Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  resqrexlemlo Unicode version

Theorem resqrexlemlo 10816
 Description: Lemma for resqrex 10829. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq
resqrexlemex.a
resqrexlemex.agt0
Assertion
Ref Expression
resqrexlemlo
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem resqrexlemlo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5789 . . . . . 6
21oveq2d 5797 . . . . 5
3 fveq2 5428 . . . . 5
42, 3breq12d 3949 . . . 4
54imbi2d 229 . . 3
6 oveq2 5789 . . . . . 6
76oveq2d 5797 . . . . 5
8 fveq2 5428 . . . . 5
97, 8breq12d 3949 . . . 4
109imbi2d 229 . . 3
11 oveq2 5789 . . . . . 6
1211oveq2d 5797 . . . . 5
13 fveq2 5428 . . . . 5
1412, 13breq12d 3949 . . . 4
1514imbi2d 229 . . 3
16 oveq2 5789 . . . . . 6
1716oveq2d 5797 . . . . 5
18 fveq2 5428 . . . . 5
1917, 18breq12d 3949 . . . 4
2019imbi2d 229 . . 3
21 2cnd 8816 . . . . . . . 8
2221exp1d 10449 . . . . . . 7
23 2rp 9474 . . . . . . 7
2422, 23eqeltrdi 2231 . . . . . 6
2524rprecred 9524 . . . . 5
26 1red 7804 . . . . 5
27 resqrexlemex.a . . . . . 6
2826, 27readdcld 7818 . . . . 5
2922oveq2d 5797 . . . . . 6
30 halflt1 8960 . . . . . 6
3129, 30eqbrtrdi 3974 . . . . 5
32 resqrexlemex.agt0 . . . . . 6
3326, 27addge01d 8318 . . . . . 6
3432, 33mpbid 146 . . . . 5
3525, 26, 28, 31, 34ltletrd 8208 . . . 4
36 resqrexlemex.seq . . . . 5
3736, 27, 32resqrexlemf1 10811 . . . 4
3835, 37breqtrrd 3963 . . 3
3923a1i 9 . . . . . . . . . . 11
40 nnz 9096 . . . . . . . . . . . 12
4140ad2antlr 481 . . . . . . . . . . 11
4239, 41rpexpcld 10478 . . . . . . . . . 10
4342rpcnd 9514 . . . . . . . . 9
44 2cnd 8816 . . . . . . . . 9
4542rpap0d 9518 . . . . . . . . 9 #
4639rpap0d 9518 . . . . . . . . 9 #
4743, 44, 45, 46recdivap2d 8591 . . . . . . . 8
48 nnnn0 9007 . . . . . . . . . . 11
4948ad2antlr 481 . . . . . . . . . 10
5044, 49expp1d 10455 . . . . . . . . 9
5150oveq2d 5797 . . . . . . . 8
5247, 51eqtr4d 2176 . . . . . . 7
5342rprecred 9524 . . . . . . . . 9
5436, 27, 32resqrexlemf 10810 . . . . . . . . . . . . 13
5554ffvelrnda 5562 . . . . . . . . . . . 12
5655rpred 9512 . . . . . . . . . . 11
5756adantr 274 . . . . . . . . . 10
5827adantr 274 . . . . . . . . . . . 12
5958, 55rerpdivcld 9544 . . . . . . . . . . 11
6059adantr 274 . . . . . . . . . 10
6157, 60readdcld 7818 . . . . . . . . 9
62 simpr 109 . . . . . . . . . 10
6332adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13
6458, 55, 63divge0d 9553 . . . . . . . . . . . 12
6556, 59addge01d 8318 . . . . . . . . . . . 12
6664, 65mpbid 146 . . . . . . . . . . 11
6766adantr 274 . . . . . . . . . 10
6853, 57, 61, 62, 67ltletrd 8208 . . . . . . . . 9
6953, 61, 39, 68ltdiv1dd 9570 . . . . . . . 8
7036, 27, 32resqrexlemfp1 10812 . . . . . . . . 9
7170adantr 274 . . . . . . . 8
7269, 71breqtrrd 3963 . . . . . . 7
7352, 72eqbrtrrd 3959 . . . . . 6
7473ex 114 . . . . 5
7574expcom 115 . . . 4
7675a2d 26 . . 3
775, 10, 15, 20, 38, 76nnind 8759 . 2
7877impcom 124 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wceq 1332   wcel 1481  csn 3531   class class class wbr 3936   cxp 4544  cfv 5130  (class class class)co 5781   cmpo 5783  cr 7642  cc0 7643  c1 7644   caddc 7646   cmul 7648   clt 7823   cle 7824   cdiv 8455  cn 8743  c2 8794  cn0 9000  cz 9077  crp 9469   cseq 10248  cexp 10322 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-seqfrec 10249  df-exp 10323 This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  10821
 Copyright terms: Public domain W3C validator