Theorem xrmaxaddlem 11210

Description: Lemma for xrmaxadd 11211. The case where A is real. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2023.)

Assertion

Ref	Expression
xrmaxaddlem	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { ( A +e B ) , ( A +e C ) } , RR* , < ) = ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )

Proof of Theorem xrmaxaddlem

Dummy variables f g x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrlttri3 9741	. . 3 |- ( ( f e. RR* /\ g e. RR* ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
2	1	adantl 275	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( f e. RR* /\ g e. RR* ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
3		rexr 7952	. . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
4		simp1 992	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
5		simp2 993	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B e. RR* )
6		simp3 994	. . . . 5 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C e. RR* )
7		xrmaxcl 11202	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
8	5, 6, 7	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
9	4, 8	xaddcld 9828	. . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
10	3, 9	syl3an1 1266	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
11		elpri 3604	. . . . 5 |- ( x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } -> ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) )
12		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x = ( A +e B ) )
13		xrmax1sup 11203	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
14	5, 6, 13	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
15		xleadd2a 9818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( B e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR* ) /\ B <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
16	5, 8, 4, 14, 15	syl31anc 1236	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
17	16	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> ( A +e B ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
18	12, 17	eqbrtrd 4009	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
19		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x = ( A +e C ) )
20		xrmax2sup 11204	. . . . . . . . . 10 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
21	5, 6, 20	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) )
22		xleadd2a 9818	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( C e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR* ) /\ C <_ sup ( { B , C } , RR* , < ) ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
23	6, 8, 4, 21, 22	syl31anc 1236	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
24	23	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> ( A +e C ) <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
25	19, 24	eqbrtrd 4009	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
26	18, 25	jaodan 792	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
27	11, 26	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
28	4, 5	xaddcld 9828	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
29	28	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> ( A +e B ) e. RR* )
30	12, 29	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e B ) ) -> x e. RR* )
31	4, 6	xaddcld 9828	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> ( A +e C ) e. RR* )
32	31	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> ( A +e C ) e. RR* )
33	19, 32	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x = ( A +e C ) ) -> x e. RR* )
34	30, 33	jaodan 792	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x = ( A +e B ) \/ x = ( A +e C ) ) ) -> x e. RR* )
35	11, 34	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> x e. RR* )
36	9	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
37		xrlenlt 7971	. . . . 5 |- ( ( x e. RR* /\ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* ) -> ( x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> ( x <_ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x ) )
39	27, 38	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x )
40	3, 39	syl3anl1 1281	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ x e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } ) -> -. ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) < x )
41	3	3ad2ant1 1013	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> A e. RR* )
42	41	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> A e. RR* )
43	42	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> A e. RR* )
44		simpl2 996	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> B e. RR* )
45	44	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> B e. RR* )
46	43, 45	xaddcld 9828	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( A +e B ) e. RR* )
47		prid1g 3685	. . . . 5 |- ( ( A +e B ) e. RR* -> ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
48	46, 47	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
49		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( x +e -e A ) < B )
50		simprl 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> x e. RR* )
51	42	xnegcld 9799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A e. RR* )
52	50, 51	xaddcld 9828	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
53	52	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
54		simpl1 995	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> A e. RR )
55	54	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> A e. RR )
56		xltadd1 9820	. . . . . . 7 |- ( ( ( x +e -e A ) e. RR* /\ B e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) < B <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) ) )
57	53, 45, 55, 56	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) < B <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) ) )
58	49, 57	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( B +e A ) )
59		xnpcan 9816	. . . . . . 7 |- ( ( x e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
60	50, 54, 59	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
61	60	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
62		xaddcom 9805	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( B +e A ) = ( A +e B ) )
63	45, 43, 62	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> ( B +e A ) = ( A +e B ) )
64	58, 61, 63	3brtr3d 4018	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> x < ( A +e B ) )
65		breq2 3991	. . . . 5 |- ( y = ( A +e B ) -> ( x < y <-> x < ( A +e B ) ) )
66	65	rspcev 2834	. . . 4 |- ( ( ( A +e B ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } /\ x < ( A +e B ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
67	48, 64, 66	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < B ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
68	54	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> A e. RR )
69	68, 3	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> A e. RR* )
70		simpl3 997	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> C e. RR* )
71	70	adantr 274	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> C e. RR* )
72	69, 71	xaddcld 9828	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( A +e C ) e. RR* )
73		prid2g 3686	. . . . 5 |- ( ( A +e C ) e. RR* -> ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
74	72, 73	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } )
75		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( x +e -e A ) < C )
76	52	adantr 274	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( x +e -e A ) e. RR* )
77		xltadd1 9820	. . . . . . 7 |- ( ( ( x +e -e A ) e. RR* /\ C e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( x +e -e A ) < C <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) ) )
78	76, 71, 68, 77	syl3anc 1233	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) < C <-> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) ) )
79	75, 78	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) < ( C +e A ) )
80	60	adantr 274	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( ( x +e -e A ) +e A ) = x )
81		xaddcom 9805	. . . . . 6 |- ( ( C e. RR* /\ A e. RR* ) -> ( C +e A ) = ( A +e C ) )
82	71, 69, 81	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> ( C +e A ) = ( A +e C ) )
83	79, 80, 82	3brtr3d 4018	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> x < ( A +e C ) )
84		breq2 3991	. . . . 5 |- ( y = ( A +e C ) -> ( x < y <-> x < ( A +e C ) ) )
85	84	rspcev 2834	. . . 4 |- ( ( ( A +e C ) e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } /\ x < ( A +e C ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
86	74, 83, 85	syl2anc 409	. . 3 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) /\ ( x +e -e A ) < C ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
87		simprr 527	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )
88	10	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* )
89		rexneg 9774	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> -e A = -u A )
90	89	3ad2ant1 1013	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> -e A = -u A )
91	90	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A = -u A )
92	54	renegcld 8286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -u A e. RR )
93	91, 92	eqeltrd 2247	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> -e A e. RR )
94		xltadd1 9820	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. RR* /\ ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) e. RR* /\ -e A e. RR ) -> ( x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) ) )
95	50, 88, 93, 94	syl3anc 1233	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) <-> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) ) )
96	87, 95	mpbid 146	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) )
97	3, 8	syl3an1 1266	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
98	97	adantr 274	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* )
99		xaddcom 9805	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR* /\ sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) )
100	42, 98, 99	syl2anc 409	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) = ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) )
101	100	oveq1d 5865	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) +e -e A ) = ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) )
102	96, 101	breqtrd 4013	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) )
103		xpncan 9815	. . . . . 6 |- ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) e. RR* /\ A e. RR ) -> ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) = sup ( { B , C } , RR* , < ) )
104	98, 54, 103	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( sup ( { B , C } , RR* , < ) +e A ) +e -e A ) = sup ( { B , C } , RR* , < ) )
105	102, 104	breqtrd 4013	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) )
106		xrltmaxsup 11207	. . . . 5 |- ( ( B e. RR* /\ C e. RR* /\ ( x +e -e A ) e. RR* ) -> ( ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) ) )
107	44, 70, 52, 106	syl3anc 1233	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) < sup ( { B , C } , RR* , < ) <-> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) ) )
108	105, 107	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> ( ( x +e -e A ) < B \/ ( x +e -e A ) < C ) )
109	67, 86, 108	mpjaodan 793	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) /\ ( x e. RR* /\ x < ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) ) ) -> E. y e. { ( A +e B ) , ( A +e C ) } x < y )
110	2, 10, 40, 109	eqsuptid 6970	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR* /\ C e. RR* ) -> sup ( { ( A +e B ) , ( A +e C ) } , RR* , < ) = ( A +e sup ( { B , C } , RR* , < ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   E.wrex 2449   {cpr 3582   class class class wbr 3987  (class class class)co 5850   supcsup 6955   RRcr 7760   RR*cxr 7940   < clt 7941   <_ cle 7942   -ucneg 8078   -ecxne 9713   +ecxad 9714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-mulrcl 7860  ax-addcom 7861  ax-mulcom 7862  ax-addass 7863  ax-mulass 7864  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-1rid 7868  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-precex 7871  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-apti 7876  ax-pre-ltadd 7877  ax-pre-mulgt0 7878  ax-pre-mulext 7879  ax-arch 7880  ax-caucvg 7881

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-frec 6367  df-sup 6957  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-reap 8481  df-ap 8488  df-div 8577  df-inn 8866  df-2 8924  df-3 8925  df-4 8926  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-rp 9598  df-xneg 9716  df-xadd 9717  df-seqfrec 10389  df-exp 10463  df-cj 10793  df-re 10794  df-im 10795  df-rsqrt 10949  df-abs 10950

This theorem is referenced by:  xrmaxadd  11211