Theorem resqrexlemlo 11573

Description: Lemma for resqrex 11586. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemlo	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemlo

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6025	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ 1 ) )
2	1	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) )
3		fveq2 5639	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( F ` w ) = ( F ` 1 ) )
4	2, 3	breq12d 4101	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) ) ) )
6		oveq2 6025	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ k ) )
7	6	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( w = k -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
8		fveq2 5639	. . . . 5 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
9	7, 8	breq12d 4101	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) ) )
11		oveq2 6025	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
12	11	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5639	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
14	12, 13	breq12d 4101	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
16		oveq2 6025	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ N ) )
17	16	oveq2d 6033	. . . . 5 |- ( w = N -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
18		fveq2 5639	. . . . 5 |- ( w = N -> ( F ` w ) = ( F ` N ) )
19	17, 18	breq12d 4101	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) ) )
21		2cnd 9215	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
22	21	exp1d 10929	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
23		2rp 9892	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
24	22, 23	eqeltrdi 2322	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) e. RR+ )
25	24	rprecred 9942	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) e. RR )
26		1red 8193	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
27		resqrexlemex.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
28	26, 27	readdcld 8208	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 + A ) e. RR )
29	22	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) = ( 1 / 2 ) )
30		halflt1 9360	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) < 1
31	29, 30	eqbrtrdi 4127	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < 1 )
32		resqrexlemex.agt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ A )
33	26, 27	addge01d 8712	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ A <-> 1 <_ ( 1 + A ) ) )
34	32, 33	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( 1 + A ) )
35	25, 26, 28, 31, 34	ltletrd 8602	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( 1 + A ) )
36		resqrexlemex.seq	. . . . 5 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
37	36, 27, 32	resqrexlemf1 11568	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( 1 + A ) )
38	35, 37	breqtrrd 4116	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) )
39	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 e. RR+ )
40		nnz 9497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> k e. ZZ )
42	39, 41	rpexpcld 10958	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
43	42	rpcnd 9932	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
44		2cnd 9215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 e. CC )
45	42	rpap0d 9936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
46	39	rpap0d 9936	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 # 0 )
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 8987	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) ) )
48		nnnn0 9408	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> k e. NN0 )
50	44, 49	expp1d 10935	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) = ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) )
51	50	oveq2d 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) ) )
52	47, 51	eqtr4d 2267	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) = ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
53	42	rprecred 9942	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
54	36, 27, 32	resqrexlemf 11567	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
55	54	ffvelcdmda 5782	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
56	55	rpred 9930	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
58	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
59	58, 55	rerpdivcld 9962	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A / ( F ` k ) ) e. RR )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( A / ( F ` k ) ) e. RR )
61	57, 60	readdcld 8208	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) e. RR )
62		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) )
63	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ A )
64	58, 55, 63	divge0d 9971	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( A / ( F ` k ) ) )
65	56, 59	addge01d 8712	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 0 <_ ( A / ( F ` k ) ) <-> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) ) )
66	64, 65	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
68	53, 57, 61, 62, 67	ltletrd 8602	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
69	53, 61, 39, 68	ltdiv1dd 9988	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) < ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
70	36, 27, 32	resqrexlemfp1 11569	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
71	70	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
72	69, 71	breqtrrd 4116	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
73	52, 72	eqbrtrrd 4112	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
74	73	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
75	74	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
76	75	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
77	5, 10, 15, 20, 38, 76	nnind 9158	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) )
78	77	impcom 125	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1397   e. wcel 2202   {csn 3669   class class class wbr 4088   X. cxp 4723   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   e. cmpo 6019   RRcr 8030   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   < clt 8213   <_ cle 8214   / cdiv 8851   NNcn 9142   2c2 9193   NN0cn0 9401   ZZcz 9478   RR+crp 9887   seqcseq 10708   ^cexp 10799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-rp 9888  df-seqfrec 10709  df-exp 10800

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11578