ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eqsuptid GIF version

Theorem eqsuptid 6746
Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
supmoti.ti ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
eqsuptid.2 (𝜑𝐶𝐴)
eqsuptid.3 ((𝜑𝑦𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
eqsuptid.4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
Assertion
Ref Expression
eqsuptid (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑦   𝑦,𝐶,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣,𝑧   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem eqsuptid
StepHypRef Expression
1 eqsuptid.2 . 2 (𝜑𝐶𝐴)
2 eqsuptid.3 . . 3 ((𝜑𝑦𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
32ralrimiva 2447 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦)
4 eqsuptid.4 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
54expr 368 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
65ralrimiva 2447 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
7 supmoti.ti . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐴𝑣𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
87eqsupti 6745 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
91, 3, 6, 8mp3and 1277 1 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1290  wcel 1439  wral 2360  wrex 2361   class class class wbr 3851  supcsup 6731
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-un 3004  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-iota 4993  df-riota 5622  df-sup 6733
This theorem is referenced by:  supmaxti  6753  supisoti  6759  dfgcd2  11342
  Copyright terms: Public domain W3C validator