ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ledivnn Unicode version

Theorem nn0ledivnn 9207
Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0ledivnn  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  <_  A )

Proof of Theorem nn0ledivnn
StepHypRef Expression
1 elnn0 8645 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
2 nnge1 8417 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  1  <_  B )
32adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  1  <_  B )
4 nnrp 9112 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
5 nnledivrp 9206 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 1  <_  B  <->  ( A  /  B )  <_  A ) )
64, 5sylan2 280 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  <_  B  <->  ( A  /  B )  <_  A ) )
73, 6mpbid 145 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  <_  A )
87ex 113 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A ) )
9 nncn 8402 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
10 nnap0 8423 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  B #  0 )
119, 10jca 300 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )
1211adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )
13 div0ap 8143 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
0  /  B )  =  0 )
1412, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  /  B )  =  0 )
15 0le0 8482 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
1614, 15syl6eqbr 3874 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  /  B )  <_  0
)
17 oveq1 5641 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( A  /  B )  =  ( 0  /  B
) )
18 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  A  =  0 )
1917, 18breq12d 3850 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
( A  /  B
)  <_  A  <->  ( 0  /  B )  <_ 
0 ) )
2019adantr 270 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  <_  A 
<->  ( 0  /  B
)  <_  0 ) )
2116, 20mpbird 165 . . . . 5  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B )  <_  A
)
2221ex 113 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A ) )
238, 22jaoi 671 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0 )  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A
) )
241, 23sylbi 119 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A ) )
2524imp 122 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    = wceq 1289    e. wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634   CCcc 7327   0cc0 7329   1c1 7330    <_ cle 7502   # cap 8034    / cdiv 8113   NNcn 8394   NN0cn0 8643   RR+crp 9103
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-n0 8644  df-rp 9104
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator