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Mathbox for Jim Kingdon |
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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > Mathboxes > trirec0 | Unicode version |
Description: Every real number having
a reciprocal or equaling zero is equivalent to
real number trichotomy.
This is the key part of the definition of what is known as a discrete field, so "the real numbers are a discrete field" can be taken as an equivalent way to state real trichotomy (see further discussion at trilpo 13555). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.) |
Ref | Expression |
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trirec0 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpll 519 |
. . . . . 6
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2 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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3 | 1, 2 | lt0ap0d 8503 |
. . . . . 6
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4 | rerecclap 8582 |
. . . . . . 7
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5 | recn 7844 |
. . . . . . . 8
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6 | recidap 8538 |
. . . . . . . 8
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7 | 5, 6 | sylan 281 |
. . . . . . 7
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8 | oveq2 5822 |
. . . . . . . . 9
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9 | 8 | eqeq1d 2163 |
. . . . . . . 8
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10 | 9 | rspcev 2813 |
. . . . . . 7
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11 | 4, 7, 10 | syl2anc 409 |
. . . . . 6
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12 | 1, 3, 11 | syl2anc 409 |
. . . . 5
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13 | 12 | orcd 723 |
. . . 4
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14 | simpr 109 |
. . . . 5
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15 | 14 | olcd 724 |
. . . 4
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16 | simpll 519 |
. . . . . 6
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17 | simpr 109 |
. . . . . . 7
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18 | 16, 17 | gt0ap0d 8483 |
. . . . . 6
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19 | 16, 18, 11 | syl2anc 409 |
. . . . 5
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20 | 19 | orcd 723 |
. . . 4
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21 | 0re 7857 |
. . . . . 6
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22 | breq2 3965 |
. . . . . . . 8
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23 | eqeq2 2164 |
. . . . . . . 8
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24 | breq1 3964 |
. . . . . . . 8
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25 | 22, 23, 24 | 3orbi123d 1290 |
. . . . . . 7
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26 | 25 | rspcv 2809 |
. . . . . 6
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27 | 21, 26 | ax-mp 5 |
. . . . 5
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28 | 27 | adantl 275 |
. . . 4
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29 | 13, 15, 20, 28 | mpjao3dan 1286 |
. . 3
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30 | 29 | ralimiaa 2516 |
. 2
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31 | oveq1 5821 |
. . . . . . 7
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32 | 31 | eqeq1d 2163 |
. . . . . 6
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33 | 32 | rexbidv 2455 |
. . . . 5
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34 | eqeq1 2161 |
. . . . 5
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35 | 33, 34 | orbi12d 783 |
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36 | 35 | cbvralv 2677 |
. . 3
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37 | nfcv 2296 |
. . . . . . . . 9
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38 | nfre1 2497 |
. . . . . . . . . 10
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39 | nfv 1505 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 38, 39 | nfor 1551 |
. . . . . . . . 9
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41 | 37, 40 | nfralya 2494 |
. . . . . . . 8
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42 | nfv 1505 |
. . . . . . . 8
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43 | 41, 42 | nfan 1542 |
. . . . . . 7
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44 | nfv 1505 |
. . . . . . 7
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45 | simpr 109 |
. . . . . . . . . . 11
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46 | simprr 522 |
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47 | 46 | ad2antrr 480 |
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48 | 47 | adantr 274 |
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49 | simprl 521 |
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50 | 49 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
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51 | 50 | adantr 274 |
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52 | 48, 51 | sublt0d 8424 |
. . . . . . . . . . 11
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53 | 45, 52 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . 10
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54 | 53 | 3mix3d 1159 |
. . . . . . . . 9
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55 | simpr 109 |
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56 | 50 | adantr 274 |
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58 | 56, 57 | posdifd 8386 |
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59 | 55, 58 | mpbird 166 |
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60 | 59 | 3mix1d 1157 |
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62 | 50 | recnd 7885 |
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63 | 61, 62 | subcld 8165 |
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64 | simplr 520 |
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65 | 64 | recnd 7885 |
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66 | simpr 109 |
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67 | 1ap0 8444 |
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68 | 66, 67 | eqbrtrdi 3999 |
. . . . . . . . . . 11
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69 | 63, 65, 68 | mulap0bad 8512 |
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70 | 46, 49 | resubcld 8235 |
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71 | 70 | ad2antrr 480 |
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72 | reaplt 8442 |
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73 | 71, 21, 72 | sylancl 410 |
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74 | 69, 73 | mpbid 146 |
. . . . . . . . 9
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75 | 54, 60, 74 | mpjaodan 788 |
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76 | 75 | exp31 362 |
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77 | 43, 44, 76 | rexlimd 2568 |
. . . . . 6
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78 | 77 | imp 123 |
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79 | 46 | recnd 7885 |
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80 | 79 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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81 | 49 | recnd 7885 |
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82 | 81 | adantr 274 |
. . . . . . . 8
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83 | simpr 109 |
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84 | 80, 82, 83 | subeq0d 8173 |
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85 | 84 | equcomd 1684 |
. . . . . 6
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86 | 85 | 3mix2d 1158 |
. . . . 5
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87 | oveq1 5821 |
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88 | 87 | eqeq1d 2163 |
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89 | 88 | rexbidv 2455 |
. . . . . . 7
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90 | eqeq1 2161 |
. . . . . . 7
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91 | 89, 90 | orbi12d 783 |
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92 | simpl 108 |
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93 | 91, 92, 70 | rspcdva 2818 |
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94 | 78, 86, 93 | mpjaodan 788 |
. . . 4
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95 | 94 | ralrimivva 2536 |
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96 | 36, 95 | sylbi 120 |
. 2
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97 | 30, 96 | impbii 125 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1481 ax-10 1482 ax-11 1483 ax-i12 1484 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-17 1503 ax-i9 1507 ax-ial 1511 ax-i5r 1512 ax-13 2127 ax-14 2128 ax-ext 2136 ax-sep 4078 ax-pow 4130 ax-pr 4164 ax-un 4388 ax-setind 4490 ax-cnex 7802 ax-resscn 7803 ax-1cn 7804 ax-1re 7805 ax-icn 7806 ax-addcl 7807 ax-addrcl 7808 ax-mulcl 7809 ax-mulrcl 7810 ax-addcom 7811 ax-mulcom 7812 ax-addass 7813 ax-mulass 7814 ax-distr 7815 ax-i2m1 7816 ax-0lt1 7817 ax-1rid 7818 ax-0id 7819 ax-rnegex 7820 ax-precex 7821 ax-cnre 7822 ax-pre-ltirr 7823 ax-pre-ltwlin 7824 ax-pre-lttrn 7825 ax-pre-apti 7826 ax-pre-ltadd 7827 ax-pre-mulgt0 7828 ax-pre-mulext 7829 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1740 df-eu 2006 df-mo 2007 df-clab 2141 df-cleq 2147 df-clel 2150 df-nfc 2285 df-ne 2325 df-nel 2420 df-ral 2437 df-rex 2438 df-reu 2439 df-rmo 2440 df-rab 2441 df-v 2711 df-sbc 2934 df-dif 3100 df-un 3102 df-in 3104 df-ss 3111 df-pw 3541 df-sn 3562 df-pr 3563 df-op 3565 df-uni 3769 df-br 3962 df-opab 4022 df-id 4248 df-po 4251 df-iso 4252 df-xp 4585 df-rel 4586 df-cnv 4587 df-co 4588 df-dm 4589 df-iota 5128 df-fun 5165 df-fv 5171 df-riota 5770 df-ov 5817 df-oprab 5818 df-mpo 5819 df-pnf 7893 df-mnf 7894 df-xr 7895 df-ltxr 7896 df-le 7897 df-sub 8027 df-neg 8028 df-reap 8429 df-ap 8436 df-div 8525 |
This theorem is referenced by: trirec0xor 13557 |
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