Theorem eqbrtrdi 4170

Description: A chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrdi.1	|- ( ph -> A = B )
eqbrtrdi.2	|- B R C

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrdi	|- ( ph -> A R C )

Proof of Theorem eqbrtrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrdi.2	. 2 |- B R C
2		eqbrtrdi.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
3	2	breq1d 4141	. 2 |- ( ph -> ( A R C <-> B R C ) )
4	1, 3	mpbiri 168	1 |- ( ph -> A R C )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   class class class wbr 4131

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-br 4132

This theorem is used by:  eqbrtrrdi  4171  pm54.43  7542  recapb  9009  nn0ledivnn  10185  xltnegi  10254  leexp1a  11052  facwordi  11200  faclbnd3  11203  resqrexlemlo  11801  efap0  12469  dvds1  12645  ballotfilemrc  13332  en1top  15303  dvef  15953  rpabscxpbnd  16175  bposlem1  16311  bposlem5  16315  zabsle1  16323  lgseisen  16398  lgsquadlem2  16402  upgr2wlkdc  16823  trirec0  17300