trirec0 - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem trirec0 15775

Description: Every real number having a reciprocal or equaling zero is equivalent to real number trichotomy.

This is the key part of the definition of what is known as a discrete field, so "the real numbers are a discrete field" can be taken as an equivalent way to state real trichotomy (see further discussion at trilpo 15774). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
trirec0	$\/$ $\/$ $\/$

Distinct variable group:

Proof of Theorem trirec0 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 527	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
2		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
3	1, 2	lt0ap0d 8693	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ #
4		rerecclap 8774	. . . . . . 7 $/\$ #
5		recn 8029	. . . . . . . 8
6		recidap 8730	. . . . . . . 8 $/\$ #
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . 7 $/\$ #
8		oveq2 5933	. . . . . . . . 9
9	8	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8
10	9	rspcev 2868	. . . . . . 7 $/\$
11	4, 7, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 $/\$ #
12	1, 3, 11	syl2anc 411	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
13	12	orcd 734	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
14		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
15	14	olcd 735	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
16		simpll 527	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
17		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
18	16, 17	gt0ap0d 8673	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ #
19	16, 18, 11	syl2anc 411	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
20	19	orcd 734	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
21		0re 8043	. . . . . 6
22		breq2 4038	. . . . . . . 8
23		eqeq2 2206	. . . . . . . 8
24		breq1 4037	. . . . . . . 8
25	22, 23, 24	3orbi123d 1322	. . . . . . 7 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
26	25	rspcv 2864	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . 5 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
28	27	adantl 277	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
29	13, 15, 20, 28	mpjao3dan 1318	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	29	ralimiaa 2559	. 2 $\/$ $\/$ $\/$
31		oveq1 5932	. . . . . . 7
32	31	eqeq1d 2205	. . . . . 6
33	32	rexbidv 2498	. . . . 5
34		eqeq1 2203	. . . . 5
35	33, 34	orbi12d 794	. . . 4 $\/$ $\/$
36	35	cbvralv 2729	. . 3 $\/$ $\/$
37		nfcv 2339	. . . . . . . . 9
38		nfre1 2540	. . . . . . . . . 10
39		nfv 1542	. . . . . . . . . 10
40	38, 39	nfor 1588	. . . . . . . . 9 $\/$
41	37, 40	nfralya 2537	. . . . . . . 8 $\/$
42		nfv 1542	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	nfan 1579	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$
44		nfv 1542	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
45		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$
47	46	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$
50	49	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	48, 51	sublt0d 8614	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	45, 52	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	3mix3d 1176	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
55		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	posdifd 8576	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	3mix1d 1174	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
61	47	recnd 8072	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	50	recnd 8072	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	61, 62	subcld 8354	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	recnd 8072	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		1ap0 8634	. . . . . . . . . . . 12 #
68	66, 67	eqbrtrdi 4073	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
69	63, 65, 68	mulap0bad 8703	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
70	46, 49	resubcld 8424	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$
71	70	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		reaplt 8632	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $\/$
73	71, 21, 72	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # $\/$
74	69, 73	mpbid 147	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
75	54, 60, 74	mpjaodan 799	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
76	75	exp31 364	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
77	43, 44, 76	rexlimd 2611	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
78	77	imp 124	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
79	46	recnd 8072	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
81	49	recnd 8072	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$
82	81	adantr 276	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
83		simpr 110	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
84	80, 82, 83	subeq0d 8362	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	equcomd 1721	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85	3mix2d 1175	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
87		oveq1 5932	. . . . . . . . 9
88	87	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8
89	88	rexbidv 2498	. . . . . . 7
90		eqeq1 2203	. . . . . . 7
91	89, 90	orbi12d 794	. . . . . 6 $\/$ $\/$
92		simpl 109	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
93	91, 92, 70	rspcdva 2873	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
94	78, 86, 93	mpjaodan 799	. . . 4 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
95	94	ralrimivva 2579	. . 3 $\/$ $\/$ $\/$
96	36, 95	sylbi 121	. 2 $\/$ $\/$ $\/$
97	30, 96	impbii 126	1 $\/$ $\/$ $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 709 $\/$ w3o 979

wceq 1364

wcel 2167

wral 2475

wrex 2476 class class class wbr 4034 (class class class)co 5925

cc 7894

cr 7895

cc0 7896

c1 7897

cmul 7901

clt 8078

cmin 8214 # cap 8625

cdiv 8716

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-sep 4152 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-br 4035 df-opab 4096 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717

This theorem is referenced by: trirec0xor 15776

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