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Theorem resqrexlemlo 11057
Description: Lemma for resqrex 11070. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resqrexlemex.seq  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
resqrexlemex.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
resqrexlemex.agt0  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
Assertion
Ref Expression
resqrexlemlo  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  < 
( F `  N
) )
Distinct variable groups:    y, A, z    ph, y, z
Allowed substitution hints:    F( y, z)    N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemlo
Dummy variables  k  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5905 . . . . . 6  |-  ( w  =  1  ->  (
2 ^ w )  =  ( 2 ^ 1 ) )
21oveq2d 5913 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  (
1  /  ( 2 ^ w ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ 1 ) ) )
3 fveq2 5534 . . . . 5  |-  ( w  =  1  ->  ( F `  w )  =  ( F ` 
1 ) )
42, 3breq12d 4031 . . . 4  |-  ( w  =  1  ->  (
( 1  /  (
2 ^ w ) )  <  ( F `
 w )  <->  ( 1  /  ( 2 ^ 1 ) )  < 
( F `  1
) ) )
54imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  1  ->  (
( ph  ->  ( 1  /  ( 2 ^ w ) )  < 
( F `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ 1 ) )  <  ( F `
 1 ) ) ) )
6 oveq2 5905 . . . . . 6  |-  ( w  =  k  ->  (
2 ^ w )  =  ( 2 ^ k ) )
76oveq2d 5913 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  (
1  /  ( 2 ^ w ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ k
) ) )
8 fveq2 5534 . . . . 5  |-  ( w  =  k  ->  ( F `  w )  =  ( F `  k ) )
97, 8breq12d 4031 . . . 4  |-  ( w  =  k  ->  (
( 1  /  (
2 ^ w ) )  <  ( F `
 w )  <->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  < 
( F `  k
) ) )
109imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  k  ->  (
( ph  ->  ( 1  /  ( 2 ^ w ) )  < 
( F `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ k ) )  <  ( F `
 k ) ) ) )
11 oveq2 5905 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
2 ^ w )  =  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )
1211oveq2d 5913 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  ( 2 ^ w ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5534 . . . . 5  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  w )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
1412, 13breq12d 4031 . . . 4  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  /  (
2 ^ w ) )  <  ( F `
 w )  <->  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  < 
( F `  (
k  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( 1  /  ( 2 ^ w ) )  < 
( F `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  <  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
16 oveq2 5905 . . . . . 6  |-  ( w  =  N  ->  (
2 ^ w )  =  ( 2 ^ N ) )
1716oveq2d 5913 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (
1  /  ( 2 ^ w ) )  =  ( 1  / 
( 2 ^ N
) ) )
18 fveq2 5534 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  ( F `  w )  =  ( F `  N ) )
1917, 18breq12d 4031 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
( 1  /  (
2 ^ w ) )  <  ( F `
 w )  <->  ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  < 
( F `  N
) ) )
2019imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  ( 1  /  ( 2 ^ w ) )  < 
( F `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ N ) )  <  ( F `
 N ) ) ) )
21 2cnd 9023 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
2221exp1d 10683 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 1 )  =  2 )
23 2rp 9690 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR+
2422, 23eqeltrdi 2280 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 1 )  e.  RR+ )
2524rprecred 9740 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ 1 ) )  e.  RR )
26 1red 8003 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
27 resqrexlemex.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2826, 27readdcld 8018 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  +  A
)  e.  RR )
2922oveq2d 5913 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ 1 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
30 halflt1 9167 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3129, 30eqbrtrdi 4057 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ 1 ) )  <  1 )
32 resqrexlemex.agt0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3326, 27addge01d 8521 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  A  <->  1  <_  ( 1  +  A ) ) )
3432, 33mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  ( 1  +  A ) )
3525, 26, 28, 31, 34ltletrd 8411 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ 1 ) )  <  ( 1  +  A ) )
36 resqrexlemex.seq . . . . 5  |-  F  =  seq 1 ( ( y  e.  RR+ ,  z  e.  RR+  |->  ( ( y  +  ( A  /  y ) )  /  2 ) ) ,  ( NN  X.  { ( 1  +  A ) } ) )
3736, 27, 32resqrexlemf1 11052 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( 1  +  A ) )
3835, 37breqtrrd 4046 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1  /  (
2 ^ 1 ) )  <  ( F `
 1 ) )
3923a1i 9 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
2  e.  RR+ )
40 nnz 9303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  ZZ )
4140ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
k  e.  ZZ )
4239, 41rpexpcld 10712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  RR+ )
4342rpcnd 9730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 2 ^ k
)  e.  CC )
44 2cnd 9023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
2  e.  CC )
4542rpap0d 9734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 2 ^ k
) #  0 )
4639rpap0d 9734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
2 #  0 )
4743, 44, 45, 46recdivap2d 8796 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  /  2
)  =  ( 1  /  ( ( 2 ^ k )  x.  2 ) ) )
48 nnnn0 9214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN0 )
4948ad2antlr 489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
k  e.  NN0 )
5044, 49expp1d 10689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 2 ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ k )  x.  2 ) )
5150oveq2d 5913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  =  ( 1  /  ( ( 2 ^ k )  x.  2 ) ) )
5247, 51eqtr4d 2225 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  /  2
)  =  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) ) )
5342rprecred 9740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 1  /  (
2 ^ k ) )  e.  RR )
5436, 27, 32resqrexlemf 11051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : NN --> RR+ )
5554ffvelcdmda 5672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR+ )
5655rpred 9728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  RR )
5756adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( F `  k
)  e.  RR )
5827adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  RR )
5958, 55rerpdivcld 9760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  /  ( F `  k ) )  e.  RR )
6059adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( A  /  ( F `  k )
)  e.  RR )
6157, 60readdcld 8018 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) )  e.  RR )
62 simpr 110 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 1  /  (
2 ^ k ) )  <  ( F `
 k ) )
6332adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_  A )
6458, 55, 63divge0d 9769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( A  /  ( F `  k )
) )
6556, 59addge01d 8521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <_  ( A  / 
( F `  k
) )  <->  ( F `  k )  <_  (
( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) ) ) )
6664, 65mpbid 147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  <_ 
( ( F `  k )  +  ( A  /  ( F `
 k ) ) ) )
6766adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( F `  k
)  <_  ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) )
6853, 57, 61, 62, 67ltletrd 8411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 1  /  (
2 ^ k ) )  <  ( ( F `  k )  +  ( A  / 
( F `  k
) ) ) )
6953, 61, 39, 68ltdiv1dd 9786 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  /  2
)  <  ( (
( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) )  /  2 ) )
7036, 27, 32resqrexlemfp1 11053 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `
 k )  +  ( A  /  ( F `  k )
) )  /  2
) )
7170adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( ( F `  k
)  +  ( A  /  ( F `  k ) ) )  /  2 ) )
7269, 71breqtrrd 4046 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( ( 1  / 
( 2 ^ k
) )  /  2
)  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
7352, 72eqbrtrrd 4042 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  (
1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k ) )  -> 
( 1  /  (
2 ^ ( k  +  1 ) ) )  <  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )
7473ex 115 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  <  ( F `  k )  ->  (
1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
7574expcom 116 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  < 
( F `  k
)  ->  ( 1  /  ( 2 ^ ( k  +  1 ) ) )  < 
( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7675a2d 26 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( 1  /  ( 2 ^ k ) )  < 
( F `  k
) )  ->  ( ph  ->  ( 1  / 
( 2 ^ (
k  +  1 ) ) )  <  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
775, 10, 15, 20, 38, 76nnind 8966 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( 1  / 
( 2 ^ N
) )  <  ( F `  N )
) )
7877impcom 125 1  |-  ( (
ph  /\  N  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( 2 ^ N ) )  < 
( F `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   {csn 3607   class class class wbr 4018    X. cxp 4642   ` cfv 5235  (class class class)co 5897    e. cmpo 5899   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843    + caddc 7845    x. cmul 7847    < clt 8023    <_ cle 8024    / cdiv 8660   NNcn 8950   2c2 9001   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   RR+crp 9685    seqcseq 10478   ^cexp 10553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-pre-mulext 7960
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-ap 8570  df-div 8661  df-inn 8951  df-2 9009  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-rp 9686  df-seqfrec 10479  df-exp 10554
This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11062
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