Theorem xrmaxaddlem 11970

Description: Lemma for xrmaxadd 11971. The case where A is real. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmaxaddlem	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { ( A +e B ) , ( A +e C ) } , RR* , < ) = ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )

Proof of Theorem xrmaxaddlem

Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 10149	. . 3 |- ( ( f e. RR* /\ g e. RR* ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( f e. RR* /\ g e. RR* ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		rexr 8335	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
4		simp1 1024	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
5		simp2 1025	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B e. RR* )
6		simp3 1026	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C e. RR* )
7		xrmaxcl 11962	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
8	5, 6, 7	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
9	4, 8	xaddcld 10236	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
10	3, 9	syl3an1 1307	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
11		elpri 3717	. . . . 5 |- ( x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } -> ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) )
12		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x = ( A +e B ) )
13		xrmax1sup 11963	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
14	5, 6, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
15		xleadd2a 10226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR* ) /\ B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
16	5, 8, 4, 14, 15	syl31anc 1277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
18	12, 17	eqbrtrd 4136	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
19		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x = ( A +e C ) )
20		xrmax2sup 11964	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
21	5, 6, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
22		xleadd2a 10226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR* ) /\ C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
23	6, 8, 4, 21, 22	syl31anc 1277	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
25	19, 24	eqbrtrd 4136	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
26	18, 25	jaodan 805	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
27	11, 26	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
28	4, 5	xaddcld 10236	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
30	12, 29	eqeltrd 2311	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x e. RR* )
31	4, 6	xaddcld 10236	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> ( A +e C ) e. RR* )
33	19, 32	eqeltrd 2311	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x e. RR* )
34	30, 33	jaodan 805	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) ) -> x e. RR* )
35	11, 34	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> x e. RR* )
36	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
37		xrlenlt 8354	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* ) -> ( x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> ( x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x ) )
39	27, 38	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x )
40	3, 39	syl3anl1 1322	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x )
41	3	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
42	41	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> A e. RR* )
43	42	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> A e. RR* )
44		simpl2 1028	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> B e. RR* )
45	44	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> B e. RR* )
46	43, 45	xaddcld 10236	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( A +e B ) e. RR* )
47		prid1g 3800	. . . . 5 |- ( ( A +e B ) e. RR* -> ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
48	46, 47	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
49		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( x +e -e A ) < B )
50		simprl 531	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> x e. RR* )
51	42	xnegcld 10207	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A e. RR* )
52	50, 51	xaddcld 10236	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
53	52	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
54		simpl1 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> A e. RR )
55	54	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> A e. RR )
56		xltadd1 10228	. . . . . . 7 |- ( ( ( x +e -e A ) e. RR* /\ B e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) < B <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) ) )
57	53, 45, 55, 56	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) < B <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) ) )
58	49, 57	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) )
59		xnpcan 10224	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
60	50, 54, 59	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
61	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
62		xaddcom 10213	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B +e A ) = ( A +e B ) )
63	45, 43, 62	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( B +e A ) = ( A +e B ) )
64	58, 61, 63	3brtr3d 4145	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> x < ( A +e B ) )
65		breq2 4118	. . . . 5 |- ( y = ( A +e B ) -> ( x < y <-> x < ( A +e B ) ) )
66	65	rspcev 2923	. . . 4 |- ( ( ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } /\ x < ( A +e B ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
67	48, 64, 66	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
68	54	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> A e. RR )
69	68, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> A e. RR* )
70		simpl3 1029	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> C e. RR* )
71	70	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> C e. RR* )
72	69, 71	xaddcld 10236	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( A +e C ) e. RR* )
73		prid2g 3801	. . . . 5 |- ( ( A +e C ) e. RR* -> ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
74	72, 73	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
75		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( x +e -e A ) < C )
76	52	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
77		xltadd1 10228	. . . . . . 7 |- ( ( ( x +e -e A ) e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) < C <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) ) )
78	76, 71, 68, 77	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) < C <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) ) )
79	75, 78	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) )
80	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
81		xaddcom 10213	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( C +e A ) = ( A +e C ) )
82	71, 69, 81	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( C +e A ) = ( A +e C ) )
83	79, 80, 82	3brtr3d 4145	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> x < ( A +e C ) )
84		breq2 4118	. . . . 5 |- ( y = ( A +e C ) -> ( x < y <-> x < ( A +e C ) ) )
85	84	rspcev 2923	. . . 4 |- ( ( ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } /\ x < ( A +e C ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
86	74, 83, 85	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
87		simprr 533	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
88	10	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
89		rexneg 10182	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> -e A = -u A )
90	89	3ad2ant1 1045	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e A = -u A )
91	90	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A = -u A )
92	54	renegcld 8670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -u A e. RR )
93	91, 92	eqeltrd 2311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A e. RR )
94		xltadd1 10228	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR* /\ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* /\ -e A e. RR ) -> ( x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) ) )
95	50, 88, 93, 94	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) ) )
96	87, 95	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) )
97	3, 8	syl3an1 1307	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
98	97	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
99		xaddcom 10213	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) )
100	42, 98, 99	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) )
101	100	oveq1d 6073	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) = ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) )
102	96, 101	breqtrd 4140	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) )
103		xpncan 10223	. . . . . 6 |- ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) = sup ( { B , C } , RR* , < ) )
104	98, 54, 103	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) = sup ( { B , C } , RR* , < ) )
105	102, 104	breqtrd 4140	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) )
106		xrltmaxsup 11967	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ ( x +e -e A ) e. RR* ) -> ( ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) ) )
107	44, 70, 52, 106	syl3anc 1274	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) ) )
108	105, 107	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) )
109	67, 86, 108	mpjaodan 806	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
110	2, 10, 40, 109	eqsuptid 7301	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { ( A +e B ) , ( A +e C ) } , RR* , < ) = ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   {cpr 3695   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   supcsup 7286   RRcr 8142   RR*cxr 8323   < clt 8324   <_ cle 8325   -ucneg 8461   -ecxne 10121   +ecxad 10122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262  ax-caucvg 8263

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-sup 7288  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-rp 10005  df-xneg 10124  df-xadd 10125  df-seqfrec 10834  df-exp 10925  df-cj 11552  df-re 11553  df-im 11554  df-rsqrt 11708  df-abs 11709

This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11971