Theorem eqbrtrdi 4121

Description: A chained equality inference for a binary relation. (Contributed by NM, 12-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrdi.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqbrtrdi.2	⊢ 𝐵𝑅𝐶

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrdi	⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Proof of Theorem eqbrtrdi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrdi.2	. 2 ⊢ 𝐵𝑅𝐶
2		eqbrtrdi.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	breq1d 4092	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))
4	1, 3	mpbiri 168	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴𝑅𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   class class class wbr 4082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083

This theorem is referenced by:  eqbrtrrdi  4122  pm54.43  7359  recapb  8814  nn0ledivnn  9959  xltnegi  10027  leexp1a  10811  facwordi  10957  faclbnd3  10960  resqrexlemlo  11519  efap0  12183  dvds1  12359  en1top  14745  dvef  15395  rpabscxpbnd  15608  zabsle1  15672  lgseisen  15747  lgsquadlem2  15751  trirec0  16371