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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dfgcd2 | Unicode version | ||
Description: Alternate definition of
the  operator,
see definition in
[ApostolNT] p. 15. (Contributed by
AV, 8-Aug-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| dfgcd2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
       
  |
, , ,
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcdcl 11950 |
. . . . . 6
 | |
| 2 | 1 | nn0ge0d 9221 |
. . . . 5
|
| 3 | gcddvds 11947 |
. . . . 5
| |
| 4 | 3anass 982 |
. . . . . . . 8
| |
| 5 | ancom 266 |
. . . . . . . 8
| |
| 6 | 4, 5 | bitri 184 |
. . . . . . 7
|
| 7 | dvdsgcd 11996 |
. . . . . . 7
| |
| 8 | 6, 7 | sylbir 135 |
. . . . . 6
|
| 9 | 8 | ralrimiva 2550 |
. . . . 5
|
| 10 | 2, 3, 9 | 3jca 1177 |
. . . 4
|
| 11 | 10 | adantr 276 |
. . 3
|
| 12 | breq2 4004 |
. . . . 5
| |
| 13 | breq1 4003 |
. . . . . 6
| |
| 14 | breq1 4003 |
. . . . . 6
| |
| 15 | 13, 14 | anbi12d 473 |
. . . . 5
|
| 16 | breq2 4004 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 16 | imbi2d 230 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | ralbidv 2477 |
. . . . 5
|
| 19 | 12, 15, 18 | 3anbi123d 1312 |
. . . 4
|
| 20 | 19 | adantl 277 |
. . 3
|
| 21 | 11, 20 | mpbird 167 |
. 2
|
| 22 | gcdval 11943 |
. . . 4
      
 | |
| 23 | 22 | adantr 276 |
. . 3
|
| 24 | iftrue 3539 |
. . . . . . 7
| |
| 25 | 24 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 26 | breq2 4004 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 27 | breq2 4004 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 28 | 26, 27 | bi2anan9 606 |
. . . . . . . . . 10
|
| 29 | breq2 4004 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 30 | breq2 4004 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 31 | 29, 30 | bi2anan9 606 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 32 | 31 | imbi1d 231 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 33 | 32 | ralbidv 2477 |
. . . . . . . . . 10
|
| 34 | 28, 33 | 3anbi23d 1315 |
. . . . . . . . 9
|
| 35 | dvdszrcl 11783 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 36 | dvds0 11797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 37 | 36, 36 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 38 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 39 | pm5.5 242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 40 | 38, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 41 | 40 | ralbidva 2473 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 42 | 0z 9253 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 43 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 44 | 43 | rspcv 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | 42, 44 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 46 | 0dvds 11802 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 47 | 46 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 48 | eqcom 2179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 49 | 47, 48 | syl6ibr 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 50 | 45, 49 | syl5 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 51 | 50 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 52 | 41, 51 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 53 | 52 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 54 | 53 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 55 | 35, 54 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 56 | 55 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 57 | 56 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | 57 | 3imp 1193 |
. . . . . . . . 9
|
| 59 | 34, 58 | syl6bi 163 |
. . . . . . . 8
|
| 60 | 59 | adantld 278 |
. . . . . . 7
|
| 61 | 60 | imp 124 |
. . . . . 6
|
| 62 | 25, 61 | eqtrd 2210 |
. . . . 5
|
| 63 | 62 | ancoms 268 |
. . . 4
|
| 64 | iffalse 3542 |
. . . . . . 7
| |
| 65 | 64 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 66 | lttri3 8027 |
. . . . . . . 8
| |
| 67 | 66 | adantl 277 |
. . . . . . 7
|
| 68 | dvdszrcl 11783 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 69 | 68 | simpld 112 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 70 | 69 | zred 9364 |
. . . . . . . . . 10
|
| 71 | 70 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
|
| 72 | 71 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . 8
|
| 73 | 72 | ad2antll 491 |
. . . . . . 7
|
| 74 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 75 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 76 | 74, 75 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . 10
|
| 77 | 76 | elrab 2893 |
. . . . . . . . 9
|
| 78 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 79 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 80 | 78, 79 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 81 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 82 | 80, 81 | imbi12d 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 83 | 82 | rspcv 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 84 | 83 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 85 | 84 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 86 | 85 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 87 | elnn0z 9255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 88 | 87 | simplbi2 385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 89 | 88 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 90 | 68, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 91 | 90 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 92 | 91 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 93 | zre 9246 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 94 | 93 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 95 | 94 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 96 | 71 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 97 | simp-5l 543 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 98 | elnn0 9167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
  | |
| 99 | 2a1 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 100 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 101 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 102 | 100, 101 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 103 | 102 | anbi2d 464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 104 | 103 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 105 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
| |
| 106 | zdceq 9317 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
DECID | |
| 107 | 42, 106 | mpan2 425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
|
| 108 | ianordc 899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
| |
| 109 | 107, 108 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 110 | 109 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 111 | 105, 110 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 112 | dvdszrcl 11783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 113 | 0dvds 11802 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 114 | pm2.24 621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 115 | 113, 114 | syl6bi 163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 116 | 115 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 117 | 112, 116 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 118 | 117 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 119 | 118 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 120 | dvdszrcl 11783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 121 | 0dvds 11802 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 122 | pm2.24 621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 123 | 121, 122 | syl6bi 163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 124 | 123 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 125 | 120, 124 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 126 | 125 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 127 | 126 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 128 | 119, 127 | jaoi 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 129 | 111, 128 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 130 | 129 | adantld 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 131 | 130 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 132 | 104, 131 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 133 | 132 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 134 | 99, 133 | jaoi 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 135 | 98, 134 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 136 | 135 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 138 | dvdsle 11833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 139 | 97, 137, 138 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 140 | 139 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 141 | 140 | com14 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 142 | 141 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 143 | 142 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 144 | 143 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 145 | 95, 96, 144 | lensymd 8069 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 146 | 145 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 147 | 92, 146 | mpan2d 428 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 148 | 147 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 149 | 86, 148 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 150 | 149 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 151 | 150 | 3impia 1200 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 152 | 151 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 153 | 152 | expimpd 363 |
. . . . . . . . . 10
|
| 154 | 153 | expimpd 363 |
. . . . . . . . 9
|
| 155 | 77, 154 | sylbi 121 |
. . . . . . . 8
|
| 156 | 155 | impcom 125 |
. . . . . . 7
|
| 157 | 69 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 158 | 157 | ancri 324 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 159 | 158 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 160 | 159 | ad2antll 491 |
. . . . . . . . . 10
|
| 161 | 160 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
|
| 162 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 163 | breq1 4003 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 164 | 162, 163 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . 10
|
| 165 | 164 | elrab 2893 |
. . . . . . . . 9
|
| 166 | 161, 165 | sylibr 134 |
. . . . . . . 8
|
| 167 | breq2 4004 |
. . . . . . . . 9
| |
| 168 | 167 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
|
| 169 | simprr 531 |
. . . . . . . 8
| |
| 170 | 166, 168, 169 | rspcedvd 2847 |
. . . . . . 7
|
| 171 | 67, 73, 156, 170 | eqsuptid 6990 |
. . . . . 6
|
| 172 | 65, 171 | eqtrd 2210 |
. . . . 5
|
| 173 | 172 | ancoms 268 |
. . . 4
|
| 174 | gcdmndc 11928 |
. . . . . 6
DECID | |
| 175 | 174 | adantr 276 |
. . . . 5
DECID |
| 176 | exmiddc 836 |
. . . . 5
DECID
| |
| 177 | 175, 176 | syl 14 |
. . . 4
|
| 178 | 63, 173, 177 | mpjaodan 798 |
. . 3
|
| 179 | 23, 178 | eqtr2d 2211 |
. 2
|
| 180 | 21, 179 | impbida 596 |
1
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| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 708 DECID wdc 834
w3a 978
wceq 1353
wcel 2148
wral 2455
crab 2459
cif 3534
class class class wbr 4000 (class class class)co 5869
csup 6975
cr 7801
cc0 7802
clt 7982
cle 7983
cn 8908
cn0 9165
cz 9242
cdvds 11778 cgcd 11926 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4115 ax-sep 4118 ax-nul 4126 ax-pow 4171 ax-pr 4206 ax-un 4430 ax-setind 4533 ax-iinf 4584 ax-cnex 7893 ax-resscn 7894 ax-1cn 7895 ax-1re 7896 ax-icn 7897 ax-addcl 7898 ax-addrcl 7899 ax-mulcl 7900 ax-mulrcl 7901 ax-addcom 7902 ax-mulcom 7903 ax-addass 7904 ax-mulass 7905 ax-distr 7906 ax-i2m1 7907 ax-0lt1 7908 ax-1rid 7909 ax-0id 7910 ax-rnegex 7911 ax-precex 7912 ax-cnre 7913 ax-pre-ltirr 7914 ax-pre-ltwlin 7915 ax-pre-lttrn 7916 ax-pre-apti 7917 ax-pre-ltadd 7918 ax-pre-mulgt0 7919 ax-pre-mulext 7920 ax-arch 7921 ax-caucvg 7922 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3576 df-sn 3597 df-pr 3598 df-op 3600 df-uni 3808 df-int 3843 df-iun 3886 df-br 4001 df-opab 4062 df-mpt 4063 df-tr 4099 df-id 4290 df-po 4293 df-iso 4294 df-iord 4363 df-on 4365 df-ilim 4366 df-suc 4368 df-iom 4587 df-xp 4629 df-rel 4630 df-cnv 4631 df-co 4632 df-dm 4633 df-rn 4634 df-res 4635 df-ima 4636 df-iota 5174 df-fun 5214 df-fn 5215 df-f 5216 df-f1 5217 df-fo 5218 df-f1o 5219 df-fv 5220 df-riota 5825 df-ov 5872 df-oprab 5873 df-mpo 5874 df-1st 6135 df-2nd 6136 df-recs 6300 df-frec 6386 df-sup 6977 df-pnf 7984 df-mnf 7985 df-xr 7986 df-ltxr 7987 df-le 7988 df-sub 8120 df-neg 8121 df-reap 8522 df-ap 8529 df-div 8619 df-inn 8909 df-2 8967 df-3 8968 df-4 8969 df-n0 9166 df-z 9243 df-uz 9518 df-q 9609 df-rp 9641 df-fz 9996 df-fzo 10129 df-fl 10256 df-mod 10309 df-seqfrec 10432 df-exp 10506 df-cj 10835 df-re 10836 df-im 10837 df-rsqrt 10991 df-abs 10992 df-dvds 11779 df-gcd 11927 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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