Theorem facwordi 10722

Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facwordi	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) )

Proof of Theorem facwordi

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( M <_ j <-> M <_ 0 ) )
2	1	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) ) )
3		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
4	3	breq2d 4017	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` 0 ) ) )
5	2, 4	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` 0 ) ) ) )
6		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( M <_ j <-> M <_ k ) )
7	6	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ k ) ) )
8		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
9	8	breq2d 4017	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) )
11		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( M <_ j <-> M <_ ( k + 1 ) ) )
12	11	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
14	13	breq2d 4017	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
15	12, 14	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
16		breq2 4009	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( M <_ j <-> M <_ N ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
18		fveq2 5517	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ! ` j ) = ( ! ` N ) )
19	18	breq2d 4017	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) ) )
20	17, 19	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) ) ) )
21		nn0le0eq0 9206	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M <_ 0 <-> M = 0 ) )
22	21	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> M = 0 )
23	22	fveq2d 5521	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> ( ! ` M ) = ( ! ` 0 ) )
24		fac0 10710	. . . . . . 7 |- ( ! ` 0 ) = 1
25		1re 7958	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
26	24, 25	eqeltri 2250	. . . . . 6 |- ( ! ` 0 ) e. RR
27	26	leidi 8444	. . . . 5 |- ( ! ` 0 ) <_ ( ! ` 0 )
28	23, 27	eqbrtrdi 4044	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` 0 ) )
29		impexp 263	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) <-> ( M e. NN0 -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) )
30		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> M e. NN0 )
31	30	nn0zd 9375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> M e. ZZ )
32		peano2nn0 9218	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
34	33	nn0zd 9375	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
35		zleloe 9302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( M <_ ( k + 1 ) <-> ( M < ( k + 1 ) \/ M = ( k + 1 ) ) ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ ( k + 1 ) <-> ( M < ( k + 1 ) \/ M = ( k + 1 ) ) ) )
37		nn0leltp1 9318	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ k <-> M < ( k + 1 ) ) )
38		faccl 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
39	38	nnred 8934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. RR )
40		nn0re 9187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
41		peano2re 8095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
43	38	nnnn0d 9231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN0 )
44	43	nn0ge0d 9234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` k ) )
45		nn0p1nn 9217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
46	45	nnge1d 8964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> 1 <_ ( k + 1 ) )
47	39, 42, 44, 46	lemulge11d 8896	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) <_ ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
48		facp1 10712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
49	47, 48	breqtrrd 4033	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
51		faccl 10717	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
52	51	nnred 8934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. RR )
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. RR )
54	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
55	32	faccld 10718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
56	55	nnred 8934	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
58		letr 8042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ! ` k ) e. RR /\ ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) /\ ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
59	53, 54, 57, 58	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) /\ ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
60	50, 59	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
61	60	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
62	61	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ k -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
63	37, 62	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M < ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
64		fveq2 5517	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M = ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
65	52	leidd 8473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` M ) )
66		breq2 4009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ! ` M ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` M ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
67	65, 66	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
68	64, 67	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN0 -> ( M = ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M = ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
70	69	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M = ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
71	63, 70	jaod 717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( M < ( k + 1 ) \/ M = ( k + 1 ) ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
72	36, 71	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
73	72	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( k e. NN0 -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
74	73	com13 80	. . . . . . . 8 |- ( M <_ ( k + 1 ) -> ( k e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
75	74	com4l 84	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
76	75	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( M e. NN0 -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) -> ( M e. NN0 -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
77	76	imp4a 349	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( M e. NN0 -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
78	29, 77	biimtrid 152	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
79	5, 10, 15, 20, 28, 78	nn0ind 9369	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) ) )
80	79	3impib 1201	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) )
81	80	3com12 1207	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   < clt 7994   <_ cle 7995   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   !cfa 10707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448  df-fac 10708

This theorem is referenced by:  facavg  10728