Theorem xrmaxaddlem 11513

Description: Lemma for xrmaxadd 11514. The case where A is real. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmaxaddlem	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { ( A +e B ) , ( A +e C ) } , RR* , < ) = ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )

Proof of Theorem xrmaxaddlem

Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 9918	. . 3 |- ( ( f e. RR* /\ g e. RR* ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( f e. RR* /\ g e. RR* ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		rexr 8117	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
4		simp1 999	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
5		simp2 1000	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B e. RR* )
6		simp3 1001	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C e. RR* )
7		xrmaxcl 11505	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
9	4, 8	xaddcld 10005	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
10	3, 9	syl3an1 1282	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
11		elpri 3655	. . . . 5 |- ( x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } -> ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) )
12		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x = ( A +e B ) )
13		xrmax1sup 11506	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
14	5, 6, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
15		xleadd2a 9995	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR* ) /\ B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
16	5, 8, 4, 14, 15	syl31anc 1252	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
18	12, 17	eqbrtrd 4065	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
19		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x = ( A +e C ) )
20		xrmax2sup 11507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
21	5, 6, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
22		xleadd2a 9995	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR* ) /\ C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
23	6, 8, 4, 21, 22	syl31anc 1252	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
25	19, 24	eqbrtrd 4065	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
26	18, 25	jaodan 798	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
27	11, 26	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
28	4, 5	xaddcld 10005	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
30	12, 29	eqeltrd 2281	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x e. RR* )
31	4, 6	xaddcld 10005	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> ( A +e C ) e. RR* )
33	19, 32	eqeltrd 2281	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x e. RR* )
34	30, 33	jaodan 798	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) ) -> x e. RR* )
35	11, 34	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> x e. RR* )
36	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
37		xrlenlt 8136	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* ) -> ( x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> ( x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x ) )
39	27, 38	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x )
40	3, 39	syl3anl1 1297	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x )
41	3	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
42	41	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> A e. RR* )
43	42	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> A e. RR* )
44		simpl2 1003	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> B e. RR* )
45	44	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> B e. RR* )
46	43, 45	xaddcld 10005	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( A +e B ) e. RR* )
47		prid1g 3736	. . . . 5 |- ( ( A +e B ) e. RR* -> ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
48	46, 47	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
49		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( x +e -e A ) < B )
50		simprl 529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> x e. RR* )
51	42	xnegcld 9976	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A e. RR* )
52	50, 51	xaddcld 10005	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
53	52	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
54		simpl1 1002	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> A e. RR )
55	54	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> A e. RR )
56		xltadd1 9997	. . . . . . 7 |- ( ( ( x +e -e A ) e. RR* /\ B e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) < B <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) ) )
57	53, 45, 55, 56	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) < B <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) ) )
58	49, 57	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) )
59		xnpcan 9993	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
60	50, 54, 59	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
61	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
62		xaddcom 9982	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B +e A ) = ( A +e B ) )
63	45, 43, 62	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( B +e A ) = ( A +e B ) )
64	58, 61, 63	3brtr3d 4074	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> x < ( A +e B ) )
65		breq2 4047	. . . . 5 |- ( y = ( A +e B ) -> ( x < y <-> x < ( A +e B ) ) )
66	65	rspcev 2876	. . . 4 |- ( ( ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } /\ x < ( A +e B ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
67	48, 64, 66	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
68	54	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> A e. RR )
69	68, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> A e. RR* )
70		simpl3 1004	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> C e. RR* )
71	70	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> C e. RR* )
72	69, 71	xaddcld 10005	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( A +e C ) e. RR* )
73		prid2g 3737	. . . . 5 |- ( ( A +e C ) e. RR* -> ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
74	72, 73	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
75		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( x +e -e A ) < C )
76	52	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
77		xltadd1 9997	. . . . . . 7 |- ( ( ( x +e -e A ) e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) < C <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) ) )
78	76, 71, 68, 77	syl3anc 1249	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) < C <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) ) )
79	75, 78	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) )
80	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
81		xaddcom 9982	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( C +e A ) = ( A +e C ) )
82	71, 69, 81	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( C +e A ) = ( A +e C ) )
83	79, 80, 82	3brtr3d 4074	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> x < ( A +e C ) )
84		breq2 4047	. . . . 5 |- ( y = ( A +e C ) -> ( x < y <-> x < ( A +e C ) ) )
85	84	rspcev 2876	. . . 4 |- ( ( ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } /\ x < ( A +e C ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
86	74, 83, 85	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
87		simprr 531	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
88	10	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
89		rexneg 9951	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> -e A = -u A )
90	89	3ad2ant1 1020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e A = -u A )
91	90	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A = -u A )
92	54	renegcld 8451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -u A e. RR )
93	91, 92	eqeltrd 2281	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A e. RR )
94		xltadd1 9997	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR* /\ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* /\ -e A e. RR ) -> ( x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) ) )
95	50, 88, 93, 94	syl3anc 1249	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) ) )
96	87, 95	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) )
97	3, 8	syl3an1 1282	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
98	97	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
99		xaddcom 9982	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) )
100	42, 98, 99	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) )
101	100	oveq1d 5958	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) = ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) )
102	96, 101	breqtrd 4069	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) )
103		xpncan 9992	. . . . . 6 |- ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) = sup ( { B , C } , RR* , < ) )
104	98, 54, 103	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) = sup ( { B , C } , RR* , < ) )
105	102, 104	breqtrd 4069	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) )
106		xrltmaxsup 11510	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ ( x +e -e A ) e. RR* ) -> ( ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) ) )
107	44, 70, 52, 106	syl3anc 1249	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) ) )
108	105, 107	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) )
109	67, 86, 108	mpjaodan 799	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
110	2, 10, 40, 109	eqsuptid 7098	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { ( A +e B ) , ( A +e C ) } , RR* , < ) = ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   /\ w3a 980   = wceq 1372   e. wcel 2175   E.wrex 2484   {cpr 3633   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943   supcsup 7083   RRcr 7923   RR*cxr 8105   < clt 8106   <_ cle 8107   -ucneg 8243   -ecxne 9890   +ecxad 9891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-frec 6476  df-sup 7085  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-rp 9775  df-xneg 9893  df-xadd 9894  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252

This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11514