trirec0 - Mathbox for Jim Kingdon

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Theorem trirec0 17001

Description: Every real number having a reciprocal or equaling zero is equivalent to real number trichotomy.

This is the key part of the definition of what is known as a discrete field, so "the real numbers are a discrete field" can be taken as an equivalent way to state real trichotomy (see further discussion at trilpo 17000). (Contributed by Jim Kingdon, 10-Jun-2024.)

**Assertion**
Ref	Expression
trirec0	$\/$ $\/$ $\/$

Distinct variable group:

Proof of Theorem trirec0 Dummy variable

is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 531	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
2		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
3	1, 2	lt0ap0d 8970	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ #
4		rerecclap 9053	. . . . . . 7 $/\$ #
5		recn 8305	. . . . . . . 8
6		recidap 9009	. . . . . . . 8 $/\$ #
7	5, 6	sylan 283	. . . . . . 7 $/\$ #
8		oveq2 6086	. . . . . . . . 9
9	8	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8
10	9	rspcev 2929	. . . . . . 7 $/\$
11	4, 7, 10	syl2anc 415	. . . . . 6 $/\$ #
12	1, 3, 11	syl2anc 415	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
13	12	orcd 745	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
14		simpr 110	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
15	14	olcd 746	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
16		simpll 531	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
17		simpr 110	. . . . . . 7 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
18	16, 17	gt0ap0d 8950	. . . . . 6 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ #
19	16, 18, 11	syl2anc 415	. . . . 5 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$
20	19	orcd 745	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $/\$ $\/$
21		0re 8319	. . . . . 6
22		breq2 4132	. . . . . . . 8
23		eqeq2 2248	. . . . . . . 8
24		breq1 4131	. . . . . . . 8
25	22, 23, 24	3orbi123d 1352	. . . . . . 7 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
26	25	rspcv 2925	. . . . . 6 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
27	21, 26	ax-mp 5	. . . . 5 $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
28	27	adantl 277	. . . 4 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$ $\/$
29	13, 15, 20, 28	mpjao3dan 1348	. . 3 $/\$ $\/$ $\/$ $\/$
30	29	ralimiaa 2612	. 2 $\/$ $\/$ $\/$
31		oveq1 6085	. . . . . . 7
32	31	eqeq1d 2247	. . . . . 6
33	32	rexbidv 2551	. . . . 5
34		eqeq1 2245	. . . . 5
35	33, 34	orbi12d 805	. . . 4 $\/$ $\/$
36	35	cbvralv 2786	. . 3 $\/$ $\/$
37		nfcv 2392	. . . . . . . . 9
38		nfre1 2593	. . . . . . . . . 10
39		nfv 1581	. . . . . . . . . 10
40	38, 39	nfor 1627	. . . . . . . . 9 $\/$
41	37, 40	nfralya 2590	. . . . . . . 8 $\/$
42		nfv 1581	. . . . . . . 8 $/\$
43	41, 42	nfan 1618	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$
44		nfv 1581	. . . . . . 7 $\/$ $\/$
45		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$
47	46	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$ $/\$ $/\$
50	49	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52	48, 51	sublt0d 8891	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
53	45, 52	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
54	53	3mix3d 1205	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
55		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
56	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
58	56, 57	posdifd 8853	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
59	55, 58	mpbird 167	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60	59	3mix1d 1203	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
61	47	recnd 8347	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62	50	recnd 8347	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63	61, 62	subcld 8630	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	recnd 8347	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
66		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		1ap0 8911	. . . . . . . . . . . 12 #
68	66, 67	eqbrtrdi 4167	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
69	63, 65, 68	mulap0bad 8980	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ #
70	46, 49	resubcld 8701	. . . . . . . . . . . 12 $\/$ $/\$ $/\$
71	70	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
72		reaplt 8909	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # $\/$
73	71, 21, 72	sylancl 417	. . . . . . . . . 10 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ # $\/$
74	69, 73	mpbid 147	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$
75	54, 60, 74	mpjaodan 810	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
76	75	exp31 364	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
77	43, 44, 76	rexlimd 2665	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
78	77	imp 124	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
79	46	recnd 8347	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$
80	79	adantr 276	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
81	49	recnd 8347	. . . . . . . . 9 $\/$ $/\$ $/\$
82	81	adantr 276	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
83		simpr 110	. . . . . . . 8 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
84	80, 82, 83	subeq0d 8638	. . . . . . 7 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
85	84	equcomd 1759	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
86	85	3mix2d 1204	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
87		oveq1 6085	. . . . . . . . 9
88	87	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8
89	88	rexbidv 2551	. . . . . . 7
90		eqeq1 2245	. . . . . . 7
91	89, 90	orbi12d 805	. . . . . 6 $\/$ $\/$
92		simpl 109	. . . . . 6 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
93	91, 92, 70	rspcdva 2934	. . . . 5 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
94	78, 86, 93	mpjaodan 810	. . . 4 $\/$ $/\$ $/\$ $\/$ $\/$
95	94	ralrimivva 2632	. . 3 $\/$ $\/$ $\/$
96	36, 95	sylbi 121	. 2 $\/$ $\/$ $\/$
97	30, 96	impbii 126	1 $\/$ $\/$ $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 $\/$ wo 720 $\/$ w3o 1008

wceq 1402

wcel 2209

wral 2528

wrex 2529 class class class wbr 4128 (class class class)co 6078

cc 8170

cr 8171

cc0 8172

c1 8173

cmul 8177

clt 8353

cmin 8490 # cap 8902

cdiv 8995

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-sep 4247 ax-pow 4309 ax-pr 4344 ax-un 4576 ax-setind 4682 ax-cnex 8263 ax-resscn 8264 ax-1cn 8265 ax-1re 8266 ax-icn 8267 ax-addcl 8268 ax-addrcl 8269 ax-mulcl 8270 ax-mulrcl 8271 ax-addcom 8272 ax-mulcom 8273 ax-addass 8274 ax-mulass 8275 ax-distr 8276 ax-i2m1 8277 ax-0lt1 8278 ax-1rid 8279 ax-0id 8280 ax-rnegex 8281 ax-precex 8282 ax-cnre 8283 ax-pre-ltirr 8284 ax-pre-ltwlin 8285 ax-pre-lttrn 8286 ax-pre-apti 8287 ax-pre-ltadd 8288 ax-pre-mulgt0 8289 ax-pre-mulext 8290

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-pw 3690 df-sn 3714 df-pr 3715 df-op 3717 df-uni 3934 df-br 4129 df-opab 4191 df-id 4436 df-po 4439 df-iso 4440 df-xp 4778 df-rel 4779 df-cnv 4780 df-co 4781 df-dm 4782 df-iota 5335 df-fun 5377 df-fv 5383 df-riota 6031 df-ov 6081 df-oprab 6082 df-mpo 6083 df-pnf 8355 df-mnf 8356 df-xr 8357 df-ltxr 8358 df-le 8359 df-sub 8492 df-neg 8493 df-reap 8896 df-ap 8903 df-div 8996

This theorem is referenced by: trirec0xor 17002

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