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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dfgcd2 | Unicode version | ||
Description: Alternate definition of
the  operator,
see definition in
[ApostolNT] p. 15. (Contributed by
AV, 8-Aug-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| dfgcd2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
       
  |
, , ,
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcdcl 11865 |
. . . . . 6
 | |
| 2 | 1 | nn0ge0d 9151 |
. . . . 5
|
| 3 | gcddvds 11862 |
. . . . 5
| |
| 4 | 3anass 967 |
. . . . . . . 8
| |
| 5 | ancom 264 |
. . . . . . . 8
| |
| 6 | 4, 5 | bitri 183 |
. . . . . . 7
|
| 7 | dvdsgcd 11911 |
. . . . . . 7
| |
| 8 | 6, 7 | sylbir 134 |
. . . . . 6
|
| 9 | 8 | ralrimiva 2530 |
. . . . 5
|
| 10 | 2, 3, 9 | 3jca 1162 |
. . . 4
|
| 11 | 10 | adantr 274 |
. . 3
|
| 12 | breq2 3971 |
. . . . 5
| |
| 13 | breq1 3970 |
. . . . . 6
| |
| 14 | breq1 3970 |
. . . . . 6
| |
| 15 | 13, 14 | anbi12d 465 |
. . . . 5
|
| 16 | breq2 3971 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 16 | imbi2d 229 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | ralbidv 2457 |
. . . . 5
|
| 19 | 12, 15, 18 | 3anbi123d 1294 |
. . . 4
|
| 20 | 19 | adantl 275 |
. . 3
|
| 21 | 11, 20 | mpbird 166 |
. 2
|
| 22 | gcdval 11858 |
. . . 4
      
 | |
| 23 | 22 | adantr 274 |
. . 3
|
| 24 | iftrue 3511 |
. . . . . . 7
| |
| 25 | 24 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 26 | breq2 3971 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 27 | breq2 3971 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 28 | 26, 27 | bi2anan9 596 |
. . . . . . . . . 10
|
| 29 | breq2 3971 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 30 | breq2 3971 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 31 | 29, 30 | bi2anan9 596 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 32 | 31 | imbi1d 230 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 33 | 32 | ralbidv 2457 |
. . . . . . . . . 10
|
| 34 | 28, 33 | 3anbi23d 1297 |
. . . . . . . . 9
|
| 35 | dvdszrcl 11699 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 36 | dvds0 11713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 37 | 36, 36 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 38 | 37 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 39 | pm5.5 241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 40 | 38, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 41 | 40 | ralbidva 2453 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 42 | 0z 9183 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 43 | breq1 3970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 44 | 43 | rspcv 2812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | 42, 44 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 46 | 0dvds 11718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 47 | 46 | biimpd 143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 48 | eqcom 2159 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 49 | 47, 48 | syl6ibr 161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 50 | 45, 49 | syl5 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 51 | 50 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 52 | 41, 51 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 53 | 52 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 54 | 53 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 55 | 35, 54 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 56 | 55 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 57 | 56 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | 57 | 3imp 1176 |
. . . . . . . . 9
|
| 59 | 34, 58 | syl6bi 162 |
. . . . . . . 8
|
| 60 | 59 | adantld 276 |
. . . . . . 7
|
| 61 | 60 | imp 123 |
. . . . . 6
|
| 62 | 25, 61 | eqtrd 2190 |
. . . . 5
|
| 63 | 62 | ancoms 266 |
. . . 4
|
| 64 | iffalse 3514 |
. . . . . . 7
| |
| 65 | 64 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 66 | lttri3 7959 |
. . . . . . . 8
| |
| 67 | 66 | adantl 275 |
. . . . . . 7
|
| 68 | dvdszrcl 11699 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 69 | 68 | simpld 111 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 70 | 69 | zred 9291 |
. . . . . . . . . 10
|
| 71 | 70 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
|
| 72 | 71 | 3ad2ant2 1004 |
. . . . . . . 8
|
| 73 | 72 | ad2antll 483 |
. . . . . . 7
|
| 74 | breq1 3970 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 75 | breq1 3970 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 76 | 74, 75 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . 10
|
| 77 | 76 | elrab 2868 |
. . . . . . . . 9
|
| 78 | breq1 3970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 79 | breq1 3970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 80 | 78, 79 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 81 | breq1 3970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 82 | 80, 81 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 83 | 82 | rspcv 2812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 84 | 83 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 85 | 84 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 86 | 85 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 87 | elnn0z 9185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 88 | 87 | simplbi2 383 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 89 | 88 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 90 | 68, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 91 | 90 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 92 | 91 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 93 | zre 9176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 94 | 93 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 95 | 94 | ad2antrl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 96 | 71 | ad3antlr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 97 | simp-5l 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 98 | elnn0 9097 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
  | |
| 99 | 2a1 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 100 | breq1 3970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 101 | breq1 3970 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 102 | 100, 101 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 103 | 102 | anbi2d 460 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 104 | 103 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 105 | simplr 520 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
| |
| 106 | zdceq 9244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
DECID | |
| 107 | 42, 106 | mpan2 422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
|
| 108 | ianordc 885 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
| |
| 109 | 107, 108 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 110 | 109 | ad2antrl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 111 | 105, 110 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 112 | dvdszrcl 11699 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 113 | 0dvds 11718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 114 | pm2.24 611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 115 | 113, 114 | syl6bi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 116 | 115 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 117 | 112, 116 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 118 | 117 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 119 | 118 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 120 | dvdszrcl 11699 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 121 | 0dvds 11718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 122 | pm2.24 611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 123 | 121, 122 | syl6bi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 124 | 123 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 125 | 120, 124 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 126 | 125 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 127 | 126 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 128 | 119, 127 | jaoi 706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 129 | 111, 128 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 130 | 129 | adantld 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 131 | 130 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 132 | 104, 131 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 133 | 132 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 134 | 99, 133 | jaoi 706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 135 | 98, 134 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 136 | 135 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 138 | dvdsle 11748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 139 | 97, 137, 138 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 140 | 139 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 141 | 140 | com14 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 142 | 141 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 143 | 142 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 144 | 143 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 145 | 95, 96, 144 | lensymd 8001 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 146 | 145 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 147 | 92, 146 | mpan2d 425 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 148 | 147 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 149 | 86, 148 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 150 | 149 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 151 | 150 | 3impia 1182 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 152 | 151 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 153 | 152 | expimpd 361 |
. . . . . . . . . 10
|
| 154 | 153 | expimpd 361 |
. . . . . . . . 9
|
| 155 | 77, 154 | sylbi 120 |
. . . . . . . 8
|
| 156 | 155 | impcom 124 |
. . . . . . 7
|
| 157 | 69 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 158 | 157 | ancri 322 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 159 | 158 | 3ad2ant2 1004 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 160 | 159 | ad2antll 483 |
. . . . . . . . . 10
|
| 161 | 160 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
|
| 162 | breq1 3970 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 163 | breq1 3970 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 164 | 162, 163 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . 10
|
| 165 | 164 | elrab 2868 |
. . . . . . . . 9
|
| 166 | 161, 165 | sylibr 133 |
. . . . . . . 8
|
| 167 | breq2 3971 |
. . . . . . . . 9
| |
| 168 | 167 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
|
| 169 | simprr 522 |
. . . . . . . 8
| |
| 170 | 166, 168, 169 | rspcedvd 2822 |
. . . . . . 7
|
| 171 | 67, 73, 156, 170 | eqsuptid 6943 |
. . . . . 6
|
| 172 | 65, 171 | eqtrd 2190 |
. . . . 5
|
| 173 | 172 | ancoms 266 |
. . . 4
|
| 174 | gcdmndc 11843 |
. . . . . 6
DECID | |
| 175 | 174 | adantr 274 |
. . . . 5
DECID |
| 176 | exmiddc 822 |
. . . . 5
DECID
| |
| 177 | 175, 176 | syl 14 |
. . . 4
|
| 178 | 63, 173, 177 | mpjaodan 788 |
. . 3
|
| 179 | 23, 178 | eqtr2d 2191 |
. 2
|
| 180 | 21, 179 | impbida 586 |
1
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| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 698 DECID wdc 820
w3a 963
wceq 1335
wcel 2128
wral 2435
crab 2439
cif 3506
class class class wbr 3967 (class class class)co 5826
csup 6928
cr 7733
cc0 7734
clt 7914
cle 7915
cn 8838
cn0 9095
cz 9172
cdvds 11694 cgcd 11841 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1427 ax-7 1428 ax-gen 1429 ax-ie1 1473 ax-ie2 1474 ax-8 1484 ax-10 1485 ax-11 1486 ax-i12 1487 ax-bndl 1489 ax-4 1490 ax-17 1506 ax-i9 1510 ax-ial 1514 ax-i5r 1515 ax-13 2130 ax-14 2131 ax-ext 2139 ax-coll 4081 ax-sep 4084 ax-nul 4092 ax-pow 4137 ax-pr 4171 ax-un 4395 ax-setind 4498 ax-iinf 4549 ax-cnex 7825 ax-resscn 7826 ax-1cn 7827 ax-1re 7828 ax-icn 7829 ax-addcl 7830 ax-addrcl 7831 ax-mulcl 7832 ax-mulrcl 7833 ax-addcom 7834 ax-mulcom 7835 ax-addass 7836 ax-mulass 7837 ax-distr 7838 ax-i2m1 7839 ax-0lt1 7840 ax-1rid 7841 ax-0id 7842 ax-rnegex 7843 ax-precex 7844 ax-cnre 7845 ax-pre-ltirr 7846 ax-pre-ltwlin 7847 ax-pre-lttrn 7848 ax-pre-apti 7849 ax-pre-ltadd 7850 ax-pre-mulgt0 7851 ax-pre-mulext 7852 ax-arch 7853 ax-caucvg 7854 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1338 df-fal 1341 df-nf 1441 df-sb 1743 df-eu 2009 df-mo 2010 df-clab 2144 df-cleq 2150 df-clel 2153 df-nfc 2288 df-ne 2328 df-nel 2423 df-ral 2440 df-rex 2441 df-reu 2442 df-rmo 2443 df-rab 2444 df-v 2714 df-sbc 2938 df-csb 3032 df-dif 3104 df-un 3106 df-in 3108 df-ss 3115 df-nul 3396 df-if 3507 df-pw 3546 df-sn 3567 df-pr 3568 df-op 3570 df-uni 3775 df-int 3810 df-iun 3853 df-br 3968 df-opab 4028 df-mpt 4029 df-tr 4065 df-id 4255 df-po 4258 df-iso 4259 df-iord 4328 df-on 4330 df-ilim 4331 df-suc 4333 df-iom 4552 df-xp 4594 df-rel 4595 df-cnv 4596 df-co 4597 df-dm 4598 df-rn 4599 df-res 4600 df-ima 4601 df-iota 5137 df-fun 5174 df-fn 5175 df-f 5176 df-f1 5177 df-fo 5178 df-f1o 5179 df-fv 5180 df-riota 5782 df-ov 5829 df-oprab 5830 df-mpo 5831 df-1st 6090 df-2nd 6091 df-recs 6254 df-frec 6340 df-sup 6930 df-pnf 7916 df-mnf 7917 df-xr 7918 df-ltxr 7919 df-le 7920 df-sub 8052 df-neg 8053 df-reap 8454 df-ap 8461 df-div 8550 df-inn 8839 df-2 8897 df-3 8898 df-4 8899 df-n0 9096 df-z 9173 df-uz 9445 df-q 9535 df-rp 9567 df-fz 9919 df-fzo 10051 df-fl 10178 df-mod 10231 df-seqfrec 10354 df-exp 10428 df-cj 10753 df-re 10754 df-im 10755 df-rsqrt 10909 df-abs 10910 df-dvds 11695 df-gcd 11842 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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