Theorem fcnvres 5381

Description: The converse of a restriction of a function. (Contributed by NM, 26-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
fcnvres	|- ( F : A --> B -> `' ( F |` A ) = ( `' F |` B ) )

Proof of Theorem fcnvres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 4989	. 2 |- Rel `' ( F |` A )
2		relres 4919	. 2 |- Rel ( `' F |` B )
3		opelf 5369	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ <. x , y >. e. F ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
4	3	simpld 111	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ <. x , y >. e. F ) -> x e. A )
5	4	ex 114	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F -> x e. A ) )
6	5	pm4.71d 391	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. A ) ) )
7		vex 2733	. . . . . 6 |- y e. _V
8		vex 2733	. . . . . 6 |- x e. _V
9	7, 8	opelcnv 4793	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' ( F |` A ) <-> <. x , y >. e. ( F |` A ) )
10	7	opelres 4896	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( F |` A ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. A ) )
11	9, 10	bitri 183	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. `' ( F |` A ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. A ) )
12	6, 11	bitr4di 197	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> <. y , x >. e. `' ( F |` A ) ) )
13	3	simprd 113	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ <. x , y >. e. F ) -> y e. B )
14	13	ex 114	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F -> y e. B ) )
15	14	pm4.71d 391	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> ( <. x , y >. e. F /\ y e. B ) ) )
16	8	opelres 4896	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. ( `' F |` B ) <-> ( <. y , x >. e. `' F /\ y e. B ) )
17	7, 8	opelcnv 4793	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. `' F <-> <. x , y >. e. F )
18	17	anbi1i 455	. . . . 5 |- ( ( <. y , x >. e. `' F /\ y e. B ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ y e. B ) )
19	16, 18	bitri 183	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. ( `' F |` B ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ y e. B ) )
20	15, 19	bitr4di 197	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> <. y , x >. e. ( `' F |` B ) ) )
21	12, 20	bitr3d 189	. 2 |- ( F : A --> B -> ( <. y , x >. e. `' ( F |` A ) <-> <. y , x >. e. ( `' F |` B ) ) )
22	1, 2, 21	eqrelrdv 4707	1 |- ( F : A --> B -> `' ( F |` A ) = ( `' F |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   `'ccnv 4610   |` cres 4613   -->wf 5194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202

This theorem is referenced by: (None)