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Theorem faclbnd3 10835
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 9251 . 2 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
2 nnre 8997 . . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR )
32adantr 276 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
4 nnge1 9013 . . . . . 6 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
54adantr 276 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ M )
6 nn0z 9346 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
76adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
8 uzid 9615 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
9 peano2uz 9657 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
107, 8, 93syl 17 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
113, 5, 10leexp2ad 10794 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) )
12 nnnn0 9256 . . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
13 faclbnd 10833 . . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
1412, 13sylan 283 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
15 nn0re 9258 . . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
16 reexpcl 10648 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
1715, 16sylan 283 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
18 peano2nn0 9289 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
19 reexpcl 10648 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
2015, 18, 19syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
21 reexpcl 10648 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( M ^ M ) e. RR )
2215, 21mpancom 422 . . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M ^ M ) e. RR )
23 faccl 10827 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
2423nnred 9003 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
25 remulcl 8007 . . . . . . 7 |- ( ( ( M ^ M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
2622, 24, 25syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
27 letr 8109 . . . . . 6 |- ( ( ( M ^ N ) e. RR /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
2817, 20, 26, 27syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
2912, 28sylan 283 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
3011, 14, 29mp2and 433 . . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
31 elnn0 9251 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32 0exp 10666 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) = 0 )
33 0le1 8508 . . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
3432, 33eqbrtrdi 4072 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
35 oveq2 5930 . . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) = ( 0 ^ 0 ) )
36 0exp0e1 10636 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 ^ 0 ) = 1
37 1le1 8599 . . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
3836, 37eqbrtri 4054 . . . . . . . . 9 |- ( 0 ^ 0 ) <_ 1
3935, 38eqbrtrdi 4072 . . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
4034, 39jaoi 717 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
4131, 40sylbi 121 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
42 1nn 9001 . . . . . . . 8 |- 1 e. NN
43 nnmulcl 9011 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
4442, 23, 43sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
4544nnge1d 9033 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
46 0re 8026 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
47 reexpcl 10648 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) e. RR )
4846, 47mpan 424 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) e. RR )
49 1re 8025 . . . . . . . 8 |- 1 e. RR
50 remulcl 8007 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
5149, 24, 50sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
52 letr 8109 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
5349, 52mp3an2 1336 . . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
5448, 51, 53syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
5541, 45, 54mp2and 433 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
5655adantl 277 . . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
57 oveq1 5929 . . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
58 oveq12 5931 . . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ M = 0 ) -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
5958anidms 397 . . . . . . . 8 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
6059, 36eqtrdi 2245 . . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = 1 )
6160oveq1d 5937 . . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) = ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
6257, 61breq12d 4046 . . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
6362adantr 276 . . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
6456, 63mpbird 167 . . 3 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
6530, 64jaoian 796 . 2 |- ( ( ( M e. NN \/ M = 0 ) /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
661, 65sylanb 284 1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4033   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   RRcr 7878   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   x. cmul 7884   <_ cle 8062   NNcn 8990   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   ZZ>=cuz 9601   ^cexp 10630   !cfa 10817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-rp 9729  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818
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