ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fcnvres Unicode version

Theorem fcnvres 5438
Description: The converse of a restriction of a function. (Contributed by NM, 26-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
fcnvres  |-  ( F : A --> B  ->  `' ( F  |`  A )  =  ( `' F  |`  B ) )

Proof of Theorem fcnvres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5044 . 2  |-  Rel  `' ( F  |`  A )
2 relres 4971 . 2  |-  Rel  ( `' F  |`  B )
3 opelf 5426 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)
43simpld 112 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  x  e.  A )
54ex 115 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  x  e.  A ) )
65pm4.71d 393 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  A
) ) )
7 vex 2763 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
8 vex 2763 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
97, 8opelcnv 4845 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  A ) )
107opelres 4948 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  |`  A )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  x  e.  A ) )
119, 10bitri 184 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  A
) )
126, 11bitr4di 198 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A ) ) )
133simprd 114 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  B )
1413ex 115 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
1514pm4.71d 393 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) ) )
168opelres 4948 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  `' F  /\  y  e.  B
) )
177, 8opelcnv 4845 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' F  <->  <. x ,  y
>.  e.  F )
1817anbi1i 458 . . . . 5  |-  ( (
<. y ,  x >.  e.  `' F  /\  y  e.  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) )
1916, 18bitri 184 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) )
2015, 19bitr4di 198 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B ) ) )
2112, 20bitr3d 190 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  <. y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B ) ) )
221, 2, 21eqrelrdv 4756 1  |-  ( F : A --> B  ->  `' ( F  |`  A )  =  ( `' F  |`  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2164   <.cop 3622   `'ccnv 4659    |` cres 4662   -->wf 5251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator