trirec0 - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem trirec0 15987

Description: Every real number having a reciprocal or equaling zero is equivalent to real number trichotomy.

This is the key part of the definition of what is known as a discrete field, so "the real numbers are a discrete field" can be taken as an equivalent way to state real trichotomy (see further discussion at trilpo 15986). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
trirec0	$\/$ $\/$ $\/$

Distinct variable group:

Proof of Theorem trirec0 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
2		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
3	1, 2	lt0ap0d 8722	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ #
4		rerecclap 8803	. . . . . . 7 $/\$ #
5		recn 8058	. . . . . . . 8
6		recidap 8759	. . . . . . . 8 $/\$ #
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . 7 $/\$ #
8		oveq2 5952	. . . . . . . . 9
9	8	eqeq1d 2214	. . . . . . . 8
10	9	rspcev 2877	. . . . . . 7 $/\$
11	4, 7, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ #
12	1, 3, 11	syl2anc 411	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
13	12	orcd 735	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
14		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
15	14	olcd 736	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
16		simpll 527	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
17		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
18	16, 17	gt0ap0d 8702	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ #
19	16, 18, 11	syl2anc 411	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
20	19	orcd 735	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
21		0re 8072	. . . . . 6
22		breq2 4048	. . . . . . . 8
23		eqeq2 2215	. . . . . . . 8
24		breq1 4047	. . . . . . . 8
25	22, 23, 24	3orbi123d 1324	. . . . . . 7 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
26	25	rspcv 2873	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . 5 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
28	27	adantl 277	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
29	13, 15, 20, 28	mpjao3dan 1320	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	29	ralimiaa 2568	. 2 $\/$ $\/$ $\/$
31		oveq1 5951	. . . . . . 7
32	31	eqeq1d 2214	. . . . . 6
33	32	rexbidv 2507	. . . . 5
34		eqeq1 2212	. . . . 5
35	33, 34	orbi12d 795	. . . 4 $\/$ $\/$
36	35	cbvralv 2738	. . 3 $\/$ $\/$
37		nfcv 2348	. . . . . . . . 9
38		nfre1 2549	. . . . . . . . . 10
39		nfv 1551	. . . . . . . . . 10
40	38, 39	nfor 1597	. . . . . . . . 9 $\/$
41	37, 40	nfralya 2546	. . . . . . . 8 $\/$
42		nfv 1551	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	nfan 1588	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$
44		nfv 1551	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
45		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$
50	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	48, 51	sublt0d 8643	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	45, 52	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	3mix3d 1177	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
55		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	posdifd 8605	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	3mix1d 1175	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
61	47	recnd 8101	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	50	recnd 8101	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	61, 62	subcld 8383	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	recnd 8101	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		1ap0 8663	. . . . . . . . . . . 12 #
68	66, 67	eqbrtrdi 4083	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
69	63, 65, 68	mulap0bad 8732	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
70	46, 49	resubcld 8453	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		reaplt 8661	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $\/$
73	71, 21, 72	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # $\/$
74	69, 73	mpbid 147	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
75	54, 60, 74	mpjaodan 800	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
76	75	exp31 364	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
77	43, 44, 76	rexlimd 2620	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
78	77	imp 124	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
79	46	recnd 8101	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
81	49	recnd 8101	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$
82	81	adantr 276	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
83		simpr 110	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
84	80, 82, 83	subeq0d 8391	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	equcomd 1730	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85	3mix2d 1176	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
87		oveq1 5951	. . . . . . . . 9
88	87	eqeq1d 2214	. . . . . . . 8
89	88	rexbidv 2507	. . . . . . 7
90		eqeq1 2212	. . . . . . 7
91	89, 90	orbi12d 795	. . . . . 6 $\/$ $\/$
92		simpl 109	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
93	91, 92, 70	rspcdva 2882	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
94	78, 86, 93	mpjaodan 800	. . . 4 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
95	94	ralrimivva 2588	. . 3 $\/$ $\/$ $\/$
96	36, 95	sylbi 121	. 2 $\/$ $\/$ $\/$
97	30, 96	impbii 126	1 $\/$ $\/$ $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 710 $\/$ w3o 980

wceq 1373

wcel 2176

wral 2484

wrex 2485 class class class wbr 4044 (class class class)co 5944

cc 7923

cr 7924

cc0 7925

c1 7926

cmul 7930

clt 8107

cmin 8243 # cap 8654

cdiv 8745

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 711 ax-5 1470 ax-7 1471 ax-gen 1472 ax-ie1 1516 ax-ie2 1517 ax-8 1527 ax-10 1528 ax-11 1529 ax-i12 1530 ax-bndl 1532 ax-4 1533 ax-17 1549 ax-i9 1553 ax-ial 1557 ax-i5r 1558 ax-13 2178 ax-14 2179 ax-ext 2187 ax-sep 4162 ax-pow 4218 ax-pr 4253 ax-un 4480 ax-setind 4585 ax-cnex 8016 ax-resscn 8017 ax-1cn 8018 ax-1re 8019 ax-icn 8020 ax-addcl 8021 ax-addrcl 8022 ax-mulcl 8023 ax-mulrcl 8024 ax-addcom 8025 ax-mulcom 8026 ax-addass 8027 ax-mulass 8028 ax-distr 8029 ax-i2m1 8030 ax-0lt1 8031 ax-1rid 8032 ax-0id 8033 ax-rnegex 8034 ax-precex 8035 ax-cnre 8036 ax-pre-ltirr 8037 ax-pre-ltwlin 8038 ax-pre-lttrn 8039 ax-pre-apti 8040 ax-pre-ltadd 8041 ax-pre-mulgt0 8042 ax-pre-mulext 8043

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 982 df-3an 983 df-tru 1376 df-fal 1379 df-nf 1484 df-sb 1786 df-eu 2057 df-mo 2058 df-clab 2192 df-cleq 2198 df-clel 2201 df-nfc 2337 df-ne 2377 df-nel 2472 df-ral 2489 df-rex 2490 df-reu 2491 df-rmo 2492 df-rab 2493 df-v 2774 df-sbc 2999 df-dif 3168 df-un 3170 df-in 3172 df-ss 3179 df-pw 3618 df-sn 3639 df-pr 3640 df-op 3642 df-uni 3851 df-br 4045 df-opab 4106 df-id 4340 df-po 4343 df-iso 4344 df-xp 4681 df-rel 4682 df-cnv 4683 df-co 4684 df-dm 4685 df-iota 5232 df-fun 5273 df-fv 5279 df-riota 5899 df-ov 5947 df-oprab 5948 df-mpo 5949 df-pnf 8109 df-mnf 8110 df-xr 8111 df-ltxr 8112 df-le 8113 df-sub 8245 df-neg 8246 df-reap 8648 df-ap 8655 df-div 8746

This theorem is referenced by: trirec0xor 15988

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