Theorem eqsuptid 7125

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
eqsuptid.2	|- ( ph -> C e. A )
eqsuptid.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
eqsuptid.4	|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )

Assertion

Ref	Expression
eqsuptid	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   y, B, z   u, R, v, y, z   ph, u, v, y   y, C, u, v   u, B, v, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( z)

Proof of Theorem eqsuptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsuptid.2	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		eqsuptid.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
3	2	ralrimiva 2581	. 2 |- ( ph -> A. y e. B -. C R y )
4		eqsuptid.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )
5	4	expr 375	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
6	5	ralrimiva 2581	. 2 |- ( ph -> A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
7		supmoti.ti	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
8	7	eqsupti 7124	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1353	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   E.wrex 2487   class class class wbr 4059   supcsup 7110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-iota 5251  df-riota 5922  df-sup 7112

This theorem is referenced by:  supmaxti  7132  supisoti  7138  xrmaxaddlem  11686  dfgcd2  12450