ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  facwordi Unicode version

Theorem facwordi 10614
Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
facwordi  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )

Proof of Theorem facwordi
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 3969 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  0 ) )
21anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 ) ) )
3 fveq2 5468 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  ( ! `  j )  =  ( ! ` 
0 ) )
43breq2d 3977 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  0 )
) )
52, 4imbi12d 233 . . . 4  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
0 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  0
) ) ) )
6 breq2 3969 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  k ) )
76anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k ) ) )
8 fveq2 5468 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  k ) )
98breq2d 3977 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
) )
107, 9imbi12d 233 . . . 4  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
k )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) ) ) )
11 breq2 3969 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  ( k  +  1 ) ) )
1211anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( k  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5468 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
1413breq2d 3977 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
1512, 14imbi12d 233 . . . 4  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
16 breq2 3969 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( M  <_  j  <->  M  <_  N ) )
1716anbi2d 460 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( M  e.  NN0  /\  M  <_  j )  <->  ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N ) ) )
18 fveq2 5468 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  ( ! `  j )  =  ( ! `  N ) )
1918breq2d 3977 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  j )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N )
) )
2017, 19imbi12d 233 . . . 4  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  j )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  j )
)  <->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) ) ) )
21 nn0le0eq0 9118 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  0  <->  M  = 
0 ) )
2221biimpa 294 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  ->  M  =  0 )
2322fveq2d 5472 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  -> 
( ! `  M
)  =  ( ! `
 0 ) )
24 fac0 10602 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 0 )  =  1
25 1re 7877 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
2624, 25eqeltri 2230 . . . . . 6  |-  ( ! `
 0 )  e.  RR
2726leidi 8360 . . . . 5  |-  ( ! `
 0 )  <_ 
( ! `  0
)
2823, 27eqbrtrdi 4003 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  0 )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  0 ) )
29 impexp 261 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  <->  ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
) ) )
30 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  NN0 )
3130nn0zd 9284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  ->  M  e.  ZZ )
32 peano2nn0 9130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e. 
NN0 )
3332adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN0 )
3433nn0zd 9284 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( k  +  1 )  e.  ZZ )
35 zleloe 9214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( k  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  <->  ( M  < 
( k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) ) ) )
3631, 34, 35syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( M  <  (
k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) ) ) )
37 nn0leltp1 9230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  k  <->  M  <  ( k  +  1 ) ) )
38 faccl 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  NN )
3938nnred 8846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e.  RR )
40 nn0re 9099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  k  e.  RR )
41 peano2re 8011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
4240, 41syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
4338nnnn0d 9143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  e. 
NN0 )
4443nn0ge0d 9146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  0  <_ 
( ! `  k
) )
45 nn0p1nn 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
4645nnge1d 8876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  1  <_ 
( k  +  1 ) )
4739, 42, 44, 46lemulge11d 8808 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  <_ 
( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
48 facp1 10604 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( ! `  k )  x.  (
k  +  1 ) ) )
4947, 48breqtrrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 k )  <_ 
( ! `  (
k  +  1 ) ) )
5049adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
51 faccl 10609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  NN )
5251nnred 8846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  e.  RR )
5352adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  M
)  e.  RR )
5439adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  k
)  e.  RR )
5532faccld 10610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
5655nnred 8846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( k  +  1 ) )  e.  RR )
5756adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ! `  (
k  +  1 ) )  e.  RR )
58 letr 7960 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ! `  M
)  e.  RR  /\  ( ! `  k )  e.  RR  /\  ( ! `  ( k  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  k
)  /\  ( ! `  k )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
5953, 54, 57, 58syl3anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  k
)  /\  ( ! `  k )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
6050, 59mpan2d 425 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
6160imim2d 54 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M  <_ 
k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
)  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6261com23 78 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  k  ->  ( ( M  <_ 
k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k )
)  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
6337, 62sylbird 169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <  (
k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
64 fveq2 5468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) ) )
6552leidd 8389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ! `
 M )  <_ 
( ! `  M
) )
66 breq2 3969 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  (
( ! `  M
)  <_  ( ! `  M )  <->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
6765, 66syl5ibcom 154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( ! `  M )  =  ( ! `  ( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
6864, 67syl5 32 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) )
6968adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) )
7069a1dd 48 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  =  ( k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7163, 70jaod 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( M  < 
( k  +  1 )  \/  M  =  ( k  +  1 ) )  ->  (
( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
7236, 71sylbid 149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k
) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7372ex 114 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( k  e.  NN0  ->  ( M  <_  ( k  +  1 )  ->  (
( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7473com13 80 . . . . . . . 8  |-  ( M  <_  ( k  +  1 )  ->  (
k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7574com4l 84 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( M  <_  (
k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7675a2d 26 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) ) )  ->  ( M  e. 
NN0  ->  ( M  <_ 
( k  +  1 )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
7776imp4a 347 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  ->  ( M  <_  k  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  k ) ) )  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_ 
( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
7829, 77syl5bi 151 . . . 4  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  k )  ->  ( ! `  M
)  <_  ( ! `  k ) )  -> 
( ( M  e. 
NN0  /\  M  <_  ( k  +  1 ) )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
795, 10, 15, 20, 28, 78nn0ind 9278 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  -> 
( ! `  M
)  <_  ( ! `  N ) ) )
80793impib 1183 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  M  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )
81803com12 1189 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0  /\  M  <_  N )  ->  ( ! `  M )  <_  ( ! `  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   class class class wbr 3965   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   RRcr 7731   0cc0 7732   1c1 7733    + caddc 7735    x. cmul 7737    < clt 7912    <_ cle 7913   NN0cn0 9090   ZZcz 9167   !cfa 10599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-seqfrec 10345  df-fac 10600
This theorem is referenced by:  facavg  10620
  Copyright terms: Public domain W3C validator