Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fisumcom2 Unicode version

Theorem fisumcom2 11200
 Description: Interchange order of summation. Note that and are not necessarily constant expressions. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Apr-2016.) (Proof shortened by JJ, 2-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumcom2.1
fsumcom2.2
fsumcom2.3
fisumcom2.fi
fsumcom2.4
fsumcom2.5
Assertion
Ref Expression
fisumcom2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)

Proof of Theorem fisumcom2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relxp 4643 . . . . . . . . 9
21rgenw 2485 . . . . . . . 8
3 reliun 4655 . . . . . . . 8
42, 3mpbir 145 . . . . . . 7
5 relcnv 4912 . . . . . . 7
6 ancom 264 . . . . . . . . . . . 12
7 vex 2684 . . . . . . . . . . . . 13
8 vex 2684 . . . . . . . . . . . . 13
97, 8opth 4154 . . . . . . . . . . . 12
108, 7opth 4154 . . . . . . . . . . . 12
116, 9, 103bitr4i 211 . . . . . . . . . . 11
1211a1i 9 . . . . . . . . . 10
13 fsumcom2.4 . . . . . . . . . 10
1412, 13anbi12d 464 . . . . . . . . 9
15142exbidv 1840 . . . . . . . 8
16 eliunxp 4673 . . . . . . . 8
177, 8opelcnv 4716 . . . . . . . . 9
18 eliunxp 4673 . . . . . . . . 9
19 excom 1642 . . . . . . . . 9
2017, 18, 193bitri 205 . . . . . . . 8
2115, 16, 203bitr4g 222 . . . . . . 7
224, 5, 21eqrelrdv 4630 . . . . . 6
23 nfcv 2279 . . . . . . 7
24 nfcv 2279 . . . . . . . 8
25 nfcsb1v 3030 . . . . . . . 8
2624, 25nfxp 4561 . . . . . . 7
27 sneq 3533 . . . . . . . 8
28 csbeq1a 3007 . . . . . . . 8
2927, 28xpeq12d 4559 . . . . . . 7
3023, 26, 29cbviun 3845 . . . . . 6
31 nfcv 2279 . . . . . . . 8
32 nfcv 2279 . . . . . . . . 9
33 nfcsb1v 3030 . . . . . . . . 9
3432, 33nfxp 4561 . . . . . . . 8
35 sneq 3533 . . . . . . . . 9
36 csbeq1a 3007 . . . . . . . . 9
3735, 36xpeq12d 4559 . . . . . . . 8
3831, 34, 37cbviun 3845 . . . . . . 7
3938cnveqi 4709 . . . . . 6
4022, 30, 393eqtr3g 2193 . . . . 5
4140sumeq1d 11128 . . . 4
42 vex 2684 . . . . . . . 8
43 vex 2684 . . . . . . . 8
4442, 43op1std 6039 . . . . . . 7
4544csbeq1d 3005 . . . . . 6
4642, 43op2ndd 6040 . . . . . . . 8
4746csbeq1d 3005 . . . . . . 7
4847csbeq2dv 3023 . . . . . 6
4945, 48eqtrd 2170 . . . . 5
5043, 42op2ndd 6040 . . . . . . 7
5150csbeq1d 3005 . . . . . 6
5243, 42op1std 6039 . . . . . . . 8
5352csbeq1d 3005 . . . . . . 7
5453csbeq2dv 3023 . . . . . 6
5551, 54eqtrd 2170 . . . . 5
56 fsumcom2.2 . . . . . 6
57 snfig 6701 . . . . . . . . 9
5857elv 2685 . . . . . . . 8
59 fisumcom2.fi . . . . . . . . . 10
6059ralrimiva 2503 . . . . . . . . 9
6133nfel1 2290 . . . . . . . . . 10
6236eleq1d 2206 . . . . . . . . . 10
6361, 62rspc 2778 . . . . . . . . 9
6460, 63mpan9 279 . . . . . . . 8
65 xpfi 6811 . . . . . . . 8
6658, 64, 65sylancr 410 . . . . . . 7
6766ralrimiva 2503 . . . . . 6
68 disjsnxp 6127 . . . . . . 7 Disj
6968a1i 9 . . . . . 6 Disj
70 iunfidisj 6827 . . . . . 6 Disj
7156, 67, 69, 70syl3anc 1216 . . . . 5
72 reliun 4655 . . . . . . 7
73 relxp 4643 . . . . . . . 8
7473a1i 9 . . . . . . 7
7572, 74mprgbir 2488 . . . . . 6
7675a1i 9 . . . . 5
77 csbeq1 3001 . . . . . . . 8
7877csbeq2dv 3023 . . . . . . 7
7978eleq1d 2206 . . . . . 6
80 csbeq1 3001 . . . . . . . 8
81 csbeq1 3001 . . . . . . . . 9
8281eleq1d 2206 . . . . . . . 8
8380, 82raleqbidv 2636 . . . . . . 7
84 simpl 108 . . . . . . . . . 10
8543, 42opelcnv 4716 . . . . . . . . . . . . . . 15
8633, 36opeliunxp2f 6128 . . . . . . . . . . . . . . 15
8785, 86sylbbr 135 . . . . . . . . . . . . . 14
8887adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13
8922adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13
9088, 89eleqtrrd 2217 . . . . . . . . . . . 12
91 eliun 3812 . . . . . . . . . . . 12
9290, 91sylib 121 . . . . . . . . . . 11
93 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 opelxp 4564 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9593, 94sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . 15
9695simpld 111 . . . . . . . . . . . . . 14
97 elsni 3540 . . . . . . . . . . . . . 14
9896, 97syl 14 . . . . . . . . . . . . 13
99 simpl 108 . . . . . . . . . . . . 13
10098, 99eqeltrd 2214 . . . . . . . . . . . 12
101100rexlimiva 2542 . . . . . . . . . . 11
10292, 101syl 14 . . . . . . . . . 10
10325nfcri 2273 . . . . . . . . . . . 12
10497equcomd 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105104, 28syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16
106105eleq2d 2207 . . . . . . . . . . . . . . 15
107106biimpa 294 . . . . . . . . . . . . . 14
10894, 107sylbi 120 . . . . . . . . . . . . 13
109108a1i 9 . . . . . . . . . . . 12
110103, 109rexlimi 2540 . . . . . . . . . . 11
11192, 110syl 14 . . . . . . . . . 10
112 fsumcom2.5 . . . . . . . . . . . . . 14
113112ralrimivva 2512 . . . . . . . . . . . . 13
114 nfcsb1v 3030 . . . . . . . . . . . . . . . 16
115114nfel1 2290 . . . . . . . . . . . . . . 15
11625, 115nfralxy 2469 . . . . . . . . . . . . . 14
117 csbeq1a 3007 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118117eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . . 15
11928, 118raleqbidv 2636 . . . . . . . . . . . . . 14
120116, 119rspc 2778 . . . . . . . . . . . . 13
121113, 120mpan9 279 . . . . . . . . . . . 12
122 nfcsb1v 3030 . . . . . . . . . . . . . 14
123122nfel1 2290 . . . . . . . . . . . . 13
124 csbeq1a 3007 . . . . . . . . . . . . . 14
125124eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . 13
126123, 125rspc 2778 . . . . . . . . . . . 12
127121, 126syl5com 29 . . . . . . . . . . 11
128127impr 376 . . . . . . . . . 10
12984, 102, 111, 128syl12anc 1214 . . . . . . . . 9
130129ralrimivva 2512 . . . . . . . 8
131130adantr 274 . . . . . . 7
132 simpr 109 . . . . . . . . 9
133 eliun 3812 . . . . . . . . 9
134132, 133sylib 121 . . . . . . . 8
135 xp1st 6056 . . . . . . . . . . . 12
136135adantl 275 . . . . . . . . . . 11
137 elsni 3540 . . . . . . . . . . 11
138136, 137syl 14 . . . . . . . . . 10
139 simpl 108 . . . . . . . . . 10
140138, 139eqeltrd 2214 . . . . . . . . 9
141140rexlimiva 2542 . . . . . . . 8
142134, 141syl 14 . . . . . . 7
14383, 131, 142rspcdva 2789 . . . . . 6
144 xp2nd 6057 . . . . . . . . . 10
145144adantl 275 . . . . . . . . 9
146138csbeq1d 3005 . . . . . . . . 9
147145, 146eleqtrrd 2217 . . . . . . . 8
148147rexlimiva 2542 . . . . . . 7
149134, 148syl 14 . . . . . 6
15079, 143, 149rspcdva 2789 . . . . 5
15149, 55, 71, 76, 150fsumcnv 11199 . . . 4
15241, 151eqtr4d 2173 . . 3
153 fsumcom2.1 . . . 4
154 fsumcom2.3 . . . . . 6
155154ralrimiva 2503 . . . . 5
15625nfel1 2290 . . . . . 6
15728eleq1d 2206 . . . . . 6
158156, 157rspc 2778 . . . . 5
159155, 158mpan9 279 . . . 4
16055, 153, 159, 128fsum2d 11197 . . 3
16149, 56, 64, 129fsum2d 11197 . . 3
162152, 160, 1613eqtr4d 2180 . 2
163 nfcv 2279 . . 3
164 nfcv 2279 . . . . 5
165164, 114nfcsb 3032 . . . 4
16625, 165nfsum 11119 . . 3
167 nfcv 2279 . . . . 5
168 nfcsb1v 3030 . . . . 5
169 csbeq1a 3007 . . . . 5
170167, 168, 169cbvsumi 11124 . . . 4
171117csbeq2dv 3023 . . . . . 6
172171adantr 274 . . . . 5
17328, 172sumeq12dv 11134 . . . 4
174170, 173syl5eq 2182 . . 3
175163, 166, 174cbvsumi 11124 . 2
176 nfcv 2279 . . 3
17733, 122nfsum 11119 . . 3
178 nfcv 2279 . . . . 5
179178, 114, 117cbvsumi 11124 . . . 4
180124adantr 274 . . . . 5
18136, 180sumeq12dv 11134 . . . 4
182179, 181syl5eq 2182 . . 3
183176, 177, 182cbvsumi 11124 . 2
184162, 175, 1833eqtr4g 2195 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   wb 104   wceq 1331  wex 1468   wcel 1480  wral 2414  wrex 2415  cvv 2681  csb 2998  csn 3522  cop 3525  ciun 3808  Disj wdisj 3901   cxp 4532  ccnv 4533   wrel 4539  cfv 5118  c1st 6029  c2nd 6030  cfn 6627  cc 7611  csu 11115 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-disj 3902  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-frec 6281  df-1o 6306  df-oadd 6310  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629  df-fin 6630  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-ihash 10515  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-clim 11041  df-sumdc 11116 This theorem is referenced by:  fsumcom  11201  fisum0diag  11203
 Copyright terms: Public domain W3C validator