Theorem facwordi 10719

Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facwordi	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) )

Proof of Theorem facwordi

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4007	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( M <_ j <-> M <_ 0 ) )
2	1	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) ) )
3		fveq2 5515	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
4	3	breq2d 4015	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` 0 ) ) )
5	2, 4	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` 0 ) ) ) )
6		breq2 4007	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( M <_ j <-> M <_ k ) )
7	6	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ k ) ) )
8		fveq2 5515	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
9	8	breq2d 4015	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) )
11		breq2 4007	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( M <_ j <-> M <_ ( k + 1 ) ) )
12	11	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5515	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
14	13	breq2d 4015	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
15	12, 14	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
16		breq2 4007	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( M <_ j <-> M <_ N ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
18		fveq2 5515	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ! ` j ) = ( ! ` N ) )
19	18	breq2d 4015	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) ) )
20	17, 19	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) ) ) )
21		nn0le0eq0 9203	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M <_ 0 <-> M = 0 ) )
22	21	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> M = 0 )
23	22	fveq2d 5519	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> ( ! ` M ) = ( ! ` 0 ) )
24		fac0 10707	. . . . . . 7 |- ( ! ` 0 ) = 1
25		1re 7955	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
26	24, 25	eqeltri 2250	. . . . . 6 |- ( ! ` 0 ) e. RR
27	26	leidi 8441	. . . . 5 |- ( ! ` 0 ) <_ ( ! ` 0 )
28	23, 27	eqbrtrdi 4042	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` 0 ) )
29		impexp 263	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) <-> ( M e. NN0 -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) )
30		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> M e. NN0 )
31	30	nn0zd 9372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> M e. ZZ )
32		peano2nn0 9215	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
34	33	nn0zd 9372	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
35		zleloe 9299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( M <_ ( k + 1 ) <-> ( M < ( k + 1 ) \/ M = ( k + 1 ) ) ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ ( k + 1 ) <-> ( M < ( k + 1 ) \/ M = ( k + 1 ) ) ) )
37		nn0leltp1 9315	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ k <-> M < ( k + 1 ) ) )
38		faccl 10714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
39	38	nnred 8931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. RR )
40		nn0re 9184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
41		peano2re 8092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
43	38	nnnn0d 9228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN0 )
44	43	nn0ge0d 9231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` k ) )
45		nn0p1nn 9214	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
46	45	nnge1d 8961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> 1 <_ ( k + 1 ) )
47	39, 42, 44, 46	lemulge11d 8893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) <_ ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
48		facp1 10709	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
49	47, 48	breqtrrd 4031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
51		faccl 10714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
52	51	nnred 8931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. RR )
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. RR )
54	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
55	32	faccld 10715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
56	55	nnred 8931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
58		letr 8039	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ! ` k ) e. RR /\ ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) /\ ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
59	53, 54, 57, 58	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) /\ ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
60	50, 59	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
61	60	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
62	61	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ k -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
63	37, 62	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M < ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
64		fveq2 5515	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M = ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
65	52	leidd 8470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` M ) )
66		breq2 4007	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ! ` M ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` M ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
67	65, 66	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
68	64, 67	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN0 -> ( M = ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M = ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
70	69	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M = ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
71	63, 70	jaod 717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( M < ( k + 1 ) \/ M = ( k + 1 ) ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
72	36, 71	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
73	72	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( k e. NN0 -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
74	73	com13 80	. . . . . . . 8 |- ( M <_ ( k + 1 ) -> ( k e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
75	74	com4l 84	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
76	75	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( M e. NN0 -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) -> ( M e. NN0 -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
77	76	imp4a 349	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( M e. NN0 -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
78	29, 77	biimtrid 152	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
79	5, 10, 15, 20, 28, 78	nn0ind 9366	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) ) )
80	79	3impib 1201	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) )
81	80	3com12 1207	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4003   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   RRcr 7809   0cc0 7810   1c1 7811   + caddc 7813   x. cmul 7815   < clt 7991   <_ cle 7992   NN0cn0 9175   ZZcz 9252   !cfa 10704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-seqfrec 10445  df-fac 10705

This theorem is referenced by:  facavg  10725