Theorem eqsuptid 7014

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
eqsuptid.2	|- ( ph -> C e. A )
eqsuptid.3	|- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
eqsuptid.4	|- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )

Assertion

Ref	Expression
eqsuptid	|- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   y, B, z   u, R, v, y, z   ph, u, v, y   y, C, u, v   u, B, v, z   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( z)   C( z)

Proof of Theorem eqsuptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsuptid.2	. 2 |- ( ph -> C e. A )
2		eqsuptid.3	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. B ) -> -. C R y )
3	2	ralrimiva 2563	. 2 |- ( ph -> A. y e. B -. C R y )
4		eqsuptid.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( y e. A /\ y R C ) ) -> E. z e. B y R z )
5	4	expr 375	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
6	5	ralrimiva 2563	. 2 |- ( ph -> A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) )
7		supmoti.ti	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
8	7	eqsupti 7013	. 2 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1351	1 |- ( ph -> sup ( B , A , R ) = C )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   class class class wbr 4018   supcsup 6999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-iota 5193  df-riota 5847  df-sup 7001

This theorem is referenced by:  supmaxti  7021  supisoti  7027  xrmaxaddlem  11286  dfgcd2  12033