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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > resqrexlemlo | Unicode version |
Description: Lemma for resqrex 10638. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.) |
Ref | Expression |
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resqrexlemex.seq |
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resqrexlemex.a |
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resqrexlemex.agt0 |
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Ref | Expression |
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resqrexlemlo |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | oveq2 5714 |
. . . . . 6
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2 | 1 | oveq2d 5722 |
. . . . 5
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3 | fveq2 5353 |
. . . . 5
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4 | 2, 3 | breq12d 3888 |
. . . 4
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5 | 4 | imbi2d 229 |
. . 3
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6 | oveq2 5714 |
. . . . . 6
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7 | 6 | oveq2d 5722 |
. . . . 5
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8 | fveq2 5353 |
. . . . 5
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9 | 7, 8 | breq12d 3888 |
. . . 4
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10 | 9 | imbi2d 229 |
. . 3
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11 | oveq2 5714 |
. . . . . 6
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12 | 11 | oveq2d 5722 |
. . . . 5
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13 | fveq2 5353 |
. . . . 5
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14 | 12, 13 | breq12d 3888 |
. . . 4
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15 | 14 | imbi2d 229 |
. . 3
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16 | oveq2 5714 |
. . . . . 6
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17 | 16 | oveq2d 5722 |
. . . . 5
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18 | fveq2 5353 |
. . . . 5
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19 | 17, 18 | breq12d 3888 |
. . . 4
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20 | 19 | imbi2d 229 |
. . 3
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21 | 2cnd 8651 |
. . . . . . . 8
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22 | 21 | exp1d 10260 |
. . . . . . 7
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23 | 2rp 9296 |
. . . . . . 7
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24 | 22, 23 | syl6eqel 2190 |
. . . . . 6
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25 | 24 | rprecred 9342 |
. . . . 5
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26 | 1red 7653 |
. . . . 5
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27 | resqrexlemex.a |
. . . . . 6
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28 | 26, 27 | readdcld 7667 |
. . . . 5
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29 | 22 | oveq2d 5722 |
. . . . . 6
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30 | halflt1 8789 |
. . . . . 6
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31 | 29, 30 | syl6eqbr 3912 |
. . . . 5
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32 | resqrexlemex.agt0 |
. . . . . 6
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33 | 26, 27 | addge01d 8161 |
. . . . . 6
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34 | 32, 33 | mpbid 146 |
. . . . 5
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35 | 25, 26, 28, 31, 34 | ltletrd 8052 |
. . . 4
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36 | resqrexlemex.seq |
. . . . 5
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37 | 36, 27, 32 | resqrexlemf1 10620 |
. . . 4
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38 | 35, 37 | breqtrrd 3901 |
. . 3
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39 | 23 | a1i 9 |
. . . . . . . . . . 11
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40 | nnz 8925 |
. . . . . . . . . . . 12
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41 | 40 | ad2antlr 476 |
. . . . . . . . . . 11
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42 | 39, 41 | rpexpcld 10289 |
. . . . . . . . . 10
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43 | 42 | rpcnd 9332 |
. . . . . . . . 9
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44 | 2cnd 8651 |
. . . . . . . . 9
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45 | 42 | rpap0d 9336 |
. . . . . . . . 9
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46 | 39 | rpap0d 9336 |
. . . . . . . . 9
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47 | 43, 44, 45, 46 | recdivap2d 8429 |
. . . . . . . 8
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48 | nnnn0 8836 |
. . . . . . . . . . 11
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49 | 48 | ad2antlr 476 |
. . . . . . . . . 10
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50 | 44, 49 | expp1d 10266 |
. . . . . . . . 9
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51 | 50 | oveq2d 5722 |
. . . . . . . 8
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52 | 47, 51 | eqtr4d 2135 |
. . . . . . 7
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53 | 42 | rprecred 9342 |
. . . . . . . . 9
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54 | 36, 27, 32 | resqrexlemf 10619 |
. . . . . . . . . . . . 13
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55 | 54 | ffvelrnda 5487 |
. . . . . . . . . . . 12
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56 | 55 | rpred 9330 |
. . . . . . . . . . 11
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57 | 56 | adantr 272 |
. . . . . . . . . 10
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58 | 27 | adantr 272 |
. . . . . . . . . . . 12
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59 | 58, 55 | rerpdivcld 9362 |
. . . . . . . . . . 11
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60 | 59 | adantr 272 |
. . . . . . . . . 10
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61 | 57, 60 | readdcld 7667 |
. . . . . . . . 9
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62 | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
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63 | 32 | adantr 272 |
. . . . . . . . . . . . 13
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64 | 58, 55, 63 | divge0d 9371 |
. . . . . . . . . . . 12
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65 | 56, 59 | addge01d 8161 |
. . . . . . . . . . . 12
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66 | 64, 65 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . 11
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67 | 66 | adantr 272 |
. . . . . . . . . 10
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68 | 53, 57, 61, 62, 67 | ltletrd 8052 |
. . . . . . . . 9
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69 | 53, 61, 39, 68 | ltdiv1dd 9388 |
. . . . . . . 8
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70 | 36, 27, 32 | resqrexlemfp1 10621 |
. . . . . . . . 9
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71 | 70 | adantr 272 |
. . . . . . . 8
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72 | 69, 71 | breqtrrd 3901 |
. . . . . . 7
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73 | 52, 72 | eqbrtrrd 3897 |
. . . . . 6
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74 | 73 | ex 114 |
. . . . 5
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75 | 74 | expcom 115 |
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76 | 75 | a2d 26 |
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77 | 5, 10, 15, 20, 38, 76 | nnind 8594 |
. 2
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78 | 77 | impcom 124 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 584 ax-in2 585 ax-io 671 ax-5 1391 ax-7 1392 ax-gen 1393 ax-ie1 1437 ax-ie2 1438 ax-8 1450 ax-10 1451 ax-11 1452 ax-i12 1453 ax-bndl 1454 ax-4 1455 ax-13 1459 ax-14 1460 ax-17 1474 ax-i9 1478 ax-ial 1482 ax-i5r 1483 ax-ext 2082 ax-coll 3983 ax-sep 3986 ax-nul 3994 ax-pow 4038 ax-pr 4069 ax-un 4293 ax-setind 4390 ax-iinf 4440 ax-cnex 7586 ax-resscn 7587 ax-1cn 7588 ax-1re 7589 ax-icn 7590 ax-addcl 7591 ax-addrcl 7592 ax-mulcl 7593 ax-mulrcl 7594 ax-addcom 7595 ax-mulcom 7596 ax-addass 7597 ax-mulass 7598 ax-distr 7599 ax-i2m1 7600 ax-0lt1 7601 ax-1rid 7602 ax-0id 7603 ax-rnegex 7604 ax-precex 7605 ax-cnre 7606 ax-pre-ltirr 7607 ax-pre-ltwlin 7608 ax-pre-lttrn 7609 ax-pre-apti 7610 ax-pre-ltadd 7611 ax-pre-mulgt0 7612 ax-pre-mulext 7613 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 787 df-3or 931 df-3an 932 df-tru 1302 df-fal 1305 df-nf 1405 df-sb 1704 df-eu 1963 df-mo 1964 df-clab 2087 df-cleq 2093 df-clel 2096 df-nfc 2229 df-ne 2268 df-nel 2363 df-ral 2380 df-rex 2381 df-reu 2382 df-rmo 2383 df-rab 2384 df-v 2643 df-sbc 2863 df-csb 2956 df-dif 3023 df-un 3025 df-in 3027 df-ss 3034 df-nul 3311 df-if 3422 df-pw 3459 df-sn 3480 df-pr 3481 df-op 3483 df-uni 3684 df-int 3719 df-iun 3762 df-br 3876 df-opab 3930 df-mpt 3931 df-tr 3967 df-id 4153 df-po 4156 df-iso 4157 df-iord 4226 df-on 4228 df-ilim 4229 df-suc 4231 df-iom 4443 df-xp 4483 df-rel 4484 df-cnv 4485 df-co 4486 df-dm 4487 df-rn 4488 df-res 4489 df-ima 4490 df-iota 5024 df-fun 5061 df-fn 5062 df-f 5063 df-f1 5064 df-fo 5065 df-f1o 5066 df-fv 5067 df-riota 5662 df-ov 5709 df-oprab 5710 df-mpo 5711 df-1st 5969 df-2nd 5970 df-recs 6132 df-frec 6218 df-pnf 7674 df-mnf 7675 df-xr 7676 df-ltxr 7677 df-le 7678 df-sub 7806 df-neg 7807 df-reap 8203 df-ap 8210 df-div 8294 df-inn 8579 df-2 8637 df-n0 8830 df-z 8907 df-uz 9177 df-rp 9292 df-seqfrec 10060 df-exp 10134 |
This theorem is referenced by: resqrexlemnm 10630 |
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