Theorem dvef 14191

Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvef	|- ( CC _D exp ) = exp

Proof of Theorem dvef

Dummy variables x z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7935	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
2		eff 11671	. . . . . . . 8 |- exp : CC --> CC
3		fpmg 6674	. . . . . . . 8 |- ( ( CC e. _V /\ CC e. _V /\ exp : CC --> CC ) -> exp e. ( CC ^pm CC ) )
4	1, 1, 2, 3	mp3an 1337	. . . . . . 7 |- exp e. ( CC ^pm CC )
5		dvfcnpm 14162	. . . . . . 7 |- ( exp e. ( CC ^pm CC ) -> ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC
7		ffun 5369	. . . . . 6 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC -> Fun ( CC _D exp ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- Fun ( CC _D exp )
9		subcl 8156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
10	9	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
11		efadd 11683	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( z - x ) e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
12	10, 11	syldan 282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
13		pncan3 8165	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
14	13	fveq2d 5520	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
15	12, 14	eqtr3d 2212	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
16	15	mpteq2dva 4094	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
17	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> CC e. _V )
18		efcl 11672	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` x ) e. CC )
20		efcl 11672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z - x ) e. CC -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
22		fconstmpt 4674	. . . . . . . . . 10 |- ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) )
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
24		eqidd 2178	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
25	17, 19, 21, 23, 24	offval2 6098	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
26	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> exp : CC --> CC )
27	26	feqmptd 5570	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
28	16, 25, 27	3eqtr4d 2220	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = exp )
29	28	oveq2d 5891	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) = ( CC _D exp ) )
30		fconstg 5413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
31	18, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
32	18	snssd 3738	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> { ( exp ` x ) } C_ CC )
33	31, 32	fssd 5379	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
34		ssidd 3177	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> CC C_ CC )
35	21	fmpttd 5672	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) : CC --> CC )
36		c0ex 7951	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
37	36	snid 3624	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. { 0 }
38		opelxpi 4659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ 0 e. { 0 } ) -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
39	37, 38	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
40		dvconst 14164	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
41	18, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
42	39, 41	eleqtrrd 2257	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
43		df-br 4005	. . . . . . . . 9 |- ( x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 <-> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
44	42, 43	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 )
45	26, 10	cofmpt 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
46	45	oveq2d 5891	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) = ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
47	10	fmpttd 5672	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) : CC --> CC )
48		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> u e. CC )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> u e. CC )
50		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> x e. CC )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> x e. CC )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> u # x )
53	49, 51, 52	subap0d 8601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( u - x ) # 0 )
54		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) )
55		oveq1 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = u -> ( z - x ) = ( u - x ) )
56		subcl 8156	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. CC /\ x e. CC ) -> ( u - x ) e. CC )
57	56	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( u - x ) e. CC )
58	54, 55, 48, 57	fvmptd3 5610	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) = ( u - x ) )
59		oveq1 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( z - x ) = ( x - x ) )
60		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. CC -> x e. CC )
61	60, 60	subcld 8268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( x - x ) e. CC )
62	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( x - x ) e. CC )
63	54, 59, 50, 62	fvmptd3 5610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
64		subid 8176	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x - x ) = 0 )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( x - x ) = 0 )
66	63, 65	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
67	58, 66	breq12d 4017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) <-> ( u - x ) # 0 ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) <-> ( u - x ) # 0 ) )
69	53, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) )
70	69	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( u # x -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ) )
71	70	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> A. u e. CC ( u # x -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ) )
72	54, 59, 60, 61	fvmptd3 5610	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
73	72, 64	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
74		dveflem 14190	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 ( CC _D exp ) 1
75	73, 74	eqbrtrdi 4043	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ( CC _D exp ) 1 )
76		1ex 7952	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. _V
77	76	snid 3624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. { 1 }
78		opelxpi 4659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. { 1 } ) -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
79	77, 78	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
80		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
81		1cnd 7973	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
82		dvmptidcn 14181	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
83	82	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
84		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> x e. CC )
85		0cnd 7950	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
86	60	dvmptccn 14182	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> x ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
87	80, 81, 83, 84, 85, 86	dvmptsubcn 14188	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) )
88		1m0e1 9032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 0 ) = 1
89	88	mpteq2i 4091	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
90		fconstmpt 4674	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
91	89, 90	eqtr4i 2201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( CC X. { 1 } )
92	87, 91	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
93	79, 92	eleqtrrd 2257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
94		df-br 4005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 <-> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
95	93, 94	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 )
96		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
97	26, 34, 47, 34, 71, 34, 34, 75, 95, 96	dvcoapbr 14174	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) ( 1 x. 1 ) )
98		1t1e1 9071	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 1 ) = 1
99	97, 98	breqtrdi 4045	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 )
100	46, 99	breqdi 4019	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 )
101	33, 34, 35, 34, 44, 100, 96	dvmulxxbr 14169	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) )
102	35, 60	ffvelcdmd 5653	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) e. CC )
103	102	mul02d 8349	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) = 0 )
104		fvconst2g 5731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( exp ` x ) e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
105	18, 104	mpancom 422	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
106	105	oveq2d 5891	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( 1 x. ( exp ` x ) ) )
107	18	mulid2d 7976	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
108	106, 107	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( exp ` x ) )
109	103, 108	oveq12d 5893	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( 0 + ( exp ` x ) ) )
110	18	addid2d 8107	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( 0 + ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
111	109, 110	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( exp ` x ) )
112	101, 111	breqtrd 4030	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) )
113	29, 112	breqdi 4019	. . . . 5 |- ( x e. CC -> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) )
114		funbrfv 5555	. . . . 5 |- ( Fun ( CC _D exp ) -> ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) ) )
115	8, 113, 114	mpsyl 65	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) )
116	115	mpteq2ia 4090	. . 3 |- ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) )
117		ssid 3176	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
118		dvbsssg 14158	. . . . . . . . 9 |- ( ( CC C_ CC /\ exp e. ( CC ^pm CC ) ) -> dom ( CC _D exp ) C_ CC )
119	117, 4, 118	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- dom ( CC _D exp ) C_ CC
120		breldmg 4834	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( exp ` x ) e. CC /\ x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) ) -> x e. dom ( CC _D exp ) )
121	18, 113, 120	mpd3an23 1339	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> x e. dom ( CC _D exp ) )
122	121	ssriv 3160	. . . . . . . 8 |- CC C_ dom ( CC _D exp )
123	119, 122	eqssi 3172	. . . . . . 7 |- dom ( CC _D exp ) = CC
124	123	feq2i 5360	. . . . . 6 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC <-> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
125	6, 124	mpbi 145	. . . . 5 |- ( CC _D exp ) : CC --> CC
126	125	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
127	126	feqmptd 5570	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) )
128	2	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> exp : CC --> CC )
129	128	feqmptd 5570	. . 3 |- ( T. -> exp = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
130	116, 127, 129	3eqtr4a 2236	. 2 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = exp )
131	130	mptru 1362	1 |- ( CC _D exp ) = exp

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   _Vcvv 2738   C_ wss 3130   {csn 3593   <.cop 3596   class class class wbr 4004   |-> cmpt 4065   X. cxp 4625   dom cdm 4627   o. ccom 4631   Fun wfun 5211   -->wf 5213   ` cfv 5217  (class class class)co 5875   oFcof 6081   ^pm cpm 6649   CCcc 7809   0cc0 7811   1c1 7812   + caddc 7814   x. cmul 7816   - cmin 8128   # cap 8538   abscabs 11006   expce 11650   MetOpencmopn 13448   _D cdv 14127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-addf 7933  ax-mulf 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-pm 6651  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ico 9894  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129

This theorem is referenced by:  efcn  14192