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Theorem dfgcd2 11969
Description: Alternate definition of the  gcd operator, see definition in [ApostolNT] p. 15. (Contributed by AV, 8-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfgcd2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( D  =  ( M  gcd  N )  <-> 
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, e    e, M    e, N

Proof of Theorem dfgcd2
Dummy variables  f  g  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcdcl 11921 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
21nn0ge0d 9191 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( M  gcd  N ) )
3 gcddvds 11918 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
4 3anass 977 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( e  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
5 ancom 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  e  e.  ZZ ) )
64, 5bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  e  e.  ZZ ) )
7 dvdsgcd 11967 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) )
86, 7sylbir 134 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N
) ) )
98ralrimiva 2543 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) )
102, 3, 93jca 1172 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) )
1110adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  D  =  ( M  gcd  N ) )  ->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N ) 
||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) )
12 breq2 3993 . . . . 5  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( 0  <_  D  <->  0  <_  ( M  gcd  N ) ) )
13 breq1 3992 . . . . . 6  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( D  ||  M  <->  ( M  gcd  N )  ||  M ) )
14 breq1 3992 . . . . . 6  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( D  ||  N  <->  ( M  gcd  N )  ||  N ) )
1513, 14anbi12d 470 . . . . 5  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  <->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N ) ) )
16 breq2 3993 . . . . . . 7  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( e  ||  D  <->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) )
1716imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
)  <->  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N
) ) ) )
1817ralbidv 2470 . . . . 5  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
)  <->  A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) )
1912, 15, 183anbi123d 1307 . . . 4  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  <->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N ) 
||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
2019adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  D  =  ( M  gcd  N ) )  ->  ( (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  <->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N ) 
||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
2111, 20mpbird 166 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  D  =  ( M  gcd  N ) )  ->  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) )
22 gcdval 11914 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) ) )
2322adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  ( M  gcd  N )  =  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) ) )
24 iftrue 3531 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
2524adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
26 breq2 3993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  0  ->  ( D  ||  M  <->  D  ||  0
) )
27 breq2 3993 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  0  ->  ( D  ||  N  <->  D  ||  0
) )
2826, 27bi2anan9 601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( D 
||  M  /\  D  ||  N )  <->  ( D  ||  0  /\  D  ||  0 ) ) )
29 breq2 3993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  0  ->  (
e  ||  M  <->  e  ||  0 ) )
30 breq2 3993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  (
e  ||  N  <->  e  ||  0 ) )
3129, 30bi2anan9 601 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  <->  ( e  ||  0  /\  e  ||  0 ) ) )
3231imbi1d 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N )  -> 
e  ||  D )  <->  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
) ) )
3332ralbidv 2470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  <->  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D ) ) )
3428, 333anbi23d 1310 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  <->  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
) ) ) )
35 dvdszrcl 11754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D 
||  0  ->  ( D  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ ) )
36 dvds0 11768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  e.  ZZ  ->  e  ||  0 )
3736, 36jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  e.  ZZ  ->  (
e  ||  0  /\  e  ||  0 ) )
3837adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( e  ||  0  /\  e  ||  0
) )
39 pm5.5 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  ( ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
)  <->  e  ||  D
) )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
)  <->  e  ||  D
) )
4140ralbidva 2466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  <->  A. e  e.  ZZ  e  ||  D
) )
42 0z 9223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  ZZ
43 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  0  ->  (
e  ||  D  <->  0  ||  D ) )
4443rspcv 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  ||  D ) )
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  ||  D )
46 0dvds 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  ||  D  <->  D  = 
0 ) )
4746biimpd 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  ||  D  ->  D  =  0 ) )
48 eqcom 2172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  =  D  <->  D  = 
0 )
4947, 48syl6ibr 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  ||  D  ->  0  =  D ) )
5045, 49syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  =  D ) )
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  -> 
( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  =  D ) )
5241, 51sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) )
5352ex 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0
)  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5453adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5535, 54syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D 
||  0  ->  (
0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0
)  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5655adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  ->  ( 0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5756com12 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  D  ->  (
( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
58573imp 1188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D ) )  -> 
0  =  D )
5934, 58syl6bi 162 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  0  =  D ) )
6059adantld 276 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  0  =  D ) )
6160imp 123 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  0  =  D )
6225, 61eqtrd 2203 . . . . 5  |-  ( ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
6362ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) )  /\  ( M  =  0  /\  N  =  0
) )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
64 iffalse 3534 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )
6564adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )
66 lttri3 7999 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
6766adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
68 dvdszrcl 11754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D 
||  M  ->  ( D  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
6968simpld 111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D 
||  M  ->  D  e.  ZZ )
7069zred 9334 . . . . . . . . . 10  |-  ( D 
||  M  ->  D  e.  RR )
7170adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  ->  D  e.  RR )
72713ad2ant2 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  D  e.  RR )
7372ad2antll 488 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  D  e.  RR )
74 breq1 3992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
n  ||  M  <->  y  ||  M ) )
75 breq1 3992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
n  ||  N  <->  y  ||  N ) )
7674, 75anbi12d 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <-> 
( y  ||  M  /\  y  ||  N ) ) )
7776elrab 2886 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) ) )
78 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  y  ->  (
e  ||  M  <->  y  ||  M ) )
79 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  y  ->  (
e  ||  N  <->  y  ||  N ) )
8078, 79anbi12d 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  y  ->  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  <-> 
( y  ||  M  /\  y  ||  N ) ) )
81 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  y  ->  (
e  ||  D  <->  y  ||  D ) )
8280, 81imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  y  ->  (
( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  D )  <->  ( (
y  ||  M  /\  y  ||  N )  -> 
y  ||  D )
) )
8382rspcv 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  D )  ->  (
( y  ||  M  /\  y  ||  N )  ->  y  ||  D
) ) )
8483com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( y  ||  M  /\  y  ||  N )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  y  ||  D ) ) )
8584imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  ->  ( A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
)  ->  y  ||  D ) )
8685ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  y  ||  D ) )
87 elnn0z 9225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  NN0  <->  ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D ) )
8887simplbi2 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  <_  D  ->  D  e.  NN0 ) )
8988adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  D  ->  D  e.  NN0 )
)
9068, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D 
||  M  ->  (
0  <_  D  ->  D  e.  NN0 ) )
9190adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  -> 
( 0  <_  D  ->  D  e.  NN0 )
)
9291impcom 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  D  e.  NN0 )
93 zre 9216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
9493ad2antrr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  y  e.  RR )
9594ad2antrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  y  e.  RR )
9671ad3antlr 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  D  e.  RR )
97 simp-5l 538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
98 elnn0 9137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( D  e.  NN0  <->  ( D  e.  NN  \/  D  =  0 ) )
99 2a1 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( D  e.  NN  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
100 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( D  =  0  ->  ( D  ||  M  <->  0  ||  M ) )
101 breq1 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( D  =  0  ->  ( D  ||  N  <->  0  ||  N ) )
102100, 101anbi12d 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( D  =  0  ->  (
( D  ||  M  /\  D  ||  N )  <-> 
( 0  ||  M  /\  0  ||  N ) ) )
103102anbi2d 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( D  =  0  ->  (
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  <->  ( 0  <_  D  /\  ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
) ) ) )
104103adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( D  =  0  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  <->  ( 0  <_  D  /\  (
0  ||  M  /\  0  ||  N ) ) ) )
105 simplr 525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
106 zdceq 9287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  =  0 )
10742, 106mpan2 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( M  e.  ZZ  -> DECID  M  =  0
)
108 ianordc 894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  (DECID  M  =  0  ->  ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0
)  <->  ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 ) ) )
109107, 108syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  <->  ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 ) ) )
110109ad2antrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  <->  ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0
) ) )
111105, 110mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 ) )
112 dvdszrcl 11754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 0 
||  M  ->  (
0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)
113 0dvds 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  ||  M  <->  M  = 
0 ) )
114 pm2.24 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( M  =  0  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) )
115113, 114syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  ||  M  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
116115adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  M  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
117112, 116mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 0 
||  M  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) )
118117adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N )  -> 
( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) )
119118com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( -.  M  =  0  -> 
( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
)  ->  D  e.  NN ) )
120 dvdszrcl 11754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 0 
||  N  ->  (
0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
121 0dvds 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
122 pm2.24 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  =  0  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) )
123121, 122syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
124123adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  N  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
125120, 124mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 0 
||  N  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) )
126125adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N )  -> 
( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) )
127126com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( -.  N  =  0  -> 
( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
)  ->  D  e.  NN ) )
128119, 127jaoi 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 )  ->  (
( 0  ||  M  /\  0  ||  N )  ->  D  e.  NN ) )
129111, 128syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
)  ->  D  e.  NN ) )
130129adantld 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) )
131130adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( D  =  0  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  (
0  ||  M  /\  0  ||  N ) )  ->  D  e.  NN ) )
132104, 131sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( D  =  0  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  D  e.  NN )
)
133132ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( D  =  0  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
13499, 133jaoi 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( D  e.  NN  \/  D  =  0 )  ->  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
13598, 134sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( D  e.  NN0  ->  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
136135impcom 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) )
137136imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )  ->  D  e.  NN )
138 dvdsle 11804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( y  ||  D  ->  y  <_  D )
)
13997, 137, 138syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )  ->  (
y  ||  D  ->  y  <_  D ) )
140139exp31 362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( D  e.  NN0  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  (
y  ||  D  ->  y  <_  D ) ) ) )
141140com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y 
||  D  ->  ( D  e.  NN0  ->  (
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( (
( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
y  <_  D )
) ) )
142141imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  ||  D  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
y  <_  D )
) )
143142impcom 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  /\  ( y 
||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  -> 
( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
y  <_  D )
)
144143imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  y  <_  D
)
14595, 96, 144lensymd 8041 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  -.  D  <  y )
146145exp31 362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( ( y 
||  D  /\  D  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
14792, 146mpan2d 426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( y  ||  D  ->  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
148147com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( y  ||  D  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
14986, 148syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  (
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
150149com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
1511503impia 1195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) )
152151com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) )  ->  -.  D  <  y ) )
153152expimpd 361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  -.  D  <  y ) )
154153expimpd 361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  ->  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  -.  D  <  y ) )
15577, 154sylbi 120 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  ->  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  ->  -.  D  <  y ) )
156155impcom 124 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  y  e.  {
n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } )  ->  -.  D  <  y )
15769adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  ->  D  e.  ZZ )
158157ancri 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  -> 
( D  e.  ZZ  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
1591583ad2ant2 1014 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  ( D  e.  ZZ  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
160159ad2antll 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  ( D  e.  ZZ  /\  ( D 
||  M  /\  D  ||  N ) ) )
161160adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  -> 
( D  e.  ZZ  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
162 breq1 3992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  D  ->  (
n  ||  M  <->  D  ||  M
) )
163 breq1 3992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  D  ->  (
n  ||  N  <->  D  ||  N
) )
164162, 163anbi12d 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  D  ->  (
( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <-> 
( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
165164elrab 2886 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  <->  ( D  e.  ZZ  /\  ( D 
||  M  /\  D  ||  N ) ) )
166161, 165sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  ->  D  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } )
167 breq2 3993 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  D  ->  (
y  <  z  <->  y  <  D ) )
168167adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  /\  z  =  D )  ->  ( y  <  z  <->  y  <  D ) )
169 simprr 527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  -> 
y  <  D )
170166, 168, 169rspcedvd 2840 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } y  <  z )
17167, 73, 156, 170eqsuptid 6974 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  )  =  D )
17265, 171eqtrd 2203 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
173172ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
174 gcdmndc 11899 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
175174adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  -> DECID 
( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
176 exmiddc 831 . . . . 5  |-  (DECID  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  -> 
( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  \/  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0
) ) )
177175, 176syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  \/ 
-.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
17863, 173, 177mpjaodan 793 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
17923, 178eqtr2d 2204 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  D  =  ( M  gcd  N ) )
18021, 179impbida 591 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( D  =  ( M  gcd  N )  <-> 
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703  DECID wdc 829    /\ w3a 973    = wceq 1348    e. wcel 2141   A.wral 2448   {crab 2452   ifcif 3526   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   supcsup 6959   RRcr 7773   0cc0 7774    < clt 7954    <_ cle 7955   NNcn 8878   NN0cn0 9135   ZZcz 9212    || cdvds 11749    gcd cgcd 11897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898
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