Theorem fcnvres 5528

Description: The converse of a restriction of a function. (Contributed by NM, 26-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
fcnvres	|- ( F : A --> B -> `' ( F |` A ) = ( `' F |` B ) )

Proof of Theorem fcnvres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5121	. 2 |- Rel `' ( F |` A )
2		relres 5047	. 2 |- Rel ( `' F |` B )
3		opelf 5515	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ <. x , y >. e. F ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
4	3	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ <. x , y >. e. F ) -> x e. A )
5	4	ex 115	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F -> x e. A ) )
6	5	pm4.71d 393	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. A ) ) )
7		vex 2806	. . . . . 6 |- y e. _V
8		vex 2806	. . . . . 6 |- x e. _V
9	7, 8	opelcnv 4918	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' ( F |` A ) <-> <. x , y >. e. ( F |` A ) )
10	7	opelres 5024	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( F |` A ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. A ) )
11	9, 10	bitri 184	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. `' ( F |` A ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. A ) )
12	6, 11	bitr4di 198	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> <. y , x >. e. `' ( F |` A ) ) )
13	3	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ <. x , y >. e. F ) -> y e. B )
14	13	ex 115	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F -> y e. B ) )
15	14	pm4.71d 393	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> ( <. x , y >. e. F /\ y e. B ) ) )
16	8	opelres 5024	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. ( `' F |` B ) <-> ( <. y , x >. e. `' F /\ y e. B ) )
17	7, 8	opelcnv 4918	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. `' F <-> <. x , y >. e. F )
18	17	anbi1i 458	. . . . 5 |- ( ( <. y , x >. e. `' F /\ y e. B ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ y e. B ) )
19	16, 18	bitri 184	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. ( `' F |` B ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ y e. B ) )
20	15, 19	bitr4di 198	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> <. y , x >. e. ( `' F |` B ) ) )
21	12, 20	bitr3d 190	. 2 |- ( F : A --> B -> ( <. y , x >. e. `' ( F |` A ) <-> <. y , x >. e. ( `' F |` B ) ) )
22	1, 2, 21	eqrelrdv 4828	1 |- ( F : A --> B -> `' ( F |` A ) = ( `' F |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   <.cop 3676   `'ccnv 4730   |` cres 4733   -->wf 5329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337

This theorem is referenced by: (None)