ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrmaxaddlem Unicode version

Theorem xrmaxaddlem 11060
Description: Lemma for xrmaxadd 11061. The case where  A is real. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrmaxaddlem  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  sup ( { ( A +e B ) ,  ( A +e
C ) } ,  RR* ,  <  )  =  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )

Proof of Theorem xrmaxaddlem
Dummy variables  f  g  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 9612 . . 3  |-  ( ( f  e.  RR*  /\  g  e.  RR* )  ->  (
f  =  g  <->  ( -.  f  <  g  /\  -.  g  <  f ) ) )
21adantl 275 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
f  e.  RR*  /\  g  e.  RR* ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
3 rexr 7834 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  RR* )
4 simp1 982 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  A  e.  RR* )
5 simp2 983 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  e.  RR* )
6 simp3 984 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  C  e.  RR* )
7 xrmaxcl 11052 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
85, 6, 7syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
94, 8xaddcld 9696 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  e.  RR* )
103, 9syl3an1 1250 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  e.  RR* )
11 elpri 3554 . . . . 5  |-  ( x  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e C ) }  ->  ( x  =  ( A +e
B )  \/  x  =  ( A +e C ) ) )
12 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  =  ( A +e B ) )  ->  x  =  ( A +e B ) )
13 xrmax1sup 11053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  B  <_  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )
145, 6, 13syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  B  <_  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )
15 xleadd2a 9686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  RR*  /\ 
sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  /\  B  <_  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( A +e B )  <_  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
165, 8, 4, 14, 15syl31anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A +e B )  <_  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
1716adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  =  ( A +e B ) )  ->  ( A +e B )  <_ 
( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
1812, 17eqbrtrd 3957 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  =  ( A +e B ) )  ->  x  <_  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
) )
19 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  =  ( A +e C ) )  ->  x  =  ( A +e C ) )
20 xrmax2sup 11054 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  C  <_  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )
215, 6, 20syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  C  <_  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )
22 xleadd2a 9686 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( C  e.  RR*  /\ 
sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  /\  C  <_  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  ->  ( A +e C )  <_  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
236, 8, 4, 21, 22syl31anc 1220 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A +e C )  <_  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
2423adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  =  ( A +e C ) )  ->  ( A +e C )  <_ 
( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
2519, 24eqbrtrd 3957 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  =  ( A +e C ) )  ->  x  <_  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
) )
2618, 25jaodan 787 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  =  ( A +e B )  \/  x  =  ( A +e C ) ) )  ->  x  <_  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
2711, 26sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e
C ) } )  ->  x  <_  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
) )
284, 5xaddcld 9696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
2928adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  =  ( A +e B ) )  ->  ( A +e B )  e. 
RR* )
3012, 29eqeltrd 2217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  =  ( A +e B ) )  ->  x  e.  RR* )
314, 6xaddcld 9696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e. 
RR* )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
3231adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  =  ( A +e C ) )  ->  ( A +e C )  e. 
RR* )
3319, 32eqeltrd 2217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  =  ( A +e C ) )  ->  x  e.  RR* )
3430, 33jaodan 787 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  =  ( A +e B )  \/  x  =  ( A +e C ) ) )  ->  x  e.  RR* )
3511, 34sylan2 284 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e
C ) } )  ->  x  e.  RR* )
369adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e
C ) } )  ->  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )  e. 
RR* )
37 xrlenlt 7852 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  e.  RR* )  ->  ( x  <_  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  <->  -.  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  <  x )
)
3835, 36, 37syl2anc 409 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e
C ) } )  ->  ( x  <_ 
( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )  <->  -.  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  <  x )
)
3927, 38mpbid 146 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e
C ) } )  ->  -.  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  <  x )
403, 39syl3anl1 1265 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  x  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e
C ) } )  ->  -.  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  <  x )
4133ad2ant1 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  A  e.  RR* )
4241adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  A  e.  RR* )
4342adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  A  e.  RR* )
44 simpl2 986 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  B  e.  RR* )
4544adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  B  e.  RR* )
4643, 45xaddcld 9696 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  ( A +e B )  e.  RR* )
47 prid1g 3634 . . . . 5  |-  ( ( A +e B )  e.  RR*  ->  ( A +e B )  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e C ) } )
4846, 47syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  ( A +e B )  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e C ) } )
49 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  (
x +e  -e A )  < 
B )
50 simprl 521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  x  e.  RR* )
5142xnegcld 9667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  -e A  e.  RR* )
5250, 51xaddcld 9696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  -> 
( x +e  -e A )  e. 
RR* )
5352adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  (
x +e  -e A )  e. 
RR* )
54 simpl1 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  A  e.  RR )
5554adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  A  e.  RR )
56 xltadd1 9688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x +e  -e A )  e. 
RR*  /\  B  e.  RR* 
/\  A  e.  RR )  ->  ( ( x +e  -e
A )  <  B  <->  ( ( x +e  -e A ) +e A )  < 
( B +e
A ) ) )
5753, 45, 55, 56syl3anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  (
( x +e  -e A )  < 
B  <->  ( ( x +e  -e
A ) +e
A )  <  ( B +e A ) ) )
5849, 57mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  (
( x +e  -e A ) +e A )  < 
( B +e
A ) )
59 xnpcan 9684 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  A  e.  RR )  ->  (
( x +e  -e A ) +e A )  =  x )
6050, 54, 59syl2anc 409 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  -> 
( ( x +e  -e A ) +e A )  =  x )
6160adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  (
( x +e  -e A ) +e A )  =  x )
62 xaddcom 9673 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( B +e A )  =  ( A +e B ) )
6345, 43, 62syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  ( B +e A )  =  ( A +e B ) )
6458, 61, 633brtr3d 3966 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  x  <  ( A +e
B ) )
65 breq2 3940 . . . . 5  |-  ( y  =  ( A +e B )  -> 
( x  <  y  <->  x  <  ( A +e B ) ) )
6665rspcev 2792 . . . 4  |-  ( ( ( A +e
B )  e.  {
( A +e
B ) ,  ( A +e C ) }  /\  x  <  ( A +e
B ) )  ->  E. y  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e C ) } x  <  y
)
6748, 64, 66syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
B )  ->  E. y  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e
C ) } x  <  y )
6854adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  A  e.  RR )
6968, 3syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  A  e.  RR* )
70 simpl3 987 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  C  e.  RR* )
7170adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  C  e.  RR* )
7269, 71xaddcld 9696 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  ( A +e C )  e.  RR* )
73 prid2g 3635 . . . . 5  |-  ( ( A +e C )  e.  RR*  ->  ( A +e C )  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e C ) } )
7472, 73syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  ( A +e C )  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e C ) } )
75 simpr 109 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  (
x +e  -e A )  < 
C )
7652adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  (
x +e  -e A )  e. 
RR* )
77 xltadd1 9688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x +e  -e A )  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* 
/\  A  e.  RR )  ->  ( ( x +e  -e
A )  <  C  <->  ( ( x +e  -e A ) +e A )  < 
( C +e
A ) ) )
7876, 71, 68, 77syl3anc 1217 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  (
( x +e  -e A )  < 
C  <->  ( ( x +e  -e
A ) +e
A )  <  ( C +e A ) ) )
7975, 78mpbid 146 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  (
( x +e  -e A ) +e A )  < 
( C +e
A ) )
8060adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  (
( x +e  -e A ) +e A )  =  x )
81 xaddcom 9673 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR*  /\  A  e.  RR* )  ->  ( C +e A )  =  ( A +e C ) )
8271, 69, 81syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  ( C +e A )  =  ( A +e C ) )
8379, 80, 823brtr3d 3966 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  x  <  ( A +e
C ) )
84 breq2 3940 . . . . 5  |-  ( y  =  ( A +e C )  -> 
( x  <  y  <->  x  <  ( A +e C ) ) )
8584rspcev 2792 . . . 4  |-  ( ( ( A +e
C )  e.  {
( A +e
B ) ,  ( A +e C ) }  /\  x  <  ( A +e
C ) )  ->  E. y  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e C ) } x  <  y
)
8674, 83, 85syl2anc 409 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e. 
RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  ( x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  /\  ( x +e  -e A )  < 
C )  ->  E. y  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e
C ) } x  <  y )
87 simprr 522 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
8810adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  -> 
( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )  e.  RR* )
89 rexneg 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  -e
A  =  -u A
)
90893ad2ant1 1003 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  -e
A  =  -u A
)
9190adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  -e A  =  -u A )
9254renegcld 8165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  -u A  e.  RR )
9391, 92eqeltrd 2217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  -e A  e.  RR )
94 xltadd1 9688 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR*  /\  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  e.  RR*  /\  -e
A  e.  RR )  ->  ( x  < 
( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )  <->  ( x +e  -e A )  <  ( ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) +e  -e A ) ) )
9550, 88, 93, 94syl3anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  -> 
( x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  <->  ( x +e  -e A )  <  ( ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) +e  -e A ) ) )
9687, 95mpbid 146 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  -> 
( x +e  -e A )  < 
( ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) +e  -e A ) )
973, 8syl3an1 1250 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9897adantr 274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
99 xaddcom 9673 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )  ->  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )
)  =  ( sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) +e A ) )
10042, 98, 99syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  -> 
( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )  =  ( sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) +e A ) )
101100oveq1d 5796 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  -> 
( ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) +e  -e A )  =  ( ( sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) +e
A ) +e  -e A ) )
10296, 101breqtrd 3961 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  -> 
( x +e  -e A )  < 
( ( sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) +e A ) +e  -e
A ) )
103 xpncan 9683 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) +e A ) +e  -e
A )  =  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )
10498, 54, 103syl2anc 409 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  -> 
( ( sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) +e A ) +e  -e
A )  =  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )
105102, 104breqtrd 3961 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  -> 
( x +e  -e A )  <  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) )
106 xrltmaxsup 11057 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR*  /\  C  e.  RR*  /\  ( x +e  -e
A )  e.  RR* )  ->  ( ( x +e  -e
A )  <  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  <-> 
( ( x +e  -e A )  <  B  \/  ( x +e  -e A )  < 
C ) ) )
10744, 70, 52, 106syl3anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  -> 
( ( x +e  -e A )  <  sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  )  <->  ( ( x +e  -e A )  < 
B  \/  ( x +e  -e
A )  <  C
) ) )
108105, 107mpbid 146 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  -> 
( ( x +e  -e A )  <  B  \/  ( x +e  -e A )  < 
C ) )
10967, 86, 108mpjaodan 788 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  /\  (
x  e.  RR*  /\  x  <  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) ) )  ->  E. y  e.  { ( A +e B ) ,  ( A +e C ) } x  <  y
)
1102, 10, 40, 109eqsuptid 6891 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR*  /\  C  e.  RR* )  ->  sup ( { ( A +e B ) ,  ( A +e
C ) } ,  RR* ,  <  )  =  ( A +e sup ( { B ,  C } ,  RR* ,  <  ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   E.wrex 2418   {cpr 3532   class class class wbr 3936  (class class class)co 5781   supcsup 6876   RRcr 7642   RR*cxr 7822    < clt 7823    <_ cle 7824   -ucneg 7957    -ecxne 9585   +ecxad 9586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-sup 6878  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802
This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11061
  Copyright terms: Public domain W3C validator