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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dfgcd2 | Unicode version | ||
Description: Alternate definition of
the  operator,
see definition in
[ApostolNT] p. 15. (Contributed by
AV, 8-Aug-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| dfgcd2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
       
  |
, , ,
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcdcl 11691 |
. . . . . 6
 | |
| 2 | 1 | nn0ge0d 9057 |
. . . . 5
|
| 3 | gcddvds 11688 |
. . . . 5
| |
| 4 | 3anass 967 |
. . . . . . . 8
| |
| 5 | ancom 264 |
. . . . . . . 8
| |
| 6 | 4, 5 | bitri 183 |
. . . . . . 7
|
| 7 | dvdsgcd 11736 |
. . . . . . 7
| |
| 8 | 6, 7 | sylbir 134 |
. . . . . 6
|
| 9 | 8 | ralrimiva 2508 |
. . . . 5
|
| 10 | 2, 3, 9 | 3jca 1162 |
. . . 4
|
| 11 | 10 | adantr 274 |
. . 3
|
| 12 | breq2 3941 |
. . . . 5
| |
| 13 | breq1 3940 |
. . . . . 6
| |
| 14 | breq1 3940 |
. . . . . 6
| |
| 15 | 13, 14 | anbi12d 465 |
. . . . 5
|
| 16 | breq2 3941 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 16 | imbi2d 229 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | ralbidv 2438 |
. . . . 5
|
| 19 | 12, 15, 18 | 3anbi123d 1291 |
. . . 4
|
| 20 | 19 | adantl 275 |
. . 3
|
| 21 | 11, 20 | mpbird 166 |
. 2
|
| 22 | gcdval 11684 |
. . . 4
      
 | |
| 23 | 22 | adantr 274 |
. . 3
|
| 24 | iftrue 3484 |
. . . . . . 7
| |
| 25 | 24 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 26 | breq2 3941 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 27 | breq2 3941 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 28 | 26, 27 | bi2anan9 596 |
. . . . . . . . . 10
|
| 29 | breq2 3941 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 30 | breq2 3941 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 31 | 29, 30 | bi2anan9 596 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 32 | 31 | imbi1d 230 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 33 | 32 | ralbidv 2438 |
. . . . . . . . . 10
|
| 34 | 28, 33 | 3anbi23d 1294 |
. . . . . . . . 9
|
| 35 | dvdszrcl 11534 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 36 | dvds0 11544 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 37 | 36, 36 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 38 | 37 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 39 | pm5.5 241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 40 | 38, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 41 | 40 | ralbidva 2434 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 42 | 0z 9089 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 43 | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 44 | 43 | rspcv 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | 42, 44 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 46 | 0dvds 11549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 47 | 46 | biimpd 143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 48 | eqcom 2142 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 49 | 47, 48 | syl6ibr 161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 50 | 45, 49 | syl5 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 51 | 50 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 52 | 41, 51 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 53 | 52 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 54 | 53 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 55 | 35, 54 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 56 | 55 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 57 | 56 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | 57 | 3imp 1176 |
. . . . . . . . 9
|
| 59 | 34, 58 | syl6bi 162 |
. . . . . . . 8
|
| 60 | 59 | adantld 276 |
. . . . . . 7
|
| 61 | 60 | imp 123 |
. . . . . 6
|
| 62 | 25, 61 | eqtrd 2173 |
. . . . 5
|
| 63 | 62 | ancoms 266 |
. . . 4
|
| 64 | iffalse 3487 |
. . . . . . 7
| |
| 65 | 64 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 66 | lttri3 7868 |
. . . . . . . 8
| |
| 67 | 66 | adantl 275 |
. . . . . . 7
|
| 68 | dvdszrcl 11534 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 69 | 68 | simpld 111 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 70 | 69 | zred 9197 |
. . . . . . . . . 10
|
| 71 | 70 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
|
| 72 | 71 | 3ad2ant2 1004 |
. . . . . . . 8
|
| 73 | 72 | ad2antll 483 |
. . . . . . 7
|
| 74 | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 75 | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 76 | 74, 75 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . 10
|
| 77 | 76 | elrab 2844 |
. . . . . . . . 9
|
| 78 | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 79 | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 80 | 78, 79 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 81 | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 82 | 80, 81 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 83 | 82 | rspcv 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 84 | 83 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 85 | 84 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 86 | 85 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 87 | elnn0z 9091 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 88 | 87 | simplbi2 383 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 89 | 88 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 90 | 68, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 91 | 90 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 92 | 91 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 93 | zre 9082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 94 | 93 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 95 | 94 | ad2antrl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 96 | 71 | ad3antlr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 97 | simp-5l 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 98 | elnn0 9003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
  | |
| 99 | 2a1 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 100 | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 101 | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 102 | 100, 101 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 103 | 102 | anbi2d 460 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 104 | 103 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 105 | simplr 520 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
| |
| 106 | zdceq 9150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
DECID | |
| 107 | 42, 106 | mpan2 422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
|
| 108 | ianordc 885 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
| |
| 109 | 107, 108 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 110 | 109 | ad2antrl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 111 | 105, 110 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 112 | dvdszrcl 11534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 113 | 0dvds 11549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 114 | pm2.24 611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 115 | 113, 114 | syl6bi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 116 | 115 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 117 | 112, 116 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 118 | 117 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 119 | 118 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 120 | dvdszrcl 11534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 121 | 0dvds 11549 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 122 | pm2.24 611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 123 | 121, 122 | syl6bi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 124 | 123 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 125 | 120, 124 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 126 | 125 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 127 | 126 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 128 | 119, 127 | jaoi 706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 129 | 111, 128 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 130 | 129 | adantld 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 131 | 130 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 132 | 104, 131 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 133 | 132 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 134 | 99, 133 | jaoi 706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 135 | 98, 134 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 136 | 135 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 138 | dvdsle 11578 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 139 | 97, 137, 138 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 140 | 139 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 141 | 140 | com14 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 142 | 141 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 143 | 142 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 144 | 143 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 145 | 95, 96, 144 | lensymd 7908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 146 | 145 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 147 | 92, 146 | mpan2d 425 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 148 | 147 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 149 | 86, 148 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 150 | 149 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 151 | 150 | 3impia 1179 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 152 | 151 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 153 | 152 | expimpd 361 |
. . . . . . . . . 10
|
| 154 | 153 | expimpd 361 |
. . . . . . . . 9
|
| 155 | 77, 154 | sylbi 120 |
. . . . . . . 8
|
| 156 | 155 | impcom 124 |
. . . . . . 7
|
| 157 | 69 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 158 | 157 | ancri 322 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 159 | 158 | 3ad2ant2 1004 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 160 | 159 | ad2antll 483 |
. . . . . . . . . 10
|
| 161 | 160 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
|
| 162 | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 163 | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 164 | 162, 163 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . 10
|
| 165 | 164 | elrab 2844 |
. . . . . . . . 9
|
| 166 | 161, 165 | sylibr 133 |
. . . . . . . 8
|
| 167 | breq2 3941 |
. . . . . . . . 9
| |
| 168 | 167 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
|
| 169 | simprr 522 |
. . . . . . . 8
| |
| 170 | 166, 168, 169 | rspcedvd 2799 |
. . . . . . 7
|
| 171 | 67, 73, 156, 170 | eqsuptid 6892 |
. . . . . 6
|
| 172 | 65, 171 | eqtrd 2173 |
. . . . 5
|
| 173 | 172 | ancoms 266 |
. . . 4
|
| 174 | gcdmndc 11673 |
. . . . . 6
DECID | |
| 175 | 174 | adantr 274 |
. . . . 5
DECID |
| 176 | exmiddc 822 |
. . . . 5
DECID
| |
| 177 | 175, 176 | syl 14 |
. . . 4
|
| 178 | 63, 173, 177 | mpjaodan 788 |
. . 3
|
| 179 | 23, 178 | eqtr2d 2174 |
. 2
|
| 180 | 21, 179 | impbida 586 |
1
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| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 698 DECID wdc 820
w3a 963
wceq 1332
wcel 1481
wral 2417
crab 2421
cif 3479
class class class wbr 3937 (class class class)co 5782
csup 6877
cr 7643
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clt 7824
cle 7825
cn 8744
cn0 9001
cz 9078
cdvds 11529 cgcd 11671 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 ax-cnex 7735 ax-resscn 7736 ax-1cn 7737 ax-1re 7738 ax-icn 7739 ax-addcl 7740 ax-addrcl 7741 ax-mulcl 7742 ax-mulrcl 7743 ax-addcom 7744 ax-mulcom 7745 ax-addass 7746 ax-mulass 7747 ax-distr 7748 ax-i2m1 7749 ax-0lt1 7750 ax-1rid 7751 ax-0id 7752 ax-rnegex 7753 ax-precex 7754 ax-cnre 7755 ax-pre-ltirr 7756 ax-pre-ltwlin 7757 ax-pre-lttrn 7758 ax-pre-apti 7759 ax-pre-ltadd 7760 ax-pre-mulgt0 7761 ax-pre-mulext 7762 ax-arch 7763 ax-caucvg 7764 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-nel 2405 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rmo 2425 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-if 3480 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-ilim 4299 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-riota 5738 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-frec 6296 df-sup 6879 df-pnf 7826 df-mnf 7827 df-xr 7828 df-ltxr 7829 df-le 7830 df-sub 7959 df-neg 7960 df-reap 8361 df-ap 8368 df-div 8457 df-inn 8745 df-2 8803 df-3 8804 df-4 8805 df-n0 9002 df-z 9079 df-uz 9351 df-q 9439 df-rp 9471 df-fz 9822 df-fzo 9951 df-fl 10074 df-mod 10127 df-seqfrec 10250 df-exp 10324 df-cj 10646 df-re 10647 df-im 10648 df-rsqrt 10802 df-abs 10803 df-dvds 11530 df-gcd 11672 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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