Theorem eqsupti 7163

Description: Sufficient condition for an element to be equal to the supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
supmoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
eqsupti	|- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )

Distinct variable groups:   u, A, v, y, z   y, B, z   u, R, v, y, z   ph, u, v   y, u, v, C   u, B, v, z

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   C( z)

Proof of Theorem eqsupti

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supmoti.ti	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	adantlr 477	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3		breq1 4086	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( x R y <-> C R y ) )
4	3	notbid 671	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( -. x R y <-> -. C R y ) )
5	4	ralbidv 2530	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( A. y e. B -. x R y <-> A. y e. B -. C R y ) )
6		breq2 4087	. . . . . . . . . 10 |- ( x = C -> ( y R x <-> y R C ) )
7	6	imbi1d 231	. . . . . . . . 9 |- ( x = C -> ( ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
8	7	ralbidv 2530	. . . . . . . 8 |- ( x = C -> ( A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) <-> A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
9	5, 8	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( x = C -> ( ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) )
10	9	rspcev 2907	. . . . . 6 |- ( ( C e. A /\ ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
11	10	3impb 1223	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
12	11	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> E. x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
13	2, 12	supval2ti 7162	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> sup ( B , A , R ) = ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) )
14		3simpc 1020	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) )
16		simpr1 1027	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> C e. A )
17	2, 12	supeuti 7161	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) )
18	9	riota2 5978	. . . . 5 |- ( ( C e. A /\ E! x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = C ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( ( A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) <-> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = C ) )
20	15, 19	mpbid 147	. . 3 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> ( iota_ x e. A ( A. y e. B -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. B y R z ) ) ) = C )
21	13, 20	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( ph /\ ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) ) -> sup ( B , A , R ) = C )
22	21	ex 115	1 |- ( ph -> ( ( C e. A /\ A. y e. B -. C R y /\ A. y e. A ( y R C -> E. z e. B y R z ) ) -> sup ( B , A , R ) = C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   E!wreu 2510   class class class wbr 4083   iota_crio 5953   supcsup 7149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-iota 5278  df-riota 5954  df-sup 7151

This theorem is referenced by:  eqsuptid  7164  eqinfti  7187  suprzcl2dc  10459  maxabs  11720  xrmaxif  11762  bezoutlemsup  12530  suplociccex  15299