Theorem fcnvres 5570

Description: The converse of a restriction of a function. (Contributed by NM, 26-Mar-1998.)

Assertion

Ref	Expression
fcnvres	|- ( F : A --> B -> `' ( F |` A ) = ( `' F |` B ) )

Proof of Theorem fcnvres

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relcnv 5160	. 2 |- Rel `' ( F |` A )
2		relres 5086	. 2 |- Rel ( `' F |` B )
3		opelf 5555	. . . . . . 7 |- ( ( F : A --> B /\ <. x , y >. e. F ) -> ( x e. A /\ y e. B ) )
4	3	simpld 112	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ <. x , y >. e. F ) -> x e. A )
5	4	ex 115	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F -> x e. A ) )
6	5	pm4.71d 397	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. A ) ) )
7		vex 2824	. . . . . 6 |- y e. _V
8		vex 2824	. . . . . 6 |- x e. _V
9	7, 8	opelcnv 4957	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. `' ( F |` A ) <-> <. x , y >. e. ( F |` A ) )
10	7	opelres 5063	. . . . 5 |- ( <. x , y >. e. ( F |` A ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. A ) )
11	9, 10	bitri 184	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. `' ( F |` A ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ x e. A ) )
12	6, 11	bitr4di 198	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> <. y , x >. e. `' ( F |` A ) ) )
13	3	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ( F : A --> B /\ <. x , y >. e. F ) -> y e. B )
14	13	ex 115	. . . . 5 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F -> y e. B ) )
15	14	pm4.71d 397	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> ( <. x , y >. e. F /\ y e. B ) ) )
16	8	opelres 5063	. . . . 5 |- ( <. y , x >. e. ( `' F |` B ) <-> ( <. y , x >. e. `' F /\ y e. B ) )
17	7, 8	opelcnv 4957	. . . . . 6 |- ( <. y , x >. e. `' F <-> <. x , y >. e. F )
18	17	anbi1i 462	. . . . 5 |- ( ( <. y , x >. e. `' F /\ y e. B ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ y e. B ) )
19	16, 18	bitri 184	. . . 4 |- ( <. y , x >. e. ( `' F |` B ) <-> ( <. x , y >. e. F /\ y e. B ) )
20	15, 19	bitr4di 198	. . 3 |- ( F : A --> B -> ( <. x , y >. e. F <-> <. y , x >. e. ( `' F |` B ) ) )
21	12, 20	bitr3d 190	. 2 |- ( F : A --> B -> ( <. y , x >. e. `' ( F |` A ) <-> <. y , x >. e. ( `' F |` B ) ) )
22	1, 2, 21	eqrelrdv 4866	1 |- ( F : A --> B -> `' ( F |` A ) = ( `' F |` B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3708   `'ccnv 4768   |` cres 4771   -->wf 5368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376

This theorem is referenced by: (None)