Theorem nn0ledivnn 10147

Description: Division of a nonnegative integer by a positive integer is less than or equal to the integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nn0ledivnn	|- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )

Proof of Theorem nn0ledivnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9544	. . 3 |- ( A e. NN0 <-> ( A e. NN \/ A = 0 ) )
2		nnge1 9306	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> 1 <_ B )
3	2	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> 1 <_ B )
4		nnrp 10043	. . . . . . 7 |- ( B e. NN -> B e. RR+ )
5		nnledivrp 10146	. . . . . . 7 |- ( ( A e. NN /\ B e. RR+ ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )
6	4, 5	sylan2 286	. . . . . 6 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( 1 <_ B <-> ( A / B ) <_ A ) )
7	3, 6	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( A e. NN /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )
8	7	ex 115	. . . 4 |- ( A e. NN -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
9		nncn 9291	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> B e. CC )
10		nnap0 9312	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. NN -> B # 0 )
11	9, 10	jca 306	. . . . . . . . 9 |- ( B e. NN -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
12	11	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( B e. CC /\ B # 0 ) )
13		div0ap 9022	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. CC /\ B # 0 ) -> ( 0 / B ) = 0 )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( 0 / B ) = 0 )
15		0le0 9372	. . . . . . 7 |- 0 <_ 0
16	14, 15	eqbrtrdi 4164	. . . . . 6 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( 0 / B ) <_ 0 )
17		oveq1 6082	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> ( A / B ) = ( 0 / B ) )
18		id 19	. . . . . . . 8 |- ( A = 0 -> A = 0 )
19	17, 18	breq12d 4138	. . . . . . 7 |- ( A = 0 -> ( ( A / B ) <_ A <-> ( 0 / B ) <_ 0 ) )
20	19	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( ( A / B ) <_ A <-> ( 0 / B ) <_ 0 ) )
21	16, 20	mpbird 167	. . . . 5 |- ( ( A = 0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )
22	21	ex 115	. . . 4 |- ( A = 0 -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
23	8, 22	jaoi 728	. . 3 |- ( ( A e. NN \/ A = 0 ) -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
24	1, 23	sylbi 121	. 2 |- ( A e. NN0 -> ( B e. NN -> ( A / B ) <_ A ) )
25	24	imp 124	1 |- ( ( A e. NN0 /\ B e. NN ) -> ( A / B ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   <_ cle 8351   # cap 8899   / cdiv 8992   NNcn 9283   NN0cn0 9542   RR+crp 10033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-n0 9543  df-rp 10034

This theorem is referenced by:  2lgslem1c  16123