Theorem faclbnd3 10677

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd3	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )

Proof of Theorem faclbnd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9137	. 2 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
2		nnre 8885	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR )
3	2	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
4		nnge1 8901	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
5	4	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ M )
6		nn0z 9232	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
7	6	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
8		uzid 9501	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
9		peano2uz 9542	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
11	3, 5, 10	leexp2ad 10638	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) )
12		nnnn0 9142	. . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
13		faclbnd 10675	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
14	12, 13	sylan 281	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
15		nn0re 9144	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
16		reexpcl 10493	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
17	15, 16	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
18		peano2nn0 9175	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
19		reexpcl 10493	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
20	15, 18, 19	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
21		reexpcl 10493	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( M ^ M ) e. RR )
22	15, 21	mpancom 420	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M ^ M ) e. RR )
23		faccl 10669	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
24	23	nnred 8891	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
25		remulcl 7902	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ^ M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
26	22, 24, 25	syl2an 287	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
27		letr 8002	. . . . . 6 |- ( ( ( M ^ N ) e. RR /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
28	17, 20, 26, 27	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
29	12, 28	sylan 281	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
30	11, 14, 29	mp2and 431	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
31		elnn0 9137	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32		0exp 10511	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) = 0 )
33		0le1 8400	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
34	32, 33	eqbrtrdi 4028	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
35		oveq2 5861	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) = ( 0 ^ 0 ) )
36		0exp0e1 10481	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ^ 0 ) = 1
37		1le1 8491	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
38	36, 37	eqbrtri 4010	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ^ 0 ) <_ 1
39	35, 38	eqbrtrdi 4028	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
40	34, 39	jaoi 711	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
41	31, 40	sylbi 120	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
42		1nn 8889	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
43		nnmulcl 8899	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
44	42, 23, 43	sylancr 412	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
45	44	nnge1d 8921	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
46		0re 7920	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
47		reexpcl 10493	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) e. RR )
48	46, 47	mpan 422	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) e. RR )
49		1re 7919	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
50		remulcl 7902	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
51	49, 24, 50	sylancr 412	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
52		letr 8002	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
53	49, 52	mp3an2 1320	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
54	48, 51, 53	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
55	41, 45, 54	mp2and 431	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
56	55	adantl 275	. . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
57		oveq1 5860	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
58		oveq12 5862	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ M = 0 ) -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
59	58	anidms 395	. . . . . . . 8 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
60	59, 36	eqtrdi 2219	. . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = 1 )
61	60	oveq1d 5868	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) = ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
62	57, 61	breq12d 4002	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
63	62	adantr 274	. . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
64	56, 63	mpbird 166	. . 3 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
65	30, 64	jaoian 790	. 2 |- ( ( ( M e. NN \/ M = 0 ) /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
66	1, 65	sylanb 282	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   = wceq 1348   e. wcel 2141   class class class wbr 3989   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   x. cmul 7779   <_ cle 7955   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   ZZ>=cuz 9487   ^cexp 10475   !cfa 10659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-rp 9611  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-fac 10660

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