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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dfgcd2 | Unicode version | ||
Description: Alternate definition of
the  operator,
see definition in
[ApostolNT] p. 15. (Contributed by
AV, 8-Aug-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| dfgcd2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
       
  |
, , ,
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcdcl 11921 |
. . . . . 6
 | |
| 2 | 1 | nn0ge0d 9191 |
. . . . 5
|
| 3 | gcddvds 11918 |
. . . . 5
| |
| 4 | 3anass 977 |
. . . . . . . 8
| |
| 5 | ancom 264 |
. . . . . . . 8
| |
| 6 | 4, 5 | bitri 183 |
. . . . . . 7
|
| 7 | dvdsgcd 11967 |
. . . . . . 7
| |
| 8 | 6, 7 | sylbir 134 |
. . . . . 6
|
| 9 | 8 | ralrimiva 2543 |
. . . . 5
|
| 10 | 2, 3, 9 | 3jca 1172 |
. . . 4
|
| 11 | 10 | adantr 274 |
. . 3
|
| 12 | breq2 3993 |
. . . . 5
| |
| 13 | breq1 3992 |
. . . . . 6
| |
| 14 | breq1 3992 |
. . . . . 6
| |
| 15 | 13, 14 | anbi12d 470 |
. . . . 5
|
| 16 | breq2 3993 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 16 | imbi2d 229 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | ralbidv 2470 |
. . . . 5
|
| 19 | 12, 15, 18 | 3anbi123d 1307 |
. . . 4
|
| 20 | 19 | adantl 275 |
. . 3
|
| 21 | 11, 20 | mpbird 166 |
. 2
|
| 22 | gcdval 11914 |
. . . 4
      
 | |
| 23 | 22 | adantr 274 |
. . 3
|
| 24 | iftrue 3531 |
. . . . . . 7
| |
| 25 | 24 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 26 | breq2 3993 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 27 | breq2 3993 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 28 | 26, 27 | bi2anan9 601 |
. . . . . . . . . 10
|
| 29 | breq2 3993 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 30 | breq2 3993 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 31 | 29, 30 | bi2anan9 601 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 32 | 31 | imbi1d 230 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 33 | 32 | ralbidv 2470 |
. . . . . . . . . 10
|
| 34 | 28, 33 | 3anbi23d 1310 |
. . . . . . . . 9
|
| 35 | dvdszrcl 11754 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 36 | dvds0 11768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 37 | 36, 36 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 38 | 37 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 39 | pm5.5 241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 40 | 38, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 41 | 40 | ralbidva 2466 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 42 | 0z 9223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 43 | breq1 3992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 44 | 43 | rspcv 2830 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | 42, 44 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 46 | 0dvds 11773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 47 | 46 | biimpd 143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 48 | eqcom 2172 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 49 | 47, 48 | syl6ibr 161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 50 | 45, 49 | syl5 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 51 | 50 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 52 | 41, 51 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 53 | 52 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 54 | 53 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 55 | 35, 54 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 56 | 55 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 57 | 56 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | 57 | 3imp 1188 |
. . . . . . . . 9
|
| 59 | 34, 58 | syl6bi 162 |
. . . . . . . 8
|
| 60 | 59 | adantld 276 |
. . . . . . 7
|
| 61 | 60 | imp 123 |
. . . . . 6
|
| 62 | 25, 61 | eqtrd 2203 |
. . . . 5
|
| 63 | 62 | ancoms 266 |
. . . 4
|
| 64 | iffalse 3534 |
. . . . . . 7
| |
| 65 | 64 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 66 | lttri3 7999 |
. . . . . . . 8
| |
| 67 | 66 | adantl 275 |
. . . . . . 7
|
| 68 | dvdszrcl 11754 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 69 | 68 | simpld 111 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 70 | 69 | zred 9334 |
. . . . . . . . . 10
|
| 71 | 70 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
|
| 72 | 71 | 3ad2ant2 1014 |
. . . . . . . 8
|
| 73 | 72 | ad2antll 488 |
. . . . . . 7
|
| 74 | breq1 3992 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 75 | breq1 3992 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 76 | 74, 75 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . 10
|
| 77 | 76 | elrab 2886 |
. . . . . . . . 9
|
| 78 | breq1 3992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 79 | breq1 3992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 80 | 78, 79 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 81 | breq1 3992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 82 | 80, 81 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 83 | 82 | rspcv 2830 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 84 | 83 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 85 | 84 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 86 | 85 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 87 | elnn0z 9225 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 88 | 87 | simplbi2 383 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 89 | 88 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 90 | 68, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 91 | 90 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 92 | 91 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 93 | zre 9216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 94 | 93 | ad2antrr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 95 | 94 | ad2antrl 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 96 | 71 | ad3antlr 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 97 | simp-5l 538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 98 | elnn0 9137 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
  | |
| 99 | 2a1 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 100 | breq1 3992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 101 | breq1 3992 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 102 | 100, 101 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 103 | 102 | anbi2d 461 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 104 | 103 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 105 | simplr 525 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
| |
| 106 | zdceq 9287 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
DECID | |
| 107 | 42, 106 | mpan2 423 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
|
| 108 | ianordc 894 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
| |
| 109 | 107, 108 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 110 | 109 | ad2antrl 487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 111 | 105, 110 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 112 | dvdszrcl 11754 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 113 | 0dvds 11773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 114 | pm2.24 616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 115 | 113, 114 | syl6bi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 116 | 115 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 117 | 112, 116 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 118 | 117 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 119 | 118 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 120 | dvdszrcl 11754 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 121 | 0dvds 11773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 122 | pm2.24 616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 123 | 121, 122 | syl6bi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 124 | 123 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 125 | 120, 124 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 126 | 125 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 127 | 126 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 128 | 119, 127 | jaoi 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 129 | 111, 128 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 130 | 129 | adantld 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 131 | 130 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 132 | 104, 131 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 133 | 132 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 134 | 99, 133 | jaoi 711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 135 | 98, 134 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 136 | 135 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 138 | dvdsle 11804 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 139 | 97, 137, 138 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 140 | 139 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 141 | 140 | com14 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 142 | 141 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 143 | 142 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 144 | 143 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 145 | 95, 96, 144 | lensymd 8041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 146 | 145 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 147 | 92, 146 | mpan2d 426 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 148 | 147 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 149 | 86, 148 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 150 | 149 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 151 | 150 | 3impia 1195 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 152 | 151 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 153 | 152 | expimpd 361 |
. . . . . . . . . 10
|
| 154 | 153 | expimpd 361 |
. . . . . . . . 9
|
| 155 | 77, 154 | sylbi 120 |
. . . . . . . 8
|
| 156 | 155 | impcom 124 |
. . . . . . 7
|
| 157 | 69 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 158 | 157 | ancri 322 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 159 | 158 | 3ad2ant2 1014 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 160 | 159 | ad2antll 488 |
. . . . . . . . . 10
|
| 161 | 160 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
|
| 162 | breq1 3992 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 163 | breq1 3992 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 164 | 162, 163 | anbi12d 470 |
. . . . . . . . . 10
|
| 165 | 164 | elrab 2886 |
. . . . . . . . 9
|
| 166 | 161, 165 | sylibr 133 |
. . . . . . . 8
|
| 167 | breq2 3993 |
. . . . . . . . 9
| |
| 168 | 167 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
|
| 169 | simprr 527 |
. . . . . . . 8
| |
| 170 | 166, 168, 169 | rspcedvd 2840 |
. . . . . . 7
|
| 171 | 67, 73, 156, 170 | eqsuptid 6974 |
. . . . . 6
|
| 172 | 65, 171 | eqtrd 2203 |
. . . . 5
|
| 173 | 172 | ancoms 266 |
. . . 4
|
| 174 | gcdmndc 11899 |
. . . . . 6
DECID | |
| 175 | 174 | adantr 274 |
. . . . 5
DECID |
| 176 | exmiddc 831 |
. . . . 5
DECID
| |
| 177 | 175, 176 | syl 14 |
. . . 4
|
| 178 | 63, 173, 177 | mpjaodan 793 |
. . 3
|
| 179 | 23, 178 | eqtr2d 2204 |
. 2
|
| 180 | 21, 179 | impbida 591 |
1
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| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 703 DECID wdc 829
w3a 973
wceq 1348
wcel 2141
wral 2448
crab 2452
cif 3526
class class class wbr 3989 (class class class)co 5853
csup 6959
cr 7773
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clt 7954
cle 7955
cn 8878
cn0 9135
cz 9212
cdvds 11749 cgcd 11897 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 ax-caucvg 7894 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-frec 6370 df-sup 6961 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-fz 9966 df-fzo 10099 df-fl 10226 df-mod 10279 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-cj 10806 df-re 10807 df-im 10808 df-rsqrt 10962 df-abs 10963 df-dvds 11750 df-gcd 11898 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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