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Theorem faclbnd3 10725
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 9180 . 2 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
2 nnre 8928 . . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR )
32adantr 276 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
4 nnge1 8944 . . . . . 6 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
54adantr 276 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ M )
6 nn0z 9275 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
76adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
8 uzid 9544 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
9 peano2uz 9585 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
107, 8, 93syl 17 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
113, 5, 10leexp2ad 10685 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) )
12 nnnn0 9185 . . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
13 faclbnd 10723 . . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
1412, 13sylan 283 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
15 nn0re 9187 . . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
16 reexpcl 10539 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
1715, 16sylan 283 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
18 peano2nn0 9218 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
19 reexpcl 10539 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
2015, 18, 19syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
21 reexpcl 10539 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( M ^ M ) e. RR )
2215, 21mpancom 422 . . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M ^ M ) e. RR )
23 faccl 10717 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
2423nnred 8934 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
25 remulcl 7941 . . . . . . 7 |- ( ( ( M ^ M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
2622, 24, 25syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
27 letr 8042 . . . . . 6 |- ( ( ( M ^ N ) e. RR /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
2817, 20, 26, 27syl3anc 1238 . . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
2912, 28sylan 283 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
3011, 14, 29mp2and 433 . . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
31 elnn0 9180 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32 0exp 10557 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) = 0 )
33 0le1 8440 . . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
3432, 33eqbrtrdi 4044 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
35 oveq2 5885 . . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) = ( 0 ^ 0 ) )
36 0exp0e1 10527 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 ^ 0 ) = 1
37 1le1 8531 . . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
3836, 37eqbrtri 4026 . . . . . . . . 9 |- ( 0 ^ 0 ) <_ 1
3935, 38eqbrtrdi 4044 . . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
4034, 39jaoi 716 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
4131, 40sylbi 121 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
42 1nn 8932 . . . . . . . 8 |- 1 e. NN
43 nnmulcl 8942 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
4442, 23, 43sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
4544nnge1d 8964 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
46 0re 7959 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
47 reexpcl 10539 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) e. RR )
4846, 47mpan 424 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) e. RR )
49 1re 7958 . . . . . . . 8 |- 1 e. RR
50 remulcl 7941 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
5149, 24, 50sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
52 letr 8042 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
5349, 52mp3an2 1325 . . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
5448, 51, 53syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
5541, 45, 54mp2and 433 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
5655adantl 277 . . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
57 oveq1 5884 . . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
58 oveq12 5886 . . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ M = 0 ) -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
5958anidms 397 . . . . . . . 8 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
6059, 36eqtrdi 2226 . . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = 1 )
6160oveq1d 5892 . . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) = ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
6257, 61breq12d 4018 . . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
6362adantr 276 . . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
6456, 63mpbird 167 . . 3 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
6530, 64jaoian 795 . 2 |- ( ( ( M e. NN \/ M = 0 ) /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
661, 65sylanb 284 1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   class class class wbr 4005   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   RRcr 7812   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   x. cmul 7818   <_ cle 7995   NNcn 8921   NN0cn0 9178   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530   ^cexp 10521   !cfa 10707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-fac 10708
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