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Theorem faclbnd3 10817
Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
faclbnd3 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
Proof of Theorem faclbnd3
StepHypRef Expression
1 elnn0 9245 . 2 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
2 nnre 8991 . . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR )
32adantr 276 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
4 nnge1 9007 . . . . . 6 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
54adantr 276 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ M )
6 nn0z 9340 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
76adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
8 uzid 9609 . . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
9 peano2uz 9651 . . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
107, 8, 93syl 17 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
113, 5, 10leexp2ad 10776 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) )
12 nnnn0 9250 . . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
13 faclbnd 10815 . . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
1412, 13sylan 283 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
15 nn0re 9252 . . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
16 reexpcl 10630 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
1715, 16sylan 283 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
18 peano2nn0 9283 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
19 reexpcl 10630 . . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
2015, 18, 19syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
21 reexpcl 10630 . . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( M ^ M ) e. RR )
2215, 21mpancom 422 . . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M ^ M ) e. RR )
23 faccl 10809 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
2423nnred 8997 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
25 remulcl 8002 . . . . . . 7 |- ( ( ( M ^ M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
2622, 24, 25syl2an 289 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
27 letr 8104 . . . . . 6 |- ( ( ( M ^ N ) e. RR /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
2817, 20, 26, 27syl3anc 1249 . . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
2912, 28sylan 283 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
3011, 14, 29mp2and 433 . . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
31 elnn0 9245 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32 0exp 10648 . . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) = 0 )
33 0le1 8502 . . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
3432, 33eqbrtrdi 4069 . . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
35 oveq2 5927 . . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) = ( 0 ^ 0 ) )
36 0exp0e1 10618 . . . . . . . . . 10 |- ( 0 ^ 0 ) = 1
37 1le1 8593 . . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
3836, 37eqbrtri 4051 . . . . . . . . 9 |- ( 0 ^ 0 ) <_ 1
3935, 38eqbrtrdi 4069 . . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
4034, 39jaoi 717 . . . . . . 7 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
4131, 40sylbi 121 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
42 1nn 8995 . . . . . . . 8 |- 1 e. NN
43 nnmulcl 9005 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
4442, 23, 43sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
4544nnge1d 9027 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
46 0re 8021 . . . . . . . 8 |- 0 e. RR
47 reexpcl 10630 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) e. RR )
4846, 47mpan 424 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) e. RR )
49 1re 8020 . . . . . . . 8 |- 1 e. RR
50 remulcl 8002 . . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
5149, 24, 50sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
52 letr 8104 . . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
5349, 52mp3an2 1336 . . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
5448, 51, 53syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
5541, 45, 54mp2and 433 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
5655adantl 277 . . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
57 oveq1 5926 . . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
58 oveq12 5928 . . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ M = 0 ) -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
5958anidms 397 . . . . . . . 8 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
6059, 36eqtrdi 2242 . . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = 1 )
6160oveq1d 5934 . . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) = ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
6257, 61breq12d 4043 . . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
6362adantr 276 . . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
6456, 63mpbird 167 . . 3 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
6530, 64jaoian 796 . 2 |- ( ( ( M e. NN \/ M = 0 ) /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
661, 65sylanb 284 1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   RRcr 7873   0cc0 7874   1c1 7875   + caddc 7877   x. cmul 7879   <_ cle 8057   NNcn 8984   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   ^cexp 10612   !cfa 10799
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-rp 9723  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-fac 10800
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