ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en1top Unicode version

Theorem en1top 14029
Description:  { (/)
} is the only topology with one element. (Contributed by FL, 18-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
en1top  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )

Proof of Theorem en1top
StepHypRef Expression
1 0opn 13958 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  (/)  e.  J
)
2 en1eqsn 6976 . . . 4  |-  ( (
(/)  e.  J  /\  J  ~~  1o )  ->  J  =  { (/) } )
32ex 115 . . 3  |-  ( (/)  e.  J  ->  ( J 
~~  1o  ->  J  =  { (/) } ) )
41, 3syl 14 . 2  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  ->  J  =  { (/) } ) )
5 id 19 . . 3  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J  =  { (/) } )
6 0ex 4145 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
76ensn1 6821 . . 3  |-  { (/) } 
~~  1o
85, 7eqbrtrdi 4057 . 2  |-  ( J  =  { (/) }  ->  J 
~~  1o )
94, 8impbid1 142 1  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  ~~  1o  <->  J  =  { (/) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160   (/)c0 3437   {csn 3607   class class class wbr 4018   1oc1o 6433    ~~ cen 6763   Topctop 13949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-1o 6440  df-er 6558  df-en 6766  df-fin 6768  df-top 13950
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator