Theorem nn0ledivnn 9844

Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ledivnn	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )

Proof of Theorem nn0ledivnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9253	. . 3 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
2		nnge1 9015	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> 1 <_ B )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 1 <_ B )
4		nnrp 9740	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
5		nnledivrp 9843	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )
6	4, 5	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )
7	3, 6	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )
8	7	ex 115	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
9		nncn 9000	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> B e. CC )
10		nnap0 9021	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> B # 0 )
11	9, 10	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
13		div0ap 8731	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ B # 0 ) -> ( 0 / B ) = 0 )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( 0 / B ) = 0 )
15		0le0 9081	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
16	14, 15	eqbrtrdi 4073	. . . . . 6 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( 0 / B ) <_ 0 )
17		oveq1 5930	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> ( A / B ) = ( 0 / B ) )
18		id 19	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> A = 0 )
19	17, 18	breq12d 4047	. . . . . . 7 |- ( A = 0 -> ( ( A / B ) <_ A <-> ( 0 / B ) <_ 0 ) )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) <_ A <-> ( 0 / B ) <_ 0 ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )
22	21	ex 115	. . . 4 |- ( A = 0 -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
23	8, 22	jaoi 717	. . 3 |- ( ( A e. NN \/ A = 0 ) -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
24	1, 23	sylbi 121	. 2 |- ( A e. NN0 -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
25	24	imp 124	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034  (class class class)co 5923   CCcc 7879   0cc0 7881   1c1 7882   <_ cle 8064   # cap 8610   / cdiv 8701   NNcn 8992   NN0cn0 9251   RR+crp 9730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-n0 9252  df-rp 9731

This theorem is referenced by:  2lgslem1c  15341