DECID  a  =  b  ->  A. a  e.  ( f " n
) A. b  e.  ( f " n
)DECID  a  =  b ) )
4330, 41, 42sylsyld 58 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. a  e.  A  A. b  e.  A DECID  a  =  b  ->  A. a  e.  (
f " n ) A. b  e.  ( f " n )DECID  a  =  b ) )
4438, 43syl5bi 151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : om -onto-> A  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  ->  A. a  e.  (
f " n ) A. b  e.  ( f " n )DECID  a  =  b ) )
4533, 19, 44sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  A. a  e.  ( f " n
) A. b  e.  ( f " n
)DECID  a  =  b )
46 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  n  e.  om )
47 fofun 5349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : om -onto-> A  ->  Fun  f )
4847ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  Fun  f )
49 ordom 4523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  Ord  om
50 ordtr 4303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
om  ->  Tr  om )
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Tr  om
52 trss 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Tr 
om  ->  ( n  e. 
om  ->  n  C_  om )
)
5351, 46, 52mpsyl 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  n  C_  om )
5426fdmd 5282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : om -onto-> A  ->  dom  f  =  om )
5554ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  dom  f  =  om )
5653, 55sseqtrrd 3136 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  n  C_  dom  f )
57 fores 5357 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  f  /\  n  C_ 
dom  f )  -> 
( f  |`  n
) : n -onto-> ( f " n ) )
5848, 56, 57syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  ( f  |`  n ) : n
-onto-> ( f " n
) )
59 vex 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
6059resex 4863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  |`  n )  e.  _V
61 foeq1 5344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( f  |`  n )  ->  (
g : n -onto-> ( f " n )  <-> 
( f  |`  n
) : n -onto-> ( f " n ) ) )
6260, 61spcev 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f  |`  n ) : n -onto-> ( f
" n )  ->  E. g  g :
n -onto-> ( f "
n ) )
6358, 62syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. g  g : n -onto-> ( f "
n ) )
64 foeq2 5345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  =  n  ->  (
g : m -onto-> ( f " n )  <-> 
g : n -onto-> ( f " n ) ) )
6564exbidv 1797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( m  =  n  ->  ( E. g  g :
m -onto-> ( f "
n )  <->  E. g 
g : n -onto-> ( f " n ) ) )
6665rspcev 2789 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  om  /\  E. g  g : n
-onto-> ( f " n
) )  ->  E. m  e.  om  E. g  g : m -onto-> ( f
" n ) )
6746, 63, 66syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. m  e.  om  E. g  g : m
-onto-> ( f " n
) )
68673adantl1 1137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. m  e.  om  E. g  g : m -onto-> ( f
" n ) )
69 fidcenum 6847 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f " n )  e.  Fin  <->  ( A. a  e.  ( f " n ) A. b  e.  ( f " n )DECID  a  =  b  /\  E. m  e.  om  E. g  g : m -onto-> ( f
" n ) ) )
7045, 68, 69sylanbrc 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  (
f " n )  e.  Fin )
7124, 25, 32, 70inffinp1 11965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. u  e.  A  -.  u  e.  ( f " n
) )
72 simprl 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  u  e.  A )
73 foelrn 5657 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : om -onto-> A  /\  u  e.  A
)  ->  E. k  e.  om  u  =  ( f `  k ) )
7433, 72, 73syl2an2r 584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  E. k  e.  om  u  =  ( f `  k ) )
75 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  /\  u  =  (
f `  k )
)  ->  u  =  ( f `  k
) )
76 simprr 521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  -.  u  e.  ( f " n ) )
7776ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  /\  u  =  (
f `  k )
)  ->  -.  u  e.  ( f " n
) )
7875, 77eqneltrrd 2236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  /\  u  =  (
f `  k )
)  ->  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) )
7978ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n
) ) )  /\  k  e.  om )  ->  ( u  =  ( f `  k )  ->  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
8079reximdva 2534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  ( E. k  e.  om  u  =  ( f `  k )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) ) )
8174, 80mpd 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  e.  ( f " n ) ) )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) )
8271, 81rexlimddv 2554 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  /\  n  e.  om )  ->  E. k  e.  om  -.  ( f `
 k )  e.  ( f " n
) )
8382ralrimiva 2505 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  ( f `  k
)  e.  ( f
" n ) )
8418, 83jca 304 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
85843com23 1187 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A  /\  f : om -onto-> A )  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
86853expia 1183 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  ->  ( f : om -onto-> A  ->  ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
8786eximdv 1852 . . . 4  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  om  ~<_  A )  ->  ( E. f 
f : om -onto-> A  ->  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e.  om  -.  (
f `  k )  e.  ( f " n
) ) ) )
8816, 17, 87sylc 62 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  E. f ( f : om -onto-> A  /\  A. n  e.  om  E. k  e. 
om  -.  ( f `  k )  e.  ( f " n ) ) )
8915, 88, 1sylanbrc 413 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f 
f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A )  ->  A  ~~  NN )
9014, 89impbii 125 1  |-  ( A 
~~  NN  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y  /\  E. f  f : om -onto-> A  /\  om  ~<_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 819    /\ w3a 962    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417    C_ wss 3071   class class class wbr 3932   Tr wtr 4029   Ord word 4287   omcom 4507   dom cdm 4542   ran crn 4543    |` cres 4544   "cima 4545   Fun wfun 5120   -->wf 5122   -onto->wfo 5124   ` cfv 5126    ~~ cen 6635    ~<_ cdom 6636   Fincfn 6637   NNcn 8739
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-addcom 7739  ax-addass 7741  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-ltadd 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-1o 6316  df-er 6432  df-pm 6548  df-en 6638  df-dom 6639  df-fin 6640  df-dju 6926  df-inl 6935  df-inr 6936  df-case 6972  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-inn 8740  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-fz 9815  df-seqfrec 10243
This theorem is referenced by:  qnnen  11967
  Copyright terms: Public domain W3C validator