Theorem dvef 15751

Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvef	|- ( CC _D exp ) = exp

Proof of Theorem dvef

Dummy variables x z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 8293	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
2		eff 12408	. . . . . . . 8 |- exp : CC --> CC
3		fpmg 6945	. . . . . . . 8 |- ( ( CC e. _V /\ CC e. _V /\ exp : CC --> CC ) -> exp e. ( CC ^pm CC ) )
4	1, 1, 2, 3	mp3an 1378	. . . . . . 7 |- exp e. ( CC ^pm CC )
5		dvfcnpm 15714	. . . . . . 7 |- ( exp e. ( CC ^pm CC ) -> ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC
7		ffun 5531	. . . . . 6 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC -> Fun ( CC _D exp ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- Fun ( CC _D exp )
9		subcl 8515	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
10	9	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
11		efadd 12420	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( z - x ) e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
12	10, 11	syldan 282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
13		pncan3 8524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
14	13	fveq2d 5694	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
15	12, 14	eqtr3d 2273	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
16	15	mpteq2dva 4216	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
17	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> CC e. _V )
18		efcl 12409	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` x ) e. CC )
20		efcl 12409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z - x ) e. CC -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
22		fconstmpt 4817	. . . . . . . . . 10 |- ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) )
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
24		eqidd 2239	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
25	17, 19, 21, 23, 24	offval2 6308	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
26	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> exp : CC --> CC )
27	26	feqmptd 5750	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
28	16, 25, 27	3eqtr4d 2281	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = exp )
29	28	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) = ( CC _D exp ) )
30		fconstg 5584	. . . . . . . . . 10 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
31	18, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
32	18	snssd 3855	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> { ( exp ` x ) } C_ CC )
33	31, 32	fssd 5542	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
34		ssidd 3269	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> CC C_ CC )
35	21	fmpttd 5854	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) : CC --> CC )
36		c0ex 8310	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
37	36	snid 3736	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. { 0 }
38		opelxpi 4801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ 0 e. { 0 } ) -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
39	37, 38	mpan2 429	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
40		dvconst 15718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
41	18, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
42	39, 41	eleqtrrd 2318	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
43		df-br 4126	. . . . . . . . 9 |- ( x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 <-> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
44	42, 43	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 )
45	26, 10	cofmpt 5868	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
46	45	oveq2d 6091	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) = ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
47	10	fmpttd 5854	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) : CC --> CC )
48		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> u e. CC )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> u e. CC )
50		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> x e. CC )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> x e. CC )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> u # x )
53	49, 51, 52	subap0d 8962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( u - x ) # 0 )
54		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) )
55		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = u -> ( z - x ) = ( u - x ) )
56		subcl 8515	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. CC /\ x e. CC ) -> ( u - x ) e. CC )
57	56	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( u - x ) e. CC )
58	54, 55, 48, 57	fvmptd3 5793	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) = ( u - x ) )
59		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( z - x ) = ( x - x ) )
60		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. CC -> x e. CC )
61	60, 60	subcld 8627	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( x - x ) e. CC )
62	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( x - x ) e. CC )
63	54, 59, 50, 62	fvmptd3 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
64		subid 8535	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x - x ) = 0 )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( x - x ) = 0 )
66	63, 65	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
67	58, 66	breq12d 4138	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) <-> ( u - x ) # 0 ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) <-> ( u - x ) # 0 ) )
69	53, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) )
70	69	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( u # x -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ) )
71	70	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> A. u e. CC ( u # x -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ) )
72	54, 59, 60, 61	fvmptd3 5793	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
73	72, 64	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
74		dveflem 15750	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 ( CC _D exp ) 1
75	73, 74	eqbrtrdi 4164	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ( CC _D exp ) 1 )
76		1ex 8311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. _V
77	76	snid 3736	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. { 1 }
78		opelxpi 4801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. { 1 } ) -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
79	77, 78	mpan2 429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
80		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
81		1cnd 8332	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
82		dvmptidcn 15738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
83	82	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
84		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> x e. CC )
85		0cnd 8309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
86	60	dvmptccn 15739	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> x ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
87	80, 81, 83, 84, 85, 86	dvmptsubcn 15747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) )
88		1m0e1 9396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 0 ) = 1
89	88	mpteq2i 4213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
90		fconstmpt 4817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
91	89, 90	eqtr4i 2262	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( CC X. { 1 } )
92	87, 91	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
93	79, 92	eleqtrrd 2318	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
94		df-br 4126	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 <-> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
95	93, 94	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 )
96		eqid 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
97	26, 34, 47, 34, 71, 34, 34, 75, 95, 96	dvcoapbr 15731	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) ( 1 x. 1 ) )
98		1t1e1 9436	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 1 ) = 1
99	97, 98	breqtrdi 4166	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 )
100	46, 99	breqdi 4140	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 )
101	33, 34, 35, 34, 44, 100, 96	dvmulxxbr 15726	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) )
102	35, 60	ffvelcdmd 5835	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) e. CC )
103	102	mul02d 8709	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) = 0 )
104		fvconst2g 5920	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( exp ` x ) e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
105	18, 104	mpancom 426	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
106	105	oveq2d 6091	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( 1 x. ( exp ` x ) ) )
107	18	mullidd 8334	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
108	106, 107	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( exp ` x ) )
109	103, 108	oveq12d 6093	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( 0 + ( exp ` x ) ) )
110	18	addlidd 8466	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( 0 + ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
111	109, 110	eqtrd 2271	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( exp ` x ) )
112	101, 111	breqtrd 4151	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) )
113	29, 112	breqdi 4140	. . . . 5 |- ( x e. CC -> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) )
114		funbrfv 5733	. . . . 5 |- ( Fun ( CC _D exp ) -> ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) ) )
115	8, 113, 114	mpsyl 65	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) )
116	115	mpteq2ia 4212	. . 3 |- ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) )
117		ssid 3268	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
118		dvbsssg 15710	. . . . . . . . 9 |- ( ( CC C_ CC /\ exp e. ( CC ^pm CC ) ) -> dom ( CC _D exp ) C_ CC )
119	117, 4, 118	mp2an 430	. . . . . . . 8 |- dom ( CC _D exp ) C_ CC
120		breldmg 4982	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( exp ` x ) e. CC /\ x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) ) -> x e. dom ( CC _D exp ) )
121	18, 113, 120	mpd3an23 1380	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> x e. dom ( CC _D exp ) )
122	121	ssriv 3252	. . . . . . . 8 |- CC C_ dom ( CC _D exp )
123	119, 122	eqssi 3264	. . . . . . 7 |- dom ( CC _D exp ) = CC
124	123	feq2i 5522	. . . . . 6 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC <-> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
125	6, 124	mpbi 145	. . . . 5 |- ( CC _D exp ) : CC --> CC
126	125	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
127	126	feqmptd 5750	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) )
128	2	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> exp : CC --> CC )
129	128	feqmptd 5750	. . 3 |- ( T. -> exp = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
130	116, 127, 129	3eqtr4a 2297	. 2 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = exp )
131	130	mptru 1411	1 |- ( CC _D exp ) = exp

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   T. wtru 1403   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   {csn 3705   <.cop 3708   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   X. cxp 4767   dom cdm 4769   o. ccom 4773   Fun wfun 5366   -->wf 5368   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   oFcof 6290   ^pm cpm 6913   CCcc 8167   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   x. cmul 8174   - cmin 8487   # cap 8899   abscabs 11741   expce 12387   MetOpencmopn 14850   _D cdv 15679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289  ax-addf 8291  ax-mulf 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-disj 4102  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-of 6292  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-frec 6652  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-er 6797  df-map 6914  df-pm 6915  df-en 7013  df-dom 7014  df-fin 7015  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-ico 10275  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-fac 11142  df-bc 11164  df-ihash 11193  df-shft 11558  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-clim 12023  df-sumdc 12098  df-ef 12393  df-rest 13572  df-topgen 13591  df-psmet 14852  df-xmet 14853  df-met 14854  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-top 15022  df-topon 15035  df-bases 15067  df-ntr 15120  df-cn 15212  df-cnp 15213  df-tx 15277  df-cncf 15595  df-limced 15680  df-dvap 15681

This theorem is referenced by:  efcn  15792