Theorem resqrexlemlo 11324

Description: Lemma for resqrex 11337. A (variable) lower bound for each term of the sequence. (Contributed by Mario Carneiro and Jim Kingdon, 29-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resqrexlemex.seq	|- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
resqrexlemex.a	|- ( ph -> A e. RR )
resqrexlemex.agt0	|- ( ph -> 0 <_ A )

Assertion

Ref	Expression
resqrexlemlo	|- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )

Distinct variable groups:   y, A, z   ph, y, z

Allowed substitution hints:   F( y, z)   N( y, z)

Proof of Theorem resqrexlemlo

Dummy variables k w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5952	. . . . . 6 |- ( w = 1 -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ 1 ) )
2	1	oveq2d 5960	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) )
3		fveq2 5576	. . . . 5 |- ( w = 1 -> ( F ` w ) = ( F ` 1 ) )
4	2, 3	breq12d 4057	. . . 4 |- ( w = 1 -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = 1 -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) ) ) )
6		oveq2 5952	. . . . . 6 |- ( w = k -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ k ) )
7	6	oveq2d 5960	. . . . 5 |- ( w = k -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ k ) ) )
8		fveq2 5576	. . . . 5 |- ( w = k -> ( F ` w ) = ( F ` k ) )
9	7, 8	breq12d 4057	. . . 4 |- ( w = k -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) )
10	9	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = k -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) ) )
11		oveq2 5952	. . . . . 6 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ ( k + 1 ) ) )
12	11	oveq2d 5960	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5576	. . . . 5 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( F ` w ) = ( F ` ( k + 1 ) ) )
14	12, 13	breq12d 4057	. . . 4 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( k + 1 ) -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
16		oveq2 5952	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( 2 ^ w ) = ( 2 ^ N ) )
17	16	oveq2d 5960	. . . . 5 |- ( w = N -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) = ( 1 / ( 2 ^ N ) ) )
18		fveq2 5576	. . . . 5 |- ( w = N -> ( F ` w ) = ( F ` N ) )
19	17, 18	breq12d 4057	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) <-> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) )
20	19	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ w ) ) < ( F ` w ) ) <-> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) ) )
21		2cnd 9109	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 2 e. CC )
22	21	exp1d 10813	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) = 2 )
23		2rp 9780	. . . . . . 7 |- 2 e. RR+
24	22, 23	eqeltrdi 2296	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 2 ^ 1 ) e. RR+ )
25	24	rprecred 9830	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) e. RR )
26		1red 8087	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. RR )
27		resqrexlemex.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A e. RR )
28	26, 27	readdcld 8102	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 + A ) e. RR )
29	22	oveq2d 5960	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) = ( 1 / 2 ) )
30		halflt1 9254	. . . . . 6 |- ( 1 / 2 ) < 1
31	29, 30	eqbrtrdi 4083	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < 1 )
32		resqrexlemex.agt0	. . . . . 6 |- ( ph -> 0 <_ A )
33	26, 27	addge01d 8606	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 0 <_ A <-> 1 <_ ( 1 + A ) ) )
34	32, 33	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> 1 <_ ( 1 + A ) )
35	25, 26, 28, 31, 34	ltletrd 8496	. . . 4 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( 1 + A ) )
36		resqrexlemex.seq	. . . . 5 |- F = seq 1 ( ( y e. RR+ , z e. RR+ |-> ( ( y + ( A / y ) ) / 2 ) ) , ( NN X. { ( 1 + A ) } ) )
37	36, 27, 32	resqrexlemf1 11319	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` 1 ) = ( 1 + A ) )
38	35, 37	breqtrrd 4072	. . 3 |- ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ 1 ) ) < ( F ` 1 ) )
39	23	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 e. RR+ )
40		nnz 9391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN -> k e. ZZ )
41	40	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> k e. ZZ )
42	39, 41	rpexpcld 10842	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) e. RR+ )
43	42	rpcnd 9820	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) e. CC )
44		2cnd 9109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 e. CC )
45	42	rpap0d 9824	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ k ) # 0 )
46	39	rpap0d 9824	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> 2 # 0 )
47	43, 44, 45, 46	recdivap2d 8881	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) ) )
48		nnnn0 9302	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. NN -> k e. NN0 )
49	48	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> k e. NN0 )
50	44, 49	expp1d 10819	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 2 ^ ( k + 1 ) ) = ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) )
51	50	oveq2d 5960	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) = ( 1 / ( ( 2 ^ k ) x. 2 ) ) )
52	47, 51	eqtr4d 2241	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) = ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) )
53	42	rprecred 9830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) e. RR )
54	36, 27, 32	resqrexlemf 11318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F : NN --> RR+ )
55	54	ffvelcdmda 5715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR+ )
56	55	rpred 9818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) e. RR )
57	56	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) e. RR )
58	27	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A e. RR )
59	58, 55	rerpdivcld 9850	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( A / ( F ` k ) ) e. RR )
60	59	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( A / ( F ` k ) ) e. RR )
61	57, 60	readdcld 8102	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) e. RR )
62		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) )
63	32	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ A )
64	58, 55, 63	divge0d 9859	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( A / ( F ` k ) ) )
65	56, 59	addge01d 8606	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 0 <_ ( A / ( F ` k ) ) <-> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) ) )
66	64, 65	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` k ) <_ ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
68	53, 57, 61, 62, 67	ltletrd 8496	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) )
69	53, 61, 39, 68	ltdiv1dd 9876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) < ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
70	36, 27, 32	resqrexlemfp1 11320	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
71	70	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( F ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` k ) + ( A / ( F ` k ) ) ) / 2 ) )
72	69, 71	breqtrrd 4072	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) / 2 ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
73	52, 72	eqbrtrrd 4068	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) )
74	73	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) )
75	74	expcom 116	. . . 4 |- ( k e. NN -> ( ph -> ( ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
76	75	a2d 26	. . 3 |- ( k e. NN -> ( ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ k ) ) < ( F ` k ) ) -> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ ( k + 1 ) ) ) < ( F ` ( k + 1 ) ) ) ) )
77	5, 10, 15, 20, 38, 76	nnind 9052	. 2 |- ( N e. NN -> ( ph -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) ) )
78	77	impcom 125	1 |- ( ( ph /\ N e. NN ) -> ( 1 / ( 2 ^ N ) ) < ( F ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   {csn 3633   class class class wbr 4044   X. cxp 4673   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   e. cmpo 5946   RRcr 7924   0cc0 7925   1c1 7926   + caddc 7928   x. cmul 7930   < clt 8107   <_ cle 8108   / cdiv 8745   NNcn 9036   2c2 9087   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   RR+crp 9775   seqcseq 10592   ^cexp 10683

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-rp 9776  df-seqfrec 10593  df-exp 10684

This theorem is referenced by:  resqrexlemnm  11329