Theorem zabsle1 13971

Description: { -u 1 , 0 , 1 } is the set of all integers with absolute value at most 1. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zabsle1	|- ( Z e. ZZ -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( abs ` Z ) <_ 1 ) )

Proof of Theorem zabsle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltpi 3636	. . 3 |- ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
2		fveq2 5507	. . . . 5 |- ( Z = -u 1 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` -u 1 ) )
3		ax-1cn 7879	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
4	3	absnegi 11124	. . . . . . 7 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
5		abs1 11049	. . . . . . 7 |- ( abs ` 1 ) = 1
6	4, 5	eqtri 2196	. . . . . 6 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
7		1le1 8503	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
8	6, 7	eqbrtri 4019	. . . . 5 |- ( abs ` -u 1 ) <_ 1
9	2, 8	eqbrtrdi 4037	. . . 4 |- ( Z = -u 1 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
10		fveq2 5507	. . . . 5 |- ( Z = 0 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` 0 ) )
11		abs0 11035	. . . . . 6 |- ( abs ` 0 ) = 0
12		0le1 8412	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
13	11, 12	eqbrtri 4019	. . . . 5 |- ( abs ` 0 ) <_ 1
14	10, 13	eqbrtrdi 4037	. . . 4 |- ( Z = 0 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
15		fveq2 5507	. . . . 5 |- ( Z = 1 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` 1 ) )
16	5, 7	eqbrtri 4019	. . . . 5 |- ( abs ` 1 ) <_ 1
17	15, 16	eqbrtrdi 4037	. . . 4 |- ( Z = 1 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
18	9, 14, 17	3jaoi 1303	. . 3 |- ( ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
19	1, 18	syl 14	. 2 |- ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
20		zre 9230	. . . 4 |- ( Z e. ZZ -> Z e. RR )
21		1red 7947	. . . 4 |- ( Z e. ZZ -> 1 e. RR )
22	20, 21	absled 11152	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> ( ( abs ` Z ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) )
23		elz 9228	. . . 4 |- ( Z e. ZZ <-> ( Z e. RR /\ ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) ) )
24		3mix2 1167	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = 0 -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
25	24	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( Z = 0 -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
26		nnle1eq1 8916	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z e. NN -> ( Z <_ 1 <-> Z = 1 ) )
27	26	biimpac 298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z <_ 1 /\ Z e. NN ) -> Z = 1 )
28	27	3mix3d 1174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z <_ 1 /\ Z e. NN ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z <_ 1 -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
32	31	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. NN -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
33		elnnz1 9249	. . . . . . . . . 10 |- ( -u Z e. NN <-> ( -u Z e. ZZ /\ 1 <_ -u Z ) )
34		1red 7947	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z e. RR -> 1 e. RR )
35		lenegcon2 8398	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ Z e. RR ) -> ( 1 <_ -u Z <-> Z <_ -u 1 ) )
36	34, 35	mpancom 422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. RR -> ( 1 <_ -u Z <-> Z <_ -u 1 ) )
37		neg1rr 8998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -u 1 e. RR
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z e. RR -> -u 1 e. RR )
39		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z e. RR -> Z e. RR )
40	38, 39	letri3d 8047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Z e. RR -> ( -u 1 = Z <-> ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) ) )
41		3mix1 1166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z = -u 1 -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
42	41	eqcoms 2178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -u 1 = Z -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
43	40, 42	syl6bir 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
44	43	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
45	44	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u 1 <_ Z -> ( Z <_ -u 1 -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
46	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z <_ -u 1 -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
47	46	com13 80	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. RR -> ( Z <_ -u 1 -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
48	36, 47	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z e. RR -> ( 1 <_ -u Z -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
49	48	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 <_ -u Z -> ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
50	49	impd 254	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 <_ -u Z -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
51	50	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u Z e. ZZ /\ 1 <_ -u Z ) -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
52	33, 51	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( -u Z e. NN -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
53	25, 32, 52	3jaoi 1303	. . . . . . . 8 |- ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
54	53	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
55		eltpg 3634	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. RR -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
57	56	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
58	54, 57	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } )
59	58	exp32 365	. . . . 5 |- ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) -> ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) ) )
60	59	impcom 125	. . . 4 |- ( ( Z e. RR /\ ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) ) -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
61	23, 60	sylbi 121	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
62	22, 61	sylbid 150	. 2 |- ( Z e. ZZ -> ( ( abs ` Z ) <_ 1 -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
63	19, 62	impbid2 143	1 |- ( Z e. ZZ -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( abs ` Z ) <_ 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 977   = wceq 1353   e. wcel 2146   {ctp 3591   class class class wbr 3998   ` cfv 5208   RRcr 7785   0cc0 7786   1c1 7787   <_ cle 7967   -ucneg 8103   NNcn 8892   ZZcz 9226   abscabs 10974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-tp 3597  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-frec 6382  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-rp 9625  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976

This theorem is referenced by:  lgscl1  13995