Theorem supisoti 7085

Description: Image of a supremum under an isomorphism. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Nov-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supiso.1	|- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
supiso.2	|- ( ph -> C C_ A )
supisoex.3	|- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
supisoti.ti	|- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )

Assertion

Ref	Expression
supisoti	|- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` sup ( C , A , R ) ) )

Distinct variable groups:   v, u, x, y, z, A   u, C, v, x, y, z   ph, u   u, F, v, x, y, z   u, R, x, y, z   u, S, v, x, y, z   u, B, v, x, y, z   v, R   ph, v, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)

Proof of Theorem supisoti

Dummy variables w j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		supisoti.ti	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. A /\ v e. A ) ) -> ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
2	1	ralrimivva 2579	. . . . . 6 |- ( ph -> A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) )
3		supiso.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> F Isom R , S ( A , B ) )
4		isoti 7082	. . . . . . 7 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. u e. A A. v e. A ( u = v <-> ( -. u R v /\ -. v R u ) ) <-> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) ) )
6	2, 5	mpbid 147	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. B A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
7	6	r19.21bi 2585	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> A. v e. B ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
8	7	r19.21bi 2585	. . 3 |- ( ( ( ph /\ u e. B ) /\ v e. B ) -> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
9	8	anasss 399	. 2 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B ) ) -> ( u = v <-> ( -. u S v /\ -. v S u ) ) )
10		isof1o 5857	. . . 4 |- ( F Isom R , S ( A , B ) -> F : A -1-1-onto-> B )
11		f1of 5507	. . . 4 |- ( F : A -1-1-onto-> B -> F : A --> B )
12	3, 10, 11	3syl 17	. . 3 |- ( ph -> F : A --> B )
13		supisoex.3	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. A ( A. y e. C -. x R y /\ A. y e. A ( y R x -> E. z e. C y R z ) ) )
14	1, 13	supclti 7073	. . 3 |- ( ph -> sup ( C , A , R ) e. A )
15	12, 14	ffvelcdmd 5701	. 2 |- ( ph -> ( F ` sup ( C , A , R ) ) e. B )
16	1, 13	supubti 7074	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. C -> -. sup ( C , A , R ) R j ) )
17	16	ralrimiv 2569	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j )
18	1, 13	suplubti 7075	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( j e. A /\ j R sup ( C , A , R ) ) -> E. z e. C j R z ) )
19	18	expd 258	. . . . . 6 |- ( ph -> ( j e. A -> ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) )
20	19	ralrimiv 2569	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) )
21		supiso.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> C C_ A )
22	3, 21	supisolem 7083	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ sup ( C , A , R ) e. A ) -> ( ( A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j /\ A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) ) )
23	14, 22	mpdan 421	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A. j e. C -. sup ( C , A , R ) R j /\ A. j e. A ( j R sup ( C , A , R ) -> E. z e. C j R z ) ) <-> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) ) )
24	17, 20, 23	mpbi2and 945	. . . 4 |- ( ph -> ( A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w /\ A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) ) )
25	24	simpld 112	. . 3 |- ( ph -> A. w e. ( F " C ) -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w )
26	25	r19.21bi 2585	. 2 |- ( ( ph /\ w e. ( F " C ) ) -> -. ( F ` sup ( C , A , R ) ) S w )
27	24	simprd 114	. . . 4 |- ( ph -> A. w e. B ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) )
28	27	r19.21bi 2585	. . 3 |- ( ( ph /\ w e. B ) -> ( w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k ) )
29	28	impr 379	. 2 |- ( ( ph /\ ( w e. B /\ w S ( F ` sup ( C , A , R ) ) ) ) -> E. k e. ( F " C ) w S k )
30	9, 15, 26, 29	eqsuptid 7072	1 |- ( ph -> sup ( ( F " C ) , B , S ) = ( F ` sup ( C , A , R ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   "cima 4667   -->wf 5255   -1-1-onto->wf1o 5258   ` cfv 5259   Isom wiso 5260   supcsup 7057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-sup 7059

This theorem is referenced by:  infisoti  7107  infrenegsupex  9685  infxrnegsupex  11445