Theorem resqrexlemlo 11485

Description: Lemma for resqrex 11498. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemlo	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemlo

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5977	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ 1 ) )
2	1	oveq2d 5985	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) )
3		fveq2 5600	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( F ` w ) = ( F ` 1 ) )
4	2, 3	breq12d 4073	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) ) ) )
6		oveq2 5977	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ k ) )
7	6	oveq2d 5985	. . . . 5 |- ( w = k -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
8		fveq2 5600	. . . . 5 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
9	7, 8	breq12d 4073	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) ) )
11		oveq2 5977	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
12	11	oveq2d 5985	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5600	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
14	12, 13	breq12d 4073	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
16		oveq2 5977	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ N ) )
17	16	oveq2d 5985	. . . . 5 |- ( w = N -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
18		fveq2 5600	. . . . 5 |- ( w = N -> ( F ` w ) = ( F ` N ) )
19	17, 18	breq12d 4073	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) ) )
21		2cnd 9146	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
22	21	exp1d 10852	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
23		2rp 9817	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
24	22, 23	eqeltrdi 2298	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) e. RR+ )
25	24	rprecred 9867	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) e. RR )
26		1red 8124	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
27		resqrexlemex.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
28	26, 27	readdcld 8139	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 + A ) e. RR )
29	22	oveq2d 5985	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) = ( 1 / 2 ) )
30		halflt1 9291	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) < 1
31	29, 30	eqbrtrdi 4099	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < 1 )
32		resqrexlemex.agt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ A )
33	26, 27	addge01d 8643	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ A <-> 1 <_ ( 1 + A ) ) )
34	32, 33	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( 1 + A ) )
35	25, 26, 28, 31, 34	ltletrd 8533	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( 1 + A ) )
36		resqrexlemex.seq	. . . . 5 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
37	36, 27, 32	resqrexlemf1 11480	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( 1 + A ) )
38	35, 37	breqtrrd 4088	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) )
39	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 e. RR+ )
40		nnz 9428	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> k e. ZZ )
42	39, 41	rpexpcld 10881	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
43	42	rpcnd 9857	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
44		2cnd 9146	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 e. CC )
45	42	rpap0d 9861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
46	39	rpap0d 9861	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 # 0 )
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 8918	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) ) )
48		nnnn0 9339	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> k e. NN0 )
50	44, 49	expp1d 10858	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) = ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) )
51	50	oveq2d 5985	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) ) )
52	47, 51	eqtr4d 2243	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) = ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
53	42	rprecred 9867	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
54	36, 27, 32	resqrexlemf 11479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
55	54	ffvelcdmda 5740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
56	55	rpred 9855	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
58	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
59	58, 55	rerpdivcld 9887	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A / ( F ` k ) ) e. RR )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( A / ( F ` k ) ) e. RR )
61	57, 60	readdcld 8139	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) e. RR )
62		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) )
63	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ A )
64	58, 55, 63	divge0d 9896	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( A / ( F ` k ) ) )
65	56, 59	addge01d 8643	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 0 <_ ( A / ( F ` k ) ) <-> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) ) )
66	64, 65	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
68	53, 57, 61, 62, 67	ltletrd 8533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
69	53, 61, 39, 68	ltdiv1dd 9913	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) < ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
70	36, 27, 32	resqrexlemfp1 11481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
71	70	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
72	69, 71	breqtrrd 4088	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
73	52, 72	eqbrtrrd 4084	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
74	73	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
75	74	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
76	75	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
77	5, 10, 15, 20, 38, 76	nnind 9089	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) )
78	77	impcom 125	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   {csn 3644   class class class wbr 4060   X. cxp 4692   ` cfv 5291  (class class class)co 5969   e. cmpo 5971   RRcr 7961   0cc0 7962   1c1 7963   + caddc 7965   x. cmul 7967   < clt 8144   <_ cle 8145   / cdiv 8782   NNcn 9073   2c2 9124   NN0cn0 9332   ZZcz 9409   RR+crp 9812   seqcseq 10631   ^cexp 10722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-iinf 4655  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-pre-mulext 8080

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-po 4362  df-iso 4363  df-iord 4432  df-on 4434  df-ilim 4435  df-suc 4437  df-iom 4658  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-recs 6416  df-frec 6502  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-ap 8692  df-div 8783  df-inn 9074  df-2 9132  df-n0 9333  df-z 9410  df-uz 9686  df-rp 9813  df-seqfrec 10632  df-exp 10723

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11490