Theorem eqrelrdv 4846

Description: Deduce equality of relations from equivalence of membership. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqrelrdv.1	⊢ Rel 𝐴
eqrelrdv.2	⊢ Rel 𝐵
eqrelrdv.3	⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
eqrelrdv	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem eqrelrdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelrdv.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
2	1	alrimivv 1924	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3		eqrelrdv.1	. . 3 ⊢ Rel 𝐴
4		eqrelrdv.2	. . 3 ⊢ Rel 𝐵
5		eqrel 4839	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Rel 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)))
6	3, 4, 5	mp2an 426	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
7	2, 6	sylibr 134	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1396   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3692  Rel wrel 4754

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756

This theorem is referenced by:  eqbrrdiv  4848  fcnvres  5550  fmptco  5843  fisumcom2  12124  fprodcom2fi  12312  lgsquadlem1  15950  lgsquadlem2  15951