Theorem eqbrtrdi 4169

Description: A chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrdi.1	|- ( ph -> A = B )
eqbrtrdi.2	|- B R C

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrdi	|- ( ph -> A R C )

Proof of Theorem eqbrtrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrdi.2	. 2 |- B R C
2		eqbrtrdi.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
3	2	breq1d 4140	. 2 |- ( ph -> ( A R C <-> B R C ) )
4	1, 3	mpbiri 168	1 |- ( ph -> A R C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4130

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4131

This theorem is used by:  eqbrtrrdi  4170  pm54.43  7537  recapb  9004  nn0ledivnn  10179  xltnegi  10248  leexp1a  11046  facwordi  11194  faclbnd3  11197  resqrexlemlo  11795  efap0  12463  dvds1  12639  ballotfilemrc  13326  en1top  15269  dvef  15919  rpabscxpbnd  16137  bposlem1  16272  bposlem5  16276  zabsle1  16284  lgseisen  16359  lgsquadlem2  16363  upgr2wlkdc  16784  trirec0  17260