Theorem rpabscxpbnd 13499

Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpabscxpbnd.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
abscxpbnd.2	|- ( ph -> B e. CC )
rpabscxpbnd.3	|- ( ph -> 0 < ( Re ` B ) )
abscxpbnd.4	|- ( ph -> M e. RR )
abscxpbnd.5	|- ( ph -> ( abs ` A ) <_ M )

Assertion

Ref	Expression
rpabscxpbnd	|- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )

Proof of Theorem rpabscxpbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpabscxpbnd.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		abscxpbnd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
3		rpcxpef 13455	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
5	4	fveq2d 5490	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
6	1	relogcld 13443	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` A ) e. RR )
7	6	recnd 7927	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` A ) e. CC )
8	2, 7	mulcld 7919	. . . 4 |- ( ph -> ( B x. ( log ` A ) ) e. CC )
9		absef 11710	. . . 4 |- ( ( B x. ( log ` A ) ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
11	2	recld 10880	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. RR )
12	7	recld 10880	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) e. RR )
13	11, 12	remulcld 7929	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
14	13	recnd 7927	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
15	2	imcld 10881	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Im ` B ) e. RR )
16	7	imcld 10881	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
17	16	renegcld 8278	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
18	15, 17	remulcld 7929	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
19	18	recnd 7927	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
20		efadd 11616	. . . . 5 |- ( ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. CC /\ ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
21	14, 19, 20	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
22	15, 16	remulcld 7929	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
23	22	recnd 7927	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
24	14, 23	negsubd 8215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) - ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
25	15	recnd 7927	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` B ) e. CC )
26	16	recnd 7927	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
27	25, 26	mulneg2d 8310	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
28	27	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
29	2, 7	remuld 10905	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) - ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
30	24, 28, 29	3eqtr4d 2208	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
31	30	fveq2d 5490	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
32	6	rered 10911	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) = ( log ` A ) )
33	1	rpred 9632	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
34	1	rpge0d 9636	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
35	33, 34	absidd 11109	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` A ) = A )
36	35	fveq2d 5490	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` ( abs ` A ) ) = ( log ` A ) )
37	32, 36	eqtr4d 2201	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) = ( log ` ( abs ` A ) ) )
38	37	oveq2d 5858	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) = ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) )
39	38	fveq2d 5490	. . . . . 6 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
40	35, 1	eqeltrd 2243	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
41	11	recnd 7927	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. CC )
42		rpcxpef 13455	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ ( Re ` B ) e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
43	40, 41, 42	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
44	39, 43	eqtr4d 2201	. . . . 5 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) )
45	44	oveq1d 5857	. . . 4 |- ( ph -> ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
46	21, 31, 45	3eqtr3d 2206	. . 3 |- ( ph -> ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
47	5, 10, 46	3eqtrd 2202	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
48	40, 11	rpcxpcld 13492	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) e. RR+ )
49	48	rpred 9632	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
50	18	reefcld 11610	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
51	49, 50	remulcld 7929	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) e. RR )
52		abscxpbnd.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
53		abscxpbnd.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ M )
54	52, 40, 53	rpgecld 9672	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
55	54, 11	rpcxpcld 13492	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR+ )
56	55	rpred 9632	. . . 4 |- ( ph -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
57	56, 50	remulcld 7929	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) e. RR )
58	2	abscld 11123	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` B ) e. RR )
59		pire 13347	. . . . . 6 |- pi e. RR
60		remulcl 7881	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
61	58, 59, 60	sylancl 410	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
62	61	reefcld 11610	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) e. RR )
63	56, 62	remulcld 7929	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) e. RR )
64	18	rpefcld 11627	. . . . 5 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR+ )
65	64	rpge0d 9636	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
66	1	rpcnd 9634	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
67	1	rpap0d 9638	. . . . . . 7 |- ( ph -> A # 0 )
68	66, 67	absrpclapd 11130	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
69	52, 68, 53	rpgecld 9672	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
70		rpabscxpbnd.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < ( Re ` B ) )
71	11, 70	elrpd 9629	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. RR+ )
72		rpcxple2 13478	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ M e. RR+ /\ ( Re ` B ) e. RR+ ) -> ( ( abs ` A ) <_ M <-> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) ) )
73	68, 69, 71, 72	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) <_ M <-> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) ) )
74	53, 73	mpbid 146	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
75	49, 56, 50, 65, 74	lemul1ad 8834	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
76	55	rpge0d 9636	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
77	25	abscld 11123	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR )
78	17	recnd 7927	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
79	78	abscld 11123	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
80	77, 79	remulcld 7929	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
81	18	leabsd 11103	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( abs ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
82	25, 78	absmuld 11136	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
83	81, 82	breqtrd 4008	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
84	58, 79	remulcld 7929	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
85	78	absge0d 11126	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
86		absimle 11026	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( Im ` B ) ) <_ ( abs ` B ) )
87	2, 86	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` B ) ) <_ ( abs ` B ) )
88	77, 58, 79, 85, 87	lemul1ad 8834	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
89	59	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> pi e. RR )
90	2	absge0d 11126	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` B ) )
91	26	absnegd 11131	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
92	59	renegcli 8160	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
93		0re 7899	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
94		pipos 13349	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < pi
95		lt0neg2 8367	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi e. RR -> ( 0 < pi <-> -u pi < 0 ) )
96	59, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 < pi <-> -u pi < 0 )
97	94, 96	mpbi 144	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi < 0
98	92, 93, 97	ltleii 8001	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi <_ 0
99	6	reim0d 10912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) = 0 )
100	98, 99	breqtrrid 4020	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) )
101	93, 59, 94	ltleii 8001	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ pi
102	99, 101	eqbrtrdi 4021	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
103		absle 11031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
104	16, 59, 103	sylancl 410	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
105	100, 102, 104	mpbir2and 934	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
106	91, 105	eqbrtrd 4004	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
107	79, 89, 58, 90, 106	lemul2ad 8835	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
108	80, 84, 61, 88, 107	letrd 8022	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
109	18, 80, 61, 83, 108	letrd 8022	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
110		efle 13337	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) <-> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
111	18, 61, 110	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) <-> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
112	109, 111	mpbid 146	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) )
113	50, 62, 56, 76, 112	lemul2ad 8835	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
114	51, 57, 63, 75, 113	letrd 8022	. 2 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
115	47, 114	eqbrtrd 4004	1 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   ` cfv 5188  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   + caddc 7756   x. cmul 7758   < clt 7933   <_ cle 7934   - cmin 8069   -ucneg 8070   RR+crp 9589   Recre 10782   Imcim 10783   abscabs 10939   expce 11583   picpi 11588   logclog 13417   ^c ccxp 13418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-pre-suploc 7874  ax-addf 7875  ax-mulf 7876

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-map 6616  df-pm 6617  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-5 8919  df-6 8920  df-7 8921  df-8 8922  df-9 8923  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-ioo 9828  df-ioc 9829  df-ico 9830  df-icc 9831  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-bc 10661  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-e 11590  df-sin 11591  df-cos 11592  df-pi 11594  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-cncf 13198  df-limced 13265  df-dvap 13266  df-relog 13419  df-rpcxp 13420

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