Theorem supisoti 6991

Description: Image of a supremum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )
supisoex.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
supisoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supisoti	|- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` sup ( C , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, z, A   u, C, v, x, y, z   ph, u   u, F, v, x, y, z   u, R, x, y, z   u, S, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   v, R   ph, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem supisoti

Dummy variables w j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supisoti.ti	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	ralrimivva 2553	. . . . . 6 |- ( ph -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3		supiso.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
4		isoti 6988	. . . . . . 7 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
6	2, 5	mpbid 146	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
7	6	r19.21bi 2559	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
8	7	r19.21bi 2559	. . 3 |- ( ( ( ph /\ u e. B ) /\ v e. B ) -> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
9	8	anasss 397	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
10		isof1o 5790	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
11		f1of 5445	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
12	3, 10, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
13		supisoex.3	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
14	1, 13	supclti 6979	. . 3 |- ( ph -> sup ( C , A , R ) e. A )
15	12, 14	ffvelrnd 5636	. 2 |- ( ph -> ( F ` sup ( C , A , R ) ) e. B )
16	1, 13	supubti 6980	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. C -> -. sup ( C , A , R ) R j ) )
17	16	ralrimiv 2543	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j )
18	1, 13	suplubti 6981	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ j R sup ( C , A , R ) ) -> E. z e. C j R z ) )
19	18	expd 256	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. A -> ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) )
20	19	ralrimiv 2543	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) )
21		supiso.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> C C_ A )
22	3, 21	supisolem 6989	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( C , A , R ) e. A ) -> ( ( A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j /\ A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) ) )
23	14, 22	mpdan 419	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j /\ A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) ) )
24	17, 20, 23	mpbi2and 939	. . . 4 |- ( ph -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) )
25	24	simpld 111	. . 3 |- ( ph -> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w )
26	25	r19.21bi 2559	. 2 |- ( ( ph /\ w e. ( F " C ) ) -> -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w )
27	24	simprd 113	. . . 4 |- ( ph -> A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) )
28	27	r19.21bi 2559	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. B ) -> ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) )
29	28	impr 377	. 2 |- ( ( ph /\ ( w e. B /\ w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k )
30	9, 15, 26, 29	eqsuptid 6978	1 |- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` sup ( C , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1349   e. wcel 2142   A.wral 2449   E.wrex 2450   C_ wss 3122   class class class wbr 3990   "cima 4615   -->wf 5196   -1-1-onto->wf1o 5199   ` cfv 5200   Isom wiso 5201   supcsup 6963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 610  ax-in2 611  ax-io 705  ax-5 1441  ax-7 1442  ax-gen 1443  ax-ie1 1487  ax-ie2 1488  ax-8 1498  ax-10 1499  ax-11 1500  ax-i12 1501  ax-bndl 1503  ax-4 1504  ax-17 1520  ax-i9 1524  ax-ial 1528  ax-i5r 1529  ax-14 2145  ax-ext 2153  ax-sep 4108  ax-pow 4161  ax-pr 4195

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 976  df-tru 1352  df-fal 1355  df-nf 1455  df-sb 1757  df-eu 2023  df-mo 2024  df-clab 2158  df-cleq 2164  df-clel 2167  df-nfc 2302  df-ral 2454  df-rex 2455  df-reu 2456  df-rmo 2457  df-rab 2458  df-v 2733  df-sbc 2957  df-un 3126  df-in 3128  df-ss 3135  df-pw 3569  df-sn 3590  df-pr 3591  df-op 3593  df-uni 3798  df-br 3991  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4279  df-xp 4618  df-rel 4619  df-cnv 4620  df-co 4621  df-dm 4622  df-rn 4623  df-res 4624  df-ima 4625  df-iota 5162  df-fun 5202  df-fn 5203  df-f 5204  df-f1 5205  df-fo 5206  df-f1o 5207  df-fv 5208  df-isom 5209  df-riota 5813  df-sup 6965

This theorem is referenced by:  infisoti  7013  infrenegsupex  9557  infxrnegsupex  11230