Theorem zabsle1 15115

Description: { -u 1 , 0 , 1 } is the set of all integers with absolute value at most 1. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zabsle1	|- ( Z e. ZZ -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( abs ` Z ) <_ 1 ) )

Proof of Theorem zabsle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltpi 3665	. . 3 |- ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
2		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( Z = -u 1 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` -u 1 ) )
3		ax-1cn 7965	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
4	3	absnegi 11291	. . . . . . 7 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
5		abs1 11216	. . . . . . 7 |- ( abs ` 1 ) = 1
6	4, 5	eqtri 2214	. . . . . 6 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
7		1le1 8591	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
8	6, 7	eqbrtri 4050	. . . . 5 |- ( abs ` -u 1 ) <_ 1
9	2, 8	eqbrtrdi 4068	. . . 4 |- ( Z = -u 1 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
10		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( Z = 0 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` 0 ) )
11		abs0 11202	. . . . . 6 |- ( abs ` 0 ) = 0
12		0le1 8500	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
13	11, 12	eqbrtri 4050	. . . . 5 |- ( abs ` 0 ) <_ 1
14	10, 13	eqbrtrdi 4068	. . . 4 |- ( Z = 0 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
15		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( Z = 1 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` 1 ) )
16	5, 7	eqbrtri 4050	. . . . 5 |- ( abs ` 1 ) <_ 1
17	15, 16	eqbrtrdi 4068	. . . 4 |- ( Z = 1 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
18	9, 14, 17	3jaoi 1314	. . 3 |- ( ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
19	1, 18	syl 14	. 2 |- ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
20		zre 9321	. . . 4 |- ( Z e. ZZ -> Z e. RR )
21		1red 8034	. . . 4 |- ( Z e. ZZ -> 1 e. RR )
22	20, 21	absled 11319	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> ( ( abs ` Z ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) )
23		elz 9319	. . . 4 |- ( Z e. ZZ <-> ( Z e. RR /\ ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) ) )
24		3mix2 1169	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = 0 -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
25	24	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( Z = 0 -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
26		nnle1eq1 9006	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z e. NN -> ( Z <_ 1 <-> Z = 1 ) )
27	26	biimpac 298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z <_ 1 /\ Z e. NN ) -> Z = 1 )
28	27	3mix3d 1176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z <_ 1 /\ Z e. NN ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z <_ 1 -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
32	31	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. NN -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
33		elnnz1 9340	. . . . . . . . . 10 |- ( -u Z e. NN <-> ( -u Z e. ZZ /\ 1 <_ -u Z ) )
34		1red 8034	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z e. RR -> 1 e. RR )
35		lenegcon2 8486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ Z e. RR ) -> ( 1 <_ -u Z <-> Z <_ -u 1 ) )
36	34, 35	mpancom 422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. RR -> ( 1 <_ -u Z <-> Z <_ -u 1 ) )
37		neg1rr 9088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -u 1 e. RR
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z e. RR -> -u 1 e. RR )
39		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z e. RR -> Z e. RR )
40	38, 39	letri3d 8135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Z e. RR -> ( -u 1 = Z <-> ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) ) )
41		3mix1 1168	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z = -u 1 -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
42	41	eqcoms 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -u 1 = Z -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
43	40, 42	biimtrrdi 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
44	43	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
45	44	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u 1 <_ Z -> ( Z <_ -u 1 -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
46	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z <_ -u 1 -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
47	46	com13 80	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. RR -> ( Z <_ -u 1 -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
48	36, 47	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z e. RR -> ( 1 <_ -u Z -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
49	48	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 <_ -u Z -> ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
50	49	impd 254	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 <_ -u Z -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
51	50	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u Z e. ZZ /\ 1 <_ -u Z ) -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
52	33, 51	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( -u Z e. NN -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
53	25, 32, 52	3jaoi 1314	. . . . . . . 8 |- ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
54	53	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
55		eltpg 3663	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. RR -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
57	56	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
58	54, 57	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } )
59	58	exp32 365	. . . . 5 |- ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) -> ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) ) )
60	59	impcom 125	. . . 4 |- ( ( Z e. RR /\ ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) ) -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
61	23, 60	sylbi 121	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
62	22, 61	sylbid 150	. 2 |- ( Z e. ZZ -> ( ( abs ` Z ) <_ 1 -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
63	19, 62	impbid2 143	1 |- ( Z e. ZZ -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( abs ` Z ) <_ 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2164   {ctp 3620   class class class wbr 4029   ` cfv 5254   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   <_ cle 8055   -ucneg 8191   NNcn 8982   ZZcz 9317   abscabs 11141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-rp 9720  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143

This theorem is referenced by:  lgscl1  15139