ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fcnvres Unicode version

Theorem fcnvres 5312
Description: The converse of a restriction of a function. (Contributed by NM, 26-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
fcnvres  |-  ( F : A --> B  ->  `' ( F  |`  A )  =  ( `' F  |`  B ) )

Proof of Theorem fcnvres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 4923 . 2  |-  Rel  `' ( F  |`  A )
2 relres 4853 . 2  |-  Rel  ( `' F  |`  B )
3 opelf 5300 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)
43simpld 111 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  x  e.  A )
54ex 114 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  x  e.  A ) )
65pm4.71d 391 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  A
) ) )
7 vex 2692 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
8 vex 2692 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
97, 8opelcnv 4727 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  A ) )
107opelres 4830 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  |`  A )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  x  e.  A ) )
119, 10bitri 183 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  A
) )
126, 11syl6bbr 197 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A ) ) )
133simprd 113 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  B )
1413ex 114 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
1514pm4.71d 391 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) ) )
168opelres 4830 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  `' F  /\  y  e.  B
) )
177, 8opelcnv 4727 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' F  <->  <. x ,  y
>.  e.  F )
1817anbi1i 454 . . . . 5  |-  ( (
<. y ,  x >.  e.  `' F  /\  y  e.  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) )
1916, 18bitri 183 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) )
2015, 19syl6bbr 197 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B ) ) )
2112, 20bitr3d 189 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  <. y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B ) ) )
221, 2, 21eqrelrdv 4641 1  |-  ( F : A --> B  ->  `' ( F  |`  A )  =  ( `' F  |`  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1332    e. wcel 1481   <.cop 3533   `'ccnv 4544    |` cres 4547   -->wf 5125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4052  ax-pow 4104  ax-pr 4137
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3078  df-in 3080  df-ss 3087  df-pw 3515  df-sn 3536  df-pr 3537  df-op 3539  df-br 3936  df-opab 3996  df-xp 4551  df-rel 4552  df-cnv 4553  df-dm 4555  df-rn 4556  df-res 4557  df-fun 5131  df-fn 5132  df-f 5133
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator