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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > rpabscxpbnd | Unicode version |
Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jun-2024.) |
Ref | Expression |
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rpabscxpbnd.1 |
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abscxpbnd.2 |
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rpabscxpbnd.3 |
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abscxpbnd.4 |
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abscxpbnd.5 |
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Ref | Expression |
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rpabscxpbnd |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | rpabscxpbnd.1 |
. . . . 5
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2 | abscxpbnd.2 |
. . . . 5
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3 | rpcxpef 13948 |
. . . . 5
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4 | 1, 2, 3 | syl2anc 411 |
. . . 4
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5 | 4 | fveq2d 5514 |
. . 3
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6 | 1 | relogcld 13936 |
. . . . . 6
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7 | 6 | recnd 7963 |
. . . . 5
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8 | 2, 7 | mulcld 7955 |
. . . 4
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9 | absef 11748 |
. . . 4
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10 | 8, 9 | syl 14 |
. . 3
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11 | 2 | recld 10918 |
. . . . . . 7
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12 | 7 | recld 10918 |
. . . . . . 7
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13 | 11, 12 | remulcld 7965 |
. . . . . 6
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14 | 13 | recnd 7963 |
. . . . 5
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15 | 2 | imcld 10919 |
. . . . . . 7
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16 | 7 | imcld 10919 |
. . . . . . . 8
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17 | 16 | renegcld 8314 |
. . . . . . 7
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18 | 15, 17 | remulcld 7965 |
. . . . . 6
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19 | 18 | recnd 7963 |
. . . . 5
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20 | efadd 11654 |
. . . . 5
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21 | 14, 19, 20 | syl2anc 411 |
. . . 4
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22 | 15, 16 | remulcld 7965 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | recnd 7963 |
. . . . . . 7
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24 | 14, 23 | negsubd 8251 |
. . . . . 6
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25 | 15 | recnd 7963 |
. . . . . . . 8
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26 | 16 | recnd 7963 |
. . . . . . . 8
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27 | 25, 26 | mulneg2d 8346 |
. . . . . . 7
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28 | 27 | oveq2d 5884 |
. . . . . 6
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29 | 2, 7 | remuld 10943 |
. . . . . 6
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30 | 24, 28, 29 | 3eqtr4d 2220 |
. . . . 5
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31 | 30 | fveq2d 5514 |
. . . 4
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32 | 6 | rered 10949 |
. . . . . . . . 9
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33 | 1 | rpred 9670 |
. . . . . . . . . . 11
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34 | 1 | rpge0d 9674 |
. . . . . . . . . . 11
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35 | 33, 34 | absidd 11147 |
. . . . . . . . . 10
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36 | 35 | fveq2d 5514 |
. . . . . . . . 9
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37 | 32, 36 | eqtr4d 2213 |
. . . . . . . 8
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38 | 37 | oveq2d 5884 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | fveq2d 5514 |
. . . . . 6
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40 | 35, 1 | eqeltrd 2254 |
. . . . . . 7
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41 | 11 | recnd 7963 |
. . . . . . 7
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42 | rpcxpef 13948 |
. . . . . . 7
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43 | 40, 41, 42 | syl2anc 411 |
. . . . . 6
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44 | 39, 43 | eqtr4d 2213 |
. . . . 5
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45 | 44 | oveq1d 5883 |
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46 | 21, 31, 45 | 3eqtr3d 2218 |
. . 3
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47 | 5, 10, 46 | 3eqtrd 2214 |
. 2
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48 | 40, 11 | rpcxpcld 13985 |
. . . . 5
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49 | 48 | rpred 9670 |
. . . 4
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50 | 18 | reefcld 11648 |
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51 | 49, 50 | remulcld 7965 |
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52 | abscxpbnd.4 |
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53 | abscxpbnd.5 |
. . . . . . 7
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54 | 52, 40, 53 | rpgecld 9710 |
. . . . . 6
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55 | 54, 11 | rpcxpcld 13985 |
. . . . 5
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56 | 55 | rpred 9670 |
. . . 4
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57 | 56, 50 | remulcld 7965 |
. . 3
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58 | 2 | abscld 11161 |
. . . . . 6
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59 | pire 13840 |
. . . . . 6
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60 | remulcl 7917 |
. . . . . 6
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61 | 58, 59, 60 | sylancl 413 |
. . . . 5
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62 | 61 | reefcld 11648 |
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63 | 56, 62 | remulcld 7965 |
. . 3
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64 | 18 | rpefcld 11665 |
. . . . 5
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65 | 64 | rpge0d 9674 |
. . . 4
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66 | 1 | rpcnd 9672 |
. . . . . . 7
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67 | 1 | rpap0d 9676 |
. . . . . . 7
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68 | 66, 67 | absrpclapd 11168 |
. . . . . 6
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69 | 52, 68, 53 | rpgecld 9710 |
. . . . . 6
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70 | rpabscxpbnd.3 |
. . . . . . 7
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71 | 11, 70 | elrpd 9667 |
. . . . . 6
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72 | rpcxple2 13971 |
. . . . . 6
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73 | 68, 69, 71, 72 | syl3anc 1238 |
. . . . 5
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74 | 53, 73 | mpbid 147 |
. . . 4
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75 | 49, 56, 50, 65, 74 | lemul1ad 8872 |
. . 3
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76 | 55 | rpge0d 9674 |
. . . 4
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77 | 25 | abscld 11161 |
. . . . . . 7
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78 | 17 | recnd 7963 |
. . . . . . . 8
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79 | 78 | abscld 11161 |
. . . . . . 7
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80 | 77, 79 | remulcld 7965 |
. . . . . 6
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81 | 18 | leabsd 11141 |
. . . . . . 7
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82 | 25, 78 | absmuld 11174 |
. . . . . . 7
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83 | 81, 82 | breqtrd 4026 |
. . . . . 6
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84 | 58, 79 | remulcld 7965 |
. . . . . . 7
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85 | 78 | absge0d 11164 |
. . . . . . . 8
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86 | absimle 11064 |
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87 | 2, 86 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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88 | 77, 58, 79, 85, 87 | lemul1ad 8872 |
. . . . . . 7
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89 | 59 | a1i 9 |
. . . . . . . 8
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90 | 2 | absge0d 11164 |
. . . . . . . 8
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91 | 26 | absnegd 11169 |
. . . . . . . . 9
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92 | 59 | renegcli 8196 |
. . . . . . . . . . . 12
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93 | 0re 7935 |
. . . . . . . . . . . 12
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94 | pipos 13842 |
. . . . . . . . . . . . 13
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95 | lt0neg2 8403 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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96 | 59, 95 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
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97 | 94, 96 | mpbi 145 |
. . . . . . . . . . . 12
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98 | 92, 93, 97 | ltleii 8037 |
. . . . . . . . . . 11
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99 | 6 | reim0d 10950 |
. . . . . . . . . . 11
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100 | 98, 99 | breqtrrid 4038 |
. . . . . . . . . 10
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101 | 93, 59, 94 | ltleii 8037 |
. . . . . . . . . . 11
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102 | 99, 101 | eqbrtrdi 4039 |
. . . . . . . . . 10
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103 | absle 11069 |
. . . . . . . . . . 11
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104 | 16, 59, 103 | sylancl 413 |
. . . . . . . . . 10
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105 | 100, 102, 104 | mpbir2and 944 |
. . . . . . . . 9
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106 | 91, 105 | eqbrtrd 4022 |
. . . . . . . 8
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107 | 79, 89, 58, 90, 106 | lemul2ad 8873 |
. . . . . . 7
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108 | 80, 84, 61, 88, 107 | letrd 8058 |
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109 | 18, 80, 61, 83, 108 | letrd 8058 |
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110 | efle 13830 |
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111 | 18, 61, 110 | syl2anc 411 |
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112 | 109, 111 | mpbid 147 |
. . . 4
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113 | 50, 62, 56, 76, 112 | lemul2ad 8873 |
. . 3
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114 | 51, 57, 63, 75, 113 | letrd 8058 |
. 2
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115 | 47, 114 | eqbrtrd 4022 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4205 ax-un 4429 ax-setind 4532 ax-iinf 4583 ax-cnex 7880 ax-resscn 7881 ax-1cn 7882 ax-1re 7883 ax-icn 7884 ax-addcl 7885 ax-addrcl 7886 ax-mulcl 7887 ax-mulrcl 7888 ax-addcom 7889 ax-mulcom 7890 ax-addass 7891 ax-mulass 7892 ax-distr 7893 ax-i2m1 7894 ax-0lt1 7895 ax-1rid 7896 ax-0id 7897 ax-rnegex 7898 ax-precex 7899 ax-cnre 7900 ax-pre-ltirr 7901 ax-pre-ltwlin 7902 ax-pre-lttrn 7903 ax-pre-apti 7904 ax-pre-ltadd 7905 ax-pre-mulgt0 7906 ax-pre-mulext 7907 ax-arch 7908 ax-caucvg 7909 ax-pre-suploc 7910 ax-addf 7911 ax-mulf 7912 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 831 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-disj 3978 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4289 df-po 4292 df-iso 4293 df-iord 4362 df-on 4364 df-ilim 4365 df-suc 4367 df-iom 4586 df-xp 4628 df-rel 4629 df-cnv 4630 df-co 4631 df-dm 4632 df-rn 4633 df-res 4634 df-ima 4635 df-iota 5173 df-fun 5213 df-fn 5214 df-f 5215 df-f1 5216 df-fo 5217 df-f1o 5218 df-fv 5219 df-isom 5220 df-riota 5824 df-ov 5871 df-oprab 5872 df-mpo 5873 df-of 6076 df-1st 6134 df-2nd 6135 df-recs 6299 df-irdg 6364 df-frec 6385 df-1o 6410 df-oadd 6414 df-er 6528 df-map 6643 df-pm 6644 df-en 6734 df-dom 6735 df-fin 6736 df-sup 6976 df-inf 6977 df-pnf 7971 df-mnf 7972 df-xr 7973 df-ltxr 7974 df-le 7975 df-sub 8107 df-neg 8108 df-reap 8509 df-ap 8516 df-div 8606 df-inn 8896 df-2 8954 df-3 8955 df-4 8956 df-5 8957 df-6 8958 df-7 8959 df-8 8960 df-9 8961 df-n0 9153 df-z 9230 df-uz 9505 df-q 9596 df-rp 9628 df-xneg 9746 df-xadd 9747 df-ioo 9866 df-ioc 9867 df-ico 9868 df-icc 9869 df-fz 9983 df-fzo 10116 df-seqfrec 10419 df-exp 10493 df-fac 10677 df-bc 10699 df-ihash 10727 df-shft 10795 df-cj 10822 df-re 10823 df-im 10824 df-rsqrt 10978 df-abs 10979 df-clim 11258 df-sumdc 11333 df-ef 11627 df-e 11628 df-sin 11629 df-cos 11630 df-pi 11632 df-rest 12625 df-topgen 12644 df-psmet 13120 df-xmet 13121 df-met 13122 df-bl 13123 df-mopn 13124 df-top 13129 df-topon 13142 df-bases 13174 df-ntr 13229 df-cn 13321 df-cnp 13322 df-tx 13386 df-cncf 13691 df-limced 13758 df-dvap 13759 df-relog 13912 df-rpcxp 13913 |
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