trirec0 - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem trirec0 14563

Description: Every real number having a reciprocal or equaling zero is equivalent to real number trichotomy.

This is the key part of the definition of what is known as a discrete field, so "the real numbers are a discrete field" can be taken as an equivalent way to state real trichotomy (see further discussion at trilpo 14562). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
trirec0	$\/$ $\/$ $\/$

Distinct variable group:

Proof of Theorem trirec0 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
2		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
3	1, 2	lt0ap0d 8600	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ #
4		rerecclap 8681	. . . . . . 7 $/\$ #
5		recn 7939	. . . . . . . 8
6		recidap 8637	. . . . . . . 8 $/\$ #
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . 7 $/\$ #
8		oveq2 5878	. . . . . . . . 9
9	8	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8
10	9	rspcev 2841	. . . . . . 7 $/\$
11	4, 7, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ #
12	1, 3, 11	syl2anc 411	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
13	12	orcd 733	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
14		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
15	14	olcd 734	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
16		simpll 527	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
17		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
18	16, 17	gt0ap0d 8580	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ #
19	16, 18, 11	syl2anc 411	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
20	19	orcd 733	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
21		0re 7952	. . . . . 6
22		breq2 4005	. . . . . . . 8
23		eqeq2 2187	. . . . . . . 8
24		breq1 4004	. . . . . . . 8
25	22, 23, 24	3orbi123d 1311	. . . . . . 7 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
26	25	rspcv 2837	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . 5 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
28	27	adantl 277	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
29	13, 15, 20, 28	mpjao3dan 1307	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	29	ralimiaa 2539	. 2 $\/$ $\/$ $\/$
31		oveq1 5877	. . . . . . 7
32	31	eqeq1d 2186	. . . . . 6
33	32	rexbidv 2478	. . . . 5
34		eqeq1 2184	. . . . 5
35	33, 34	orbi12d 793	. . . 4 $\/$ $\/$
36	35	cbvralv 2703	. . 3 $\/$ $\/$
37		nfcv 2319	. . . . . . . . 9
38		nfre1 2520	. . . . . . . . . 10
39		nfv 1528	. . . . . . . . . 10
40	38, 39	nfor 1574	. . . . . . . . 9 $\/$
41	37, 40	nfralya 2517	. . . . . . . 8 $\/$
42		nfv 1528	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	nfan 1565	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$
44		nfv 1528	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
45		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$
50	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	48, 51	sublt0d 8521	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	45, 52	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	3mix3d 1174	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
55		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	posdifd 8483	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	3mix1d 1172	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
61	47	recnd 7980	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	50	recnd 7980	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	61, 62	subcld 8262	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	recnd 7980	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		1ap0 8541	. . . . . . . . . . . 12 #
68	66, 67	eqbrtrdi 4040	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
69	63, 65, 68	mulap0bad 8610	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
70	46, 49	resubcld 8332	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		reaplt 8539	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $\/$
73	71, 21, 72	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # $\/$
74	69, 73	mpbid 147	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
75	54, 60, 74	mpjaodan 798	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
76	75	exp31 364	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
77	43, 44, 76	rexlimd 2591	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
78	77	imp 124	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
79	46	recnd 7980	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
81	49	recnd 7980	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$
82	81	adantr 276	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
83		simpr 110	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
84	80, 82, 83	subeq0d 8270	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	equcomd 1707	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85	3mix2d 1173	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
87		oveq1 5877	. . . . . . . . 9
88	87	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8
89	88	rexbidv 2478	. . . . . . 7
90		eqeq1 2184	. . . . . . 7
91	89, 90	orbi12d 793	. . . . . 6 $\/$ $\/$
92		simpl 109	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
93	91, 92, 70	rspcdva 2846	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
94	78, 86, 93	mpjaodan 798	. . . 4 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
95	94	ralrimivva 2559	. . 3 $\/$ $\/$ $\/$
96	36, 95	sylbi 121	. 2 $\/$ $\/$ $\/$
97	30, 96	impbii 126	1 $\/$ $\/$ $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 708 $\/$ w3o 977

wceq 1353

wcel 2148

wral 2455

wrex 2456 class class class wbr 4001 (class class class)co 5870

cc 7804

cr 7805

cc0 7806

c1 7807

cmul 7811

clt 7986

cmin 8122 # cap 8532

cdiv 8623

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4119 ax-pow 4172 ax-pr 4207 ax-un 4431 ax-setind 4534 ax-cnex 7897 ax-resscn 7898 ax-1cn 7899 ax-1re 7900 ax-icn 7901 ax-addcl 7902 ax-addrcl 7903 ax-mulcl 7904 ax-mulrcl 7905 ax-addcom 7906 ax-mulcom 7907 ax-addass 7908 ax-mulass 7909 ax-distr 7910 ax-i2m1 7911 ax-0lt1 7912 ax-1rid 7913 ax-0id 7914 ax-rnegex 7915 ax-precex 7916 ax-cnre 7917 ax-pre-ltirr 7918 ax-pre-ltwlin 7919 ax-pre-lttrn 7920 ax-pre-apti 7921 ax-pre-ltadd 7922 ax-pre-mulgt0 7923 ax-pre-mulext 7924

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3809 df-br 4002 df-opab 4063 df-id 4291 df-po 4294 df-iso 4295 df-xp 4630 df-rel 4631 df-cnv 4632 df-co 4633 df-dm 4634 df-iota 5175 df-fun 5215 df-fv 5221 df-riota 5826 df-ov 5873 df-oprab 5874 df-mpo 5875 df-pnf 7988 df-mnf 7989 df-xr 7990 df-ltxr 7991 df-le 7992 df-sub 8124 df-neg 8125 df-reap 8526 df-ap 8533 df-div 8624

This theorem is referenced by: trirec0xor 14564

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