ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmptco Unicode version

Theorem fmptco 5448
Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. If  F has the equation ( x + 2 ) and  G the equation ( 3 * z ) then  ( G  o.  F
) has the equation ( 3 * ( x + 2 ) ) . (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
fmptco.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  B )
fmptco.2  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
fmptco.3  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  B  |->  S ) )
fmptco.4  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
Assertion
Ref Expression
fmptco  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, B    y, R    ph, x    x, S    y, T
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( y)    R( x)    S( y)    T( x)    F( x, y)    G( x, y)

Proof of Theorem fmptco
Dummy variables  v  u  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 4916 . 2  |-  Rel  ( G  o.  F )
2 funmpt 5038 . . 3  |-  Fun  (
x  e.  A  |->  T )
3 funrel 5019 . . 3  |-  ( Fun  ( x  e.  A  |->  T )  ->  Rel  ( x  e.  A  |->  T ) )
42, 3ax-mp 7 . 2  |-  Rel  (
x  e.  A  |->  T )
5 fmptco.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  R  e.  B )
6 eqid 2088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  A  |->  R )  =  ( x  e.  A  |->  R )
75, 6fmptd 5436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> B )
8 fmptco.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  A  |->  R ) )
98feq1d 5135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F : A --> B 
<->  ( x  e.  A  |->  R ) : A --> B ) )
107, 9mpbird 165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> B )
11 ffun 5150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
1210, 11syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Fun  F )
13 funbrfv 5327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( z F u  ->  ( F `
 z )  =  u ) )
1413imp 122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  F  /\  z F u )  -> 
( F `  z
)  =  u )
1512, 14sylan 277 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  ( F `  z )  =  u )
1615eqcomd 2093 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  u  =  ( F `  z ) )
1716a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z F u )  ->  (
u G w  ->  u  =  ( F `  z ) ) )
1817expimpd 355 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( z F u  /\  u G w )  ->  u  =  ( F `  z ) ) )
1918pm4.71rd 386 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z F u  /\  u G w )  <->  ( u  =  ( F `  z )  /\  (
z F u  /\  u G w ) ) ) )
2019exbidv 1753 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u ( z F u  /\  u G w )  <->  E. u
( u  =  ( F `  z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) ) ) )
21 exsimpl 1553 . . . . . . 7  |-  ( E. u ( u  =  ( F `  z
)  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  ->  E. u  u  =  ( F `  z
) )
22 isset 2625 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  e.  _V  <->  E. u  u  =  ( F `  z ) )
2321, 22sylibr 132 . . . . . 6  |-  ( E. u ( u  =  ( F `  z
)  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  ->  ( F `  z )  e.  _V )
2423a1i 9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. u ( u  =  ( F `
 z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  ->  ( F `  z )  e.  _V ) )
2512adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  Fun  F )
26 fdm 5152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
2710, 26syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
2827eleq2d 2157 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z  e.  A ) )
2928biimpar 291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  dom  F )
30 funfvex 5306 . . . . . . . 8  |-  ( ( Fun  F  /\  z  e.  dom  F )  -> 
( F `  z
)  e.  _V )
3125, 29, 30syl2anc 403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  _V )
3231adantrr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )  -> 
( F `  z
)  e.  _V )
3332ex 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  /\  w  = 
[_ z  /  x ]_ T )  ->  ( F `  z )  e.  _V ) )
34 breq2 3841 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
z F u  <->  z F
( F `  z
) ) )
35 breq1 3840 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
u G w  <->  ( F `  z ) G w ) )
3634, 35anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( F `  z )  ->  (
( z F u  /\  u G w )  <->  ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w ) ) )
3736ceqsexgv 2744 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  z )  e.  _V  ->  ( E. u ( u  =  ( F `  z
)  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <-> 
( z F ( F `  z )  /\  ( F `  z ) G w ) ) )
38 funfvbrb 5396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun 
F  ->  ( z  e.  dom  F  <->  z F
( F `  z
) ) )
3912, 38syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( z  e.  dom  F  <-> 
z F ( F `
 z ) ) )
4039, 28bitr3d 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( z F ( F `  z )  <-> 
z  e.  A ) )
418fveq1d 5291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  z
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) )
42 fmptco.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  =  ( y  e.  B  |->  S ) )
43 eqidd 2089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  w  =  w )
4441, 42, 43breq123d 3851 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( F `  z ) G w  <-> 
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
4540, 44anbi12d 457 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w )  <->  ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) ) )
46 nfcv 2228 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
z
47 nfv 1466 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x ph
48 nffvmpt1 5300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z )
49 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x
( y  e.  B  |->  S )
50 nfcv 2228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x w
5148, 49, 50nfbr 3881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w
52 nfcsb1v 2961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ z  /  x ]_ T
5352nfeq2 2240 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x  w  =  [_ z  /  x ]_ T
5451, 53nfbi 1526 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T )
5547, 54nfim 1509 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
56 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  x
)  =  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) )
5756breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 z ) ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
58 csbeq1a 2939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  T  =  [_ z  /  x ]_ T )
5958eqeq2d 2099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
w  =  T  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
6057, 59bibi12d 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( x  e.  A  |->  R ) `
 x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T )  <->  ( (
( x  e.  A  |->  R ) `  z
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
6160imbi2d 228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x
) ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
w  =  T ) )  <->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) ) )
62 vex 2622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
63 simpl 107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  y  =  R )
6463eleq1d 2156 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( y  e.  B  <->  R  e.  B ) )
65 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  u  =  w )
66 fmptco.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  R  ->  S  =  T )
6766adantr 270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  S  =  T )
6865, 67eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( u  =  S  <-> 
w  =  T ) )
6964, 68anbi12d 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  =  R  /\  u  =  w )  ->  ( ( y  e.  B  /\  u  =  S )  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
70 df-mpt 3893 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  B  |->  S )  =  { <. y ,  u >.  |  (
y  e.  B  /\  u  =  S ) }
7169, 70brabga 4082 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  B  /\  w  e.  _V )  ->  ( R ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
725, 62, 71sylancl 404 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( R ( y  e.  B  |->  S ) w  <-> 
( R  e.  B  /\  w  =  T
) ) )
73 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  A )
746fvmpt2 5370 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  /\  R  e.  B )  ->  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x )  =  R )
7573, 5, 74syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  A  |->  R ) `  x
)  =  R )
7675breq1d 3847 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  R ( y  e.  B  |->  S ) w ) )
775biantrurd 299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
w  =  T  <->  ( R  e.  B  /\  w  =  T ) ) )
7872, 76, 773bitr4d 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T
) )
7978expcom 114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  x ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  T ) ) )
8046, 55, 61, 79vtoclgaf 2684 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  A  ->  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8180impcom 123 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
8281pm5.32da 440 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( z  e.  A  /\  ( ( x  e.  A  |->  R ) `  z ) ( y  e.  B  |->  S ) w )  <-> 
( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8345, 82bitrd 186 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( z F ( F `  z
)  /\  ( F `  z ) G w )  <->  ( z  e.  A  /\  w  = 
[_ z  /  x ]_ T ) ) )
8437, 83sylan9bbr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( F `  z )  e.  _V )  ->  ( E. u
( u  =  ( F `  z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8584ex 113 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F `  z )  e.  _V  ->  ( E. u ( u  =  ( F `
 z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) ) )
8624, 33, 85pm5.21ndd 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. u ( u  =  ( F `
 z )  /\  ( z F u  /\  u G w ) )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
8720, 86bitrd 186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. u ( z F u  /\  u G w )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
88 vex 2622 . . . 4  |-  z  e. 
_V
8988, 62opelco 4596 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( G  o.  F
)  <->  E. u ( z F u  /\  u G w ) )
90 df-mpt 3893 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  T )  =  { <. x ,  v >.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) }
9190eleq2i 2154 . . . 4  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( x  e.  A  |->  T )  <->  <. z ,  w >.  e.  { <. x ,  v >.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) } )
92 nfv 1466 . . . . . 6  |-  F/ x  z  e.  A
9352nfeq2 2240 . . . . . 6  |-  F/ x  v  =  [_ z  /  x ]_ T
9492, 93nfan 1502 . . . . 5  |-  F/ x
( z  e.  A  /\  v  =  [_ z  /  x ]_ T )
95 nfv 1466 . . . . 5  |-  F/ v ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T )
96 eleq1 2150 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) )
9758eqeq2d 2099 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
v  =  T  <->  v  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
9896, 97anbi12d 457 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  A  /\  v  =  T
)  <->  ( z  e.  A  /\  v  = 
[_ z  /  x ]_ T ) ) )
99 eqeq1 2094 . . . . . 6  |-  ( v  =  w  ->  (
v  =  [_ z  /  x ]_ T  <->  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
10099anbi2d 452 . . . . 5  |-  ( v  =  w  ->  (
( z  e.  A  /\  v  =  [_ z  /  x ]_ T )  <-> 
( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) ) )
10194, 95, 88, 62, 98, 100opelopabf 4092 . . . 4  |-  ( <.
z ,  w >.  e. 
{ <. x ,  v
>.  |  ( x  e.  A  /\  v  =  T ) }  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
10291, 101bitri 182 . . 3  |-  ( <.
z ,  w >.  e.  ( x  e.  A  |->  T )  <->  ( z  e.  A  /\  w  =  [_ z  /  x ]_ T ) )
10387, 89, 1023bitr4g 221 . 2  |-  ( ph  ->  ( <. z ,  w >.  e.  ( G  o.  F )  <->  <. z ,  w >.  e.  (
x  e.  A  |->  T ) ) )
1041, 4, 103eqrelrdv 4522 1  |-  ( ph  ->  ( G  o.  F
)  =  ( x  e.  A  |->  T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289   E.wex 1426    e. wcel 1438   _Vcvv 2619   [_csb 2931   <.cop 3444   class class class wbr 3837   {copab 3890    |-> cmpt 3891   dom cdm 4428    o. ccom 4432   Rel wrel 4433   Fun wfun 4996   -->wf 4998   ` cfv 5002
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010
This theorem is referenced by:  fmptcof  5449  fcompt  5451  fcoconst  5452  ofco  5855
  Copyright terms: Public domain W3C validator