Theorem eqrelrdv 4684

Description: Deduce equality of relations from equivalence of membership. (Contributed by Rodolfo Medina, 10-Oct-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqrelrdv.1	⊢ Rel 𝐴
eqrelrdv.2	⊢ Rel 𝐵
eqrelrdv.3	⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))

Assertion

Ref	Expression
eqrelrdv	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem eqrelrdv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqrelrdv.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
2	1	alrimivv 1855	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
3		eqrelrdv.1	. . 3 ⊢ Rel 𝐴
4		eqrelrdv.2	. . 3 ⊢ Rel 𝐵
5		eqrel 4677	. . 3 ⊢ ((Rel 𝐴 ∧ Rel 𝐵) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵)))
6	3, 4, 5	mp2an 423	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐴 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐵))
7	2, 6	sylibr 133	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104  ∀wal 1333   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ⟨cop 3564  Rel wrel 4593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-opab 4028  df-xp 4594  df-rel 4595

This theorem is referenced by:  eqbrrdiv  4686  fcnvres  5355  fmptco  5635  fisumcom2  11346  fprodcom2fi  11534