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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dfgcd2 | Unicode version | ||
Description: Alternate definition of
the  operator,
see definition in
[ApostolNT] p. 15. (Contributed by
AV, 8-Aug-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| dfgcd2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
       
  |
, , ,
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcdcl 12133 |
. . . . . 6
 | |
| 2 | 1 | nn0ge0d 9305 |
. . . . 5
|
| 3 | gcddvds 12130 |
. . . . 5
| |
| 4 | 3anass 984 |
. . . . . . . 8
| |
| 5 | ancom 266 |
. . . . . . . 8
| |
| 6 | 4, 5 | bitri 184 |
. . . . . . 7
|
| 7 | dvdsgcd 12179 |
. . . . . . 7
| |
| 8 | 6, 7 | sylbir 135 |
. . . . . 6
|
| 9 | 8 | ralrimiva 2570 |
. . . . 5
|
| 10 | 2, 3, 9 | 3jca 1179 |
. . . 4
|
| 11 | 10 | adantr 276 |
. . 3
|
| 12 | breq2 4037 |
. . . . 5
| |
| 13 | breq1 4036 |
. . . . . 6
| |
| 14 | breq1 4036 |
. . . . . 6
| |
| 15 | 13, 14 | anbi12d 473 |
. . . . 5
|
| 16 | breq2 4037 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 16 | imbi2d 230 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | ralbidv 2497 |
. . . . 5
|
| 19 | 12, 15, 18 | 3anbi123d 1323 |
. . . 4
|
| 20 | 19 | adantl 277 |
. . 3
|
| 21 | 11, 20 | mpbird 167 |
. 2
|
| 22 | gcdval 12126 |
. . . 4
      
 | |
| 23 | 22 | adantr 276 |
. . 3
|
| 24 | iftrue 3566 |
. . . . . . 7
| |
| 25 | 24 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 26 | breq2 4037 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 27 | breq2 4037 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 28 | 26, 27 | bi2anan9 606 |
. . . . . . . . . 10
|
| 29 | breq2 4037 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 30 | breq2 4037 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 31 | 29, 30 | bi2anan9 606 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 32 | 31 | imbi1d 231 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 33 | 32 | ralbidv 2497 |
. . . . . . . . . 10
|
| 34 | 28, 33 | 3anbi23d 1326 |
. . . . . . . . 9
|
| 35 | dvdszrcl 11957 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 36 | dvds0 11971 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 37 | 36, 36 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 38 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 39 | pm5.5 242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 40 | 38, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 41 | 40 | ralbidva 2493 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 42 | 0z 9337 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 43 | breq1 4036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 44 | 43 | rspcv 2864 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | 42, 44 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 46 | 0dvds 11976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 47 | 46 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 48 | eqcom 2198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 49 | 47, 48 | imbitrrdi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 50 | 45, 49 | syl5 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 51 | 50 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 52 | 41, 51 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 53 | 52 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 54 | 53 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 55 | 35, 54 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 56 | 55 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 57 | 56 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | 57 | 3imp 1195 |
. . . . . . . . 9
|
| 59 | 34, 58 | biimtrdi 163 |
. . . . . . . 8
|
| 60 | 59 | adantld 278 |
. . . . . . 7
|
| 61 | 60 | imp 124 |
. . . . . 6
|
| 62 | 25, 61 | eqtrd 2229 |
. . . . 5
|
| 63 | 62 | ancoms 268 |
. . . 4
|
| 64 | iffalse 3569 |
. . . . . . 7
| |
| 65 | 64 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 66 | lttri3 8106 |
. . . . . . . 8
| |
| 67 | 66 | adantl 277 |
. . . . . . 7
|
| 68 | dvdszrcl 11957 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 69 | 68 | simpld 112 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 70 | 69 | zred 9448 |
. . . . . . . . . 10
|
| 71 | 70 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
|
| 72 | 71 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . 8
|
| 73 | 72 | ad2antll 491 |
. . . . . . 7
|
| 74 | breq1 4036 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 75 | breq1 4036 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 76 | 74, 75 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . 10
|
| 77 | 76 | elrab 2920 |
. . . . . . . . 9
|
| 78 | breq1 4036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 79 | breq1 4036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 80 | 78, 79 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 81 | breq1 4036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 82 | 80, 81 | imbi12d 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 83 | 82 | rspcv 2864 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 84 | 83 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 85 | 84 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 86 | 85 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 87 | elnn0z 9339 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 88 | 87 | simplbi2 385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 89 | 88 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 90 | 68, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 91 | 90 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 92 | 91 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 93 | zre 9330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 94 | 93 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 95 | 94 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 96 | 71 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 97 | simp-5l 543 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 98 | elnn0 9251 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
  | |
| 99 | 2a1 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 100 | breq1 4036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 101 | breq1 4036 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 102 | 100, 101 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 103 | 102 | anbi2d 464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 104 | 103 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 105 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
| |
| 106 | zdceq 9401 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
DECID | |
| 107 | 42, 106 | mpan2 425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
|
| 108 | ianordc 900 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
| |
| 109 | 107, 108 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 110 | 109 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 111 | 105, 110 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 112 | dvdszrcl 11957 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 113 | 0dvds 11976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 114 | pm2.24 622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 115 | 113, 114 | biimtrdi 163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 116 | 115 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 117 | 112, 116 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 118 | 117 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 119 | 118 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 120 | dvdszrcl 11957 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 121 | 0dvds 11976 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 122 | pm2.24 622 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 123 | 121, 122 | biimtrdi 163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 124 | 123 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 125 | 120, 124 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 126 | 125 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 127 | 126 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 128 | 119, 127 | jaoi 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 129 | 111, 128 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 130 | 129 | adantld 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 131 | 130 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 132 | 104, 131 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 133 | 132 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 134 | 99, 133 | jaoi 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 135 | 98, 134 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 136 | 135 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 138 | dvdsle 12009 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 139 | 97, 137, 138 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 140 | 139 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 141 | 140 | com14 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 142 | 141 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 143 | 142 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 144 | 143 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 145 | 95, 96, 144 | lensymd 8148 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 146 | 145 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 147 | 92, 146 | mpan2d 428 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 148 | 147 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 149 | 86, 148 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 150 | 149 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 151 | 150 | 3impia 1202 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 152 | 151 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 153 | 152 | expimpd 363 |
. . . . . . . . . 10
|
| 154 | 153 | expimpd 363 |
. . . . . . . . 9
|
| 155 | 77, 154 | sylbi 121 |
. . . . . . . 8
|
| 156 | 155 | impcom 125 |
. . . . . . 7
|
| 157 | 69 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 158 | 157 | ancri 324 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 159 | 158 | 3ad2ant2 1021 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 160 | 159 | ad2antll 491 |
. . . . . . . . . 10
|
| 161 | 160 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
|
| 162 | breq1 4036 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 163 | breq1 4036 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 164 | 162, 163 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . 10
|
| 165 | 164 | elrab 2920 |
. . . . . . . . 9
|
| 166 | 161, 165 | sylibr 134 |
. . . . . . . 8
|
| 167 | breq2 4037 |
. . . . . . . . 9
| |
| 168 | 167 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
|
| 169 | simprr 531 |
. . . . . . . 8
| |
| 170 | 166, 168, 169 | rspcedvd 2874 |
. . . . . . 7
|
| 171 | 67, 73, 156, 170 | eqsuptid 7063 |
. . . . . 6
|
| 172 | 65, 171 | eqtrd 2229 |
. . . . 5
|
| 173 | 172 | ancoms 268 |
. . . 4
|
| 174 | gcdmndc 12122 |
. . . . . 6
DECID | |
| 175 | 174 | adantr 276 |
. . . . 5
DECID |
| 176 | exmiddc 837 |
. . . . 5
DECID
| |
| 177 | 175, 176 | syl 14 |
. . . 4
|
| 178 | 63, 173, 177 | mpjaodan 799 |
. . 3
|
| 179 | 23, 178 | eqtr2d 2230 |
. 2
|
| 180 | 21, 179 | impbida 596 |
1
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| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 709 DECID wdc 835
w3a 980
wceq 1364
wcel 2167
wral 2475
crab 2479
cif 3561
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cle 8062
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cn0 9249
cz 9326
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| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4148 ax-sep 4151 ax-nul 4159 ax-pow 4207 ax-pr 4242 ax-un 4468 ax-setind 4573 ax-iinf 4624 ax-cnex 7970 ax-resscn 7971 ax-1cn 7972 ax-1re 7973 ax-icn 7974 ax-addcl 7975 ax-addrcl 7976 ax-mulcl 7977 ax-mulrcl 7978 ax-addcom 7979 ax-mulcom 7980 ax-addass 7981 ax-mulass 7982 ax-distr 7983 ax-i2m1 7984 ax-0lt1 7985 ax-1rid 7986 ax-0id 7987 ax-rnegex 7988 ax-precex 7989 ax-cnre 7990 ax-pre-ltirr 7991 ax-pre-ltwlin 7992 ax-pre-lttrn 7993 ax-pre-apti 7994 ax-pre-ltadd 7995 ax-pre-mulgt0 7996 ax-pre-mulext 7997 ax-arch 7998 ax-caucvg 7999 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3451 df-if 3562 df-pw 3607 df-sn 3628 df-pr 3629 df-op 3631 df-uni 3840 df-int 3875 df-iun 3918 df-br 4034 df-opab 4095 df-mpt 4096 df-tr 4132 df-id 4328 df-po 4331 df-iso 4332 df-iord 4401 df-on 4403 df-ilim 4404 df-suc 4406 df-iom 4627 df-xp 4669 df-rel 4670 df-cnv 4671 df-co 4672 df-dm 4673 df-rn 4674 df-res 4675 df-ima 4676 df-iota 5219 df-fun 5260 df-fn 5261 df-f 5262 df-f1 5263 df-fo 5264 df-f1o 5265 df-fv 5266 df-riota 5877 df-ov 5925 df-oprab 5926 df-mpo 5927 df-1st 6198 df-2nd 6199 df-recs 6363 df-frec 6449 df-sup 7050 df-pnf 8063 df-mnf 8064 df-xr 8065 df-ltxr 8066 df-le 8067 df-sub 8199 df-neg 8200 df-reap 8602 df-ap 8609 df-div 8700 df-inn 8991 df-2 9049 df-3 9050 df-4 9051 df-n0 9250 df-z 9327 df-uz 9602 df-q 9694 df-rp 9729 df-fz 10084 df-fzo 10218 df-fl 10360 df-mod 10415 df-seqfrec 10540 df-exp 10631 df-cj 11007 df-re 11008 df-im 11009 df-rsqrt 11163 df-abs 11164 df-dvds 11953 df-gcd 12121 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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