Theorem faclbnd3 11181

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 19-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
faclbnd3	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )

Proof of Theorem faclbnd3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 9565	. 2 |- ( M e. NN0 <-> ( M e. NN \/ M = 0 ) )
2		nnre 9311	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> M e. RR )
3	2	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> M e. RR )
4		nnge1 9327	. . . . . 6 |- ( M e. NN -> 1 <_ M )
5	4	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> 1 <_ M )
6		nn0z 9664	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
7	6	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> N e. ZZ )
8		uzid 9936	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ( ZZ>= ` N ) )
9		peano2uz 9983	. . . . . 6 |- ( N e. ( ZZ>= ` N ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
10	7, 8, 9	3syl 17	. . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( N + 1 ) e. ( ZZ>= ` N ) )
11	3, 5, 10	leexp2ad 11140	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) )
12		nnnn0 9570	. . . . 5 |- ( M e. NN -> M e. NN0 )
13		faclbnd 11179	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
14	12, 13	sylan 283	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
15		nn0re 9572	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> M e. RR )
16		reexpcl 10993	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
17	15, 16	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) e. RR )
18		peano2nn0 9603	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN0 )
19		reexpcl 10993	. . . . . . 7 |- ( ( M e. RR /\ ( N + 1 ) e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
20	15, 18, 19	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR )
21		reexpcl 10993	. . . . . . . 8 |- ( ( M e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( M ^ M ) e. RR )
22	15, 21	mpancom 426	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M ^ M ) e. RR )
23		faccl 11173	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. NN )
24	23	nnred 9317	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( ! ` N ) e. RR )
25		remulcl 8307	. . . . . . 7 |- ( ( ( M ^ M ) e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
26	22, 24, 25	syl2an 289	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR )
27		letr 8408	. . . . . 6 |- ( ( ( M ^ N ) e. RR /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) e. RR /\ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
28	17, 20, 26, 27	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
29	12, 28	sylan 283	. . . 4 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ N ) <_ ( M ^ ( N + 1 ) ) /\ ( M ^ ( N + 1 ) ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) ) )
30	11, 14, 29	mp2and 437	. . 3 |- ( ( M e. NN /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
31		elnn0 9565	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32		0exp 11011	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) = 0 )
33		0le1 8809	. . . . . . . . 9 |- 0 <_ 1
34	32, 33	eqbrtrdi 4169	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
35		oveq2 6093	. . . . . . . . 9 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) = ( 0 ^ 0 ) )
36		0exp0e1 10981	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 ^ 0 ) = 1
37		1le1 8900	. . . . . . . . . 10 |- 1 <_ 1
38	36, 37	eqbrtri 4151	. . . . . . . . 9 |- ( 0 ^ 0 ) <_ 1
39	35, 38	eqbrtrdi 4169	. . . . . . . 8 |- ( N = 0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
40	34, 39	jaoi 728	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN \/ N = 0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
41	31, 40	sylbi 121	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ 1 )
42		1nn 9315	. . . . . . . 8 |- 1 e. NN
43		nnmulcl 9325	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. NN /\ ( ! ` N ) e. NN ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
44	42, 23, 43	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. NN )
45	44	nnge1d 9347	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
46		0re 8326	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR
47		reexpcl 10993	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) e. RR )
48	46, 47	mpan 428	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) e. RR )
49		1re 8325	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
50		remulcl 8307	. . . . . . . 8 |- ( ( 1 e. RR /\ ( ! ` N ) e. RR ) -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
51	49, 24, 50	sylancr 418	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR )
52		letr 8408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
53	49, 52	mp3an2 1366	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0 ^ N ) e. RR /\ ( 1 x. ( ! ` N ) ) e. RR ) -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
54	48, 51, 53	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ( 0 ^ N ) <_ 1 /\ 1 <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
55	41, 45, 54	mp2and 437	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
56	55	adantl 277	. . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
57		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( M ^ N ) = ( 0 ^ N ) )
58		oveq12 6094	. . . . . . . . 9 |- ( ( M = 0 /\ M = 0 ) -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
59	58	anidms 401	. . . . . . . 8 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = ( 0 ^ 0 ) )
60	59, 36	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 |- ( M = 0 -> ( M ^ M ) = 1 )
61	60	oveq1d 6100	. . . . . 6 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) = ( 1 x. ( ! ` N ) ) )
62	57, 61	breq12d 4143	. . . . 5 |- ( M = 0 -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
63	62	adantr 276	. . . 4 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) <-> ( 0 ^ N ) <_ ( 1 x. ( ! ` N ) ) ) )
64	56, 63	mpbird 167	. . 3 |- ( ( M = 0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
65	30, 64	jaoian 807	. 2 |- ( ( ( M e. NN \/ M = 0 ) /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )
66	1, 65	sylanb 284	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 ) -> ( M ^ N ) <_ ( ( M ^ M ) x. ( ! ` N ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   RRcr 8178   0cc0 8179   1c1 8180   + caddc 8182   x. cmul 8184   <_ cle 8361   NNcn 9304   NN0cn0 9563   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   ^cexp 10975   !cfa 11163

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-rp 10055  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-fac 11164

This theorem is used by: (None)