Theorem supisoti 7040

Description: Image of a supremum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )
supisoex.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
supisoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supisoti	|- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` sup ( C , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, z, A   u, C, v, x, y, z   ph, u   u, F, v, x, y, z   u, R, x, y, z   u, S, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   v, R   ph, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem supisoti

Dummy variables w j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supisoti.ti	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	ralrimivva 2572	. . . . . 6 |- ( ph -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3		supiso.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
4		isoti 7037	. . . . . . 7 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
6	2, 5	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
7	6	r19.21bi 2578	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
8	7	r19.21bi 2578	. . 3 |- ( ( ( ph /\ u e. B ) /\ v e. B ) -> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
9	8	anasss 399	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
10		isof1o 5829	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
11		f1of 5480	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
12	3, 10, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
13		supisoex.3	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
14	1, 13	supclti 7028	. . 3 |- ( ph -> sup ( C , A , R ) e. A )
15	12, 14	ffvelcdmd 5673	. 2 |- ( ph -> ( F ` sup ( C , A , R ) ) e. B )
16	1, 13	supubti 7029	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. C -> -. sup ( C , A , R ) R j ) )
17	16	ralrimiv 2562	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j )
18	1, 13	suplubti 7030	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ j R sup ( C , A , R ) ) -> E. z e. C j R z ) )
19	18	expd 258	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. A -> ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) )
20	19	ralrimiv 2562	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) )
21		supiso.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> C C_ A )
22	3, 21	supisolem 7038	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( C , A , R ) e. A ) -> ( ( A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j /\ A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) ) )
23	14, 22	mpdan 421	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j /\ A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) ) )
24	17, 20, 23	mpbi2and 945	. . . 4 |- ( ph -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) )
25	24	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w )
26	25	r19.21bi 2578	. 2 |- ( ( ph /\ w e. ( F " C ) ) -> -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w )
27	24	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) )
28	27	r19.21bi 2578	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. B ) -> ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) )
29	28	impr 379	. 2 |- ( ( ph /\ ( w e. B /\ w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k )
30	9, 15, 26, 29	eqsuptid 7027	1 |- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` sup ( C , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   C_ wss 3144   class class class wbr 4018   "cima 4647   -->wf 5231   -1-1-onto->wf1o 5234   ` cfv 5235   Isom wiso 5236   supcsup 7012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-sup 7014

This theorem is referenced by:  infisoti  7062  infrenegsupex  9626  infxrnegsupex  11306