Theorem nn0ledivnn 10001

Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ledivnn	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )

Proof of Theorem nn0ledivnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9403	. . 3 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
2		nnge1 9165	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> 1 <_ B )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 1 <_ B )
4		nnrp 9897	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
5		nnledivrp 10000	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )
6	4, 5	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )
7	3, 6	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )
8	7	ex 115	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
9		nncn 9150	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> B e. CC )
10		nnap0 9171	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> B # 0 )
11	9, 10	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
13		div0ap 8881	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ B # 0 ) -> ( 0 / B ) = 0 )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( 0 / B ) = 0 )
15		0le0 9231	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
16	14, 15	eqbrtrdi 4127	. . . . . 6 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( 0 / B ) <_ 0 )
17		oveq1 6024	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> ( A / B ) = ( 0 / B ) )
18		id 19	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> A = 0 )
19	17, 18	breq12d 4101	. . . . . . 7 |- ( A = 0 -> ( ( A / B ) <_ A <-> ( 0 / B ) <_ 0 ) )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) <_ A <-> ( 0 / B ) <_ 0 ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )
22	21	ex 115	. . . 4 |- ( A = 0 -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
23	8, 22	jaoi 723	. . 3 |- ( ( A e. NN \/ A = 0 ) -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
24	1, 23	sylbi 121	. 2 |- ( A e. NN0 -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
25	24	imp 124	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   CCcc 8029   0cc0 8031   1c1 8032   <_ cle 8214   # cap 8760   / cdiv 8851   NNcn 9142   NN0cn0 9401   RR+crp 9887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-n0 9402  df-rp 9888

This theorem is referenced by:  2lgslem1c  15818