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Theorem rpabscxpbnd 13052
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
rpabscxpbnd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
abscxpbnd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
rpabscxpbnd.3  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  B ) )
abscxpbnd.4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
abscxpbnd.5  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  M )
Assertion
Ref Expression
rpabscxpbnd  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )

Proof of Theorem rpabscxpbnd
StepHypRef Expression
1 rpabscxpbnd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
2 abscxpbnd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 rpcxpef 13009 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  ^c  B )  =  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
41, 2, 3syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  ^c  B )  =  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A
) ) ) )
54fveq2d 5428 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  =  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
61relogcld 12997 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  RR )
76recnd 7813 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( log `  A
)  e.  CC )
82, 7mulcld 7805 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC )
9 absef 11499 . . . 4  |-  ( ( B  x.  ( log `  A ) )  e.  CC  ->  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) ) )
108, 9syl 14 . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( exp `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )  =  ( exp `  (
Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
112recld 10734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
127recld 10734 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( log `  A ) )  e.  RR )
1311, 12remulcld 7815 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
1413recnd 7813 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
152imcld 10735 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
167imcld 10735 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
1716renegcld 8161 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR )
1815, 17remulcld 7815 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
1918recnd 7813 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
20 efadd 11405 . . . . 5  |-  ( ( ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  e.  CC  /\  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )  -> 
( exp `  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
2114, 19, 20syl2anc 408 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
2215, 16remulcld 7815 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  B )  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
2322recnd 7813 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  B )  x.  (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  CC )
2414, 23negsubd 8098 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  -u (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  -  (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) ) )
2515recnd 7813 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
2616recnd 7813 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
2725, 26mulneg2d 8193 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  -u ( ( Im
`  B )  x.  ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
2827oveq2d 5793 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im `  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  -u (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) ) )
292, 7remuld 10759 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  -  (
( Im `  B
)  x.  ( Im
`  ( log `  A
) ) ) ) )
3024, 28, 293eqtr4d 2182 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  B )  x.  ( Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im `  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( Re `  ( B  x.  ( log `  A ) ) ) )
3130fveq2d 5428 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  +  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( exp `  (
Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) ) ) )
326rered 10765 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  A
) )
331rpred 9506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
341rpge0d 9510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  A )
3533, 34absidd 10963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  =  A )
3635fveq2d 5428 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( log `  ( abs `  A ) )  =  ( log `  A
) )
3732, 36eqtr4d 2175 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( log `  A ) )  =  ( log `  ( abs `  A ) ) )
3837oveq2d 5793 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  B )  x.  (
Re `  ( log `  A ) ) )  =  ( ( Re
`  B )  x.  ( log `  ( abs `  A ) ) ) )
3938fveq2d 5428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  =  ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) ) )
4035, 1eqeltrd 2216 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR+ )
4111recnd 7813 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
42 rpcxpef 13009 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR+  /\  (
Re `  B )  e.  CC )  ->  (
( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  =  ( exp `  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) ) )
4340, 41, 42syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  =  ( exp `  ( ( Re `  B )  x.  ( log `  ( abs `  A
) ) ) ) )
4439, 43eqtr4d 2175 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  =  ( ( abs `  A )  ^c 
( Re `  B
) ) )
4544oveq1d 5792 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( exp `  (
( Re `  B
)  x.  ( Re
`  ( log `  A
) ) ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
4621, 31, 453eqtr3d 2180 . . 3  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
Re `  ( B  x.  ( log `  A
) ) ) )  =  ( ( ( abs `  A )  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
475, 10, 463eqtrd 2176 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  =  ( ( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
4840, 11rpcxpcld 13046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  e.  RR+ )
4948rpred 9506 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  e.  RR )
5018reefcld 11399 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
5149, 50remulcld 7815 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
52 abscxpbnd.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
53 abscxpbnd.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  <_  M )
5452, 40, 53rpgecld 9546 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
5554, 11rpcxpcld 13046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M  ^c 
( Re `  B
) )  e.  RR+ )
5655rpred 9506 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M  ^c 
( Re `  B
) )  e.  RR )
5756, 50remulcld 7815 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  e.  RR )
582abscld 10977 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  B
)  e.  RR )
59 pire 12901 . . . . . 6  |-  pi  e.  RR
60 remulcl 7767 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  B
)  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  -> 
( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
6158, 59, 60sylancl 409 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )
6261reefcld 11399 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) )  e.  RR )
6356, 62remulcld 7815 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) )  e.  RR )
6418rpefcld 11416 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR+ )
6564rpge0d 9510 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
661rpcnd 9508 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
671rpap0d 9512 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A #  0 )
6866, 67absrpclapd 10984 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  A
)  e.  RR+ )
6952, 68, 53rpgecld 9546 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
70 rpabscxpbnd.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <  ( Re
`  B ) )
7111, 70elrpd 9503 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Re `  B
)  e.  RR+ )
72 rpcxple2 13032 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  RR+  /\  M  e.  RR+  /\  ( Re
`  B )  e.  RR+ )  ->  ( ( abs `  A )  <_  M  <->  ( ( abs `  A )  ^c  ( Re `  B ) )  <_ 
( M  ^c 
( Re `  B
) ) ) )
7368, 69, 71, 72syl3anc 1216 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  <_  M  <->  ( ( abs `  A )  ^c  ( Re `  B ) )  <_ 
( M  ^c 
( Re `  B
) ) ) )
7453, 73mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  A
)  ^c  ( Re `  B ) )  <_  ( M  ^c  ( Re `  B ) ) )
7549, 56, 50, 65, 74lemul1ad 8716 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_ 
( ( M  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) ) )
7655rpge0d 9510 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <_  ( M  ^c  ( Re `  B ) ) )
7725abscld 10977 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  B )
)  e.  RR )
7817recnd 7813 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
-u ( Im `  ( log `  A ) )  e.  CC )
7978abscld 10977 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR )
8077, 79remulcld 7815 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
8118leabsd 10957 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( abs `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
8225, 78absmuld 10990 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( Im
`  B ) )  x.  ( abs `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
8381, 82breqtrd 3957 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  ( Im `  B
) )  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
8458, 79remulcld 7815 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  e.  RR )
8578absge0d 10980 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )
86 absimle 10880 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  B ) )  <_ 
( abs `  B
) )
872, 86syl 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  B )
)  <_  ( abs `  B ) )
8877, 58, 79, 85, 87lemul1ad 8716 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )
8959a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  pi  e.  RR )
902absge0d 10980 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  B ) )
9126absnegd 10985 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  =  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) ) )
9259renegcli 8043 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  e.  RR
93 0re 7785 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
94 pipos 12903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  pi
95 lt0neg2 8250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( pi  e.  RR  ->  (
0  <  pi  <->  -u pi  <  0 ) )
9659, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  <  pi  <->  -u pi  <  0 )
9794, 96mpbi 144 . . . . . . . . . . . 12  |-  -u pi  <  0
9892, 93, 97ltleii 7885 . . . . . . . . . . 11  |-  -u pi  <_  0
996reim0d 10766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  =  0 )
10098, 99breqtrrid 3969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u pi  <_  (
Im `  ( log `  A ) ) )
10193, 59, 94ltleii 7885 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  pi
10299, 101eqbrtrdi 3970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
103 absle 10885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Im `  ( log `  A ) )  e.  RR  /\  pi  e.  RR )  ->  (
( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
10416, 59, 103sylancl 409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi  <->  ( -u pi  <_  ( Im `  ( log `  A ) )  /\  ( Im `  ( log `  A ) )  <_  pi )
) )
105100, 102, 104mpbir2and 928 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
10691, 105eqbrtrd 3953 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  pi )
10779, 89, 58, 90, 106lemul2ad 8717 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  B
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  pi ) )
10880, 84, 61, 88, 107letrd 7905 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
Im `  B )
)  x.  ( abs `  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_ 
( ( abs `  B
)  x.  pi ) )
10918, 80, 61, 83, 108letrd 7905 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi ) )
110 efle 12892 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) )  e.  RR  /\  (
( abs `  B
)  x.  pi )  e.  RR )  -> 
( ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi )  <->  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
11118, 61, 110syl2anc 408 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) )  <_  ( ( abs `  B )  x.  pi )  <->  ( exp `  ( ( Im `  B )  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
112109, 111mpbid 146 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) )  <_  ( exp `  ( ( abs `  B
)  x.  pi ) ) )
11350, 62, 56, 76, 112lemul2ad 8717 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( M  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( Im `  B
)  x.  -u (
Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_  (
( M  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( abs `  B )  x.  pi ) ) ) )
11451, 57, 63, 75, 113letrd 7905 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  A )  ^c 
( Re `  B
) )  x.  ( exp `  ( ( Im
`  B )  x.  -u ( Im `  ( log `  A ) ) ) ) )  <_ 
( ( M  ^c  ( Re `  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
11547, 114eqbrtrd 3953 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  ^c  B ) )  <_  ( ( M  ^c  ( Re
`  B ) )  x.  ( exp `  (
( abs `  B
)  x.  pi ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3932   ` cfv 5126  (class class class)co 5777   CCcc 7637   RRcr 7638   0cc0 7639    + caddc 7642    x. cmul 7644    < clt 7819    <_ cle 7820    - cmin 7952   -ucneg 7953   RR+crp 9463   Recre 10636   Imcim 10637   abscabs 10793   expce 11372   picpi 11377   logclog 12971    ^c ccxp 12972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757  ax-arch 7758  ax-caucvg 7759  ax-pre-suploc 7760  ax-addf 7761  ax-mulf 7762
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-disj 3910  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-isom 5135  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-of 5985  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-irdg 6270  df-frec 6291  df-1o 6316  df-oadd 6320  df-er 6432  df-map 6547  df-pm 6548  df-en 6638  df-dom 6639  df-fin 6640  df-sup 6874  df-inf 6875  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-2 8798  df-3 8799  df-4 8800  df-5 8801  df-6 8802  df-7 8803  df-8 8804  df-9 8805  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-q 9434  df-rp 9464  df-xneg 9582  df-xadd 9583  df-ioo 9698  df-ioc 9699  df-ico 9700  df-icc 9701  df-fz 9815  df-fzo 9944  df-seqfrec 10243  df-exp 10317  df-fac 10496  df-bc 10518  df-ihash 10546  df-shft 10611  df-cj 10638  df-re 10639  df-im 10640  df-rsqrt 10794  df-abs 10795  df-clim 11072  df-sumdc 11147  df-ef 11378  df-e 11379  df-sin 11380  df-cos 11381  df-pi 11383  df-rest 12148  df-topgen 12167  df-psmet 12182  df-xmet 12183  df-met 12184  df-bl 12185  df-mopn 12186  df-top 12191  df-topon 12204  df-bases 12236  df-ntr 12291  df-cn 12383  df-cnp 12384  df-tx 12448  df-cncf 12753  df-limced 12820  df-dvap 12821  df-relog 12973  df-rpcxp 12974
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