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Theorem leexp1a 10846
Description: Weak base ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) )
Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6021 . . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( A ^ j ) = ( A ^ 0 ) )
2 oveq2 6021 . . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( B ^ j ) = ( B ^ 0 ) )
31, 2breq12d 4099 . . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) )
43imbi2d 230 . . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) ) )
5 oveq2 6021 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( A ^ j ) = ( A ^ k ) )
6 oveq2 6021 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( B ^ j ) = ( B ^ k ) )
75, 6breq12d 4099 . . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) )
87imbi2d 230 . . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) ) )
9 oveq2 6021 . . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( A ^ j ) = ( A ^ ( k + 1 ) ) )
10 oveq2 6021 . . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( B ^ j ) = ( B ^ ( k + 1 ) ) )
119, 10breq12d 4099 . . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) )
1211imbi2d 230 . . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
13 oveq2 6021 . . . . . . 7 |- ( j = N -> ( A ^ j ) = ( A ^ N ) )
14 oveq2 6021 . . . . . . 7 |- ( j = N -> ( B ^ j ) = ( B ^ N ) )
1513, 14breq12d 4099 . . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) )
1615imbi2d 230 . . . . 5 |- ( j = N -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) )
17 recn 8155 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
18 recn 8155 . . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
19 exp0 10795 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )
2019adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) = 1 )
21 1le1 8742 . . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
2220, 21eqbrtrdi 4125 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) <_ 1 )
23 exp0 10795 . . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( B ^ 0 ) = 1 )
2423adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
2522, 24breqtrrd 4114 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) )
2617, 18, 25syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) )
2726adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) )
28 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )
29 reexpcl 10808 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR )
3028, 29sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR )
31 simplll 533 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> A e. RR )
32 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
33 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ A )
34 expge0 10827 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1271 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
36 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> B e. RR )
37 reexpcl 10808 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. RR )
3836, 37sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. RR )
3930, 35, 38jca31 309 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) )
40 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
41 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> 0 <_ A )
4240, 41anim12i 338 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
4342adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
44 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> B e. RR )
4539, 43, 44jca32 310 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) )
4645adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) )
48 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> A <_ B )
4948adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> A <_ B )
5047, 49jca 306 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) /\ A <_ B ) )
51 lemul12a 9032 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) -> ( ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) /\ A <_ B ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( B ^ k ) x. B ) ) )
5246, 50, 51sylc 62 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( B ^ k ) x. B ) )
53 expp1 10798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5417, 53sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5554adantlr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5655adantlr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5756adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
58 expp1 10798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
5918, 58sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6059adantll 476 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6160adantlr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6261adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6352, 57, 623brtr4d 4118 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) )
6463ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) )
6564expcom 116 . . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
6665a2d 26 . . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
674, 8, 12, 16, 27, 66nn0ind 9584 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) )
6867exp4c 368 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) ) )
6968com3l 81 . 2 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( N e. NN0 -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) ) )
70693imp1 1244 1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013   CCcc 8020   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   x. cmul 8027   <_ cle 8205   NN0cn0 9392   ^cexp 10790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-seqfrec 10700  df-exp 10791
This theorem is referenced by:  expubnd  10848  facubnd  10997  expcnvre  12054
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