Theorem rpabscxpbnd 16042

Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpabscxpbnd.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
abscxpbnd.2	|- ( ph -> B e. CC )
rpabscxpbnd.3	|- ( ph -> 0 < ( Re ` B ) )
abscxpbnd.4	|- ( ph -> M e. RR )
abscxpbnd.5	|- ( ph -> ( abs ` A ) <_ M )

Assertion

Ref	Expression
rpabscxpbnd	|- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )

Proof of Theorem rpabscxpbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpabscxpbnd.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		abscxpbnd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
3		rpcxpef 15996	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
5	4	fveq2d 5699	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
6	1	relogcld 15983	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` A ) e. RR )
7	6	recnd 8354	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` A ) e. CC )
8	2, 7	mulcld 8346	. . . 4 |- ( ph -> ( B x. ( log ` A ) ) e. CC )
9		absef 12537	. . . 4 |- ( ( B x. ( log ` A ) ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
11	2	recld 11704	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. RR )
12	7	recld 11704	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) e. RR )
13	11, 12	remulcld 8356	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
14	13	recnd 8354	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
15	2	imcld 11705	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Im ` B ) e. RR )
16	7	imcld 11705	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
17	16	renegcld 8707	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
18	15, 17	remulcld 8356	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
19	18	recnd 8354	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
20		efadd 12442	. . . . 5 |- ( ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. CC /\ ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
21	14, 19, 20	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
22	15, 16	remulcld 8356	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
23	22	recnd 8354	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
24	14, 23	negsubd 8643	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) - ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
25	15	recnd 8354	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` B ) e. CC )
26	16	recnd 8354	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
27	25, 26	mulneg2d 8739	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
28	27	oveq2d 6101	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
29	2, 7	remuld 11729	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) - ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
30	24, 28, 29	3eqtr4d 2281	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
31	30	fveq2d 5699	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
32	6	rered 11735	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) = ( log ` A ) )
33	1	rpred 10097	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
34	1	rpge0d 10101	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
35	33, 34	absidd 11933	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` A ) = A )
36	35	fveq2d 5699	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` ( abs ` A ) ) = ( log ` A ) )
37	32, 36	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) = ( log ` ( abs ` A ) ) )
38	37	oveq2d 6101	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) = ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) )
39	38	fveq2d 5699	. . . . . 6 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
40	35, 1	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
41	11	recnd 8354	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. CC )
42		rpcxpef 15996	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ ( Re ` B ) e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
43	40, 41, 42	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
44	39, 43	eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) )
45	44	oveq1d 6100	. . . 4 |- ( ph -> ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
46	21, 31, 45	3eqtr3d 2279	. . 3 |- ( ph -> ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
47	5, 10, 46	3eqtrd 2275	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
48	40, 11	rpcxpcld 16035	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) e. RR+ )
49	48	rpred 10097	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
50	18	reefcld 12436	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
51	49, 50	remulcld 8356	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) e. RR )
52		abscxpbnd.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
53		abscxpbnd.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ M )
54	52, 40, 53	rpgecld 10137	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
55	54, 11	rpcxpcld 16035	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR+ )
56	55	rpred 10097	. . . 4 |- ( ph -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
57	56, 50	remulcld 8356	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) e. RR )
58	2	abscld 11947	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` B ) e. RR )
59		pire 15887	. . . . . 6 |- pi e. RR
60		remulcl 8307	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
61	58, 59, 60	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
62	61	reefcld 12436	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) e. RR )
63	56, 62	remulcld 8356	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) e. RR )
64	18	rpefcld 12453	. . . . 5 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR+ )
65	64	rpge0d 10101	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
66	1	rpcnd 10099	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
67	1	rpap0d 10103	. . . . . . 7 |- ( ph -> A # 0 )
68	66, 67	absrpclapd 11954	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
69	52, 68, 53	rpgecld 10137	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
70		rpabscxpbnd.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < ( Re ` B ) )
71	11, 70	elrpd 10094	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. RR+ )
72		rpcxple2 16020	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ M e. RR+ /\ ( Re ` B ) e. RR+ ) -> ( ( abs ` A ) <_ M <-> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) ) )
73	68, 69, 71, 72	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) <_ M <-> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) ) )
74	53, 73	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
75	49, 56, 50, 65, 74	lemul1ad 9269	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
76	55	rpge0d 10101	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
77	25	abscld 11947	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR )
78	17	recnd 8354	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
79	78	abscld 11947	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
80	77, 79	remulcld 8356	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
81	18	leabsd 11927	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( abs ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
82	25, 78	absmuld 11960	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
83	81, 82	breqtrd 4156	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
84	58, 79	remulcld 8356	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
85	78	absge0d 11950	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
86		absimle 11850	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( Im ` B ) ) <_ ( abs ` B ) )
87	2, 86	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` B ) ) <_ ( abs ` B ) )
88	77, 58, 79, 85, 87	lemul1ad 9269	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
89	59	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> pi e. RR )
90	2	absge0d 11950	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` B ) )
91	26	absnegd 11955	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
92	59	renegcli 8588	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
93		0re 8326	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
94		pipos 15889	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < pi
95		lt0neg2 8797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi e. RR -> ( 0 < pi <-> -u pi < 0 ) )
96	59, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 < pi <-> -u pi < 0 )
97	94, 96	mpbi 145	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi < 0
98	92, 93, 97	ltleii 8428	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi <_ 0
99	6	reim0d 11736	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) = 0 )
100	98, 99	breqtrrid 4168	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) )
101	93, 59, 94	ltleii 8428	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ pi
102	99, 101	eqbrtrdi 4169	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
103		absle 11855	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
104	16, 59, 103	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
105	100, 102, 104	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
106	91, 105	eqbrtrd 4152	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
107	79, 89, 58, 90, 106	lemul2ad 9270	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
108	80, 84, 61, 88, 107	letrd 8450	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
109	18, 80, 61, 83, 108	letrd 8450	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
110		efle 15877	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) <-> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
111	18, 61, 110	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) <-> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
112	109, 111	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) )
113	50, 62, 56, 76, 112	lemul2ad 9270	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
114	51, 57, 63, 75, 113	letrd 8450	. 2 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
115	47, 114	eqbrtrd 4152	1 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   + caddc 8182   x. cmul 8184   < clt 8360   <_ cle 8361   - cmin 8497   -ucneg 8498   RR+crp 10054   Recre 11605   Imcim 11606   abscabs 11763   expce 12409   picpi 12414   logclog 15957   ^c ccxp 15958

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-ioo 10294  df-ioc 10295  df-ico 10296  df-icc 10297  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164  df-bc 11186  df-ihash 11215  df-shft 11580  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-clim 12045  df-sumdc 12120  df-ef 12415  df-e 12416  df-sin 12417  df-cos 12418  df-pi 12420  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-met 14882  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-ntr 15197  df-cn 15289  df-cnp 15290  df-tx 15354  df-cncf 15672  df-limced 15757  df-dvap 15758  df-relog 15959  df-rpcxp 15960

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