Theorem eqsuptid 6746

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supmoti.ti	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
eqsuptid.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
eqsuptid.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
eqsuptid.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)

Assertion

Ref	Expression
eqsuptid	⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑣,𝑦,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑢,𝑅,𝑣,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑣,𝑦   𝑦,𝐶,𝑢,𝑣   𝑢,𝐵,𝑣,𝑧   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   𝐶(𝑧)

Proof of Theorem eqsuptid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsuptid.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		eqsuptid.3	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ¬ 𝐶𝑅𝑦)
3	2	ralrimiva 2447	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦)
4		eqsuptid.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦𝑅𝐶)) → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)
5	4	expr 368	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))
6	5	ralrimiva 2447	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧))
7		supmoti.ti	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑣 ∈ 𝐴)) → (𝑢 = 𝑣 ↔ (¬ 𝑢𝑅𝑣 ∧ ¬ 𝑣𝑅𝑢)))
8	7	eqsupti 6745	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝐶𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦𝑅𝐶 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶))
9	1, 3, 6, 8	mp3and 1277	1 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = 𝐶)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  ∀wral 2360  ∃wrex 2361   class class class wbr 3851  supcsup 6731

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rmo 2368  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-un 3004  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-iota 4993  df-riota 5622  df-sup 6733

This theorem is referenced by:  supmaxti  6753  supisoti  6759  dfgcd2  11342