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Theorem dvef 12845
Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvef  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp

Proof of Theorem dvef
Dummy variables  x  z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 7737 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
2 eff 11358 . . . . . . . 8  |-  exp : CC
--> CC
3 fpmg 6561 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  CC  e.  _V  /\  exp : CC --> CC )  ->  exp  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
41, 1, 2, 3mp3an 1315 . . . . . . 7  |-  exp  e.  ( CC  ^pm  CC )
5 dvfcnpm 12817 . . . . . . 7  |-  ( exp 
e.  ( CC  ^pm  CC )  ->  ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC
7 ffun 5270 . . . . . 6  |-  ( ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC  ->  Fun  ( CC  _D  exp )
)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  Fun  ( CC  _D  exp )
9 subcl 7954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( z  -  x
)  e.  CC )
109ancoms 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  -  x
)  e.  CC )
11 efadd 11370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( z  -  x
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
1210, 11syldan 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
13 pncan3 7963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( x  +  ( z  -  x ) )  =  z )
1413fveq2d 5418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( exp `  z ) )
1512, 14eqtr3d 2172 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  ( z  -  x
) ) )  =  ( exp `  z
) )
1615mpteq2dva 4013 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  z
) ) )
171a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  e.  _V )
18 efcl 11359 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
1918adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  x
)  e.  CC )
20 efcl 11359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  -  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( z  -  x ) )  e.  CC )
2110, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
z  -  x ) )  e.  CC )
22 fconstmpt 4581 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  x
) )
2322a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )
24 eqidd 2138 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )
2517, 19, 21, 23, 24offval2 5990 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
262a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  exp : CC --> CC )
2726feqmptd 5467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  z
) ) )
2816, 25, 273eqtr4d 2180 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  exp )
2928oveq2d 5783 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } )  oF  x.  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )  =  ( CC  _D  exp ) )
30 fconstg 5314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( exp `  x )  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> { ( exp `  x ) } )
3118, 30syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> { ( exp `  x ) } )
3218snssd 3660 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  { ( exp `  x ) }  C_  CC )
3331, 32fssd 5280 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> CC )
34 ssidd 3113 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
3521fmpttd 5568 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) : CC --> CC )
36 c0ex 7753 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
3736snid 3551 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  { 0 }
38 opelxpi 4566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  0  e.  { 0 } )  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  X.  { 0 } ) )
3937, 38mpan2 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  X.  { 0 } ) )
40 dvconst 12819 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( exp `  x )  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
4118, 40syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
4239, 41eleqtrrd 2217 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  _D  ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) ) )
43 df-br 3925 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) ) 0  <->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) ) )
4442, 43sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) ) 0 )
4526, 10cofmpt 5582 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
4645oveq2d 5783 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
4710fmpttd 5568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) : CC --> CC )
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  u  e.  CC )
4948adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  /\  u #  x )  ->  u  e.  CC )
50 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  /\  u #  x )  ->  x  e.  CC )
52 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  /\  u #  x )  ->  u #  x )
5349, 51, 52subap0d 8399 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  /\  u #  x )  ->  ( u  -  x ) #  0 )
54 eqid 2137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )
55 oveq1 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  u  ->  (
z  -  x )  =  ( u  -  x ) )
56 subcl 7954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( u  -  x
)  e.  CC )
5756ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( u  -  x
)  e.  CC )
5854, 55, 48, 57fvmptd3 5507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  u )  =  ( u  -  x ) )
59 oveq1 5774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  (
z  -  x )  =  ( x  -  x ) )
60 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
6160, 60subcld 8066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  -  x )  e.  CC )
6261adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( x  -  x
)  e.  CC )
6354, 59, 50, 62fvmptd3 5507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  x )  =  ( x  -  x ) )
64 subid 7974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  -  x )  =  0 )
6564adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( x  -  x
)  =  0 )
6663, 65eqtrd 2170 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  x )  =  0 )
6758, 66breq12d 3937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `
 u ) #  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  <->  ( u  -  x ) #  0 ) )
6867adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  /\  u #  x )  ->  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  u ) #  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  x )  <->  ( u  -  x ) #  0 ) )
6953, 68mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  /\  u #  x )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `
 u ) #  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
) )
7069ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( u #  x  -> 
( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  u ) #  ( (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  x ) ) )
7170ralrimiva 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  A. u  e.  CC  ( u #  x  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  u ) #  ( (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  x ) ) )
7254, 59, 60, 61fvmptd3 5507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  =  ( x  -  x ) )
7372, 64eqtrd 2170 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  =  0 )
74 dveflem 12844 . . . . . . . . . . . 12  |-  0
( CC  _D  exp ) 1
7573, 74eqbrtrdi 3962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
) ( CC  _D  exp ) 1 )
76 1ex 7754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  _V
7776snid 3551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  { 1 }
78 opelxpi 4566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  { 1 } )  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  X.  { 1 } ) )
7977, 78mpan2 421 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  X.  { 1 } ) )
80 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
81 1cnd 7775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
82 dvmptidcn 12836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
_D  ( z  e.  CC  |->  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
8382a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 ) )
84 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
85 0cnd 7752 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
8660dvmptccn 12837 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  0 ) )
8780, 81, 83, 84, 85, 86dvmptsubcn 12843 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) ) )
88 1m0e1 8826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  0 )  =  1
8988mpteq2i 4010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
90 fconstmpt 4581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
9189, 90eqtr4i 2161 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( CC  X.  { 1 } )
9287, 91syl6eq 2186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( CC  X.  { 1 } ) )
9379, 92eleqtrrd 2217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) )
94 df-br 3925 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) 1  <->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) )
9593, 94sylibr 133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) 1 )
96 eqid 2137 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
9726, 34, 47, 34, 71, 34, 34, 75, 95, 96dvcoapbr 12829 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) ( 1  x.  1 ) )
98 1t1e1 8865 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
9997, 98breqtrdi 3964 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) 1 )
10046, 99breqdi 3939 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) 1 )
10133, 34, 35, 34, 44, 100, 96dvmulxxbr 12824 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( ( 0  x.  ( ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) `  x ) ) ) )
10235, 60ffvelrnd 5549 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x )  e.  CC )
103102mul02d 8147 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  ( ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  =  0 )
104 fvconst2g 5627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) `  x )  =  ( exp `  x ) )
10518, 104mpancom 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) `  x )  =  ( exp `  x ) )
106105oveq2d 5783 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) `  x
) )  =  ( 1  x.  ( exp `  x ) ) )
10718mulid2d 7777 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  x
) )
108106, 107eqtrd 2170 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) `  x
) )  =  ( exp `  x ) )
109103, 108oveq12d 5785 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) `
 x ) ) )  =  ( 0  +  ( exp `  x
) ) )
11018addid2d 7905 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  x
) )
111109, 110eqtrd 2170 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) `
 x ) ) )  =  ( exp `  x ) )
112101, 111breqtrd 3949 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( exp `  x
) )
11329, 112breqdi 3939 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  exp ) ( exp `  x
) )
114 funbrfv 5453 . . . . 5  |-  ( Fun  ( CC  _D  exp )  ->  ( x ( CC  _D  exp )
( exp `  x
)  ->  ( ( CC  _D  exp ) `  x )  =  ( exp `  x ) ) )
1158, 113, 114mpsyl 65 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  _D  exp ) `  x )  =  ( exp `  x
) )
116115mpteq2ia 4009 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( CC  _D  exp ) `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) )
117 ssid 3112 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
118 dvbsssg 12813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  exp  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  dom  ( CC  _D  exp )  C_  CC )
119117, 4, 118mp2an 422 . . . . . . . 8  |-  dom  ( CC  _D  exp )  C_  CC
120 breldmg 4740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( exp `  x )  e.  CC  /\  x
( CC  _D  exp ) ( exp `  x
) )  ->  x  e.  dom  ( CC  _D  exp ) )
12118, 113, 120mpd3an23 1317 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  dom  ( CC  _D  exp ) )
122121ssriv 3096 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  dom  ( CC  _D  exp )
123119, 122eqssi 3108 . . . . . . 7  |-  dom  ( CC  _D  exp )  =  CC
124123feq2i 5261 . . . . . 6  |-  ( ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC  <->  ( CC  _D  exp ) : CC --> CC )
1256, 124mpbi 144 . . . . 5  |-  ( CC 
_D  exp ) : CC --> CC
126125a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp ) : CC --> CC )
127126feqmptd 5467 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( CC 
_D  exp ) `  x
) ) )
1282a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  exp : CC --> CC )
129128feqmptd 5467 . . 3  |-  ( T. 
->  exp  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) ) )
130116, 127, 1293eqtr4a 2196 . 2  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  exp )
131130mptru 1340 1  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331   T. wtru 1332    e. wcel 1480   _Vcvv 2681    C_ wss 3066   {csn 3522   <.cop 3525   class class class wbr 3924    |-> cmpt 3984    X. cxp 4532   dom cdm 4534    o. ccom 4538   Fun wfun 5112   -->wf 5114   ` cfv 5118  (class class class)co 5767    oFcof 5973    ^pm cpm 6536   CCcc 7611   0cc0 7613   1c1 7614    + caddc 7616    x. cmul 7618    - cmin 7926   # cap 8336   abscabs 10762   expce 11337   MetOpencmopn 12143    _D cdv 12782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733  ax-addf 7735  ax-mulf 7736
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-disj 3902  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-of 5975  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-map 6537  df-pm 6538  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-sup 6864  df-inf 6865  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-xneg 9552  df-xadd 9553  df-ico 9670  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-fac 10465  df-bc 10487  df-ihash 10515  df-shft 10580  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116  df-ef 11343  df-rest 12111  df-topgen 12130  df-psmet 12145  df-xmet 12146  df-met 12147  df-bl 12148  df-mopn 12149  df-top 12154  df-topon 12167  df-bases 12199  df-ntr 12254  df-cn 12346  df-cnp 12347  df-tx 12411  df-cncf 12716  df-limced 12783  df-dvap 12784
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