Theorem fprodcom2fi 11589

Description: Interchange order of multiplication. Note that B ( j ) and D ( k ) are not necessarily constant expressions. (Contributed by Scott Fenton, 1-Feb-2018.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodcom2.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fprodcom2.2	|- ( ph -> C e. Fin )
fprodcom2.3	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
fprodcom2fi.d	|- ( ( ph /\ k e. C ) -> D e. Fin )
fprodcom2.4	|- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. B ) <-> ( k e. C /\ j e. D ) ) )
fprodcom2.5	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> E e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fprodcom2fi	|- ( ph -> prod_ j e. A prod_ k e. B E = prod_ k e. C prod_ j e. D E )

Distinct variable groups:   A, j, k   B, k   C, j, k   D, j   ph, j, k

Allowed substitution hints:   B( j)   D( k)   E( j, k)

Proof of Theorem fprodcom2fi

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4720	. . . . . . . . 9 |- Rel ( { j } X. B )
2	1	rgenw 2525	. . . . . . . 8 |- A. j e. A Rel ( { j } X. B )
3		reliun 4732	. . . . . . . 8 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. B ) )
4	2, 3	mpbir 145	. . . . . . 7 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. B )
5		relcnv 4989	. . . . . . 7 |- Rel `' U_ k e. C ( { k } X. D )
6		ancom 264	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = j /\ y = k ) <-> ( y = k /\ x = j ) )
7		vex 2733	. . . . . . . . . . . . 13 |- x e. _V
8		vex 2733	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
9	7, 8	opth 4222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. x , y >. = <. j , k >. <-> ( x = j /\ y = k ) )
10	8, 7	opth 4222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. y , x >. = <. k , j >. <-> ( y = k /\ x = j ) )
11	6, 9, 10	3bitr4i 211	. . . . . . . . . . 11 |- ( <. x , y >. = <. j , k >. <-> <. y , x >. = <. k , j >. )
12	11	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( <. x , y >. = <. j , k >. <-> <. y , x >. = <. k , j >. ) )
13		fprodcom2.4	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ k e. B ) <-> ( k e. C /\ j e. D ) ) )
14	12, 13	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) <-> ( <. y , x >. = <. k , j >. /\ ( k e. C /\ j e. D ) ) ) )
15	14	2exbidv 1861	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) <-> E. j E. k ( <. y , x >. = <. k , j >. /\ ( k e. C /\ j e. D ) ) ) )
16		eliunxp 4750	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> E. j E. k ( <. x , y >. = <. j , k >. /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) )
17	7, 8	opelcnv 4793	. . . . . . . . 9 |- ( <. x , y >. e. `' U_ k e. C ( { k } X. D ) <-> <. y , x >. e. U_ k e. C ( { k } X. D ) )
18		eliunxp 4750	. . . . . . . . 9 |- ( <. y , x >. e. U_ k e. C ( { k } X. D ) <-> E. k E. j ( <. y , x >. = <. k , j >. /\ ( k e. C /\ j e. D ) ) )
19		excom 1657	. . . . . . . . 9 |- ( E. k E. j ( <. y , x >. = <. k , j >. /\ ( k e. C /\ j e. D ) ) <-> E. j E. k ( <. y , x >. = <. k , j >. /\ ( k e. C /\ j e. D ) ) )
20	17, 18, 19	3bitri 205	. . . . . . . 8 |- ( <. x , y >. e. `' U_ k e. C ( { k } X. D ) <-> E. j E. k ( <. y , x >. = <. k , j >. /\ ( k e. C /\ j e. D ) ) )
21	15, 16, 20	3bitr4g 222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> <. x , y >. e. `' U_ k e. C ( { k } X. D ) ) )
22	4, 5, 21	eqrelrdv 4707	. . . . . 6 |- ( ph -> U_ j e. A ( { j } X. B ) = `' U_ k e. C ( { k } X. D ) )
23		nfcv 2312	. . . . . . 7 |- F/_ x ( { j } X. B )
24		nfcv 2312	. . . . . . . 8 |- F/_ j { x }
25		nfcsb1v 3082	. . . . . . . 8 |- F/_ j [_ x / j ]_ B
26	24, 25	nfxp 4638	. . . . . . 7 |- F/_ j ( { x } X. [_ x / j ]_ B )
27		sneq 3594	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> { j } = { x } )
28		csbeq1a 3058	. . . . . . . 8 |- ( j = x -> B = [_ x / j ]_ B )
29	27, 28	xpeq12d 4636	. . . . . . 7 |- ( j = x -> ( { j } X. B ) = ( { x } X. [_ x / j ]_ B ) )
30	23, 26, 29	cbviun 3910	. . . . . 6 |- U_ j e. A ( { j } X. B ) = U_ x e. A ( { x } X. [_ x / j ]_ B )
31		nfcv 2312	. . . . . . . 8 |- F/_ y ( { k } X. D )
32		nfcv 2312	. . . . . . . . 9 |- F/_ k { y }
33		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . 9 |- F/_ k [_ y / k ]_ D
34	32, 33	nfxp 4638	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( { y } X. [_ y / k ]_ D )
35		sneq 3594	. . . . . . . . 9 |- ( k = y -> { k } = { y } )
36		csbeq1a 3058	. . . . . . . . 9 |- ( k = y -> D = [_ y / k ]_ D )
37	35, 36	xpeq12d 4636	. . . . . . . 8 |- ( k = y -> ( { k } X. D ) = ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
38	31, 34, 37	cbviun 3910	. . . . . . 7 |- U_ k e. C ( { k } X. D ) = U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D )
39	38	cnveqi 4786	. . . . . 6 |- `' U_ k e. C ( { k } X. D ) = `' U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D )
40	22, 30, 39	3eqtr3g 2226	. . . . 5 |- ( ph -> U_ x e. A ( { x } X. [_ x / j ]_ B ) = `' U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
41	40	prodeq1d 11527	. . . 4 |- ( ph -> prod_ z e. U_ x e. A ( { x } X. [_ x / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E = prod_ z e. `' U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E )
42	8, 7	op1std 6127	. . . . . . 7 |- ( w = <. y , x >. -> ( 1st ` w ) = y )
43	42	csbeq1d 3056	. . . . . 6 |- ( w = <. y , x >. -> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E )
44	8, 7	op2ndd 6128	. . . . . . . 8 |- ( w = <. y , x >. -> ( 2nd ` w ) = x )
45	44	csbeq1d 3056	. . . . . . 7 |- ( w = <. y , x >. -> [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E = [_ x / j ]_ E )
46	45	csbeq2dv 3075	. . . . . 6 |- ( w = <. y , x >. -> [_ y / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
47	43, 46	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( w = <. y , x >. -> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
48	7, 8	op2ndd 6128	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( 2nd ` z ) = y )
49	48	csbeq1d 3056	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E )
50	7, 8	op1std 6127	. . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( 1st ` z ) = x )
51	50	csbeq1d 3056	. . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E = [_ x / j ]_ E )
52	51	csbeq2dv 3075	. . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> [_ y / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
53	49, 52	eqtrd 2203	. . . . 5 |- ( z = <. x , y >. -> [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
54		fprodcom2.2	. . . . . 6 |- ( ph -> C e. Fin )
55		snfig 6792	. . . . . . . . 9 |- ( y e. _V -> { y } e. Fin )
56	55	elv 2734	. . . . . . . 8 |- { y } e. Fin
57		fprodcom2fi.d	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. C ) -> D e. Fin )
58	57	ralrimiva 2543	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. C D e. Fin )
59	33	nfel1 2323	. . . . . . . . . 10 |- F/ k [_ y / k ]_ D e. Fin
60	36	eleq1d 2239	. . . . . . . . . 10 |- ( k = y -> ( D e. Fin <-> [_ y / k ]_ D e. Fin ) )
61	59, 60	rspc 2828	. . . . . . . . 9 |- ( y e. C -> ( A. k e. C D e. Fin -> [_ y / k ]_ D e. Fin ) )
62	58, 61	mpan9 279	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> [_ y / k ]_ D e. Fin )
63		xpfi 6907	. . . . . . . 8 |- ( ( { y } e. Fin /\ [_ y / k ]_ D e. Fin ) -> ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) e. Fin )
64	56, 62, 63	sylancr 412	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. C ) -> ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) e. Fin )
65	64	ralrimiva 2543	. . . . . 6 |- ( ph -> A. y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) e. Fin )
66		disjsnxp 6216	. . . . . . 7 |- Disj y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D )
67	66	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ph -> Disj y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
68		iunfidisj 6923	. . . . . 6 |- ( ( C e. Fin /\ A. y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) e. Fin /\ Disj y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) e. Fin )
69	54, 65, 67, 68	syl3anc 1233	. . . . 5 |- ( ph -> U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) e. Fin )
70		reliun 4732	. . . . . . 7 |- ( Rel U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) <-> A. y e. C Rel ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
71		relxp 4720	. . . . . . . 8 |- Rel ( { y } X. [_ y / k ]_ D )
72	71	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( y e. C -> Rel ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
73	70, 72	mprgbir 2528	. . . . . 6 |- Rel U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D )
74	73	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> Rel U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
75		csbeq1 3052	. . . . . . . 8 |- ( x = ( 2nd ` w ) -> [_ x / j ]_ E = [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E )
76	75	csbeq2dv 3075	. . . . . . 7 |- ( x = ( 2nd ` w ) -> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E = [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E )
77	76	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( x = ( 2nd ` w ) -> ( [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC <-> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E e. CC ) )
78		csbeq1 3052	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1st ` w ) -> [_ y / k ]_ D = [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D )
79		csbeq1 3052	. . . . . . . . 9 |- ( y = ( 1st ` w ) -> [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E = [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E )
80	79	eleq1d 2239	. . . . . . . 8 |- ( y = ( 1st ` w ) -> ( [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC <-> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC ) )
81	78, 80	raleqbidv 2677	. . . . . . 7 |- ( y = ( 1st ` w ) -> ( A. x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC <-> A. x e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC ) )
82		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> ph )
83	33, 36	opeliunxp2f 6217	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( <. y , x >. e. U_ k e. C ( { k } X. D ) <-> ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) )
84	17, 83	sylbbr 135	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) -> <. x , y >. e. `' U_ k e. C ( { k } X. D ) )
85	84	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> <. x , y >. e. `' U_ k e. C ( { k } X. D ) )
86	22	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> U_ j e. A ( { j } X. B ) = `' U_ k e. C ( { k } X. D ) )
87	85, 86	eleqtrrd 2250	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) )
88		eliun 3877	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. x , y >. e. U_ j e. A ( { j } X. B ) <-> E. j e. A <. x , y >. e. ( { j } X. B ) )
89	87, 88	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> E. j e. A <. x , y >. e. ( { j } X. B ) )
90		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( j e. A /\ <. x , y >. e. ( { j } X. B ) ) -> <. x , y >. e. ( { j } X. B ) )
91		opelxp 4641	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( <. x , y >. e. ( { j } X. B ) <-> ( x e. { j } /\ y e. B ) )
92	90, 91	sylib 121	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( j e. A /\ <. x , y >. e. ( { j } X. B ) ) -> ( x e. { j } /\ y e. B ) )
93	92	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( j e. A /\ <. x , y >. e. ( { j } X. B ) ) -> x e. { j } )
94		elsni 3601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. { j } -> x = j )
95	93, 94	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. A /\ <. x , y >. e. ( { j } X. B ) ) -> x = j )
96		simpl 108	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( j e. A /\ <. x , y >. e. ( { j } X. B ) ) -> j e. A )
97	95, 96	eqeltrd 2247	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j e. A /\ <. x , y >. e. ( { j } X. B ) ) -> x e. A )
98	97	rexlimiva 2582	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. A <. x , y >. e. ( { j } X. B ) -> x e. A )
99	89, 98	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> x e. A )
100	25	nfcri 2306	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ j y e. [_ x / j ]_ B
101	94	equcomd 1700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. { j } -> j = x )
102	101, 28	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x e. { j } -> B = [_ x / j ]_ B )
103	102	eleq2d 2240	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. { j } -> ( y e. B <-> y e. [_ x / j ]_ B ) )
104	103	biimpa 294	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. { j } /\ y e. B ) -> y e. [_ x / j ]_ B )
105	91, 104	sylbi 120	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. x , y >. e. ( { j } X. B ) -> y e. [_ x / j ]_ B )
106	105	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. A -> ( <. x , y >. e. ( { j } X. B ) -> y e. [_ x / j ]_ B ) )
107	100, 106	rexlimi 2580	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. j e. A <. x , y >. e. ( { j } X. B ) -> y e. [_ x / j ]_ B )
108	89, 107	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> y e. [_ x / j ]_ B )
109		fprodcom2.5	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. B ) ) -> E e. CC )
110	109	ralrimivva 2552	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. B E e. CC )
111		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- F/_ j [_ x / j ]_ E
112	111	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ j [_ x / j ]_ E e. CC
113	25, 112	nfralw 2507	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ j A. k e. [_ x / j ]_ B [_ x / j ]_ E e. CC
114		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( j = x -> E = [_ x / j ]_ E )
115	114	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = x -> ( E e. CC <-> [_ x / j ]_ E e. CC ) )
116	28, 115	raleqbidv 2677	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = x -> ( A. k e. B E e. CC <-> A. k e. [_ x / j ]_ B [_ x / j ]_ E e. CC ) )
117	113, 116	rspc 2828	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A -> ( A. j e. A A. k e. B E e. CC -> A. k e. [_ x / j ]_ B [_ x / j ]_ E e. CC ) )
118	110, 117	mpan9 279	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> A. k e. [_ x / j ]_ B [_ x / j ]_ E e. CC )
119		nfcsb1v 3082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ k [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E
120	119	nfel1 2323	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ k [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC
121		csbeq1a 3058	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = y -> [_ x / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
122	121	eleq1d 2239	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = y -> ( [_ x / j ]_ E e. CC <-> [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC ) )
123	120, 122	rspc 2828	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. [_ x / j ]_ B -> ( A. k e. [_ x / j ]_ B [_ x / j ]_ E e. CC -> [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC ) )
124	118, 123	syl5com 29	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( y e. [_ x / j ]_ B -> [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC ) )
125	124	impr 377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. [_ x / j ]_ B ) ) -> [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC )
126	82, 99, 108, 125	syl12anc 1231	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( y e. C /\ x e. [_ y / k ]_ D ) ) -> [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC )
127	126	ralrimivva 2552	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. y e. C A. x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC )
128	127	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> A. y e. C A. x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC )
129		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
130		eliun 3877	. . . . . . . . 9 |- ( w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) <-> E. y e. C w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
131	129, 130	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> E. y e. C w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) )
132		xp1st 6144	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) -> ( 1st ` w ) e. { y } )
133	132	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 1st ` w ) e. { y } )
134		elsni 3601	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` w ) e. { y } -> ( 1st ` w ) = y )
135	133, 134	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 1st ` w ) = y )
136		simpl 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> y e. C )
137	135, 136	eqeltrd 2247	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 1st ` w ) e. C )
138	137	rexlimiva 2582	. . . . . . . 8 |- ( E. y e. C w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) -> ( 1st ` w ) e. C )
139	131, 138	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 1st ` w ) e. C )
140	81, 128, 139	rspcdva 2839	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> A. x e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ x / j ]_ E e. CC )
141		xp2nd 6145	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) -> ( 2nd ` w ) e. [_ y / k ]_ D )
142	141	adantl 275	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 2nd ` w ) e. [_ y / k ]_ D )
143	135	csbeq1d 3056	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D = [_ y / k ]_ D )
144	142, 143	eleqtrrd 2250	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. C /\ w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 2nd ` w ) e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D )
145	144	rexlimiva 2582	. . . . . . 7 |- ( E. y e. C w e. ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) -> ( 2nd ` w ) e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D )
146	131, 145	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> ( 2nd ` w ) e. [_ ( 1st ` w ) / k ]_ D )
147	77, 140, 146	rspcdva 2839	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) ) -> [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E e. CC )
148	47, 53, 69, 74, 147	fprodcnv 11588	. . . 4 |- ( ph -> prod_ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E = prod_ z e. `' U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E )
149	41, 148	eqtr4d 2206	. . 3 |- ( ph -> prod_ z e. U_ x e. A ( { x } X. [_ x / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E = prod_ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E )
150		fprodcom2.1	. . . 4 |- ( ph -> A e. Fin )
151		fprodcom2.3	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> B e. Fin )
152	151	ralrimiva 2543	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. A B e. Fin )
153	25	nfel1 2323	. . . . . 6 |- F/ j [_ x / j ]_ B e. Fin
154	28	eleq1d 2239	. . . . . 6 |- ( j = x -> ( B e. Fin <-> [_ x / j ]_ B e. Fin ) )
155	153, 154	rspc 2828	. . . . 5 |- ( x e. A -> ( A. j e. A B e. Fin -> [_ x / j ]_ B e. Fin ) )
156	152, 155	mpan9 279	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> [_ x / j ]_ B e. Fin )
157	53, 150, 156, 125	fprod2d 11586	. . 3 |- ( ph -> prod_ x e. A prod_ y e. [_ x / j ]_ B [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E = prod_ z e. U_ x e. A ( { x } X. [_ x / j ]_ B ) [_ ( 2nd ` z ) / k ]_ [_ ( 1st ` z ) / j ]_ E )
158	47, 54, 62, 126	fprod2d 11586	. . 3 |- ( ph -> prod_ y e. C prod_ x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E = prod_ w e. U_ y e. C ( { y } X. [_ y / k ]_ D ) [_ ( 1st ` w ) / k ]_ [_ ( 2nd ` w ) / j ]_ E )
159	149, 157, 158	3eqtr4d 2213	. 2 |- ( ph -> prod_ x e. A prod_ y e. [_ x / j ]_ B [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E = prod_ y e. C prod_ x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
160		nfcv 2312	. . 3 |- F/_ x prod_ k e. B E
161		nfcv 2312	. . . . 5 |- F/_ j y
162	161, 111	nfcsbw 3085	. . . 4 |- F/_ j [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E
163	25, 162	nfcprod 11518	. . 3 |- F/_ j prod_ y e. [_ x / j ]_ B [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E
164		nfcv 2312	. . . . 5 |- F/_ y E
165		nfcsb1v 3082	. . . . 5 |- F/_ k [_ y / k ]_ E
166		csbeq1a 3058	. . . . 5 |- ( k = y -> E = [_ y / k ]_ E )
167	164, 165, 166	cbvprodi 11523	. . . 4 |- prod_ k e. B E = prod_ y e. B [_ y / k ]_ E
168	114	csbeq2dv 3075	. . . . . 6 |- ( j = x -> [_ y / k ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
169	168	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( j = x /\ y e. B ) -> [_ y / k ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
170	28, 169	prodeq12dv 11532	. . . 4 |- ( j = x -> prod_ y e. B [_ y / k ]_ E = prod_ y e. [_ x / j ]_ B [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
171	167, 170	eqtrid 2215	. . 3 |- ( j = x -> prod_ k e. B E = prod_ y e. [_ x / j ]_ B [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
172	160, 163, 171	cbvprodi 11523	. 2 |- prod_ j e. A prod_ k e. B E = prod_ x e. A prod_ y e. [_ x / j ]_ B [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E
173		nfcv 2312	. . 3 |- F/_ y prod_ j e. D E
174	33, 119	nfcprod 11518	. . 3 |- F/_ k prod_ x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E
175		nfcv 2312	. . . . 5 |- F/_ x E
176	175, 111, 114	cbvprodi 11523	. . . 4 |- prod_ j e. D E = prod_ x e. D [_ x / j ]_ E
177	121	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( k = y /\ x e. D ) -> [_ x / j ]_ E = [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
178	36, 177	prodeq12dv 11532	. . . 4 |- ( k = y -> prod_ x e. D [_ x / j ]_ E = prod_ x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
179	176, 178	eqtrid 2215	. . 3 |- ( k = y -> prod_ j e. D E = prod_ x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E )
180	173, 174, 179	cbvprodi 11523	. 2 |- prod_ k e. C prod_ j e. D E = prod_ y e. C prod_ x e. [_ y / k ]_ D [_ y / k ]_ [_ x / j ]_ E
181	159, 172, 180	3eqtr4g 2228	1 |- ( ph -> prod_ j e. A prod_ k e. B E = prod_ k e. C prod_ j e. D E )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   [_csb 3049   {csn 3583   <.cop 3586   U_ciun 3873  Disj wdisj 3966   X. cxp 4609   `'ccnv 4610   Rel wrel 4616   ` cfv 5198   1stc1st 6117   2ndc2nd 6118   Fincfn 6718   CCcc 7772   prod_cprod 11513

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-disj 3967  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514

This theorem is referenced by:  fprodcom  11590  fprod0diagfz  11591