ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ledivnn Unicode version

Theorem nn0ledivnn 9780
Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0ledivnn  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  <_  A )

Proof of Theorem nn0ledivnn
StepHypRef Expression
1 elnn0 9191 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
2 nnge1 8955 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  1  <_  B )
32adantl 277 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  1  <_  B )
4 nnrp 9676 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
5 nnledivrp 9779 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 1  <_  B  <->  ( A  /  B )  <_  A ) )
64, 5sylan2 286 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  <_  B  <->  ( A  /  B )  <_  A ) )
73, 6mpbid 147 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  <_  A )
87ex 115 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A ) )
9 nncn 8940 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
10 nnap0 8961 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  B #  0 )
119, 10jca 306 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )
1211adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )
13 div0ap 8672 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
0  /  B )  =  0 )
1412, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  /  B )  =  0 )
15 0le0 9021 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
1614, 15eqbrtrdi 4054 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  /  B )  <_  0
)
17 oveq1 5895 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( A  /  B )  =  ( 0  /  B
) )
18 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  A  =  0 )
1917, 18breq12d 4028 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
( A  /  B
)  <_  A  <->  ( 0  /  B )  <_ 
0 ) )
2019adantr 276 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  <_  A 
<->  ( 0  /  B
)  <_  0 ) )
2116, 20mpbird 167 . . . . 5  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B )  <_  A
)
2221ex 115 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A ) )
238, 22jaoi 717 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0 )  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A
) )
241, 23sylbi 121 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A ) )
2524imp 124 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    \/ wo 709    = wceq 1363    e. wcel 2158   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888   CCcc 7822   0cc0 7824   1c1 7825    <_ cle 8006   # cap 8551    / cdiv 8642   NNcn 8932   NN0cn0 9189   RR+crp 9666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-n0 9190  df-rp 9667
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator