Theorem nn0ledivnn 9823

Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ledivnn	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )

Proof of Theorem nn0ledivnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9232	. . 3 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
2		nnge1 8995	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> 1 <_ B )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 1 <_ B )
4		nnrp 9719	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
5		nnledivrp 9822	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )
6	4, 5	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )
7	3, 6	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )
8	7	ex 115	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
9		nncn 8980	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> B e. CC )
10		nnap0 9001	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> B # 0 )
11	9, 10	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
13		div0ap 8711	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ B # 0 ) -> ( 0 / B ) = 0 )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( 0 / B ) = 0 )
15		0le0 9061	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
16	14, 15	eqbrtrdi 4068	. . . . . 6 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( 0 / B ) <_ 0 )
17		oveq1 5917	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> ( A / B ) = ( 0 / B ) )
18		id 19	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> A = 0 )
19	17, 18	breq12d 4042	. . . . . . 7 |- ( A = 0 -> ( ( A / B ) <_ A <-> ( 0 / B ) <_ 0 ) )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) <_ A <-> ( 0 / B ) <_ 0 ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )
22	21	ex 115	. . . 4 |- ( A = 0 -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
23	8, 22	jaoi 717	. . 3 |- ( ( A e. NN \/ A = 0 ) -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
24	1, 23	sylbi 121	. 2 |- ( A e. NN0 -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
25	24	imp 124	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029  (class class class)co 5910   CCcc 7860   0cc0 7862   1c1 7863   <_ cle 8045   # cap 8590   / cdiv 8681   NNcn 8972   NN0cn0 9230   RR+crp 9709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-mulrcl 7961  ax-addcom 7962  ax-mulcom 7963  ax-addass 7964  ax-mulass 7965  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-1rid 7969  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-precex 7972  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-apti 7977  ax-pre-ltadd 7978  ax-pre-mulgt0 7979  ax-pre-mulext 7980

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4322  df-po 4325  df-iso 4326  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-reap 8584  df-ap 8591  df-div 8682  df-inn 8973  df-n0 9231  df-rp 9710

This theorem is referenced by: (None)