Theorem zabsle1 14067

Description: { -u 1 , 0 , 1 } is the set of all integers with absolute value at most 1. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zabsle1	|- ( Z e. ZZ -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( abs ` Z ) <_ 1 ) )

Proof of Theorem zabsle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltpi 3638	. . 3 |- ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
2		fveq2 5511	. . . . 5 |- ( Z = -u 1 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` -u 1 ) )
3		ax-1cn 7895	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
4	3	absnegi 11140	. . . . . . 7 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
5		abs1 11065	. . . . . . 7 |- ( abs ` 1 ) = 1
6	4, 5	eqtri 2198	. . . . . 6 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
7		1le1 8519	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
8	6, 7	eqbrtri 4021	. . . . 5 |- ( abs ` -u 1 ) <_ 1
9	2, 8	eqbrtrdi 4039	. . . 4 |- ( Z = -u 1 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
10		fveq2 5511	. . . . 5 |- ( Z = 0 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` 0 ) )
11		abs0 11051	. . . . . 6 |- ( abs ` 0 ) = 0
12		0le1 8428	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
13	11, 12	eqbrtri 4021	. . . . 5 |- ( abs ` 0 ) <_ 1
14	10, 13	eqbrtrdi 4039	. . . 4 |- ( Z = 0 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
15		fveq2 5511	. . . . 5 |- ( Z = 1 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` 1 ) )
16	5, 7	eqbrtri 4021	. . . . 5 |- ( abs ` 1 ) <_ 1
17	15, 16	eqbrtrdi 4039	. . . 4 |- ( Z = 1 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
18	9, 14, 17	3jaoi 1303	. . 3 |- ( ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
19	1, 18	syl 14	. 2 |- ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
20		zre 9246	. . . 4 |- ( Z e. ZZ -> Z e. RR )
21		1red 7963	. . . 4 |- ( Z e. ZZ -> 1 e. RR )
22	20, 21	absled 11168	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> ( ( abs ` Z ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) )
23		elz 9244	. . . 4 |- ( Z e. ZZ <-> ( Z e. RR /\ ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) ) )
24		3mix2 1167	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = 0 -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
25	24	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( Z = 0 -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
26		nnle1eq1 8932	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z e. NN -> ( Z <_ 1 <-> Z = 1 ) )
27	26	biimpac 298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z <_ 1 /\ Z e. NN ) -> Z = 1 )
28	27	3mix3d 1174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z <_ 1 /\ Z e. NN ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z <_ 1 -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
32	31	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. NN -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
33		elnnz1 9265	. . . . . . . . . 10 |- ( -u Z e. NN <-> ( -u Z e. ZZ /\ 1 <_ -u Z ) )
34		1red 7963	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z e. RR -> 1 e. RR )
35		lenegcon2 8414	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ Z e. RR ) -> ( 1 <_ -u Z <-> Z <_ -u 1 ) )
36	34, 35	mpancom 422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. RR -> ( 1 <_ -u Z <-> Z <_ -u 1 ) )
37		neg1rr 9014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -u 1 e. RR
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z e. RR -> -u 1 e. RR )
39		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z e. RR -> Z e. RR )
40	38, 39	letri3d 8063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Z e. RR -> ( -u 1 = Z <-> ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) ) )
41		3mix1 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z = -u 1 -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
42	41	eqcoms 2180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -u 1 = Z -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
43	40, 42	syl6bir 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
44	43	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
45	44	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u 1 <_ Z -> ( Z <_ -u 1 -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
46	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z <_ -u 1 -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
47	46	com13 80	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. RR -> ( Z <_ -u 1 -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
48	36, 47	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z e. RR -> ( 1 <_ -u Z -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
49	48	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 <_ -u Z -> ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
50	49	impd 254	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 <_ -u Z -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
51	50	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u Z e. ZZ /\ 1 <_ -u Z ) -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
52	33, 51	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( -u Z e. NN -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
53	25, 32, 52	3jaoi 1303	. . . . . . . 8 |- ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
54	53	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
55		eltpg 3636	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. RR -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
57	56	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
58	54, 57	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } )
59	58	exp32 365	. . . . 5 |- ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) -> ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) ) )
60	59	impcom 125	. . . 4 |- ( ( Z e. RR /\ ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) ) -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
61	23, 60	sylbi 121	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
62	22, 61	sylbid 150	. 2 |- ( Z e. ZZ -> ( ( abs ` Z ) <_ 1 -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
63	19, 62	impbid2 143	1 |- ( Z e. ZZ -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( abs ` Z ) <_ 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2148   {ctp 3593   class class class wbr 4000   ` cfv 5212   RRcr 7801   0cc0 7802   1c1 7803   <_ cle 7983   -ucneg 8119   NNcn 8908   ZZcz 9242   abscabs 10990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-tp 3599  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992

This theorem is referenced by:  lgscl1  14091