Theorem fmptco 5748

Description: Composition of two functions expressed as ordered-pair class abstractions. If F has the equation ( x + 2 ) and G the equation ( 3 * z ) then ( G o. F ) has the equation ( 3 * ( x + 2 ) ) . (Contributed by FL, 21-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptco.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. B )
fmptco.2	|- ( ph -> F = ( x e. A |-> R ) )
fmptco.3	|- ( ph -> G = ( y e. B |-> S ) )
fmptco.4	|- ( y = R -> S = T )

Assertion

Ref	Expression
fmptco	|- ( ph -> ( G o. F ) = ( x e. A |-> T ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, y, B   y, R   ph, x   x, S   y, T

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( y)   R( x)   S( y)   T( x)   F( x, y)   G( x, y)

Proof of Theorem fmptco

Dummy variables v u w z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5182	. 2 |- Rel ( G o. F )
2		funmpt 5310	. . 3 |- Fun ( x e. A |-> T )
3		funrel 5289	. . 3 |- ( Fun ( x e. A |-> T ) -> Rel ( x e. A |-> T ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- Rel ( x e. A |-> T )
5		fmptco.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> R e. B )
6		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. A |-> R ) = ( x e. A |-> R )
7	5, 6	fmptd 5736	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. A |-> R ) : A --> B )
8		fmptco.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F = ( x e. A |-> R ) )
9	8	feq1d 5414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( F : A --> B <-> ( x e. A |-> R ) : A --> B ) )
10	7, 9	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : A --> B )
11		ffun 5430	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> B -> Fun F )
12	10, 11	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Fun F )
13		funbrfv 5619	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( z F u -> ( F ` z ) = u ) )
14	13	imp 124	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Fun F /\ z F u ) -> ( F ` z ) = u )
15	12, 14	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z F u ) -> ( F ` z ) = u )
16	15	eqcomd 2211	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z F u ) -> u = ( F ` z ) )
17	16	a1d 22	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z F u ) -> ( u G w -> u = ( F ` z ) ) )
18	17	expimpd 363	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( z F u /\ u G w ) -> u = ( F ` z ) ) )
19	18	pm4.71rd 394	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z F u /\ u G w ) <-> ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) ) )
20	19	exbidv 1848	. . . 4 |- ( ph -> ( E. u ( z F u /\ u G w ) <-> E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) ) )
21		exsimpl 1640	. . . . . . 7 |- ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) -> E. u u = ( F ` z ) )
22		isset 2778	. . . . . . 7 |- ( ( F ` z ) e. _V <-> E. u u = ( F ` z ) )
23	21, 22	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) -> ( F ` z ) e. _V )
24	23	a1i 9	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) -> ( F ` z ) e. _V ) )
25	12	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> Fun F )
26		fdm 5433	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : A --> B -> dom F = A )
27	10, 26	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> dom F = A )
28	27	eleq2d 2275	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z e. dom F <-> z e. A ) )
29	28	biimpar 297	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> z e. dom F )
30		funfvex 5595	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun F /\ z e. dom F ) -> ( F ` z ) e. _V )
31	25, 29, 30	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( F ` z ) e. _V )
32	31	adantrr 479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) -> ( F ` z ) e. _V )
33	32	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) -> ( F ` z ) e. _V ) )
34		breq2 4049	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` z ) -> ( z F u <-> z F ( F ` z ) ) )
35		breq1 4048	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( F ` z ) -> ( u G w <-> ( F ` z ) G w ) )
36	34, 35	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( u = ( F ` z ) -> ( ( z F u /\ u G w ) <-> ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) ) )
37	36	ceqsexgv 2902	. . . . . . 7 |- ( ( F ` z ) e. _V -> ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) <-> ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) ) )
38		funfvbrb 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( Fun F -> ( z e. dom F <-> z F ( F ` z ) ) )
39	12, 38	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( z e. dom F <-> z F ( F ` z ) ) )
40	39, 28	bitr3d 190	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( z F ( F ` z ) <-> z e. A ) )
41	8	fveq1d 5580	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` z ) = ( ( x e. A |-> R ) ` z ) )
42		fmptco.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G = ( y e. B |-> S ) )
43		eqidd 2206	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> w = w )
44	41, 42, 43	breq123d 4059	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( F ` z ) G w <-> ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) )
45	40, 44	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) <-> ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) ) )
46		nfcv 2348	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x z
47		nfv 1551	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ph
48		nffvmpt1 5589	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( ( x e. A |-> R ) ` z )
49		nfcv 2348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x ( y e. B |-> S )
50		nfcv 2348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x w
51	48, 49, 50	nfbr 4091	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w
52		nfcsb1v 3126	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x [_ z / x ]_ T
53	52	nfeq2 2360	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ x w = [_ z / x ]_ T
54	51, 53	nfbi 1612	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T )
55	47, 54	nfim 1595	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
56		fveq2 5578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = ( ( x e. A |-> R ) ` z ) )
57	56	breq1d 4055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) )
58		csbeq1a 3102	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = z -> T = [_ z / x ]_ T )
59	58	eqeq2d 2217	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = z -> ( w = T <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
60	57, 59	bibi12d 235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = z -> ( ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) <-> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) )
61	60	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) ) <-> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) ) )
62		vex 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
63		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> y = R )
64	63	eleq1d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> ( y e. B <-> R e. B ) )
65		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> u = w )
66		fmptco.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = R -> S = T )
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> S = T )
68	65, 67	eqeq12d 2220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> ( u = S <-> w = T ) )
69	64, 68	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y = R /\ u = w ) -> ( ( y e. B /\ u = S ) <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
70		df-mpt 4108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. B |-> S ) = { <. y , u >. | ( y e. B /\ u = S ) }
71	69, 70	brabga 4311	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. B /\ w e. _V ) -> ( R ( y e. B |-> S ) w <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
72	5, 62, 71	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( R ( y e. B |-> S ) w <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
73		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. A )
74	6	fvmpt2 5665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. A /\ R e. B ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R )
75	73, 5, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( x e. A |-> R ) ` x ) = R )
76	75	breq1d 4055	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> R ( y e. B |-> S ) w ) )
77	5	biantrurd 305	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( w = T <-> ( R e. B /\ w = T ) ) )
78	72, 76, 77	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) )
79	78	expcom 116	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` x ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = T ) ) )
80	46, 55, 61, 79	vtoclgaf 2838	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. A -> ( ph -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) ) )
81	80	impcom 125	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. A ) -> ( ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
82	81	pm5.32da 452	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( z e. A /\ ( ( x e. A |-> R ) ` z ) ( y e. B |-> S ) w ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
83	45, 82	bitrd 188	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( z F ( F ` z ) /\ ( F ` z ) G w ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
84	37, 83	sylan9bbr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( F ` z ) e. _V ) -> ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
85	84	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( F ` z ) e. _V -> ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) ) )
86	24, 33, 85	pm5.21ndd 707	. . . 4 |- ( ph -> ( E. u ( u = ( F ` z ) /\ ( z F u /\ u G w ) ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
87	20, 86	bitrd 188	. . 3 |- ( ph -> ( E. u ( z F u /\ u G w ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
88		vex 2775	. . . 4 |- z e. _V
89	88, 62	opelco 4851	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( G o. F ) <-> E. u ( z F u /\ u G w ) )
90		df-mpt 4108	. . . . 5 |- ( x e. A |-> T ) = { <. x , v >. | ( x e. A /\ v = T ) }
91	90	eleq2i 2272	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. ( x e. A |-> T ) <-> <. z , w >. e. { <. x , v >. | ( x e. A /\ v = T ) } )
92		nfv 1551	. . . . . 6 |- F/ x z e. A
93	52	nfeq2 2360	. . . . . 6 |- F/ x v = [_ z / x ]_ T
94	92, 93	nfan 1588	. . . . 5 |- F/ x ( z e. A /\ v = [_ z / x ]_ T )
95		nfv 1551	. . . . 5 |- F/ v ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T )
96		eleq1 2268	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x e. A <-> z e. A ) )
97	58	eqeq2d 2217	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( v = T <-> v = [_ z / x ]_ T ) )
98	96, 97	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( x e. A /\ v = T ) <-> ( z e. A /\ v = [_ z / x ]_ T ) ) )
99		eqeq1 2212	. . . . . 6 |- ( v = w -> ( v = [_ z / x ]_ T <-> w = [_ z / x ]_ T ) )
100	99	anbi2d 464	. . . . 5 |- ( v = w -> ( ( z e. A /\ v = [_ z / x ]_ T ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) ) )
101	94, 95, 88, 62, 98, 100	opelopabf 4322	. . . 4 |- ( <. z , w >. e. { <. x , v >. | ( x e. A /\ v = T ) } <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) )
102	91, 101	bitri 184	. . 3 |- ( <. z , w >. e. ( x e. A |-> T ) <-> ( z e. A /\ w = [_ z / x ]_ T ) )
103	87, 89, 102	3bitr4g 223	. 2 |- ( ph -> ( <. z , w >. e. ( G o. F ) <-> <. z , w >. e. ( x e. A |-> T ) ) )
104	1, 4, 103	eqrelrdv 4772	1 |- ( ph -> ( G o. F ) = ( x e. A |-> T ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   [_csb 3093   <.cop 3636   class class class wbr 4045   {copab 4105   |-> cmpt 4106   dom cdm 4676   o. ccom 4680   Rel wrel 4681   Fun wfun 5266   -->wf 5268   ` cfv 5272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280

This theorem is referenced by:  fmptcof  5749  cofmpt  5751  fcompt  5752  fcoconst  5753  ofco  6179  prdsidlem  13312  pws0g  13316  pwsinvg  13477  pwssub  13478  gsumfzmhm2  13713  psrlinv  14479  lmcn2  14785  cdivcncfap  15109  negfcncf  15111  dvcj  15214  dvfre  15215  dvmptcjx  15229  plyco  15264  plycjlemc  15265