Theorem supisoti 6890

Description: Image of a supremum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )
supisoex.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
supisoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supisoti	|- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` sup ( C , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, z, A   u, C, v, x, y, z   ph, u   u, F, v, x, y, z   u, R, x, y, z   u, S, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   v, R   ph, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem supisoti

Dummy variables w j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supisoti.ti	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	ralrimivva 2512	. . . . . 6 |- ( ph -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3		supiso.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
4		isoti 6887	. . . . . . 7 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
6	2, 5	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
7	6	r19.21bi 2518	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
8	7	r19.21bi 2518	. . 3 |- ( ( ( ph /\ u e. B ) /\ v e. B ) -> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
9	8	anasss 396	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
10		isof1o 5701	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
11		f1of 5360	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
12	3, 10, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
13		supisoex.3	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
14	1, 13	supclti 6878	. . 3 |- ( ph -> sup ( C , A , R ) e. A )
15	12, 14	ffvelrnd 5549	. 2 |- ( ph -> ( F ` sup ( C , A , R ) ) e. B )
16	1, 13	supubti 6879	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. C -> -. sup ( C , A , R ) R j ) )
17	16	ralrimiv 2502	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j )
18	1, 13	suplubti 6880	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ j R sup ( C , A , R ) ) -> E. z e. C j R z ) )
19	18	expd 256	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. A -> ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) )
20	19	ralrimiv 2502	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) )
21		supiso.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> C C_ A )
22	3, 21	supisolem 6888	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( C , A , R ) e. A ) -> ( ( A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j /\ A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) ) )
23	14, 22	mpdan 417	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j /\ A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) ) )
24	17, 20, 23	mpbi2and 927	. . . 4 |- ( ph -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) )
25	24	simpld 111	. . 3 |- ( ph -> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w )
26	25	r19.21bi 2518	. 2 |- ( ( ph /\ w e. ( F " C ) ) -> -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w )
27	24	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) )
28	27	r19.21bi 2518	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. B ) -> ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) )
29	28	impr 376	. 2 |- ( ( ph /\ ( w e. B /\ w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k )
30	9, 15, 26, 29	eqsuptid 6877	1 |- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` sup ( C , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   C_ wss 3066   class class class wbr 3924   "cima 4537   -->wf 5114   -1-1-onto->wf1o 5117   ` cfv 5118   Isom wiso 5119   supcsup 6862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-isom 5127  df-riota 5723  df-sup 6864

This theorem is referenced by:  infisoti  6912  infrenegsupex  9382  infxrnegsupex  11025