Theorem zabsle1 16032

Description: { -u 1 , 0 , 1 } is the set of all integers with absolute value at most 1. (Contributed by AV, 13-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
zabsle1	|- ( Z e. ZZ -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( abs ` Z ) <_ 1 ) )

Proof of Theorem zabsle1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eltpi 3752	. . 3 |- ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
2		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( Z = -u 1 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` -u 1 ) )
3		ax-1cn 8262	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
4	3	absnegi 11891	. . . . . . 7 |- ( abs ` -u 1 ) = ( abs ` 1 )
5		abs1 11816	. . . . . . 7 |- ( abs ` 1 ) = 1
6	4, 5	eqtri 2259	. . . . . 6 |- ( abs ` -u 1 ) = 1
7		1le1 8890	. . . . . 6 |- 1 <_ 1
8	6, 7	eqbrtri 4146	. . . . 5 |- ( abs ` -u 1 ) <_ 1
9	2, 8	eqbrtrdi 4164	. . . 4 |- ( Z = -u 1 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
10		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( Z = 0 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` 0 ) )
11		abs0 11802	. . . . . 6 |- ( abs ` 0 ) = 0
12		0le1 8799	. . . . . 6 |- 0 <_ 1
13	11, 12	eqbrtri 4146	. . . . 5 |- ( abs ` 0 ) <_ 1
14	10, 13	eqbrtrdi 4164	. . . 4 |- ( Z = 0 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
15		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( Z = 1 -> ( abs ` Z ) = ( abs ` 1 ) )
16	5, 7	eqbrtri 4146	. . . . 5 |- ( abs ` 1 ) <_ 1
17	15, 16	eqbrtrdi 4164	. . . 4 |- ( Z = 1 -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
18	9, 14, 17	3jaoi 1344	. . 3 |- ( ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
19	1, 18	syl 14	. 2 |- ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } -> ( abs ` Z ) <_ 1 )
20		zre 9627	. . . 4 |- ( Z e. ZZ -> Z e. RR )
21		1red 8331	. . . 4 |- ( Z e. ZZ -> 1 e. RR )
22	20, 21	absled 11919	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> ( ( abs ` Z ) <_ 1 <-> ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) )
23		elz 9625	. . . 4 |- ( Z e. ZZ <-> ( Z e. RR /\ ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) ) )
24		3mix2 1198	. . . . . . . . . 10 |- ( Z = 0 -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
25	24	a1d 22	. . . . . . . . 9 |- ( Z = 0 -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
26		nnle1eq1 9307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z e. NN -> ( Z <_ 1 <-> Z = 1 ) )
27	26	biimpac 298	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Z <_ 1 /\ Z e. NN ) -> Z = 1 )
28	27	3mix3d 1205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Z <_ 1 /\ Z e. NN ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
29	28	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Z <_ 1 -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
30	29	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
31	30	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z e. NN -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
32	31	com12 30	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. NN -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
33		elnnz1 9646	. . . . . . . . . 10 |- ( -u Z e. NN <-> ( -u Z e. ZZ /\ 1 <_ -u Z ) )
34		1red 8331	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Z e. RR -> 1 e. RR )
35		lenegcon2 8785	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1 e. RR /\ Z e. RR ) -> ( 1 <_ -u Z <-> Z <_ -u 1 ) )
36	34, 35	mpancom 426	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. RR -> ( 1 <_ -u Z <-> Z <_ -u 1 ) )
37		neg1rr 9389	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- -u 1 e. RR
38	37	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z e. RR -> -u 1 e. RR )
39		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z e. RR -> Z e. RR )
40	38, 39	letri3d 8431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Z e. RR -> ( -u 1 = Z <-> ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) ) )
41		3mix1 1197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Z = -u 1 -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
42	41	eqcoms 2241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( -u 1 = Z -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
43	40, 42	biimtrrdi 164	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
44	43	com12 30	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ -u 1 ) -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
45	44	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -u 1 <_ Z -> ( Z <_ -u 1 -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
46	45	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z <_ -u 1 -> ( Z e. RR -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
47	46	com13 80	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Z e. RR -> ( Z <_ -u 1 -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
48	36, 47	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Z e. RR -> ( 1 <_ -u Z -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
49	48	com12 30	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 <_ -u Z -> ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) ) )
50	49	impd 254	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 <_ -u Z -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
51	50	adantl 277	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u Z e. ZZ /\ 1 <_ -u Z ) -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
52	33, 51	sylbi 121	. . . . . . . . 9 |- ( -u Z e. NN -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
53	25, 32, 52	3jaoi 1344	. . . . . . . 8 |- ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) -> ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
54	53	imp 124	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) )
55		eltpg 3750	. . . . . . . . 9 |- ( Z e. RR -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
56	55	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
57	56	adantl 277	. . . . . . 7 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( Z = -u 1 \/ Z = 0 \/ Z = 1 ) ) )
58	54, 57	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) /\ ( Z e. RR /\ ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) ) ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } )
59	58	exp32 365	. . . . 5 |- ( ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) -> ( Z e. RR -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) ) )
60	59	impcom 125	. . . 4 |- ( ( Z e. RR /\ ( Z = 0 \/ Z e. NN \/ -u Z e. NN ) ) -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
61	23, 60	sylbi 121	. . 3 |- ( Z e. ZZ -> ( ( -u 1 <_ Z /\ Z <_ 1 ) -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
62	22, 61	sylbid 150	. 2 |- ( Z e. ZZ -> ( ( abs ` Z ) <_ 1 -> Z e. { -u 1 , 0 , 1 } ) )
63	19, 62	impbid2 143	1 |- ( Z e. ZZ -> ( Z e. { -u 1 , 0 , 1 } <-> ( abs ` Z ) <_ 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   {ctp 3707   class class class wbr 4125   ` cfv 5372   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   <_ cle 8351   -ucneg 8488   NNcn 9283   ZZcz 9623   abscabs 11741

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743

This theorem is referenced by:  lgscl1  16056