Theorem dvef 15450

Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvef	|- ( CC _D exp ) = exp

Proof of Theorem dvef

Dummy variables x z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8155	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
2		eff 12223	. . . . . . . 8 |- exp : CC --> CC
3		fpmg 6842	. . . . . . . 8 |- ( ( CC e. _V /\ CC e. _V /\ exp : CC --> CC ) -> exp e. ( CC ^pm CC ) )
4	1, 1, 2, 3	mp3an 1373	. . . . . . 7 |- exp e. ( CC ^pm CC )
5		dvfcnpm 15413	. . . . . . 7 |- ( exp e. ( CC ^pm CC ) -> ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC
7		ffun 5485	. . . . . 6 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC -> Fun ( CC _D exp ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- Fun ( CC _D exp )
9		subcl 8377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
10	9	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
11		efadd 12235	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( z - x ) e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
12	10, 11	syldan 282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
13		pncan3 8386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
14	13	fveq2d 5643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
15	12, 14	eqtr3d 2266	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
16	15	mpteq2dva 4179	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
17	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> CC e. _V )
18		efcl 12224	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` x ) e. CC )
20		efcl 12224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z - x ) e. CC -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
22		fconstmpt 4773	. . . . . . . . . 10 |- ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) )
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
24		eqidd 2232	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
25	17, 19, 21, 23, 24	offval2 6250	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
26	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> exp : CC --> CC )
27	26	feqmptd 5699	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
28	16, 25, 27	3eqtr4d 2274	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = exp )
29	28	oveq2d 6033	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) = ( CC _D exp ) )
30		fconstg 5533	. . . . . . . . . 10 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
31	18, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
32	18	snssd 3818	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> { ( exp ` x ) } C_ CC )
33	31, 32	fssd 5495	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
34		ssidd 3248	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> CC C_ CC )
35	21	fmpttd 5802	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) : CC --> CC )
36		c0ex 8172	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
37	36	snid 3700	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. { 0 }
38		opelxpi 4757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ 0 e. { 0 } ) -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
39	37, 38	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
40		dvconst 15417	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
41	18, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
42	39, 41	eleqtrrd 2311	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
43		df-br 4089	. . . . . . . . 9 |- ( x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 <-> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
44	42, 43	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 )
45	26, 10	cofmpt 5816	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
46	45	oveq2d 6033	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) = ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
47	10	fmpttd 5802	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) : CC --> CC )
48		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> u e. CC )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> u e. CC )
50		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> x e. CC )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> x e. CC )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> u # x )
53	49, 51, 52	subap0d 8823	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( u - x ) # 0 )
54		eqid 2231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) )
55		oveq1 6024	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = u -> ( z - x ) = ( u - x ) )
56		subcl 8377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. CC /\ x e. CC ) -> ( u - x ) e. CC )
57	56	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( u - x ) e. CC )
58	54, 55, 48, 57	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) = ( u - x ) )
59		oveq1 6024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( z - x ) = ( x - x ) )
60		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. CC -> x e. CC )
61	60, 60	subcld 8489	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( x - x ) e. CC )
62	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( x - x ) e. CC )
63	54, 59, 50, 62	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
64		subid 8397	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x - x ) = 0 )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( x - x ) = 0 )
66	63, 65	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
67	58, 66	breq12d 4101	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) <-> ( u - x ) # 0 ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) <-> ( u - x ) # 0 ) )
69	53, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) )
70	69	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( u # x -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ) )
71	70	ralrimiva 2605	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> A. u e. CC ( u # x -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ) )
72	54, 59, 60, 61	fvmptd3 5740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
73	72, 64	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
74		dveflem 15449	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 ( CC _D exp ) 1
75	73, 74	eqbrtrdi 4127	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ( CC _D exp ) 1 )
76		1ex 8173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. _V
77	76	snid 3700	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. { 1 }
78		opelxpi 4757	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. { 1 } ) -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
79	77, 78	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
80		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
81		1cnd 8194	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
82		dvmptidcn 15437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
83	82	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
84		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> x e. CC )
85		0cnd 8171	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
86	60	dvmptccn 15438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> x ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
87	80, 81, 83, 84, 85, 86	dvmptsubcn 15446	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) )
88		1m0e1 9255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 0 ) = 1
89	88	mpteq2i 4176	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
90		fconstmpt 4773	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
91	89, 90	eqtr4i 2255	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( CC X. { 1 } )
92	87, 91	eqtrdi 2280	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
93	79, 92	eleqtrrd 2311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
94		df-br 4089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 <-> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
95	93, 94	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 )
96		eqid 2231	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
97	26, 34, 47, 34, 71, 34, 34, 75, 95, 96	dvcoapbr 15430	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) ( 1 x. 1 ) )
98		1t1e1 9295	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 1 ) = 1
99	97, 98	breqtrdi 4129	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 )
100	46, 99	breqdi 4103	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 )
101	33, 34, 35, 34, 44, 100, 96	dvmulxxbr 15425	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) )
102	35, 60	ffvelcdmd 5783	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) e. CC )
103	102	mul02d 8570	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) = 0 )
104		fvconst2g 5867	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( exp ` x ) e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
105	18, 104	mpancom 422	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
106	105	oveq2d 6033	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( 1 x. ( exp ` x ) ) )
107	18	mulid2d 8197	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
108	106, 107	eqtrd 2264	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( exp ` x ) )
109	103, 108	oveq12d 6035	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( 0 + ( exp ` x ) ) )
110	18	addlidd 8328	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( 0 + ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
111	109, 110	eqtrd 2264	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( exp ` x ) )
112	101, 111	breqtrd 4114	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) )
113	29, 112	breqdi 4103	. . . . 5 |- ( x e. CC -> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) )
114		funbrfv 5682	. . . . 5 |- ( Fun ( CC _D exp ) -> ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) ) )
115	8, 113, 114	mpsyl 65	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) )
116	115	mpteq2ia 4175	. . 3 |- ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) )
117		ssid 3247	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
118		dvbsssg 15409	. . . . . . . . 9 |- ( ( CC C_ CC /\ exp e. ( CC ^pm CC ) ) -> dom ( CC _D exp ) C_ CC )
119	117, 4, 118	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- dom ( CC _D exp ) C_ CC
120		breldmg 4937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( exp ` x ) e. CC /\ x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) ) -> x e. dom ( CC _D exp ) )
121	18, 113, 120	mpd3an23 1375	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> x e. dom ( CC _D exp ) )
122	121	ssriv 3231	. . . . . . . 8 |- CC C_ dom ( CC _D exp )
123	119, 122	eqssi 3243	. . . . . . 7 |- dom ( CC _D exp ) = CC
124	123	feq2i 5476	. . . . . 6 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC <-> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
125	6, 124	mpbi 145	. . . . 5 |- ( CC _D exp ) : CC --> CC
126	125	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
127	126	feqmptd 5699	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) )
128	2	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> exp : CC --> CC )
129	128	feqmptd 5699	. . 3 |- ( T. -> exp = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
130	116, 127, 129	3eqtr4a 2290	. 2 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = exp )
131	130	mptru 1406	1 |- ( CC _D exp ) = exp

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   T. wtru 1398   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   C_ wss 3200   {csn 3669   <.cop 3672   class class class wbr 4088   |-> cmpt 4150   X. cxp 4723   dom cdm 4725   o. ccom 4729   Fun wfun 5320   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   oFcof 6232   ^pm cpm 6817   CCcc 8029   0cc0 8031   1c1 8032   + caddc 8034   x. cmul 8036   - cmin 8349   # cap 8760   abscabs 11557   expce 12202   MetOpencmopn 14554   _D cdv 15378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149  ax-arch 8150  ax-caucvg 8151  ax-addf 8153  ax-mulf 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-of 6234  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-frec 6556  df-1o 6581  df-oadd 6585  df-er 6701  df-map 6818  df-pm 6819  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-sup 7182  df-inf 7183  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-n0 9402  df-z 9479  df-uz 9755  df-q 9853  df-rp 9888  df-xneg 10006  df-xadd 10007  df-ico 10128  df-fz 10243  df-fzo 10377  df-seqfrec 10709  df-exp 10800  df-fac 10987  df-bc 11009  df-ihash 11037  df-shft 11375  df-cj 11402  df-re 11403  df-im 11404  df-rsqrt 11558  df-abs 11559  df-clim 11839  df-sumdc 11914  df-ef 12208  df-rest 13323  df-topgen 13342  df-psmet 14556  df-xmet 14557  df-met 14558  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-top 14721  df-topon 14734  df-bases 14766  df-ntr 14819  df-cn 14911  df-cnp 14912  df-tx 14976  df-cncf 15294  df-limced 15379  df-dvap 15380

This theorem is referenced by:  efcn  15491