Theorem xrmaxaddlem 12004

Description: Lemma for xrmaxadd 12005. The case where A is real. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmaxaddlem	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { ( A +e B ) , ( A +e C ) } , RR* , < ) = ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )

Proof of Theorem xrmaxaddlem

Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 10178	. . 3 |- ( ( f e. RR* /\ g e. RR* ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 277	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( f e. RR* /\ g e. RR* ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		rexr 8361	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
4		simp1 1028	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
5		simp2 1029	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B e. RR* )
6		simp3 1030	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C e. RR* )
7		xrmaxcl 11996	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
8	5, 6, 7	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
9	4, 8	xaddcld 10265	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
10	3, 9	syl3an1 1311	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
11		elpri 3728	. . . . 5 |- ( x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } -> ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) )
12		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x = ( A +e B ) )
13		xrmax1sup 11997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
14	5, 6, 13	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
15		xleadd2a 10255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR* ) /\ B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
16	5, 8, 4, 14, 15	syl31anc 1281	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
17	16	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
18	12, 17	eqbrtrd 4147	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
19		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x = ( A +e C ) )
20		xrmax2sup 11998	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
21	5, 6, 20	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
22		xleadd2a 10255	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR* ) /\ C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
23	6, 8, 4, 21, 22	syl31anc 1281	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
24	23	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
25	19, 24	eqbrtrd 4147	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
26	18, 25	jaodan 809	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
27	11, 26	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
28	4, 5	xaddcld 10265	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
29	28	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
30	12, 29	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x e. RR* )
31	4, 6	xaddcld 10265	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
32	31	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> ( A +e C ) e. RR* )
33	19, 32	eqeltrd 2315	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x e. RR* )
34	30, 33	jaodan 809	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) ) -> x e. RR* )
35	11, 34	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> x e. RR* )
36	9	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
37		xrlenlt 8380	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* ) -> ( x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> ( x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x ) )
39	27, 38	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x )
40	3, 39	syl3anl1 1326	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x )
41	3	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
42	41	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> A e. RR* )
43	42	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> A e. RR* )
44		simpl2 1032	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> B e. RR* )
45	44	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> B e. RR* )
46	43, 45	xaddcld 10265	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( A +e B ) e. RR* )
47		prid1g 3811	. . . . 5 |- ( ( A +e B ) e. RR* -> ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
48	46, 47	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
49		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( x +e -e A ) < B )
50		simprl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> x e. RR* )
51	42	xnegcld 10236	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A e. RR* )
52	50, 51	xaddcld 10265	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
53	52	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
54		simpl1 1031	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> A e. RR )
55	54	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> A e. RR )
56		xltadd1 10257	. . . . . . 7 |- ( ( ( x +e -e A ) e. RR* /\ B e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) < B <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) ) )
57	53, 45, 55, 56	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) < B <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) ) )
58	49, 57	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) )
59		xnpcan 10253	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
60	50, 54, 59	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
61	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
62		xaddcom 10242	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B +e A ) = ( A +e B ) )
63	45, 43, 62	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( B +e A ) = ( A +e B ) )
64	58, 61, 63	3brtr3d 4156	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> x < ( A +e B ) )
65		breq2 4129	. . . . 5 |- ( y = ( A +e B ) -> ( x < y <-> x < ( A +e B ) ) )
66	65	rspcev 2929	. . . 4 |- ( ( ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } /\ x < ( A +e B ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
67	48, 64, 66	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
68	54	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> A e. RR )
69	68, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> A e. RR* )
70		simpl3 1033	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> C e. RR* )
71	70	adantr 276	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> C e. RR* )
72	69, 71	xaddcld 10265	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( A +e C ) e. RR* )
73		prid2g 3812	. . . . 5 |- ( ( A +e C ) e. RR* -> ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
74	72, 73	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
75		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( x +e -e A ) < C )
76	52	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
77		xltadd1 10257	. . . . . . 7 |- ( ( ( x +e -e A ) e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) < C <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) ) )
78	76, 71, 68, 77	syl3anc 1278	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) < C <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) ) )
79	75, 78	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) )
80	60	adantr 276	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
81		xaddcom 10242	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( C +e A ) = ( A +e C ) )
82	71, 69, 81	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( C +e A ) = ( A +e C ) )
83	79, 80, 82	3brtr3d 4156	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> x < ( A +e C ) )
84		breq2 4129	. . . . 5 |- ( y = ( A +e C ) -> ( x < y <-> x < ( A +e C ) ) )
85	84	rspcev 2929	. . . 4 |- ( ( ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } /\ x < ( A +e C ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
86	74, 83, 85	syl2anc 415	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
87		simprr 537	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
88	10	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
89		rexneg 10211	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> -e A = -u A )
90	89	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e A = -u A )
91	90	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A = -u A )
92	54	renegcld 8697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -u A e. RR )
93	91, 92	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A e. RR )
94		xltadd1 10257	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR* /\ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* /\ -e A e. RR ) -> ( x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) ) )
95	50, 88, 93, 94	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) ) )
96	87, 95	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) )
97	3, 8	syl3an1 1311	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
98	97	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
99		xaddcom 10242	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) )
100	42, 98, 99	syl2anc 415	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) )
101	100	oveq1d 6090	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) = ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) )
102	96, 101	breqtrd 4151	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) )
103		xpncan 10252	. . . . . 6 |- ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) = sup ( { B , C } , RR* , < ) )
104	98, 54, 103	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) = sup ( { B , C } , RR* , < ) )
105	102, 104	breqtrd 4151	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) )
106		xrltmaxsup 12001	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ ( x +e -e A ) e. RR* ) -> ( ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) ) )
107	44, 70, 52, 106	syl3anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) ) )
108	105, 107	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) )
109	67, 86, 108	mpjaodan 810	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
110	2, 10, 40, 109	eqsuptid 7327	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { ( A +e B ) , ( A +e C ) } , RR* , < ) = ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   E.wrex 2529   {cpr 3706   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   supcsup 7312   RRcr 8168   RR*cxr 8349   < clt 8350   <_ cle 8351   -ucneg 8488   -ecxne 10150   +ecxad 10151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-sup 7314  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-rp 10034  df-xneg 10153  df-xadd 10154  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743

This theorem is referenced by:  xrmaxadd  12005