trirec0 - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem trirec0 14448

Description: Every real number having a reciprocal or equaling zero is equivalent to real number trichotomy.

This is the key part of the definition of what is known as a discrete field, so "the real numbers are a discrete field" can be taken as an equivalent way to state real trichotomy (see further discussion at trilpo 14447). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
trirec0	$\/$ $\/$ $\/$

Distinct variable group:

Proof of Theorem trirec0 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
2		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
3	1, 2	lt0ap0d 8596	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ #
4		rerecclap 8676	. . . . . . 7 $/\$ #
5		recn 7935	. . . . . . . 8
6		recidap 8632	. . . . . . . 8 $/\$ #
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . 7 $/\$ #
8		oveq2 5877	. . . . . . . . 9
9	8	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8
10	9	rspcev 2841	. . . . . . 7 $/\$
11	4, 7, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ #
12	1, 3, 11	syl2anc 411	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
13	12	orcd 733	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
14		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
15	14	olcd 734	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
16		simpll 527	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
17		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
18	16, 17	gt0ap0d 8576	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ #
19	16, 18, 11	syl2anc 411	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
20	19	orcd 733	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
21		0re 7948	. . . . . 6
22		breq2 4004	. . . . . . . 8
23		eqeq2 2187	. . . . . . . 8
24		breq1 4003	. . . . . . . 8
25	22, 23, 24	3orbi123d 1311	. . . . . . 7 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
26	25	rspcv 2837	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . 5 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
28	27	adantl 277	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
29	13, 15, 20, 28	mpjao3dan 1307	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	29	ralimiaa 2539	. 2 $\/$ $\/$ $\/$
31		oveq1 5876	. . . . . . 7
32	31	eqeq1d 2186	. . . . . 6
33	32	rexbidv 2478	. . . . 5
34		eqeq1 2184	. . . . 5
35	33, 34	orbi12d 793	. . . 4 $\/$ $\/$
36	35	cbvralv 2703	. . 3 $\/$ $\/$
37		nfcv 2319	. . . . . . . . 9
38		nfre1 2520	. . . . . . . . . 10
39		nfv 1528	. . . . . . . . . 10
40	38, 39	nfor 1574	. . . . . . . . 9 $\/$
41	37, 40	nfralya 2517	. . . . . . . 8 $\/$
42		nfv 1528	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	nfan 1565	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$
44		nfv 1528	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
45		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$
50	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	48, 51	sublt0d 8517	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	45, 52	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	3mix3d 1174	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
55		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	posdifd 8479	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	3mix1d 1172	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
61	47	recnd 7976	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	50	recnd 7976	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	61, 62	subcld 8258	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	recnd 7976	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		1ap0 8537	. . . . . . . . . . . 12 #
68	66, 67	eqbrtrdi 4039	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
69	63, 65, 68	mulap0bad 8605	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
70	46, 49	resubcld 8328	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		reaplt 8535	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $\/$
73	71, 21, 72	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # $\/$
74	69, 73	mpbid 147	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
75	54, 60, 74	mpjaodan 798	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
76	75	exp31 364	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
77	43, 44, 76	rexlimd 2591	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
78	77	imp 124	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
79	46	recnd 7976	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
81	49	recnd 7976	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$
82	81	adantr 276	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
83		simpr 110	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
84	80, 82, 83	subeq0d 8266	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	equcomd 1707	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85	3mix2d 1173	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
87		oveq1 5876	. . . . . . . . 9
88	87	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8
89	88	rexbidv 2478	. . . . . . 7
90		eqeq1 2184	. . . . . . 7
91	89, 90	orbi12d 793	. . . . . 6 $\/$ $\/$
92		simpl 109	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
93	91, 92, 70	rspcdva 2846	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
94	78, 86, 93	mpjaodan 798	. . . 4 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
95	94	ralrimivva 2559	. . 3 $\/$ $\/$ $\/$
96	36, 95	sylbi 121	. 2 $\/$ $\/$ $\/$
97	30, 96	impbii 126	1 $\/$ $\/$ $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 $\/$ w3o 977

wceq 1353

wcel 2148

wral 2455

wrex 2456 class class class wbr 4000 (class class class)co 5869

cc 7800

cr 7801

cc0 7802

c1 7803

cmul 7807

clt 7982

cmin 8118 # cap 8528

cdiv 8618

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4118 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-br 4001 df-opab 4062 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619

This theorem is referenced by: trirec0xor 14449

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