Theorem dvef 13482

Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvef	|- ( CC _D exp ) = exp

Proof of Theorem dvef

Dummy variables x z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7898	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
2		eff 11626	. . . . . . . 8 |- exp : CC --> CC
3		fpmg 6652	. . . . . . . 8 |- ( ( CC e. _V /\ CC e. _V /\ exp : CC --> CC ) -> exp e. ( CC ^pm CC ) )
4	1, 1, 2, 3	mp3an 1332	. . . . . . 7 |- exp e. ( CC ^pm CC )
5		dvfcnpm 13453	. . . . . . 7 |- ( exp e. ( CC ^pm CC ) -> ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC
7		ffun 5350	. . . . . 6 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC -> Fun ( CC _D exp ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- Fun ( CC _D exp )
9		subcl 8118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
10	9	ancoms 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
11		efadd 11638	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( z - x ) e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
12	10, 11	syldan 280	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
13		pncan3 8127	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
14	13	fveq2d 5500	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
15	12, 14	eqtr3d 2205	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
16	15	mpteq2dva 4079	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
17	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> CC e. _V )
18		efcl 11627	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
19	18	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` x ) e. CC )
20		efcl 11627	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z - x ) e. CC -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
22		fconstmpt 4658	. . . . . . . . . 10 |- ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) )
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
24		eqidd 2171	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
25	17, 19, 21, 23, 24	offval2 6076	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
26	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> exp : CC --> CC )
27	26	feqmptd 5549	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
28	16, 25, 27	3eqtr4d 2213	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = exp )
29	28	oveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) = ( CC _D exp ) )
30		fconstg 5394	. . . . . . . . . 10 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
31	18, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
32	18	snssd 3725	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> { ( exp ` x ) } C_ CC )
33	31, 32	fssd 5360	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
34		ssidd 3168	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> CC C_ CC )
35	21	fmpttd 5651	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) : CC --> CC )
36		c0ex 7914	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
37	36	snid 3614	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. { 0 }
38		opelxpi 4643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ 0 e. { 0 } ) -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
39	37, 38	mpan2 423	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
40		dvconst 13455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
41	18, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
42	39, 41	eleqtrrd 2250	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
43		df-br 3990	. . . . . . . . 9 |- ( x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 <-> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
44	42, 43	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 )
45	26, 10	cofmpt 5665	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
46	45	oveq2d 5869	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) = ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
47	10	fmpttd 5651	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) : CC --> CC )
48		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> u e. CC )
49	48	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> u e. CC )
50		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> x e. CC )
51	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> x e. CC )
52		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> u # x )
53	49, 51, 52	subap0d 8563	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( u - x ) # 0 )
54		eqid 2170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) )
55		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = u -> ( z - x ) = ( u - x ) )
56		subcl 8118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. CC /\ x e. CC ) -> ( u - x ) e. CC )
57	56	ancoms 266	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( u - x ) e. CC )
58	54, 55, 48, 57	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) = ( u - x ) )
59		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( z - x ) = ( x - x ) )
60		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. CC -> x e. CC )
61	60, 60	subcld 8230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( x - x ) e. CC )
62	61	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( x - x ) e. CC )
63	54, 59, 50, 62	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
64		subid 8138	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x - x ) = 0 )
65	64	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( x - x ) = 0 )
66	63, 65	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
67	58, 66	breq12d 4002	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) <-> ( u - x ) # 0 ) )
68	67	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) <-> ( u - x ) # 0 ) )
69	53, 68	mpbird 166	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) )
70	69	ex 114	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( u # x -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ) )
71	70	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> A. u e. CC ( u # x -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ) )
72	54, 59, 60, 61	fvmptd3 5589	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
73	72, 64	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
74		dveflem 13481	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 ( CC _D exp ) 1
75	73, 74	eqbrtrdi 4028	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ( CC _D exp ) 1 )
76		1ex 7915	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. _V
77	76	snid 3614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. { 1 }
78		opelxpi 4643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. { 1 } ) -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
79	77, 78	mpan2 423	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
80		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
81		1cnd 7936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
82		dvmptidcn 13472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
83	82	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
84		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> x e. CC )
85		0cnd 7913	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
86	60	dvmptccn 13473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> x ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
87	80, 81, 83, 84, 85, 86	dvmptsubcn 13479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) )
88		1m0e1 8991	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 0 ) = 1
89	88	mpteq2i 4076	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
90		fconstmpt 4658	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
91	89, 90	eqtr4i 2194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( CC X. { 1 } )
92	87, 91	eqtrdi 2219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
93	79, 92	eleqtrrd 2250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
94		df-br 3990	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 <-> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
95	93, 94	sylibr 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 )
96		eqid 2170	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
97	26, 34, 47, 34, 71, 34, 34, 75, 95, 96	dvcoapbr 13465	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) ( 1 x. 1 ) )
98		1t1e1 9030	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 1 ) = 1
99	97, 98	breqtrdi 4030	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 )
100	46, 99	breqdi 4004	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 )
101	33, 34, 35, 34, 44, 100, 96	dvmulxxbr 13460	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) )
102	35, 60	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) e. CC )
103	102	mul02d 8311	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) = 0 )
104		fvconst2g 5710	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( exp ` x ) e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
105	18, 104	mpancom 420	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
106	105	oveq2d 5869	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( 1 x. ( exp ` x ) ) )
107	18	mulid2d 7938	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
108	106, 107	eqtrd 2203	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( exp ` x ) )
109	103, 108	oveq12d 5871	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( 0 + ( exp ` x ) ) )
110	18	addid2d 8069	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( 0 + ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
111	109, 110	eqtrd 2203	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( exp ` x ) )
112	101, 111	breqtrd 4015	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) )
113	29, 112	breqdi 4004	. . . . 5 |- ( x e. CC -> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) )
114		funbrfv 5535	. . . . 5 |- ( Fun ( CC _D exp ) -> ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) ) )
115	8, 113, 114	mpsyl 65	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) )
116	115	mpteq2ia 4075	. . 3 |- ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) )
117		ssid 3167	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
118		dvbsssg 13449	. . . . . . . . 9 |- ( ( CC C_ CC /\ exp e. ( CC ^pm CC ) ) -> dom ( CC _D exp ) C_ CC )
119	117, 4, 118	mp2an 424	. . . . . . . 8 |- dom ( CC _D exp ) C_ CC
120		breldmg 4817	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( exp ` x ) e. CC /\ x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) ) -> x e. dom ( CC _D exp ) )
121	18, 113, 120	mpd3an23 1334	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> x e. dom ( CC _D exp ) )
122	121	ssriv 3151	. . . . . . . 8 |- CC C_ dom ( CC _D exp )
123	119, 122	eqssi 3163	. . . . . . 7 |- dom ( CC _D exp ) = CC
124	123	feq2i 5341	. . . . . 6 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC <-> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
125	6, 124	mpbi 144	. . . . 5 |- ( CC _D exp ) : CC --> CC
126	125	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
127	126	feqmptd 5549	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) )
128	2	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> exp : CC --> CC )
129	128	feqmptd 5549	. . 3 |- ( T. -> exp = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
130	116, 127, 129	3eqtr4a 2229	. 2 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = exp )
131	130	mptru 1357	1 |- ( CC _D exp ) = exp

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   T. wtru 1349   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   C_ wss 3121   {csn 3583   <.cop 3586   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   X. cxp 4609   dom cdm 4611   o. ccom 4615   Fun wfun 5192   -->wf 5194   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   oFcof 6059   ^pm cpm 6627   CCcc 7772   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   - cmin 8090   # cap 8500   abscabs 10961   expce 11605   MetOpencmopn 12779   _D cdv 13418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894  ax-addf 7896  ax-mulf 7897

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-of 6061  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-map 6628  df-pm 6629  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-xneg 9729  df-xadd 9730  df-ico 9851  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660  df-bc 10682  df-ihash 10710  df-shft 10779  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-sumdc 11317  df-ef 11611  df-rest 12581  df-topgen 12600  df-psmet 12781  df-xmet 12782  df-met 12783  df-bl 12784  df-mopn 12785  df-top 12790  df-topon 12803  df-bases 12835  df-ntr 12890  df-cn 12982  df-cnp 12983  df-tx 13047  df-cncf 13352  df-limced 13419  df-dvap 13420

This theorem is referenced by:  efcn  13483