Theorem faclbnd3 10482

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd3	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )

Proof of Theorem faclbnd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8972	. 2 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
2		nnre 8720	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR )
3	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
4		nnge1 8736	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
5	4	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ M )
6		nn0z 9067	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
7	6	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
8		uzid 9333	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
9		peano2uz 9371	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
11	3, 5, 10	leexp2ad 10446	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) )
12		nnnn0 8977	. . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
13		faclbnd 10480	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
14	12, 13	sylan 281	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
15		nn0re 8979	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
16		reexpcl 10303	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
17	15, 16	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
18		peano2nn0 9010	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
19		reexpcl 10303	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
20	15, 18, 19	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
21		reexpcl 10303	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( M ^ M ) e. RR )
22	15, 21	mpancom 418	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M ^ M ) e. RR )
23		faccl 10474	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
24	23	nnred 8726	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
25		remulcl 7741	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ^ M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
26	22, 24, 25	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
27		letr 7840	. . . . . 6 |- ( ( ( M ^ N ) e. RR /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
28	17, 20, 26, 27	syl3anc 1216	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
29	12, 28	sylan 281	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
30	11, 14, 29	mp2and 429	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
31		elnn0 8972	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32		0exp 10321	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) = 0 )
33		0le1 8236	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
34	32, 33	eqbrtrdi 3962	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
35		oveq2 5775	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) = ( 0 ^ 0 ) )
36		0exp0e1 10291	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ^ 0 ) = 1
37		1le1 8327	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
38	36, 37	eqbrtri 3944	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ^ 0 ) <_ 1
39	35, 38	eqbrtrdi 3962	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
40	34, 39	jaoi 705	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
41	31, 40	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
42		1nn 8724	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
43		nnmulcl 8734	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
44	42, 23, 43	sylancr 410	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
45	44	nnge1d 8756	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
46		0re 7759	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
47		reexpcl 10303	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) e. RR )
48	46, 47	mpan 420	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) e. RR )
49		1re 7758	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
50		remulcl 7741	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
51	49, 24, 50	sylancr 410	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
52		letr 7840	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
53	49, 52	mp3an2 1303	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
54	48, 51, 53	syl2anc 408	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
55	41, 45, 54	mp2and 429	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
56	55	adantl 275	. . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
57		oveq1 5774	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
58		oveq12 5776	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ M = 0 ) -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
59	58	anidms 394	. . . . . . . 8 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
60	59, 36	syl6eq 2186	. . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = 1 )
61	60	oveq1d 5782	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) = ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
62	57, 61	breq12d 3937	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
63	62	adantr 274	. . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
64	56, 63	mpbird 166	. . 3 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
65	30, 64	jaoian 784	. 2 |- ( ( ( M e. NN \/ M = 0 ) /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
66	1, 65	sylanb 282	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 697   = wceq 1331   e. wcel 1480   class class class wbr 3924   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   RRcr 7612   0cc0 7613   1c1 7614   + caddc 7616   x. cmul 7618   <_ cle 7794   NNcn 8713   NN0cn0 8970   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319   ^cexp 10285   !cfa 10464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-rp 9435  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-fac 10465

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