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Theorem dvef 13328
Description: Derivative of the exponential function. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dvef  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp

Proof of Theorem dvef
Dummy variables  x  z  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 7877 . . . . . . . 8  |-  CC  e.  _V
2 eff 11604 . . . . . . . 8  |-  exp : CC
--> CC
3 fpmg 6640 . . . . . . . 8  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  CC  e.  _V  /\  exp : CC --> CC )  ->  exp  e.  ( CC  ^pm  CC ) )
41, 1, 2, 3mp3an 1327 . . . . . . 7  |-  exp  e.  ( CC  ^pm  CC )
5 dvfcnpm 13299 . . . . . . 7  |-  ( exp 
e.  ( CC  ^pm  CC )  ->  ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( CC 
_D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC
7 ffun 5340 . . . . . 6  |-  ( ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC  ->  Fun  ( CC  _D  exp )
)
86, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  Fun  ( CC  _D  exp )
9 subcl 8097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( z  -  x
)  e.  CC )
109ancoms 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( z  -  x
)  e.  CC )
11 efadd 11616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( z  -  x
)  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
1210, 11syldan 280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
13 pncan3 8106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( x  +  ( z  -  x ) )  =  z )
1413fveq2d 5490 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
x  +  ( z  -  x ) ) )  =  ( exp `  z ) )
1512, 14eqtr3d 2200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  ( z  -  x
) ) )  =  ( exp `  z
) )
1615mpteq2dva 4072 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x
)  x.  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  z
) ) )
171a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  e.  _V )
18 efcl 11605 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp `  x )  e.  CC )
1918adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  x
)  e.  CC )
20 efcl 11605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  -  x )  e.  CC  ->  ( exp `  ( z  -  x ) )  e.  CC )
2110, 20syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( exp `  (
z  -  x ) )  e.  CC )
22 fconstmpt 4651 . . . . . . . . . 10  |-  ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  x
) )
2322a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  x
) ) )
24 eqidd 2166 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )
2517, 19, 21, 23, 24offval2 6065 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( ( exp `  x )  x.  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
262a1i 9 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  exp : CC --> CC )
2726feqmptd 5539 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  exp  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  z
) ) )
2816, 25, 273eqtr4d 2208 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) )  =  exp )
2928oveq2d 5858 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } )  oF  x.  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )  =  ( CC  _D  exp ) )
30 fconstg 5384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( exp `  x )  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> { ( exp `  x ) } )
3118, 30syl 14 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> { ( exp `  x ) } )
3218snssd 3718 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  { ( exp `  x ) }  C_  CC )
3331, 32fssd 5350 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) : CC --> CC )
34 ssidd 3163 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  CC  C_  CC )
3521fmpttd 5640 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) : CC --> CC )
36 c0ex 7893 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  _V
3736snid 3607 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  { 0 }
38 opelxpi 4636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  0  e.  { 0 } )  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  X.  { 0 } ) )
3937, 38mpan2 422 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  X.  { 0 } ) )
40 dvconst 13301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( exp `  x )  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
4118, 40syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) )  =  ( CC  X.  { 0 } ) )
4239, 41eleqtrrd 2246 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  _D  ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) ) )
43 df-br 3983 . . . . . . . . 9  |-  ( x ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) ) 0  <->  <. x ,  0 >.  e.  ( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) ) )
4442, 43sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) ) 0 )
4526, 10cofmpt 5654 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  (
z  -  x ) ) ) )
4645oveq2d 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) ) )  =  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) )
4710fmpttd 5640 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) : CC --> CC )
48 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  u  e.  CC )
4948adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  /\  u #  x )  ->  u  e.  CC )
50 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  /\  u #  x )  ->  x  e.  CC )
52 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  /\  u #  x )  ->  u #  x )
5349, 51, 52subap0d 8542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  /\  u #  x )  ->  ( u  -  x ) #  0 )
54 eqid 2165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) )
55 oveq1 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  u  ->  (
z  -  x )  =  ( u  -  x ) )
56 subcl 8097 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( u  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( u  -  x
)  e.  CC )
5756ancoms 266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( u  -  x
)  e.  CC )
5854, 55, 48, 57fvmptd3 5579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  u )  =  ( u  -  x ) )
59 oveq1 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  x  ->  (
z  -  x )  =  ( x  -  x ) )
60 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  CC )
6160, 60subcld 8209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  -  x )  e.  CC )
6261adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( x  -  x
)  e.  CC )
6354, 59, 50, 62fvmptd3 5579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  x )  =  ( x  -  x ) )
64 subid 8117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  -  x )  =  0 )
6564adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( x  -  x
)  =  0 )
6663, 65eqtrd 2198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  x )  =  0 )
6758, 66breq12d 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `
 u ) #  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  <->  ( u  -  x ) #  0 ) )
6867adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  /\  u #  x )  ->  ( ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  u ) #  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  x )  <->  ( u  -  x ) #  0 ) )
6953, 68mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  /\  u #  x )  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `
 u ) #  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
) )
7069ex 114 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  u  e.  CC )  ->  ( u #  x  -> 
( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  u ) #  ( (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  x ) ) )
7170ralrimiva 2539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  A. u  e.  CC  ( u #  x  ->  ( ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  u ) #  ( (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) `  x ) ) )
7254, 59, 60, 61fvmptd3 5579 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  =  ( x  -  x ) )
7372, 64eqtrd 2198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
)  =  0 )
74 dveflem 13327 . . . . . . . . . . . 12  |-  0
( CC  _D  exp ) 1
7573, 74eqbrtrdi 4021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( z  -  x
) ) `  x
) ( CC  _D  exp ) 1 )
76 1ex 7894 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  _V
7776snid 3607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  { 1 }
78 opelxpi 4636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  CC  /\  1  e.  { 1 } )  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  X.  { 1 } ) )
7977, 78mpan2 422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  X.  { 1 } ) )
80 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
81 1cnd 7915 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  1  e.  CC )
82 dvmptidcn 13318 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
_D  ( z  e.  CC  |->  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
8382a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  z ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 ) )
84 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  x  e.  CC )
85 0cnd 7892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  0  e.  CC )
8660dvmptccn 13319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  x ) )  =  ( z  e.  CC  |->  0 ) )
8780, 81, 83, 84, 85, 86dvmptsubcn 13325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) ) )
88 1m0e1 8970 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1  -  0 )  =  1
8988mpteq2i 4069 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
90 fconstmpt 4651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( CC 
X.  { 1 } )  =  ( z  e.  CC  |->  1 )
9189, 90eqtr4i 2189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  CC  |->  ( 1  -  0 ) )  =  ( CC  X.  { 1 } )
9287, 91eqtrdi 2215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) )  =  ( CC  X.  { 1 } ) )
9379, 92eleqtrrd 2246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) )
94 df-br 3983 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x ( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) 1  <->  <. x ,  1 >.  e.  ( CC  _D  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) )
9593, 94sylibr 133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) 1 )
96 eqid 2165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
9726, 34, 47, 34, 71, 34, 34, 75, 95, 96dvcoapbr 13311 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) ( 1  x.  1 ) )
98 1t1e1 9009 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
9997, 98breqtrdi 4023 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  ( exp  o.  ( z  e.  CC  |->  ( z  -  x ) ) ) ) 1 )
10046, 99breqdi 3997 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) ) 1 )
10133, 34, 35, 34, 44, 100, 96dvmulxxbr 13306 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( ( 0  x.  ( ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) `  x ) ) ) )
10235, 60ffvelrnd 5621 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x )  e.  CC )
103102mul02d 8290 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  x.  ( ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  =  0 )
104 fvconst2g 5699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( exp `  x
)  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( ( CC  X.  { ( exp `  x
) } ) `  x )  =  ( exp `  x ) )
10518, 104mpancom 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } ) `  x )  =  ( exp `  x ) )
106105oveq2d 5858 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) `  x
) )  =  ( 1  x.  ( exp `  x ) ) )
10718mulid2d 7917 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  x
) )
108106, 107eqtrd 2198 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  ( ( CC  X.  { ( exp `  x ) } ) `  x
) )  =  ( exp `  x ) )
109103, 108oveq12d 5860 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) `
 x ) ) )  =  ( 0  +  ( exp `  x
) ) )
11018addid2d 8048 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0  +  ( exp `  x ) )  =  ( exp `  x
) )
111109, 110eqtrd 2198 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 0  x.  (
( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x ) ) ) `  x ) )  +  ( 1  x.  ( ( CC 
X.  { ( exp `  x ) } ) `
 x ) ) )  =  ( exp `  x ) )
112101, 111breqtrd 4008 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  (
( CC  X.  {
( exp `  x
) } )  oF  x.  ( z  e.  CC  |->  ( exp `  ( z  -  x
) ) ) ) ) ( exp `  x
) )
11329, 112breqdi 3997 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  x
( CC  _D  exp ) ( exp `  x
) )
114 funbrfv 5525 . . . . 5  |-  ( Fun  ( CC  _D  exp )  ->  ( x ( CC  _D  exp )
( exp `  x
)  ->  ( ( CC  _D  exp ) `  x )  =  ( exp `  x ) ) )
1158, 113, 114mpsyl 65 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( CC  _D  exp ) `  x )  =  ( exp `  x
) )
116115mpteq2ia 4068 . . 3  |-  ( x  e.  CC  |->  ( ( CC  _D  exp ) `  x ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) )
117 ssid 3162 . . . . . . . . 9  |-  CC  C_  CC
118 dvbsssg 13295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  exp  e.  ( CC  ^pm  CC ) )  ->  dom  ( CC  _D  exp )  C_  CC )
119117, 4, 118mp2an 423 . . . . . . . 8  |-  dom  ( CC  _D  exp )  C_  CC
120 breldmg 4810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( exp `  x )  e.  CC  /\  x
( CC  _D  exp ) ( exp `  x
) )  ->  x  e.  dom  ( CC  _D  exp ) )
12118, 113, 120mpd3an23 1329 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  CC  ->  x  e.  dom  ( CC  _D  exp ) )
122121ssriv 3146 . . . . . . . 8  |-  CC  C_  dom  ( CC  _D  exp )
123119, 122eqssi 3158 . . . . . . 7  |-  dom  ( CC  _D  exp )  =  CC
124123feq2i 5331 . . . . . 6  |-  ( ( CC  _D  exp ) : dom  ( CC  _D  exp ) --> CC  <->  ( CC  _D  exp ) : CC --> CC )
1256, 124mpbi 144 . . . . 5  |-  ( CC 
_D  exp ) : CC --> CC
126125a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp ) : CC --> CC )
127126feqmptd 5539 . . 3  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  ( x  e.  CC  |->  ( ( CC 
_D  exp ) `  x
) ) )
1282a1i 9 . . . 4  |-  ( T. 
->  exp : CC --> CC )
129128feqmptd 5539 . . 3  |-  ( T. 
->  exp  =  ( x  e.  CC  |->  ( exp `  x ) ) )
130116, 127, 1293eqtr4a 2225 . 2  |-  ( T. 
->  ( CC  _D  exp )  =  exp )
131130mptru 1352 1  |-  ( CC 
_D  exp )  =  exp
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1343   T. wtru 1344    e. wcel 2136   _Vcvv 2726    C_ wss 3116   {csn 3576   <.cop 3579   class class class wbr 3982    |-> cmpt 4043    X. cxp 4602   dom cdm 4604    o. ccom 4608   Fun wfun 5182   -->wf 5184   ` cfv 5188  (class class class)co 5842    oFcof 6048    ^pm cpm 6615   CCcc 7751   0cc0 7753   1c1 7754    + caddc 7756    x. cmul 7758    - cmin 8069   # cap 8479   abscabs 10939   expce 11583   MetOpencmopn 12625    _D cdv 13264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873  ax-addf 7875  ax-mulf 7876
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-disj 3960  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-of 6050  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-frec 6359  df-1o 6384  df-oadd 6388  df-er 6501  df-map 6616  df-pm 6617  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-xneg 9708  df-xadd 9709  df-ico 9830  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-fac 10639  df-bc 10661  df-ihash 10689  df-shft 10757  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-clim 11220  df-sumdc 11295  df-ef 11589  df-rest 12558  df-topgen 12577  df-psmet 12627  df-xmet 12628  df-met 12629  df-bl 12630  df-mopn 12631  df-top 12636  df-topon 12649  df-bases 12681  df-ntr 12736  df-cn 12828  df-cnp 12829  df-tx 12893  df-cncf 13198  df-limced 13265  df-dvap 13266
This theorem is referenced by:  efcn  13329
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