Nearby theorems
|
|
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dfgcd2 | Unicode version | ||
Description: Alternate definition of
the  operator,
see definition in
[ApostolNT] p. 15. (Contributed by
AV, 8-Aug-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| dfgcd2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
       
  |
, , ,
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcdcl 11655 |
. . . . . 6
 | |
| 2 | 1 | nn0ge0d 9033 |
. . . . 5
|
| 3 | gcddvds 11652 |
. . . . 5
| |
| 4 | 3anass 966 |
. . . . . . . 8
| |
| 5 | ancom 264 |
. . . . . . . 8
| |
| 6 | 4, 5 | bitri 183 |
. . . . . . 7
|
| 7 | dvdsgcd 11700 |
. . . . . . 7
| |
| 8 | 6, 7 | sylbir 134 |
. . . . . 6
|
| 9 | 8 | ralrimiva 2505 |
. . . . 5
|
| 10 | 2, 3, 9 | 3jca 1161 |
. . . 4
|
| 11 | 10 | adantr 274 |
. . 3
|
| 12 | breq2 3933 |
. . . . 5
| |
| 13 | breq1 3932 |
. . . . . 6
| |
| 14 | breq1 3932 |
. . . . . 6
| |
| 15 | 13, 14 | anbi12d 464 |
. . . . 5
|
| 16 | breq2 3933 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 16 | imbi2d 229 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | ralbidv 2437 |
. . . . 5
|
| 19 | 12, 15, 18 | 3anbi123d 1290 |
. . . 4
|
| 20 | 19 | adantl 275 |
. . 3
|
| 21 | 11, 20 | mpbird 166 |
. 2
|
| 22 | gcdval 11648 |
. . . 4
      
 | |
| 23 | 22 | adantr 274 |
. . 3
|
| 24 | iftrue 3479 |
. . . . . . 7
| |
| 25 | 24 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 26 | breq2 3933 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 27 | breq2 3933 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 28 | 26, 27 | bi2anan9 595 |
. . . . . . . . . 10
|
| 29 | breq2 3933 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 30 | breq2 3933 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 31 | 29, 30 | bi2anan9 595 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 32 | 31 | imbi1d 230 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 33 | 32 | ralbidv 2437 |
. . . . . . . . . 10
|
| 34 | 28, 33 | 3anbi23d 1293 |
. . . . . . . . 9
|
| 35 | dvdszrcl 11498 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 36 | dvds0 11508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 37 | 36, 36 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 38 | 37 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 39 | pm5.5 241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 40 | 38, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 41 | 40 | ralbidva 2433 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 42 | 0z 9065 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 43 | breq1 3932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 44 | 43 | rspcv 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | 42, 44 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 46 | 0dvds 11513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 47 | 46 | biimpd 143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 48 | eqcom 2141 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 49 | 47, 48 | syl6ibr 161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 50 | 45, 49 | syl5 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 51 | 50 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 52 | 41, 51 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 53 | 52 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 54 | 53 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 55 | 35, 54 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 56 | 55 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 57 | 56 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | 57 | 3imp 1175 |
. . . . . . . . 9
|
| 59 | 34, 58 | syl6bi 162 |
. . . . . . . 8
|
| 60 | 59 | adantld 276 |
. . . . . . 7
|
| 61 | 60 | imp 123 |
. . . . . 6
|
| 62 | 25, 61 | eqtrd 2172 |
. . . . 5
|
| 63 | 62 | ancoms 266 |
. . . 4
|
| 64 | iffalse 3482 |
. . . . . . 7
| |
| 65 | 64 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 66 | lttri3 7844 |
. . . . . . . 8
| |
| 67 | 66 | adantl 275 |
. . . . . . 7
|
| 68 | dvdszrcl 11498 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 69 | 68 | simpld 111 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 70 | 69 | zred 9173 |
. . . . . . . . . 10
|
| 71 | 70 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
|
| 72 | 71 | 3ad2ant2 1003 |
. . . . . . . 8
|
| 73 | 72 | ad2antll 482 |
. . . . . . 7
|
| 74 | breq1 3932 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 75 | breq1 3932 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 76 | 74, 75 | anbi12d 464 |
. . . . . . . . . 10
|
| 77 | 76 | elrab 2840 |
. . . . . . . . 9
|
| 78 | breq1 3932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 79 | breq1 3932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 80 | 78, 79 | anbi12d 464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 81 | breq1 3932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 82 | 80, 81 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 83 | 82 | rspcv 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 84 | 83 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 85 | 84 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 86 | 85 | ad2antrr 479 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 87 | elnn0z 9067 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 88 | 87 | simplbi2 382 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 89 | 88 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 90 | 68, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 91 | 90 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 92 | 91 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 93 | zre 9058 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 94 | 93 | ad2antrr 479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 95 | 94 | ad2antrl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 96 | 71 | ad3antlr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 97 | simp-5l 532 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 98 | elnn0 8979 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
  | |
| 99 | 2a1 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 100 | breq1 3932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 101 | breq1 3932 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 102 | 100, 101 | anbi12d 464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 103 | 102 | anbi2d 459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 104 | 103 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 105 | simplr 519 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
| |
| 106 | zdceq 9126 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
DECID | |
| 107 | 42, 106 | mpan2 421 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
|
| 108 | ianordc 884 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
| |
| 109 | 107, 108 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 110 | 109 | ad2antrl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 111 | 105, 110 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 112 | dvdszrcl 11498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 113 | 0dvds 11513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 114 | pm2.24 610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 115 | 113, 114 | syl6bi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 116 | 115 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 117 | 112, 116 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 118 | 117 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 119 | 118 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 120 | dvdszrcl 11498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 121 | 0dvds 11513 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 122 | pm2.24 610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 123 | 121, 122 | syl6bi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 124 | 123 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 125 | 120, 124 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 126 | 125 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 127 | 126 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 128 | 119, 127 | jaoi 705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 129 | 111, 128 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 130 | 129 | adantld 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 131 | 130 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 132 | 104, 131 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 133 | 132 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 134 | 99, 133 | jaoi 705 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 135 | 98, 134 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 136 | 135 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 138 | dvdsle 11542 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 139 | 97, 137, 138 | syl2anc 408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 140 | 139 | exp31 361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 141 | 140 | com14 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 142 | 141 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 143 | 142 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 144 | 143 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 145 | 95, 96, 144 | lensymd 7884 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 146 | 145 | exp31 361 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 147 | 92, 146 | mpan2d 424 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 148 | 147 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 149 | 86, 148 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 150 | 149 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 151 | 150 | 3impia 1178 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 152 | 151 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 153 | 152 | expimpd 360 |
. . . . . . . . . 10
|
| 154 | 153 | expimpd 360 |
. . . . . . . . 9
|
| 155 | 77, 154 | sylbi 120 |
. . . . . . . 8
|
| 156 | 155 | impcom 124 |
. . . . . . 7
|
| 157 | 69 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 158 | 157 | ancri 322 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 159 | 158 | 3ad2ant2 1003 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 160 | 159 | ad2antll 482 |
. . . . . . . . . 10
|
| 161 | 160 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
|
| 162 | breq1 3932 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 163 | breq1 3932 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 164 | 162, 163 | anbi12d 464 |
. . . . . . . . . 10
|
| 165 | 164 | elrab 2840 |
. . . . . . . . 9
|
| 166 | 161, 165 | sylibr 133 |
. . . . . . . 8
|
| 167 | breq2 3933 |
. . . . . . . . 9
| |
| 168 | 167 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
|
| 169 | simprr 521 |
. . . . . . . 8
| |
| 170 | 166, 168, 169 | rspcedvd 2795 |
. . . . . . 7
|
| 171 | 67, 73, 156, 170 | eqsuptid 6884 |
. . . . . 6
|
| 172 | 65, 171 | eqtrd 2172 |
. . . . 5
|
| 173 | 172 | ancoms 266 |
. . . 4
|
| 174 | gcdmndc 11637 |
. . . . . 6
DECID | |
| 175 | 174 | adantr 274 |
. . . . 5
DECID |
| 176 | exmiddc 821 |
. . . . 5
DECID
| |
| 177 | 175, 176 | syl 14 |
. . . 4
|
| 178 | 63, 173, 177 | mpjaodan 787 |
. . 3
|
| 179 | 23, 178 | eqtr2d 2173 |
. 2
|
| 180 | 21, 179 | impbida 585 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 697 DECID wdc 819
w3a 962
wceq 1331
wcel 1480
wral 2416
crab 2420
cif 3474
class class class wbr 3929 (class class class)co 5774
csup 6869
cr 7619
cc0 7620
clt 7800
cle 7801
cn 8720
cn0 8977
cz 9054
cdvds 11493 cgcd 11635 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 603 ax-in2 604 ax-io 698 ax-5 1423 ax-7 1424 ax-gen 1425 ax-ie1 1469 ax-ie2 1470 ax-8 1482 ax-10 1483 ax-11 1484 ax-i12 1485 ax-bndl 1486 ax-4 1487 ax-13 1491 ax-14 1492 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-ext 2121 ax-coll 4043 ax-sep 4046 ax-nul 4054 ax-pow 4098 ax-pr 4131 ax-un 4355 ax-setind 4452 ax-iinf 4502 ax-cnex 7711 ax-resscn 7712 ax-1cn 7713 ax-1re 7714 ax-icn 7715 ax-addcl 7716 ax-addrcl 7717 ax-mulcl 7718 ax-mulrcl 7719 ax-addcom 7720 ax-mulcom 7721 ax-addass 7722 ax-mulass 7723 ax-distr 7724 ax-i2m1 7725 ax-0lt1 7726 ax-1rid 7727 ax-0id 7728 ax-rnegex 7729 ax-precex 7730 ax-cnre 7731 ax-pre-ltirr 7732 ax-pre-ltwlin 7733 ax-pre-lttrn 7734 ax-pre-apti 7735 ax-pre-ltadd 7736 ax-pre-mulgt0 7737 ax-pre-mulext 7738 ax-arch 7739 ax-caucvg 7740 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 820 df-3or 963 df-3an 964 df-tru 1334 df-fal 1337 df-nf 1437 df-sb 1736 df-eu 2002 df-mo 2003 df-clab 2126 df-cleq 2132 df-clel 2135 df-nfc 2270 df-ne 2309 df-nel 2404 df-ral 2421 df-rex 2422 df-reu 2423 df-rmo 2424 df-rab 2425 df-v 2688 df-sbc 2910 df-csb 3004 df-dif 3073 df-un 3075 df-in 3077 df-ss 3084 df-nul 3364 df-if 3475 df-pw 3512 df-sn 3533 df-pr 3534 df-op 3536 df-uni 3737 df-int 3772 df-iun 3815 df-br 3930 df-opab 3990 df-mpt 3991 df-tr 4027 df-id 4215 df-po 4218 df-iso 4219 df-iord 4288 df-on 4290 df-ilim 4291 df-suc 4293 df-iom 4505 df-xp 4545 df-rel 4546 df-cnv 4547 df-co 4548 df-dm 4549 df-rn 4550 df-res 4551 df-ima 4552 df-iota 5088 df-fun 5125 df-fn 5126 df-f 5127 df-f1 5128 df-fo 5129 df-f1o 5130 df-fv 5131 df-riota 5730 df-ov 5777 df-oprab 5778 df-mpo 5779 df-1st 6038 df-2nd 6039 df-recs 6202 df-frec 6288 df-sup 6871 df-pnf 7802 df-mnf 7803 df-xr 7804 df-ltxr 7805 df-le 7806 df-sub 7935 df-neg 7936 df-reap 8337 df-ap 8344 df-div 8433 df-inn 8721 df-2 8779 df-3 8780 df-4 8781 df-n0 8978 df-z 9055 df-uz 9327 df-q 9412 df-rp 9442 df-fz 9791 df-fzo 9920 df-fl 10043 df-mod 10096 df-seqfrec 10219 df-exp 10293 df-cj 10614 df-re 10615 df-im 10616 df-rsqrt 10770 df-abs 10771 df-dvds 11494 df-gcd 11636 |
| This theorem is referenced by: (None) |
| Copyright terms: Public domain | W3C validator |