Theorem dvef 13855

Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dvef	|- ( CC _D exp ) = exp

Proof of Theorem dvef

Dummy variables x z u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 7926	. . . . . . . 8 |- CC e. _V
2		eff 11655	. . . . . . . 8 |- exp : CC --> CC
3		fpmg 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( CC e. _V /\ CC e. _V /\ exp : CC --> CC ) -> exp e. ( CC ^pm CC ) )
4	1, 1, 2, 3	mp3an 1337	. . . . . . 7 |- exp e. ( CC ^pm CC )
5		dvfcnpm 13826	. . . . . . 7 |- ( exp e. ( CC ^pm CC ) -> ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC
7		ffun 5364	. . . . . 6 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC -> Fun ( CC _D exp ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 |- Fun ( CC _D exp )
9		subcl 8146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( z e. CC /\ x e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
10	9	ancoms 268	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( z - x ) e. CC )
11		efadd 11667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( z - x ) e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
12	10, 11	syldan 282	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) )
13		pncan3 8155	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( x + ( z - x ) ) = z )
14	13	fveq2d 5515	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( x + ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
15	12, 14	eqtr3d 2212	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( exp ` z ) )
16	15	mpteq2dva 4090	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
17	1	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> CC e. _V )
18		efcl 11656	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp ` x ) e. CC )
19	18	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` x ) e. CC )
20		efcl 11656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z - x ) e. CC -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
21	10, 20	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> ( exp ` ( z - x ) ) e. CC )
22		fconstmpt 4670	. . . . . . . . . 10 |- ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) )
23	22	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) = ( z e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
24		eqidd 2178	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
25	17, 19, 21, 23, 24	offval2 6092	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = ( z e. CC |-> ( ( exp ` x ) x. ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
26	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> exp : CC --> CC )
27	26	feqmptd 5565	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> exp = ( z e. CC |-> ( exp ` z ) ) )
28	16, 25, 27	3eqtr4d 2220	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) = exp )
29	28	oveq2d 5885	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) = ( CC _D exp ) )
30		fconstg 5408	. . . . . . . . . 10 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
31	18, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> { ( exp ` x ) } )
32	18	snssd 3736	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> { ( exp ` x ) } C_ CC )
33	31, 32	fssd 5374	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( CC X. { ( exp ` x ) } ) : CC --> CC )
34		ssidd 3176	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> CC C_ CC )
35	21	fmpttd 5667	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) : CC --> CC )
36		c0ex 7942	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. _V
37	36	snid 3622	. . . . . . . . . . 11 |- 0 e. { 0 }
38		opelxpi 4655	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ 0 e. { 0 } ) -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
39	37, 38	mpan2 425	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC X. { 0 } ) )
40		dvconst 13828	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( exp ` x ) e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
41	18, 40	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) = ( CC X. { 0 } ) )
42	39, 41	eleqtrrd 2257	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
43		df-br 4001	. . . . . . . . 9 |- ( x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 <-> <. x , 0 >. e. ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) )
44	42, 43	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ) 0 )
45	26, 10	cofmpt 5681	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) )
46	45	oveq2d 5885	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) = ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) )
47	10	fmpttd 5667	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( z e. CC |-> ( z - x ) ) : CC --> CC )
48		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> u e. CC )
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> u e. CC )
50		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> x e. CC )
51	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> x e. CC )
52		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> u # x )
53	49, 51, 52	subap0d 8591	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( u - x ) # 0 )
54		eqid 2177	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. CC |-> ( z - x ) ) = ( z e. CC |-> ( z - x ) )
55		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = u -> ( z - x ) = ( u - x ) )
56		subcl 8146	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u e. CC /\ x e. CC ) -> ( u - x ) e. CC )
57	56	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( u - x ) e. CC )
58	54, 55, 48, 57	fvmptd3 5605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) = ( u - x ) )
59		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = x -> ( z - x ) = ( x - x ) )
60		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. CC -> x e. CC )
61	60, 60	subcld 8258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. CC -> ( x - x ) e. CC )
62	61	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( x - x ) e. CC )
63	54, 59, 50, 62	fvmptd3 5605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
64		subid 8166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. CC -> ( x - x ) = 0 )
65	64	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( x - x ) = 0 )
66	63, 65	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
67	58, 66	breq12d 4013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) <-> ( u - x ) # 0 ) )
68	67	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) <-> ( u - x ) # 0 ) )
69	53, 68	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. CC /\ u e. CC ) /\ u # x ) -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) )
70	69	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. CC /\ u e. CC ) -> ( u # x -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ) )
71	70	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> A. u e. CC ( u # x -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` u ) # ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ) )
72	54, 59, 60, 61	fvmptd3 5605	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = ( x - x ) )
73	72, 64	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) = 0 )
74		dveflem 13854	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 ( CC _D exp ) 1
75	73, 74	eqbrtrdi 4039	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ` x ) ( CC _D exp ) 1 )
76		1ex 7943	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. _V
77	76	snid 3622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. { 1 }
78		opelxpi 4655	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. CC /\ 1 e. { 1 } ) -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
79	77, 78	mpan2 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC X. { 1 } ) )
80		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> z e. CC )
81		1cnd 7964	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 1 e. CC )
82		dvmptidcn 13845	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
83	82	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> z ) ) = ( z e. CC |-> 1 ) )
84		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> x e. CC )
85		0cnd 7941	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. CC /\ z e. CC ) -> 0 e. CC )
86	60	dvmptccn 13846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> x ) ) = ( z e. CC |-> 0 ) )
87	80, 81, 83, 84, 85, 86	dvmptsubcn 13852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) )
88		1m0e1 9021	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 1 - 0 ) = 1
89	88	mpteq2i 4087	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( z e. CC |-> 1 )
90		fconstmpt 4670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( CC X. { 1 } ) = ( z e. CC |-> 1 )
91	89, 90	eqtr4i 2201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. CC |-> ( 1 - 0 ) ) = ( CC X. { 1 } )
92	87, 91	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) = ( CC X. { 1 } ) )
93	79, 92	eleqtrrd 2257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
94		df-br 4001	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 <-> <. x , 1 >. e. ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) )
95	93, 94	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) 1 )
96		eqid 2177	. . . . . . . . . . 11 |- ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
97	26, 34, 47, 34, 71, 34, 34, 75, 95, 96	dvcoapbr 13838	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) ( 1 x. 1 ) )
98		1t1e1 9060	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 x. 1 ) = 1
99	97, 98	breqtrdi 4041	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( exp o. ( z e. CC |-> ( z - x ) ) ) ) 1 )
100	46, 99	breqdi 4015	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) 1 )
101	33, 34, 35, 34, 44, 100, 96	dvmulxxbr 13833	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) )
102	35, 60	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) e. CC )
103	102	mul02d 8339	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) = 0 )
104		fvconst2g 5726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( exp ` x ) e. CC /\ x e. CC ) -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
105	18, 104	mpancom 422	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. CC -> ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) = ( exp ` x ) )
106	105	oveq2d 5885	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( 1 x. ( exp ` x ) ) )
107	18	mulid2d 7966	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
108	106, 107	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) = ( exp ` x ) )
109	103, 108	oveq12d 5887	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( 0 + ( exp ` x ) ) )
110	18	addid2d 8097	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC -> ( 0 + ( exp ` x ) ) = ( exp ` x ) )
111	109, 110	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( x e. CC -> ( ( 0 x. ( ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ` x ) ) + ( 1 x. ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) ` x ) ) ) = ( exp ` x ) )
112	101, 111	breqtrd 4026	. . . . . 6 |- ( x e. CC -> x ( CC _D ( ( CC X. { ( exp ` x ) } ) oF x. ( z e. CC |-> ( exp ` ( z - x ) ) ) ) ) ( exp ` x ) )
113	29, 112	breqdi 4015	. . . . 5 |- ( x e. CC -> x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) )
114		funbrfv 5550	. . . . 5 |- ( Fun ( CC _D exp ) -> ( x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) ) )
115	8, 113, 114	mpsyl 65	. . . 4 |- ( x e. CC -> ( ( CC _D exp ) ` x ) = ( exp ` x ) )
116	115	mpteq2ia 4086	. . 3 |- ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) )
117		ssid 3175	. . . . . . . . 9 |- CC C_ CC
118		dvbsssg 13822	. . . . . . . . 9 |- ( ( CC C_ CC /\ exp e. ( CC ^pm CC ) ) -> dom ( CC _D exp ) C_ CC )
119	117, 4, 118	mp2an 426	. . . . . . . 8 |- dom ( CC _D exp ) C_ CC
120		breldmg 4829	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ ( exp ` x ) e. CC /\ x ( CC _D exp ) ( exp ` x ) ) -> x e. dom ( CC _D exp ) )
121	18, 113, 120	mpd3an23 1339	. . . . . . . . 9 |- ( x e. CC -> x e. dom ( CC _D exp ) )
122	121	ssriv 3159	. . . . . . . 8 |- CC C_ dom ( CC _D exp )
123	119, 122	eqssi 3171	. . . . . . 7 |- dom ( CC _D exp ) = CC
124	123	feq2i 5355	. . . . . 6 |- ( ( CC _D exp ) : dom ( CC _D exp ) --> CC <-> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
125	6, 124	mpbi 145	. . . . 5 |- ( CC _D exp ) : CC --> CC
126	125	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> ( CC _D exp ) : CC --> CC )
127	126	feqmptd 5565	. . 3 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = ( x e. CC |-> ( ( CC _D exp ) ` x ) ) )
128	2	a1i 9	. . . 4 |- ( T. -> exp : CC --> CC )
129	128	feqmptd 5565	. . 3 |- ( T. -> exp = ( x e. CC |-> ( exp ` x ) ) )
130	116, 127, 129	3eqtr4a 2236	. 2 |- ( T. -> ( CC _D exp ) = exp )
131	130	mptru 1362	1 |- ( CC _D exp ) = exp

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   T. wtru 1354   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   C_ wss 3129   {csn 3591   <.cop 3594   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   X. cxp 4621   dom cdm 4623   o. ccom 4627   Fun wfun 5206   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   oFcof 6075   ^pm cpm 6643   CCcc 7800   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   x. cmul 7807   - cmin 8118   # cap 8528   abscabs 10990   expce 11634   MetOpencmopn 13152   _D cdv 13791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922  ax-addf 7924  ax-mulf 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-ico 9881  df-fz 9996  df-fzo 10129  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-fac 10690  df-bc 10712  df-ihash 10740  df-shft 10808  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-clim 11271  df-sumdc 11346  df-ef 11640  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-ntr 13263  df-cn 13355  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-cncf 13725  df-limced 13792  df-dvap 13793

This theorem is referenced by:  efcn  13856