Theorem zabsle1 15818

Description: { -u 1 , 0 , 1 } is the set of all integers with absolute value at most 1. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zabsle1	|- ( Z e. ZZ -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( abs ` Z ) <_ 1 ) )

Proof of Theorem zabsle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltpi 3720	. . 3 |- ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
2		fveq2 5648	. . . . 5 |- ( Z = -u 1 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` -u 1 ) )
3		ax-1cn 8185	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
4	3	absnegi 11787	. . . . . . 7 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
5		abs1 11712	. . . . . . 7 |- ( abs ` 1 ) = 1
6	4, 5	eqtri 2252	. . . . . 6 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
7		1le1 8811	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
8	6, 7	eqbrtri 4114	. . . . 5 |- ( abs ` -u 1 ) <_ 1
9	2, 8	eqbrtrdi 4132	. . . 4 |- ( Z = -u 1 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
10		fveq2 5648	. . . . 5 |- ( Z = 0 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` 0 ) )
11		abs0 11698	. . . . . 6 |- ( abs ` 0 ) = 0
12		0le1 8720	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
13	11, 12	eqbrtri 4114	. . . . 5 |- ( abs ` 0 ) <_ 1
14	10, 13	eqbrtrdi 4132	. . . 4 |- ( Z = 0 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
15		fveq2 5648	. . . . 5 |- ( Z = 1 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` 1 ) )
16	5, 7	eqbrtri 4114	. . . . 5 |- ( abs ` 1 ) <_ 1
17	15, 16	eqbrtrdi 4132	. . . 4 |- ( Z = 1 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
18	9, 14, 17	3jaoi 1340	. . 3 |- ( ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
19	1, 18	syl 14	. 2 |- ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
20		zre 9544	. . . 4 |- ( Z e. ZZ -> Z e. RR )
21		1red 8254	. . . 4 |- ( Z e. ZZ -> 1 e. RR )
22	20, 21	absled 11815	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> ( ( abs ` Z ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) )
23		elz 9542	. . . 4 |- ( Z e. ZZ <-> ( Z e. RR /\ ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) ) )
24		3mix2 1194	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = 0 -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
25	24	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( Z = 0 -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
26		nnle1eq1 9226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z e. NN -> ( Z <_ 1 <-> Z = 1 ) )
27	26	biimpac 298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z <_ 1 /\ Z e. NN ) -> Z = 1 )
28	27	3mix3d 1201	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z <_ 1 /\ Z e. NN ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z <_ 1 -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
32	31	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. NN -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
33		elnnz1 9563	. . . . . . . . . 10 |- ( -u Z e. NN <-> ( -u Z e. ZZ /\ 1 <_ -u Z ) )
34		1red 8254	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z e. RR -> 1 e. RR )
35		lenegcon2 8706	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ Z e. RR ) -> ( 1 <_ -u Z <-> Z <_ -u 1 ) )
36	34, 35	mpancom 422	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. RR -> ( 1 <_ -u Z <-> Z <_ -u 1 ) )
37		neg1rr 9308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -u 1 e. RR
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z e. RR -> -u 1 e. RR )
39		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z e. RR -> Z e. RR )
40	38, 39	letri3d 8354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Z e. RR -> ( -u 1 = Z <-> ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) ) )
41		3mix1 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z = -u 1 -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
42	41	eqcoms 2234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -u 1 = Z -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
43	40, 42	biimtrrdi 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
44	43	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
45	44	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u 1 <_ Z -> ( Z <_ -u 1 -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
46	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z <_ -u 1 -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
47	46	com13 80	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. RR -> ( Z <_ -u 1 -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
48	36, 47	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z e. RR -> ( 1 <_ -u Z -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
49	48	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 <_ -u Z -> ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
50	49	impd 254	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 <_ -u Z -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
51	50	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u Z e. ZZ /\ 1 <_ -u Z ) -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
52	33, 51	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( -u Z e. NN -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
53	25, 32, 52	3jaoi 1340	. . . . . . . 8 |- ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
54	53	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
55		eltpg 3718	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. RR -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
57	56	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
58	54, 57	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } )
59	58	exp32 365	. . . . 5 |- ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) -> ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) ) )
60	59	impcom 125	. . . 4 |- ( ( Z e. RR /\ ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) ) -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
61	23, 60	sylbi 121	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
62	22, 61	sylbid 150	. 2 |- ( Z e. ZZ -> ( ( abs ` Z ) <_ 1 -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
63	19, 62	impbid2 143	1 |- ( Z e. ZZ -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( abs ` Z ) <_ 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2202   {ctp 3675   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   RRcr 8091   0cc0 8092   1c1 8093   <_ cle 8274   -ucneg 8410   NNcn 9202   ZZcz 9540   abscabs 11637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-rp 9950  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639

This theorem is referenced by:  lgscl1  15842