Theorem facwordi 11127

Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facwordi	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) )

Proof of Theorem facwordi

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4118	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( M <_ j <-> M <_ 0 ) )
2	1	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) ) )
3		fveq2 5675	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
4	3	breq2d 4126	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` 0 ) ) )
5	2, 4	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` 0 ) ) ) )
6		breq2 4118	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( M <_ j <-> M <_ k ) )
7	6	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ k ) ) )
8		fveq2 5675	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
9	8	breq2d 4126	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) )
10	7, 9	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) )
11		breq2 4118	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( M <_ j <-> M <_ ( k + 1 ) ) )
12	11	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5675	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
14	13	breq2d 4126	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
15	12, 14	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
16		breq2 4118	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( M <_ j <-> M <_ N ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
18		fveq2 5675	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ! ` j ) = ( ! ` N ) )
19	18	breq2d 4126	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) ) )
20	17, 19	imbi12d 234	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) ) ) )
21		nn0le0eq0 9541	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M <_ 0 <-> M = 0 ) )
22	21	biimpa 296	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> M = 0 )
23	22	fveq2d 5679	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> ( ! ` M ) = ( ! ` 0 ) )
24		fac0 11115	. . . . . . 7 |- ( ! ` 0 ) = 1
25		1re 8289	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
26	24, 25	eqeltri 2307	. . . . . 6 |- ( ! ` 0 ) e. RR
27	26	leidi 8776	. . . . 5 |- ( ! ` 0 ) <_ ( ! ` 0 )
28	23, 27	eqbrtrdi 4153	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` 0 ) )
29		impexp 263	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) <-> ( M e. NN0 -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) )
30		simpl 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> M e. NN0 )
31	30	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> M e. ZZ )
32		peano2nn0 9553	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
33	32	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
34	33	nn0zd 9716	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
35		zleloe 9641	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( M <_ ( k + 1 ) <-> ( M < ( k + 1 ) \/ M = ( k + 1 ) ) ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ ( k + 1 ) <-> ( M < ( k + 1 ) \/ M = ( k + 1 ) ) ) )
37		nn0leltp1 9658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ k <-> M < ( k + 1 ) ) )
38		faccl 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
39	38	nnred 9267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. RR )
40		nn0re 9522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
41		peano2re 8425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
43	38	nnnn0d 9570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN0 )
44	43	nn0ge0d 9573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` k ) )
45		nn0p1nn 9552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
46	45	nnge1d 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> 1 <_ ( k + 1 ) )
47	39, 42, 44, 46	lemulge11d 9228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) <_ ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
48		facp1 11117	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
49	47, 48	breqtrrd 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
50	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
51		faccl 11122	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
52	51	nnred 9267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. RR )
53	52	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. RR )
54	39	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
55	32	faccld 11123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
56	55	nnred 9267	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
58		letr 8372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ! ` k ) e. RR /\ ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) /\ ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
59	53, 54, 57, 58	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) /\ ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
60	50, 59	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
61	60	imim2d 54	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
62	61	com23 78	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ k -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
63	37, 62	sylbird 170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M < ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
64		fveq2 5675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M = ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
65	52	leidd 8805	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` M ) )
66		breq2 4118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ! ` M ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` M ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
67	65, 66	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
68	64, 67	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN0 -> ( M = ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
69	68	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M = ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
70	69	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M = ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
71	63, 70	jaod 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( M < ( k + 1 ) \/ M = ( k + 1 ) ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
72	36, 71	sylbid 150	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
73	72	ex 115	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( k e. NN0 -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
74	73	com13 80	. . . . . . . 8 |- ( M <_ ( k + 1 ) -> ( k e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
75	74	com4l 84	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
76	75	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( M e. NN0 -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) -> ( M e. NN0 -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
77	76	imp4a 349	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( M e. NN0 -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
78	29, 77	biimtrid 152	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
79	5, 10, 15, 20, 28, 78	nn0ind 9710	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) ) )
80	79	3impib 1228	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) )
81	80	3com12 1234	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4114   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   RRcr 8142   0cc0 8143   1c1 8144   + caddc 8146   x. cmul 8148   < clt 8324   <_ cle 8325   NN0cn0 9513   ZZcz 9594   !cfa 11112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-fac 11113

This theorem is referenced by:  facavg  11133