trirec0 - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem trirec0 16845

Description: Every real number having a reciprocal or equaling zero is equivalent to real number trichotomy.

This is the key part of the definition of what is known as a discrete field, so "the real numbers are a discrete field" can be taken as an equivalent way to state real trichotomy (see further discussion at trilpo 16844). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
trirec0	$\/$ $\/$ $\/$

Distinct variable group:

Proof of Theorem trirec0 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
2		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
3	1, 2	lt0ap0d 8925	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ #
4		rerecclap 9006	. . . . . . 7 $/\$ #
5		recn 8262	. . . . . . . 8
6		recidap 8962	. . . . . . . 8 $/\$ #
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . 7 $/\$ #
8		oveq2 6060	. . . . . . . . 9
9	8	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8
10	9	rspcev 2923	. . . . . . 7 $/\$
11	4, 7, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ #
12	1, 3, 11	syl2anc 411	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
13	12	orcd 741	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
14		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
15	14	olcd 742	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
16		simpll 527	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
17		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
18	16, 17	gt0ap0d 8905	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ #
19	16, 18, 11	syl2anc 411	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
20	19	orcd 741	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
21		0re 8276	. . . . . 6
22		breq2 4115	. . . . . . . 8
23		eqeq2 2244	. . . . . . . 8
24		breq1 4114	. . . . . . . 8
25	22, 23, 24	3orbi123d 1348	. . . . . . 7 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
26	25	rspcv 2919	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . 5 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
28	27	adantl 277	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
29	13, 15, 20, 28	mpjao3dan 1344	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	29	ralimiaa 2606	. 2 $\/$ $\/$ $\/$
31		oveq1 6059	. . . . . . 7
32	31	eqeq1d 2243	. . . . . 6
33	32	rexbidv 2545	. . . . 5
34		eqeq1 2241	. . . . 5
35	33, 34	orbi12d 801	. . . 4 $\/$ $\/$
36	35	cbvralv 2780	. . 3 $\/$ $\/$
37		nfcv 2386	. . . . . . . . 9
38		nfre1 2587	. . . . . . . . . 10
39		nfv 1577	. . . . . . . . . 10
40	38, 39	nfor 1623	. . . . . . . . 9 $\/$
41	37, 40	nfralya 2584	. . . . . . . 8 $\/$
42		nfv 1577	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	nfan 1614	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$
44		nfv 1577	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
45		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$
50	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	48, 51	sublt0d 8846	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	45, 52	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	3mix3d 1201	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
55		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	posdifd 8808	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	3mix1d 1199	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
61	47	recnd 8304	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	50	recnd 8304	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	61, 62	subcld 8586	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simplr 529	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	recnd 8304	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		1ap0 8866	. . . . . . . . . . . 12 #
68	66, 67	eqbrtrdi 4150	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
69	63, 65, 68	mulap0bad 8935	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
70	46, 49	resubcld 8656	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		reaplt 8864	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $\/$
73	71, 21, 72	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # $\/$
74	69, 73	mpbid 147	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
75	54, 60, 74	mpjaodan 806	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
76	75	exp31 364	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
77	43, 44, 76	rexlimd 2659	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
78	77	imp 124	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
79	46	recnd 8304	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
81	49	recnd 8304	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$
82	81	adantr 276	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
83		simpr 110	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
84	80, 82, 83	subeq0d 8594	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	equcomd 1755	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85	3mix2d 1200	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
87		oveq1 6059	. . . . . . . . 9
88	87	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8
89	88	rexbidv 2545	. . . . . . 7
90		eqeq1 2241	. . . . . . 7
91	89, 90	orbi12d 801	. . . . . 6 $\/$ $\/$
92		simpl 109	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
93	91, 92, 70	rspcdva 2928	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
94	78, 86, 93	mpjaodan 806	. . . 4 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
95	94	ralrimivva 2626	. . 3 $\/$ $\/$ $\/$
96	36, 95	sylbi 121	. 2 $\/$ $\/$ $\/$
97	30, 96	impbii 126	1 $\/$ $\/$ $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 716 $\/$ w3o 1004

wceq 1398

wcel 2205

wral 2522

wrex 2523 class class class wbr 4111 (class class class)co 6052

cc 8127

cr 8128

cc0 8129

c1 8130

cmul 8134

clt 8310

cmin 8446 # cap 8857

cdiv 8948

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 717 ax-5 1496 ax-7 1497 ax-gen 1498 ax-ie1 1542 ax-ie2 1543 ax-8 1553 ax-10 1554 ax-11 1555 ax-i12 1556 ax-bndl 1558 ax-4 1559 ax-17 1575 ax-i9 1579 ax-ial 1583 ax-i5r 1584 ax-13 2207 ax-14 2208 ax-ext 2216 ax-sep 4230 ax-pow 4289 ax-pr 4324 ax-un 4556 ax-setind 4661 ax-cnex 8220 ax-resscn 8221 ax-1cn 8222 ax-1re 8223 ax-icn 8224 ax-addcl 8225 ax-addrcl 8226 ax-mulcl 8227 ax-mulrcl 8228 ax-addcom 8229 ax-mulcom 8230 ax-addass 8231 ax-mulass 8232 ax-distr 8233 ax-i2m1 8234 ax-0lt1 8235 ax-1rid 8236 ax-0id 8237 ax-rnegex 8238 ax-precex 8239 ax-cnre 8240 ax-pre-ltirr 8241 ax-pre-ltwlin 8242 ax-pre-lttrn 8243 ax-pre-apti 8244 ax-pre-ltadd 8245 ax-pre-mulgt0 8246 ax-pre-mulext 8247

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 1006 df-3an 1007 df-tru 1401 df-fal 1404 df-nf 1510 df-sb 1812 df-eu 2085 df-mo 2086 df-clab 2221 df-cleq 2227 df-clel 2230 df-nfc 2375 df-ne 2415 df-nel 2510 df-ral 2527 df-rex 2528 df-reu 2529 df-rmo 2530 df-rab 2531 df-v 2817 df-sbc 3045 df-dif 3215 df-un 3217 df-in 3219 df-ss 3226 df-pw 3673 df-sn 3697 df-pr 3698 df-op 3700 df-uni 3917 df-br 4112 df-opab 4174 df-id 4416 df-po 4419 df-iso 4420 df-xp 4757 df-rel 4758 df-cnv 4759 df-co 4760 df-dm 4761 df-iota 5314 df-fun 5356 df-fv 5362 df-riota 6005 df-ov 6055 df-oprab 6056 df-mpo 6057 df-pnf 8312 df-mnf 8313 df-xr 8314 df-ltxr 8315 df-le 8316 df-sub 8448 df-neg 8449 df-reap 8851 df-ap 8858 df-div 8949

This theorem is referenced by: trirec0xor 16846

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