Theorem rpabscxpbnd 13653

Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpabscxpbnd.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
abscxpbnd.2	|- ( ph -> B e. CC )
rpabscxpbnd.3	|- ( ph -> 0 < ( Re ` B ) )
abscxpbnd.4	|- ( ph -> M e. RR )
abscxpbnd.5	|- ( ph -> ( abs ` A ) <_ M )

Assertion

Ref	Expression
rpabscxpbnd	|- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )

Proof of Theorem rpabscxpbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpabscxpbnd.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		abscxpbnd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
3		rpcxpef 13609	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
5	4	fveq2d 5500	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
6	1	relogcld 13597	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` A ) e. RR )
7	6	recnd 7948	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` A ) e. CC )
8	2, 7	mulcld 7940	. . . 4 |- ( ph -> ( B x. ( log ` A ) ) e. CC )
9		absef 11732	. . . 4 |- ( ( B x. ( log ` A ) ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
11	2	recld 10902	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. RR )
12	7	recld 10902	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) e. RR )
13	11, 12	remulcld 7950	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
14	13	recnd 7948	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
15	2	imcld 10903	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Im ` B ) e. RR )
16	7	imcld 10903	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
17	16	renegcld 8299	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
18	15, 17	remulcld 7950	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
19	18	recnd 7948	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
20		efadd 11638	. . . . 5 |- ( ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. CC /\ ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
21	14, 19, 20	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
22	15, 16	remulcld 7950	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
23	22	recnd 7948	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
24	14, 23	negsubd 8236	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) - ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
25	15	recnd 7948	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` B ) e. CC )
26	16	recnd 7948	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
27	25, 26	mulneg2d 8331	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
28	27	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
29	2, 7	remuld 10927	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) - ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
30	24, 28, 29	3eqtr4d 2213	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
31	30	fveq2d 5500	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
32	6	rered 10933	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) = ( log ` A ) )
33	1	rpred 9653	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
34	1	rpge0d 9657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
35	33, 34	absidd 11131	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` A ) = A )
36	35	fveq2d 5500	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` ( abs ` A ) ) = ( log ` A ) )
37	32, 36	eqtr4d 2206	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) = ( log ` ( abs ` A ) ) )
38	37	oveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) = ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) )
39	38	fveq2d 5500	. . . . . 6 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
40	35, 1	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
41	11	recnd 7948	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. CC )
42		rpcxpef 13609	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ ( Re ` B ) e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
43	40, 41, 42	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
44	39, 43	eqtr4d 2206	. . . . 5 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) )
45	44	oveq1d 5868	. . . 4 |- ( ph -> ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
46	21, 31, 45	3eqtr3d 2211	. . 3 |- ( ph -> ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
47	5, 10, 46	3eqtrd 2207	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
48	40, 11	rpcxpcld 13646	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) e. RR+ )
49	48	rpred 9653	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
50	18	reefcld 11632	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
51	49, 50	remulcld 7950	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) e. RR )
52		abscxpbnd.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
53		abscxpbnd.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ M )
54	52, 40, 53	rpgecld 9693	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
55	54, 11	rpcxpcld 13646	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR+ )
56	55	rpred 9653	. . . 4 |- ( ph -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
57	56, 50	remulcld 7950	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) e. RR )
58	2	abscld 11145	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` B ) e. RR )
59		pire 13501	. . . . . 6 |- pi e. RR
60		remulcl 7902	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
61	58, 59, 60	sylancl 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
62	61	reefcld 11632	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) e. RR )
63	56, 62	remulcld 7950	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) e. RR )
64	18	rpefcld 11649	. . . . 5 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR+ )
65	64	rpge0d 9657	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
66	1	rpcnd 9655	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
67	1	rpap0d 9659	. . . . . . 7 |- ( ph -> A # 0 )
68	66, 67	absrpclapd 11152	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
69	52, 68, 53	rpgecld 9693	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
70		rpabscxpbnd.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < ( Re ` B ) )
71	11, 70	elrpd 9650	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. RR+ )
72		rpcxple2 13632	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ M e. RR+ /\ ( Re ` B ) e. RR+ ) -> ( ( abs ` A ) <_ M <-> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) ) )
73	68, 69, 71, 72	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) <_ M <-> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) ) )
74	53, 73	mpbid 146	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
75	49, 56, 50, 65, 74	lemul1ad 8855	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
76	55	rpge0d 9657	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
77	25	abscld 11145	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR )
78	17	recnd 7948	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
79	78	abscld 11145	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
80	77, 79	remulcld 7950	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
81	18	leabsd 11125	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( abs ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
82	25, 78	absmuld 11158	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
83	81, 82	breqtrd 4015	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
84	58, 79	remulcld 7950	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
85	78	absge0d 11148	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
86		absimle 11048	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( Im ` B ) ) <_ ( abs ` B ) )
87	2, 86	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` B ) ) <_ ( abs ` B ) )
88	77, 58, 79, 85, 87	lemul1ad 8855	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
89	59	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> pi e. RR )
90	2	absge0d 11148	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` B ) )
91	26	absnegd 11153	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
92	59	renegcli 8181	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
93		0re 7920	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
94		pipos 13503	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < pi
95		lt0neg2 8388	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi e. RR -> ( 0 < pi <-> -u pi < 0 ) )
96	59, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 < pi <-> -u pi < 0 )
97	94, 96	mpbi 144	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi < 0
98	92, 93, 97	ltleii 8022	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi <_ 0
99	6	reim0d 10934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) = 0 )
100	98, 99	breqtrrid 4027	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) )
101	93, 59, 94	ltleii 8022	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ pi
102	99, 101	eqbrtrdi 4028	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
103		absle 11053	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
104	16, 59, 103	sylancl 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
105	100, 102, 104	mpbir2and 939	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
106	91, 105	eqbrtrd 4011	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
107	79, 89, 58, 90, 106	lemul2ad 8856	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
108	80, 84, 61, 88, 107	letrd 8043	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
109	18, 80, 61, 83, 108	letrd 8043	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
110		efle 13491	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) <-> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
111	18, 61, 110	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) <-> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
112	109, 111	mpbid 146	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) )
113	50, 62, 56, 76, 112	lemul2ad 8856	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
114	51, 57, 63, 75, 113	letrd 8043	. 2 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
115	47, 114	eqbrtrd 4011	1 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   CCcc 7772   RRcr 7773   0cc0 7774   + caddc 7777   x. cmul 7779   < clt 7954   <_ cle 7955   - cmin 8090   -ucneg 8091   RR+crp 9610   Recre 10804   Imcim 10805   abscabs 10961   expce 11605   picpi 11610   logclog 13571   ^c ccxp 13572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-pre-suploc 7895  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-7 8942  df-8 8943  df-9 8944  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ioo 9849  df-ioc 9850  df-ico 9851  df-icc 9852  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-e 11612  df-sin 11613  df-cos 11614  df-pi 11616  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420  df-relog 13573  df-rpcxp 13574

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