ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leexp1a Unicode version
Theorem leexp1a 10510
Description: Weak base ordering relationship for exponentiation. (Contributed by NM, 18-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
leexp1a |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) )
Proof of Theorem leexp1a
Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5850 . . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( A ^ j ) = ( A ^ 0 ) )
2 oveq2 5850 . . . . . . 7 |- ( j = 0 -> ( B ^ j ) = ( B ^ 0 ) )
31, 2breq12d 3995 . . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) )
43imbi2d 229 . . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) ) ) )
5 oveq2 5850 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( A ^ j ) = ( A ^ k ) )
6 oveq2 5850 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( B ^ j ) = ( B ^ k ) )
75, 6breq12d 3995 . . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) )
87imbi2d 229 . . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) ) )
9 oveq2 5850 . . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( A ^ j ) = ( A ^ ( k + 1 ) ) )
10 oveq2 5850 . . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( B ^ j ) = ( B ^ ( k + 1 ) ) )
119, 10breq12d 3995 . . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) )
1211imbi2d 229 . . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
13 oveq2 5850 . . . . . . 7 |- ( j = N -> ( A ^ j ) = ( A ^ N ) )
14 oveq2 5850 . . . . . . 7 |- ( j = N -> ( B ^ j ) = ( B ^ N ) )
1513, 14breq12d 3995 . . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) <-> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) )
1615imbi2d 229 . . . . 5 |- ( j = N -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( B ^ j ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) )
17 recn 7886 . . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
18 recn 7886 . . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
19 exp0 10459 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. CC -> ( A ^ 0 ) = 1 )
2019adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) = 1 )
21 1le1 8470 . . . . . . . . 9 |- 1 <_ 1
2220, 21eqbrtrdi 4021 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) <_ 1 )
23 exp0 10459 . . . . . . . . 9 |- ( B e. CC -> ( B ^ 0 ) = 1 )
2423adantl 275 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( B ^ 0 ) = 1 )
2522, 24breqtrrd 4010 . . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) )
2617, 18, 25syl2an 287 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) )
2726adantr 274 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ 0 ) <_ ( B ^ 0 ) )
28 simpll 519 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> A e. RR )
29 reexpcl 10472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR )
3028, 29sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR )
31 simplll 523 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> A e. RR )
32 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> k e. NN0 )
33 simplrl 525 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ A )
34 expge0 10491 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
36 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> B e. RR )
37 reexpcl 10472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. RR )
3836, 37sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ k ) e. RR )
3930, 35, 38jca31 307 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) )
40 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A e. RR )
41 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> 0 <_ A )
4240, 41anim12i 336 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
4342adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A e. RR /\ 0 <_ A ) )
44 simpllr 524 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> B e. RR )
4539, 43, 44jca32 308 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) )
4645adantr 274 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) )
47 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) )
48 simplrr 526 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> A <_ B )
4948adantr 274 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> A <_ B )
5047, 49jca 304 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) /\ A <_ B ) )
51 lemul12a 8757 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( A ^ k ) e. RR /\ 0 <_ ( A ^ k ) ) /\ ( B ^ k ) e. RR ) /\ ( ( A e. RR /\ 0 <_ A ) /\ B e. RR ) ) -> ( ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) /\ A <_ B ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( B ^ k ) x. B ) ) )
5246, 50, 51sylc 62 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( B ^ k ) x. B ) )
53 expp1 10462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5417, 53sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5554adantlr 469 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5655adantlr 469 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
5756adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
58 expp1 10462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
5918, 58sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6059adantll 468 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6160adantlr 469 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6261adantr 274 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( B ^ ( k + 1 ) ) = ( ( B ^ k ) x. B ) )
6352, 57, 623brtr4d 4014 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) /\ ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) )
6463ex 114 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) /\ k e. NN0 ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) )
6564expcom 115 . . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
6665a2d 26 . . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( B ^ k ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( B ^ ( k + 1 ) ) ) ) )
674, 8, 12, 16, 27, 66nn0ind 9305 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) )
6867exp4c 366 . . 3 |- ( N e. NN0 -> ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) ) )
6968com3l 81 . 2 |- ( A e. RR -> ( B e. RR -> ( N e. NN0 -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ B ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) ) ) ) )
70693imp1 1210 1 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ N e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ B ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( B ^ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   CCcc 7751   RRcr 7752   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   x. cmul 7758   <_ cle 7934   NN0cn0 9114   ^cexp 10454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-seqfrec 10381  df-exp 10455
This theorem is referenced by:  expubnd  10512  facubnd  10658  expcnvre  11444
  Copyright terms: Public domain W3C validator