Theorem eqsupti 6973

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
supmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eqsupti	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   y, B, z   u, R, v, y, z   ph, u, v   y, u, v, C   u, B, v, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   C( z)

Proof of Theorem eqsupti

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmoti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	adantlr 474	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3		breq1 3992	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( x R y <-> C R y ) )
4	3	notbid 662	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( -. x R y <-> -. C R y ) )
5	4	ralbidv 2470	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. y e. B -. C R y ) )
6		breq2 3993	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( y R x <-> y R C ) )
7	6	imbi1d 230	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
8	7	ralbidv 2470	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
9	5, 8	anbi12d 470	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) )
10	9	rspcev 2834	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
11	10	3impb 1194	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
12	11	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
13	2, 12	supval2ti 6972	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
14		3simpc 991	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
15	14	adantl 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
16		simpr1 998	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> C e. A )
17	2, 12	supeuti 6971	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
18	9	riota2 5831	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = C ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = C ) )
20	15, 19	mpbid 146	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = C )
21	13, 20	eqtrd 2203	. 2 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> sup ( B , A , R ) = C )
22	21	ex 114	1 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   E!wreu 2450   class class class wbr 3989   iota_crio 5808   supcsup 6959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-iota 5160  df-riota 5809  df-sup 6961

This theorem is referenced by:  eqsuptid  6974  eqinfti  6997  maxabs  11173  xrmaxif  11214  suprzcl2dc  11910  bezoutlemsup  11964  suplociccex  13397