Theorem eqsuptid 6999

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
eqsuptid.2	|- ( ph -> C e. A )
eqsuptid.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
eqsuptid.4	|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )

Assertion

Ref	Expression
eqsuptid	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   y, B, z   u, R, v, y, z   ph, u, v, y   y, C, u, v   u, B, v, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( z)

Proof of Theorem eqsuptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsuptid.2	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		eqsuptid.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
3	2	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ph -> A. y e. B -. C R y )
4		eqsuptid.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )
5	4	expr 375	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
6	5	ralrimiva 2550	. 2 |- ( ph -> A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
7		supmoti.ti	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
8	7	eqsupti 6998	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1340	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   class class class wbr 4005   supcsup 6984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-iota 5180  df-riota 5834  df-sup 6986

This theorem is referenced by:  supmaxti  7006  supisoti  7012  xrmaxaddlem  11271  dfgcd2  12018