ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leexp1a Unicode version

Theorem leexp1a 10372
Description: Weak mantissa ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) )

Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables  j  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5785 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ 0 ) )
2 oveq2 5785 . . . . . . 7  |-  ( j  =  0  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ 0 ) )
31, 2breq12d 3945 . . . . . 6  |-  ( j  =  0  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ 0 )  <_ 
( B ^ 0 ) ) )
43imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( j  =  0  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
0 )  <_  ( B ^ 0 ) ) ) )
5 oveq2 5785 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ k
) )
6 oveq2 5785 . . . . . . 7  |-  ( j  =  k  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ k
) )
75, 6breq12d 3945 . . . . . 6  |-  ( j  =  k  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ k )  <_ 
( B ^ k
) ) )
87imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( j  =  k  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) ) ) )
9 oveq2 5785 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ (
k  +  1 ) ) )
10 oveq2 5785 . . . . . . 7  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ (
k  +  1 ) ) )
119, 10breq12d 3945 . . . . . 6  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( B ^ (
k  +  1 ) ) ) )
1211imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( B ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
13 oveq2 5785 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( A ^ j )  =  ( A ^ N
) )
14 oveq2 5785 . . . . . . 7  |-  ( j  =  N  ->  ( B ^ j )  =  ( B ^ N
) )
1513, 14breq12d 3945 . . . . . 6  |-  ( j  =  N  ->  (
( A ^ j
)  <_  ( B ^ j )  <->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) )
1615imbi2d 229 . . . . 5  |-  ( j  =  N  ->  (
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
j )  <_  ( B ^ j ) )  <-> 
( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) ) )
17 recn 7772 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
18 recn 7772 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  e.  CC )
19 exp0 10321 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
2019adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 0 )  =  1 )
21 1le1 8353 . . . . . . . . 9  |-  1  <_  1
2220, 21eqbrtrdi 3970 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 0 )  <_  1 )
23 exp0 10321 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  CC  ->  ( B ^ 0 )  =  1 )
2423adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( B ^ 0 )  =  1 )
2522, 24breqtrrd 3959 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A ^ 0 )  <_  ( B ^ 0 ) )
2617, 18, 25syl2an 287 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A ^ 0 )  <_  ( B ^ 0 ) )
2726adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A ^ 0 )  <_ 
( B ^ 0 ) )
28 simpll 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  A  e.  RR )
29 reexpcl 10334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ k
)  e.  RR )
3028, 29sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
k )  e.  RR )
31 simplll 522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
32 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  k  e.  NN0 )
33 simplrl 524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  A
)
34 expge0 10353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0  /\  0  <_  A )  ->  0  <_  ( A ^ k
) )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( A ^ k ) )
36 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  B  e.  RR )
37 reexpcl 10334 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ k
)  e.  RR )
3836, 37sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^
k )  e.  RR )
3930, 35, 38jca31 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( ( A ^ k )  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^ k
) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR ) )
40 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  A  e.  RR )
41 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  -> 
0  <_  A )
4240, 41anim12i 336 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
4342adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A  e.  RR  /\  0  <_  A ) )
44 simpllr 523 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  B  e.  RR )
4539, 43, 44jca32 308 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( A ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^
k ) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) ) )
4645adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( ( ( A ^ k
)  e.  RR  /\  0  <_  ( A ^
k ) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR )  /\  ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) ) )
47 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )
48 simplrr 525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  A  <_  B
)
4948adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  A  <_  B
)
5047, 49jca 304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( A ^ k )  <_ 
( B ^ k
)  /\  A  <_  B ) )
51 lemul12a 8639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( A ^ k )  e.  RR  /\  0  <_ 
( A ^ k
) )  /\  ( B ^ k )  e.  RR )  /\  (
( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  B  e.  RR ) )  ->  (
( ( A ^
k )  <_  ( B ^ k )  /\  A  <_  B )  -> 
( ( A ^
k )  x.  A
)  <_  ( ( B ^ k )  x.  B ) ) )
5246, 50, 51sylc 62 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( A ^ k )  x.  A )  <_  (
( B ^ k
)  x.  B ) )
53 expp1 10324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k )  x.  A ) )
5417, 53sylan 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k )  x.  A ) )
5554adantlr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
5655adantlr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
5756adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( A ^ k
)  x.  A ) )
58 expp1 10324 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k )  x.  B ) )
5918, 58sylan 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( B ^ (
k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k )  x.  B ) )
6059adantll 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k
)  x.  B ) )
6160adantlr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( B ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k
)  x.  B ) )
6261adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( B ^
( k  +  1 ) )  =  ( ( B ^ k
)  x.  B ) )
6352, 57, 623brtr4d 3963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  /\  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( A ^
( k  +  1 ) )  <_  ( B ^ ( k  +  1 ) ) )
6463ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( A ^ k )  <_ 
( B ^ k
)  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( B ^ (
k  +  1 ) ) ) )
6564expcom 115 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  (
( A ^ k
)  <_  ( B ^ k )  -> 
( A ^ (
k  +  1 ) )  <_  ( B ^ ( k  +  1 ) ) ) ) )
6665a2d 26 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN0  ->  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^
k )  <_  ( B ^ k ) )  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ ( k  +  1 ) )  <_ 
( B ^ (
k  +  1 ) ) ) ) )
674, 8, 12, 16, 27, 66nn0ind 9184 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B
) )  ->  ( A ^ N )  <_ 
( B ^ N
) ) )
6867exp4c 365 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) ) ) )
6968com3l 81 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) ) ) ) )
70693imp1 1198 1  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  ( A ^ N )  <_  ( B ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3932  (class class class)co 5777   CCcc 7637   RRcr 7638   0cc0 7639   1c1 7640    + caddc 7642    x. cmul 7644    <_ cle 7820   NN0cn0 8996   ^cexp 10316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-nul 4057  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358  ax-setind 4455  ax-iinf 4505  ax-cnex 7730  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-1re 7733  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-mulrcl 7738  ax-addcom 7739  ax-mulcom 7740  ax-addass 7741  ax-mulass 7742  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0lt1 7745  ax-1rid 7746  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-precex 7749  ax-cnre 7750  ax-pre-ltirr 7751  ax-pre-ltwlin 7752  ax-pre-lttrn 7753  ax-pre-apti 7754  ax-pre-ltadd 7755  ax-pre-mulgt0 7756  ax-pre-mulext 7757
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-int 3775  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-po 4221  df-iso 4222  df-iord 4291  df-on 4293  df-ilim 4294  df-suc 4296  df-iom 4508  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-1st 6041  df-2nd 6042  df-recs 6205  df-frec 6291  df-pnf 7821  df-mnf 7822  df-xr 7823  df-ltxr 7824  df-le 7825  df-sub 7954  df-neg 7955  df-reap 8356  df-ap 8363  df-div 8452  df-inn 8740  df-n0 8997  df-z 9074  df-uz 9346  df-seqfrec 10243  df-exp 10317
This theorem is referenced by:  expubnd  10374  facubnd  10515  expcnvre  11296
  Copyright terms: Public domain W3C validator