Theorem resqrexlemlo 11160

Description: Lemma for resqrex 11173. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemlo	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemlo

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5927	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ 1 ) )
2	1	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) )
3		fveq2 5555	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( F ` w ) = ( F ` 1 ) )
4	2, 3	breq12d 4043	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) ) ) )
6		oveq2 5927	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ k ) )
7	6	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( w = k -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
8		fveq2 5555	. . . . 5 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
9	7, 8	breq12d 4043	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) ) )
11		oveq2 5927	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
12	11	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5555	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
14	12, 13	breq12d 4043	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
16		oveq2 5927	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ N ) )
17	16	oveq2d 5935	. . . . 5 |- ( w = N -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
18		fveq2 5555	. . . . 5 |- ( w = N -> ( F ` w ) = ( F ` N ) )
19	17, 18	breq12d 4043	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) ) )
21		2cnd 9057	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
22	21	exp1d 10742	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
23		2rp 9727	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
24	22, 23	eqeltrdi 2284	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) e. RR+ )
25	24	rprecred 9777	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) e. RR )
26		1red 8036	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
27		resqrexlemex.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
28	26, 27	readdcld 8051	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 + A ) e. RR )
29	22	oveq2d 5935	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) = ( 1 / 2 ) )
30		halflt1 9202	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) < 1
31	29, 30	eqbrtrdi 4069	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < 1 )
32		resqrexlemex.agt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ A )
33	26, 27	addge01d 8554	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ A <-> 1 <_ ( 1 + A ) ) )
34	32, 33	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( 1 + A ) )
35	25, 26, 28, 31, 34	ltletrd 8444	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( 1 + A ) )
36		resqrexlemex.seq	. . . . 5 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
37	36, 27, 32	resqrexlemf1 11155	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( 1 + A ) )
38	35, 37	breqtrrd 4058	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) )
39	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 e. RR+ )
40		nnz 9339	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> k e. ZZ )
42	39, 41	rpexpcld 10771	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
43	42	rpcnd 9767	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
44		2cnd 9057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 e. CC )
45	42	rpap0d 9771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
46	39	rpap0d 9771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 # 0 )
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 8829	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) ) )
48		nnnn0 9250	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> k e. NN0 )
50	44, 49	expp1d 10748	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) = ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) )
51	50	oveq2d 5935	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) ) )
52	47, 51	eqtr4d 2229	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) = ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
53	42	rprecred 9777	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
54	36, 27, 32	resqrexlemf 11154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
55	54	ffvelcdmda 5694	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
56	55	rpred 9765	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
58	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
59	58, 55	rerpdivcld 9797	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A / ( F ` k ) ) e. RR )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( A / ( F ` k ) ) e. RR )
61	57, 60	readdcld 8051	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) e. RR )
62		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) )
63	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ A )
64	58, 55, 63	divge0d 9806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( A / ( F ` k ) ) )
65	56, 59	addge01d 8554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 0 <_ ( A / ( F ` k ) ) <-> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) ) )
66	64, 65	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
68	53, 57, 61, 62, 67	ltletrd 8444	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
69	53, 61, 39, 68	ltdiv1dd 9823	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) < ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
70	36, 27, 32	resqrexlemfp1 11156	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
71	70	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
72	69, 71	breqtrrd 4058	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
73	52, 72	eqbrtrrd 4054	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
74	73	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
75	74	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
76	75	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
77	5, 10, 15, 20, 38, 76	nnind 9000	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) )
78	77	impcom 125	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   {csn 3619   class class class wbr 4030   X. cxp 4658   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   e. cmpo 5921   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   < clt 8056   <_ cle 8057   / cdiv 8693   NNcn 8984   2c2 9035   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   RR+crp 9722   seqcseq 10521   ^cexp 10612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11165