Theorem en1top 15101

Description: { (/) } is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
en1top	|- ( J e. Top -> ( J ~~ 1o <-> J = { (/) } ) )

Proof of Theorem en1top

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0opn 15030	. . 3 |- ( J e. Top -> (/) e. J )
2		en1eqsn 7255	. . . 4 |- ( ( (/) e. J /\ J ~~ 1o ) -> J = { (/) } )
3	2	ex 115	. . 3 |- ( (/) e. J -> ( J ~~ 1o -> J = { (/) } ) )
4	1, 3	syl 14	. 2 |- ( J e. Top -> ( J ~~ 1o -> J = { (/) } ) )
5		id 19	. . 3 |- ( J = { (/) } -> J = { (/) } )
6		0ex 4255	. . . 4 |- (/) e. _V
7	6	ensn1 7073	. . 3 |- { (/) } ~~ 1o
8	5, 7	eqbrtrdi 4164	. 2 |- ( J = { (/) } -> J ~~ 1o )
9	4, 8	impbid1 142	1 |- ( J e. Top -> ( J ~~ 1o <-> J = { (/) } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   (/)c0 3520   {csn 3705   class class class wbr 4125   1oc1o 6670   ~~ cen 7010   Topctop 15021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-1o 6677  df-er 6797  df-en 7013  df-fin 7015  df-top 15022

This theorem is referenced by: (None)