Theorem rpabscxpbnd 15284

Description: Bound on the absolute value of a complex power. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 19-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpabscxpbnd.1	|- ( ph -> A e. RR+ )
abscxpbnd.2	|- ( ph -> B e. CC )
rpabscxpbnd.3	|- ( ph -> 0 < ( Re ` B ) )
abscxpbnd.4	|- ( ph -> M e. RR )
abscxpbnd.5	|- ( ph -> ( abs ` A ) <_ M )

Assertion

Ref	Expression
rpabscxpbnd	|- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )

Proof of Theorem rpabscxpbnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpabscxpbnd.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR+ )
2		abscxpbnd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. CC )
3		rpcxpef 15238	. . . . 5 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. CC ) -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( A ^c B ) = ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
5	4	fveq2d 5565	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
6	1	relogcld 15226	. . . . . 6 |- ( ph -> ( log ` A ) e. RR )
7	6	recnd 8074	. . . . 5 |- ( ph -> ( log ` A ) e. CC )
8	2, 7	mulcld 8066	. . . 4 |- ( ph -> ( B x. ( log ` A ) ) e. CC )
9		absef 11954	. . . 4 |- ( ( B x. ( log ` A ) ) e. CC -> ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
10	8, 9	syl 14	. . 3 |- ( ph -> ( abs ` ( exp ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
11	2	recld 11122	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. RR )
12	7	recld 11122	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) e. RR )
13	11, 12	remulcld 8076	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
14	13	recnd 8074	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
15	2	imcld 11123	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Im ` B ) e. RR )
16	7	imcld 11123	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
17	16	renegcld 8425	. . . . . . 7 |- ( ph -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR )
18	15, 17	remulcld 8076	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
19	18	recnd 8074	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
20		efadd 11859	. . . . 5 |- ( ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) e. CC /\ ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC ) -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
21	14, 19, 20	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
22	15, 16	remulcld 8076	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
23	22	recnd 8074	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. CC )
24	14, 23	negsubd 8362	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) - ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
25	15	recnd 8074	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` B ) e. CC )
26	16	recnd 8074	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
27	25, 26	mulneg2d 8457	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
28	27	oveq2d 5941	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + -u ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
29	2, 7	remuld 11147	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) = ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) - ( ( Im ` B ) x. ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
30	24, 28, 29	3eqtr4d 2239	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) )
31	30	fveq2d 5565	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) + ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) )
32	6	rered 11153	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) = ( log ` A ) )
33	1	rpred 9790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A e. RR )
34	1	rpge0d 9794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ A )
35	33, 34	absidd 11351	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( abs ` A ) = A )
36	35	fveq2d 5565	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( log ` ( abs ` A ) ) = ( log ` A ) )
37	32, 36	eqtr4d 2232	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Re ` ( log ` A ) ) = ( log ` ( abs ` A ) ) )
38	37	oveq2d 5941	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) = ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) )
39	38	fveq2d 5565	. . . . . 6 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
40	35, 1	eqeltrd 2273	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
41	11	recnd 8074	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. CC )
42		rpcxpef 15238	. . . . . . 7 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ ( Re ` B ) e. CC ) -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
43	40, 41, 42	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) = ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( log ` ( abs ` A ) ) ) ) )
44	39, 43	eqtr4d 2232	. . . . 5 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) )
45	44	oveq1d 5940	. . . 4 |- ( ph -> ( ( exp ` ( ( Re ` B ) x. ( Re ` ( log ` A ) ) ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
46	21, 31, 45	3eqtr3d 2237	. . 3 |- ( ph -> ( exp ` ( Re ` ( B x. ( log ` A ) ) ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
47	5, 10, 46	3eqtrd 2233	. 2 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) = ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
48	40, 11	rpcxpcld 15277	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) e. RR+ )
49	48	rpred 9790	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
50	18	reefcld 11853	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
51	49, 50	remulcld 8076	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) e. RR )
52		abscxpbnd.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. RR )
53		abscxpbnd.5	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` A ) <_ M )
54	52, 40, 53	rpgecld 9830	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
55	54, 11	rpcxpcld 15277	. . . . 5 |- ( ph -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR+ )
56	55	rpred 9790	. . . 4 |- ( ph -> ( M ^c ( Re ` B ) ) e. RR )
57	56, 50	remulcld 8076	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) e. RR )
58	2	abscld 11365	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` B ) e. RR )
59		pire 15130	. . . . . 6 |- pi e. RR
60		remulcl 8026	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` B ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
61	58, 59, 60	sylancl 413	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR )
62	61	reefcld 11853	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) e. RR )
63	56, 62	remulcld 8076	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) e. RR )
64	18	rpefcld 11870	. . . . 5 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR+ )
65	64	rpge0d 9794	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
66	1	rpcnd 9792	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. CC )
67	1	rpap0d 9796	. . . . . . 7 |- ( ph -> A # 0 )
68	66, 67	absrpclapd 11372	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` A ) e. RR+ )
69	52, 68, 53	rpgecld 9830	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. RR+ )
70		rpabscxpbnd.3	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 < ( Re ` B ) )
71	11, 70	elrpd 9787	. . . . . 6 |- ( ph -> ( Re ` B ) e. RR+ )
72		rpcxple2 15262	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` A ) e. RR+ /\ M e. RR+ /\ ( Re ` B ) e. RR+ ) -> ( ( abs ` A ) <_ M <-> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) ) )
73	68, 69, 71, 72	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) <_ M <-> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) ) )
74	53, 73	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
75	49, 56, 50, 65, 74	lemul1ad 8985	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) )
76	55	rpge0d 9794	. . . 4 |- ( ph -> 0 <_ ( M ^c ( Re ` B ) ) )
77	25	abscld 11365	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` B ) ) e. RR )
78	17	recnd 8074	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -u ( Im ` ( log ` A ) ) e. CC )
79	78	abscld 11365	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR )
80	77, 79	remulcld 8076	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
81	18	leabsd 11345	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( abs ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
82	25, 78	absmuld 11378	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) = ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
83	81, 82	breqtrd 4060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
84	58, 79	remulcld 8076	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) e. RR )
85	78	absge0d 11368	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
86		absimle 11268	. . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( abs ` ( Im ` B ) ) <_ ( abs ` B ) )
87	2, 86	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` B ) ) <_ ( abs ` B ) )
88	77, 58, 79, 85, 87	lemul1ad 8985	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) )
89	59	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ph -> pi e. RR )
90	2	absge0d 11368	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` B ) )
91	26	absnegd 11373	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) = ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) )
92	59	renegcli 8307	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi e. RR
93		0re 8045	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. RR
94		pipos 15132	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 < pi
95		lt0neg2 8515	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( pi e. RR -> ( 0 < pi <-> -u pi < 0 ) )
96	59, 95	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 < pi <-> -u pi < 0 )
97	94, 96	mpbi 145	. . . . . . . . . . . 12 |- -u pi < 0
98	92, 93, 97	ltleii 8148	. . . . . . . . . . 11 |- -u pi <_ 0
99	6	reim0d 11154	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) = 0 )
100	98, 99	breqtrrid 4072	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) )
101	93, 59, 94	ltleii 8148	. . . . . . . . . . 11 |- 0 <_ pi
102	99, 101	eqbrtrdi 4073	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi )
103		absle 11273	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Im ` ( log ` A ) ) e. RR /\ pi e. RR ) -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
104	16, 59, 103	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi <-> ( -u pi <_ ( Im ` ( log ` A ) ) /\ ( Im ` ( log ` A ) ) <_ pi ) ) )
105	100, 102, 104	mpbir2and 946	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
106	91, 105	eqbrtrd 4056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ pi )
107	79, 89, 58, 90, 106	lemul2ad 8986	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( abs ` B ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
108	80, 84, 61, 88, 107	letrd 8169	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` ( Im ` B ) ) x. ( abs ` -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
109	18, 80, 61, 83, 108	letrd 8169	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) )
110		efle 15120	. . . . . 6 |- ( ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` B ) x. pi ) e. RR ) -> ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) <-> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
111	18, 61, 110	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) <_ ( ( abs ` B ) x. pi ) <-> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
112	109, 111	mpbid 147	. . . 4 |- ( ph -> ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) <_ ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) )
113	50, 62, 56, 76, 112	lemul2ad 8986	. . 3 |- ( ph -> ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
114	51, 57, 63, 75, 113	letrd 8169	. 2 |- ( ph -> ( ( ( abs ` A ) ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( Im ` B ) x. -u ( Im ` ( log ` A ) ) ) ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )
115	47, 114	eqbrtrd 4056	1 |- ( ph -> ( abs ` ( A ^c B ) ) <_ ( ( M ^c ( Re ` B ) ) x. ( exp ` ( ( abs ` B ) x. pi ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   CCcc 7896   RRcr 7897   0cc0 7898   + caddc 7901   x. cmul 7903   < clt 8080   <_ cle 8081   - cmin 8216   -ucneg 8217   RR+crp 9747   Recre 11024   Imcim 11025   abscabs 11181   expce 11826   picpi 11831   logclog 15200   ^c ccxp 15201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017  ax-caucvg 8018  ax-pre-suploc 8019  ax-addf 8020  ax-mulf 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-disj 4012  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-frec 6458  df-1o 6483  df-oadd 6487  df-er 6601  df-map 6718  df-pm 6719  df-en 6809  df-dom 6810  df-fin 6811  df-sup 7059  df-inf 7060  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-4 9070  df-5 9071  df-6 9072  df-7 9073  df-8 9074  df-9 9075  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-xneg 9866  df-xadd 9867  df-ioo 9986  df-ioc 9987  df-ico 9988  df-icc 9989  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-fac 10837  df-bc 10859  df-ihash 10887  df-shft 10999  df-cj 11026  df-re 11027  df-im 11028  df-rsqrt 11182  df-abs 11183  df-clim 11463  df-sumdc 11538  df-ef 11832  df-e 11833  df-sin 11834  df-cos 11835  df-pi 11837  df-rest 12945  df-topgen 12964  df-psmet 14177  df-xmet 14178  df-met 14179  df-bl 14180  df-mopn 14181  df-top 14342  df-topon 14355  df-bases 14387  df-ntr 14440  df-cn 14532  df-cnp 14533  df-tx 14597  df-cncf 14915  df-limced 15000  df-dvap 15001  df-relog 15202  df-rpcxp 15203

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