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Theorem leexp1a 10686
Description: Weak base ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) )
Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5930 . . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( A ^ j ) = ( A ^ 0 ) )
2 oveq2 5930 . . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( B ^ j ) = ( B ^ 0 ) )
31, 2breq12d 4046 . . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) )
43imbi2d 230 . . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) ) )
5 oveq2 5930 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( A ^ j ) = ( A ^ k ) )
6 oveq2 5930 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( B ^ j ) = ( B ^ k ) )
75, 6breq12d 4046 . . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) )
87imbi2d 230 . . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) ) )
9 oveq2 5930 . . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( A ^ j ) = ( A ^ ( k + 1 ) ) )
10 oveq2 5930 . . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( B ^ j ) = ( B ^ ( k + 1 ) ) )
119, 10breq12d 4046 . . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) )
1211imbi2d 230 . . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
13 oveq2 5930 . . . . . . 7 |- ( j = N -> ( A ^ j ) = ( A ^ N ) )
14 oveq2 5930 . . . . . . 7 |- ( j = N -> ( B ^ j ) = ( B ^ N ) )
1513, 14breq12d 4046 . . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) )
1615imbi2d 230 . . . . 5 |- ( j = N -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) )
17 recn 8012 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
18 recn 8012 . . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
19 exp0 10635 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )
2019adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) = 1 )
21 1le1 8599 . . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
2220, 21eqbrtrdi 4072 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) <_ 1 )
23 exp0 10635 . . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( B ^ 0 ) = 1 )
2423adantl 277 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
2522, 24breqtrrd 4061 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) )
2617, 18, 25syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) )
2726adantr 276 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) )
28 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )
29 reexpcl 10648 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR )
3028, 29sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR )
31 simplll 533 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> A e. RR )
32 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
33 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ A )
34 expge0 10667 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1249 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
36 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> B e. RR )
37 reexpcl 10648 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. RR )
3836, 37sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. RR )
3930, 35, 38jca31 309 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) )
40 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
41 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> 0 <_ A )
4240, 41anim12i 338 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
4342adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
44 simpllr 534 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> B e. RR )
4539, 43, 44jca32 310 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) )
4645adantr 276 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) )
47 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) )
48 simplrr 536 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> A <_ B )
4948adantr 276 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> A <_ B )
5047, 49jca 306 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) /\ A <_ B ) )
51 lemul12a 8889 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) -> ( ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) /\ A <_ B ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( B ^ k ) x. B ) ) )
5246, 50, 51sylc 62 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( B ^ k ) x. B ) )
53 expp1 10638 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5417, 53sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5554adantlr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5655adantlr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5756adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
58 expp1 10638 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
5918, 58sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6059adantll 476 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6160adantlr 477 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6261adantr 276 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6352, 57, 623brtr4d 4065 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) )
6463ex 115 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) )
6564expcom 116 . . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
6665a2d 26 . . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
674, 8, 12, 16, 27, 66nn0ind 9440 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) )
6867exp4c 368 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) ) )
6968com3l 81 . 2 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( N e. NN0 -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) ) )
70693imp1 1222 1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   CCcc 7877   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   <_ cle 8062   NN0cn0 9249   ^cexp 10630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-seqfrec 10540  df-exp 10631
This theorem is referenced by:  expubnd  10688  facubnd  10837  expcnvre  11668
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