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Theorem leexp1a 11031
Description: Weak base ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) )
Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6093 . . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( A ^ j ) = ( A ^ 0 ) )
2 oveq2 6093 . . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( B ^ j ) = ( B ^ 0 ) )
31, 2breq12d 4143 . . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) )
43imbi2d 230 . . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) ) )
5 oveq2 6093 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( A ^ j ) = ( A ^ k ) )
6 oveq2 6093 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( B ^ j ) = ( B ^ k ) )
75, 6breq12d 4143 . . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) )
87imbi2d 230 . . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) ) )
9 oveq2 6093 . . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( A ^ j ) = ( A ^ ( k + 1 ) ) )
10 oveq2 6093 . . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( B ^ j ) = ( B ^ ( k + 1 ) ) )
119, 10breq12d 4143 . . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) )
1211imbi2d 230 . . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
13 oveq2 6093 . . . . . . 7 |- ( j = N -> ( A ^ j ) = ( A ^ N ) )
14 oveq2 6093 . . . . . . 7 |- ( j = N -> ( B ^ j ) = ( B ^ N ) )
1513, 14breq12d 4143 . . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) )
1615imbi2d 230 . . . . 5 |- ( j = N -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) )
17 recn 8312 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
18 recn 8312 . . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
19 exp0 10980 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )
2019adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) = 1 )
21 1le1 8900 . . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
2220, 21eqbrtrdi 4169 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) <_ 1 )
23 exp0 10980 . . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( B ^ 0 ) = 1 )
2423adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
2522, 24breqtrrd 4158 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) )
2617, 18, 25syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) )
2726adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) )
28 simpll 531 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )
29 reexpcl 10993 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR )
3028, 29sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR )
31 simplll 539 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> A e. RR )
32 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
33 simplrl 541 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ A )
34 expge0 11012 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1278 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
36 simplr 533 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> B e. RR )
37 reexpcl 10993 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. RR )
3836, 37sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. RR )
3930, 35, 38jca31 309 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) )
40 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
41 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> 0 <_ A )
4240, 41anim12i 338 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
4342adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
44 simpllr 540 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> B e. RR )
4539, 43, 44jca32 310 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) )
4645adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) )
48 simplrr 542 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> A <_ B )
4948adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> A <_ B )
5047, 49jca 306 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) /\ A <_ B ) )
51 lemul12a 9192 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) -> ( ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) /\ A <_ B ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( B ^ k ) x. B ) ) )
5246, 50, 51sylc 62 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( B ^ k ) x. B ) )
53 expp1 10983 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5417, 53sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5554adantlr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5655adantlr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5756adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
58 expp1 10983 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
5918, 58sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6059adantll 480 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6160adantlr 481 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6261adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6352, 57, 623brtr4d 4162 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) )
6463ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) )
6564expcom 116 . . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
6665a2d 26 . . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
674, 8, 12, 16, 27, 66nn0ind 9760 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) )
6867exp4c 368 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) ) )
6968com3l 81 . 2 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( N e. NN0 -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) ) )
70693imp1 1251 1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   CCcc 8177   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   <_ cle 8361   NN0cn0 9563   ^cexp 10975
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885  df-exp 10976
This theorem is used by:  expubnd  11033  facubnd  11183  expcnvre  12270
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