ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ledivnn Unicode version

Theorem nn0ledivnn 9441
Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
nn0ledivnn  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  <_  A )

Proof of Theorem nn0ledivnn
StepHypRef Expression
1 elnn0 8877 . . 3  |-  ( A  e.  NN0  <->  ( A  e.  NN  \/  A  =  0 ) )
2 nnge1 8647 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  1  <_  B )
32adantl 273 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  1  <_  B )
4 nnrp 9346 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
5 nnledivrp 9440 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( 1  <_  B  <->  ( A  /  B )  <_  A ) )
64, 5sylan2 282 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  <_  B  <->  ( A  /  B )  <_  A ) )
73, 6mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  <_  A )
87ex 114 . . . 4  |-  ( A  e.  NN  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A ) )
9 nncn 8632 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  CC )
10 nnap0 8653 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  NN  ->  B #  0 )
119, 10jca 302 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  NN  ->  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )
1211adantl 273 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  e.  CC  /\  B #  0 ) )
13 div0ap 8369 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B #  0 )  ->  (
0  /  B )  =  0 )
1412, 13syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  /  B )  =  0 )
15 0le0 8713 . . . . . . 7  |-  0  <_  0
1614, 15syl6eqbr 3930 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 0  /  B )  <_  0
)
17 oveq1 5733 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  ( A  /  B )  =  ( 0  /  B
) )
18 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  0  ->  A  =  0 )
1917, 18breq12d 3906 . . . . . . 7  |-  ( A  =  0  ->  (
( A  /  B
)  <_  A  <->  ( 0  /  B )  <_ 
0 ) )
2019adantr 272 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( ( A  /  B )  <_  A 
<->  ( 0  /  B
)  <_  0 ) )
2116, 20mpbird 166 . . . . 5  |-  ( ( A  =  0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B )  <_  A
)
2221ex 114 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A ) )
238, 22jaoi 688 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN  \/  A  =  0 )  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A
) )
241, 23sylbi 120 . 2  |-  ( A  e.  NN0  ->  ( B  e.  NN  ->  ( A  /  B )  <_  A ) )
2524imp 123 1  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 680    = wceq 1312    e. wcel 1461   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726   CCcc 7539   0cc0 7541   1c1 7542    <_ cle 7719   # cap 8255    / cdiv 8339   NNcn 8624   NN0cn0 8875   RR+crp 9337
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-n0 8876  df-rp 9338
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator