Theorem supisoti 7200

Description: Image of a supremum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )
supisoex.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
supisoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supisoti	|- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` sup ( C , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, z, A   u, C, v, x, y, z   ph, u   u, F, v, x, y, z   u, R, x, y, z   u, S, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   v, R   ph, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem supisoti

Dummy variables w j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supisoti.ti	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	ralrimivva 2612	. . . . . 6 |- ( ph -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3		supiso.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
4		isoti 7197	. . . . . . 7 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
6	2, 5	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
7	6	r19.21bi 2618	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
8	7	r19.21bi 2618	. . 3 |- ( ( ( ph /\ u e. B ) /\ v e. B ) -> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
9	8	anasss 399	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
10		isof1o 5943	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
11		f1of 5580	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
12	3, 10, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
13		supisoex.3	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
14	1, 13	supclti 7188	. . 3 |- ( ph -> sup ( C , A , R ) e. A )
15	12, 14	ffvelcdmd 5779	. 2 |- ( ph -> ( F ` sup ( C , A , R ) ) e. B )
16	1, 13	supubti 7189	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. C -> -. sup ( C , A , R ) R j ) )
17	16	ralrimiv 2602	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j )
18	1, 13	suplubti 7190	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ j R sup ( C , A , R ) ) -> E. z e. C j R z ) )
19	18	expd 258	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. A -> ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) )
20	19	ralrimiv 2602	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) )
21		supiso.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> C C_ A )
22	3, 21	supisolem 7198	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( C , A , R ) e. A ) -> ( ( A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j /\ A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) ) )
23	14, 22	mpdan 421	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j /\ A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) ) )
24	17, 20, 23	mpbi2and 949	. . . 4 |- ( ph -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) )
25	24	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w )
26	25	r19.21bi 2618	. 2 |- ( ( ph /\ w e. ( F " C ) ) -> -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w )
27	24	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) )
28	27	r19.21bi 2618	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. B ) -> ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) )
29	28	impr 379	. 2 |- ( ( ph /\ ( w e. B /\ w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k )
30	9, 15, 26, 29	eqsuptid 7187	1 |- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` sup ( C , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E.wrex 2509   C_ wss 3198   class class class wbr 4086   "cima 4726   -->wf 5320   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324   Isom wiso 5325   supcsup 7172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-sup 7174

This theorem is referenced by:  infisoti  7222  infrenegsupex  9818  infxrnegsupex  11814