Theorem eqbrtrdi 4044

Description: A chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqbrtrdi.2	⊢ 𝐵𝑅𝐶

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrdi	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrdi.2	. 2 ⊢ 𝐵𝑅𝐶
2		eqbrtrdi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	breq1d 4015	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
4	1, 3	mpbiri 168	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   class class class wbr 4005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2741  df-un 3135  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-br 4006

This theorem is referenced by:  eqbrtrrdi  4045  pm54.43  7191  recapb  8630  nn0ledivnn  9769  xltnegi  9837  leexp1a  10577  facwordi  10722  faclbnd3  10725  resqrexlemlo  11024  efap0  11687  dvds1  11861  en1top  13616  dvef  14227  rpabscxpbnd  14398  zabsle1  14439  trirec0  14831