Theorem rpabscxpbnd 16175

Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpabscxpbnd.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
abscxpbnd.2	|- ( ph -> B e. CC )
rpabscxpbnd.3	|- ( ph -> 0 < ( Re ` B ) )
abscxpbnd.4	|- ( ph -> M e. RR )
abscxpbnd.5	|- ( ph -> ( abs ` A ) <_ M )

Assertion

Ref	Expression
rpabscxpbnd	|- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )

Proof of Theorem rpabscxpbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpabscxpbnd.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		abscxpbnd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
3		rpcxpef 16127	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
5	4	fveq2d 5702	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
6	1	relogcld 16112	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` A ) e. RR )
7	6	recnd 8360	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` A ) e. CC )
8	2, 7	mulcld 8352	. . . 4 |- ( ph -> ( B x. ( log ` A ) ) e. CC )
9		absef 12562	. . . 4 |- ( ( B x. ( log ` A ) ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
11	2	recld 11726	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. RR )
12	7	recld 11726	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) e. RR )
13	11, 12	remulcld 8362	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
14	13	recnd 8360	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
15	2	imcld 11727	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Im ` B ) e. RR )
16	7	imcld 11727	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
17	16	renegcld 8714	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
18	15, 17	remulcld 8362	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
19	18	recnd 8360	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
20		efadd 12467	. . . . 5 |- ( ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. CC /\ ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
21	14, 19, 20	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
22	15, 16	remulcld 8362	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
23	22	recnd 8360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
24	14, 23	negsubd 8650	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) - ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
25	15	recnd 8360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` B ) e. CC )
26	16	recnd 8360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
27	25, 26	mulneg2d 8746	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
28	27	oveq2d 6104	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
29	2, 7	remuld 11751	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) - ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
30	24, 28, 29	3eqtr4d 2281	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
31	30	fveq2d 5702	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
32	6	rered 11757	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) = ( log ` A ) )
33	1	rpred 10114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
34	1	rpge0d 10118	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
35	33, 34	absidd 11956	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` A ) = A )
36	35	fveq2d 5702	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` ( abs ` A ) ) = ( log ` A ) )
37	32, 36	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) = ( log ` ( abs ` A ) ) )
38	37	oveq2d 6104	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) = ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) )
39	38	fveq2d 5702	. . . . . 6 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
40	35, 1	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
41	11	recnd 8360	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. CC )
42		rpcxpef 16127	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ ( Re ` B ) e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
43	40, 41, 42	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
44	39, 43	eqtr4d 2274	. . . . 5 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) )
45	44	oveq1d 6103	. . . 4 |- ( ph -> ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
46	21, 31, 45	3eqtr3d 2279	. . 3 |- ( ph -> ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
47	5, 10, 46	3eqtrd 2275	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
48	40, 11	rpcxpcld 16168	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) e. RR+ )
49	48	rpred 10114	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
50	18	reefcld 12461	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
51	49, 50	remulcld 8362	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) e. RR )
52		abscxpbnd.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
53		abscxpbnd.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ M )
54	52, 40, 53	rpgecld 10154	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
55	54, 11	rpcxpcld 16168	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR+ )
56	55	rpred 10114	. . . 4 |- ( ph -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
57	56, 50	remulcld 8362	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) e. RR )
58	2	abscld 11970	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` B ) e. RR )
59		pire 16013	. . . . . 6 |- pi e. RR
60		remulcl 8313	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
61	58, 59, 60	sylancl 417	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
62	61	reefcld 12461	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) e. RR )
63	56, 62	remulcld 8362	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) e. RR )
64	18	rpefcld 12478	. . . . 5 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR+ )
65	64	rpge0d 10118	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
66	1	rpcnd 10116	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
67	1	rpap0d 10120	. . . . . . 7 |- ( ph -> A # 0 )
68	66, 67	absrpclapd 11977	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
69	52, 68, 53	rpgecld 10154	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
70		rpabscxpbnd.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < ( Re ` B ) )
71	11, 70	elrpd 10111	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. RR+ )
72		rpcxple2 16153	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ M e. RR+ /\ ( Re ` B ) e. RR+ ) -> ( ( abs ` A ) <_ M <-> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) ) )
73	68, 69, 71, 72	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) <_ M <-> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) ) )
74	53, 73	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
75	49, 56, 50, 65, 74	lemul1ad 9277	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
76	55	rpge0d 10118	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
77	25	abscld 11970	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR )
78	17	recnd 8360	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
79	78	abscld 11970	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
80	77, 79	remulcld 8362	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
81	18	leabsd 11950	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( abs ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
82	25, 78	absmuld 11983	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
83	81, 82	breqtrd 4157	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
84	58, 79	remulcld 8362	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
85	78	absge0d 11973	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
86		absimle 11873	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( Im ` B ) ) <_ ( abs ` B ) )
87	2, 86	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` B ) ) <_ ( abs ` B ) )
88	77, 58, 79, 85, 87	lemul1ad 9277	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
89	59	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> pi e. RR )
90	2	absge0d 11973	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` B ) )
91	26	absnegd 11978	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
92	59	renegcli 8595	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
93		0re 8332	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
94		pipos 16015	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < pi
95		lt0neg2 8804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi e. RR -> ( 0 < pi <-> -u pi < 0 ) )
96	59, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 < pi <-> -u pi < 0 )
97	94, 96	mpbi 145	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi < 0
98	92, 93, 97	ltleii 8435	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi <_ 0
99	6	reim0d 11758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) = 0 )
100	98, 99	breqtrrid 4169	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) )
101	93, 59, 94	ltleii 8435	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ pi
102	99, 101	eqbrtrdi 4170	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
103		absle 11878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
104	16, 59, 103	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
105	100, 102, 104	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
106	91, 105	eqbrtrd 4153	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
107	79, 89, 58, 90, 106	lemul2ad 9278	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
108	80, 84, 61, 88, 107	letrd 8457	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
109	18, 80, 61, 83, 108	letrd 8457	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
110		efle 16002	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) <-> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
111	18, 61, 110	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) <-> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
112	109, 111	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) )
113	50, 62, 56, 76, 112	lemul2ad 9278	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
114	51, 57, 63, 75, 113	letrd 8457	. 2 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
115	47, 114	eqbrtrd 4153	1 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4131   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   CCcc 8183   RRcr 8184   0cc0 8185   + caddc 8188   x. cmul 8190   < clt 8366   <_ cle 8367   - cmin 8504   -ucneg 8505   RR+crp 10071   Recre 11627   Imcim 11628   abscabs 11785   expce 12434   picpi 12439   logclog 16085   ^c ccxp 16086

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305  ax-pre-suploc 8306  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-sup 7330  df-inf 7331  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-xneg 10191  df-xadd 10192  df-ioo 10311  df-ioc 10312  df-ico 10313  df-icc 10314  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-fac 11186  df-bc 11208  df-ihash 11237  df-shft 11602  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145  df-ef 12440  df-e 12441  df-sin 12442  df-cos 12443  df-pi 12445  df-rest 13654  df-topgen 13673  df-psmet 14989  df-xmet 14990  df-met 14991  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-top 15224  df-topon 15237  df-bases 15269  df-ntr 15322  df-cn 15414  df-cnp 15415  df-tx 15479  df-cncf 15797  df-limced 15882  df-dvap 15883  df-relog 16087  df-rpcxp 16088

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