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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dfgcd2 | Unicode version | ||
Description: Alternate definition of
the  operator,
see definition in
[ApostolNT] p. 15. (Contributed by
AV, 8-Aug-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| dfgcd2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
       
  |
, , ,
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcdcl 11899 |
. . . . . 6
 | |
| 2 | 1 | nn0ge0d 9170 |
. . . . 5
|
| 3 | gcddvds 11896 |
. . . . 5
| |
| 4 | 3anass 972 |
. . . . . . . 8
| |
| 5 | ancom 264 |
. . . . . . . 8
| |
| 6 | 4, 5 | bitri 183 |
. . . . . . 7
|
| 7 | dvdsgcd 11945 |
. . . . . . 7
| |
| 8 | 6, 7 | sylbir 134 |
. . . . . 6
|
| 9 | 8 | ralrimiva 2539 |
. . . . 5
|
| 10 | 2, 3, 9 | 3jca 1167 |
. . . 4
|
| 11 | 10 | adantr 274 |
. . 3
|
| 12 | breq2 3986 |
. . . . 5
| |
| 13 | breq1 3985 |
. . . . . 6
| |
| 14 | breq1 3985 |
. . . . . 6
| |
| 15 | 13, 14 | anbi12d 465 |
. . . . 5
|
| 16 | breq2 3986 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 16 | imbi2d 229 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | ralbidv 2466 |
. . . . 5
|
| 19 | 12, 15, 18 | 3anbi123d 1302 |
. . . 4
|
| 20 | 19 | adantl 275 |
. . 3
|
| 21 | 11, 20 | mpbird 166 |
. 2
|
| 22 | gcdval 11892 |
. . . 4
      
 | |
| 23 | 22 | adantr 274 |
. . 3
|
| 24 | iftrue 3525 |
. . . . . . 7
| |
| 25 | 24 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 26 | breq2 3986 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 27 | breq2 3986 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 28 | 26, 27 | bi2anan9 596 |
. . . . . . . . . 10
|
| 29 | breq2 3986 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 30 | breq2 3986 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 31 | 29, 30 | bi2anan9 596 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 32 | 31 | imbi1d 230 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 33 | 32 | ralbidv 2466 |
. . . . . . . . . 10
|
| 34 | 28, 33 | 3anbi23d 1305 |
. . . . . . . . 9
|
| 35 | dvdszrcl 11732 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 36 | dvds0 11746 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 37 | 36, 36 | jca 304 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 38 | 37 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 39 | pm5.5 241 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 40 | 38, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 41 | 40 | ralbidva 2462 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 42 | 0z 9202 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 43 | breq1 3985 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 44 | 43 | rspcv 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | 42, 44 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 46 | 0dvds 11751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 47 | 46 | biimpd 143 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 48 | eqcom 2167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 49 | 47, 48 | syl6ibr 161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 50 | 45, 49 | syl5 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 51 | 50 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 52 | 41, 51 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 53 | 52 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 54 | 53 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 55 | 35, 54 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 56 | 55 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 57 | 56 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | 57 | 3imp 1183 |
. . . . . . . . 9
|
| 59 | 34, 58 | syl6bi 162 |
. . . . . . . 8
|
| 60 | 59 | adantld 276 |
. . . . . . 7
|
| 61 | 60 | imp 123 |
. . . . . 6
|
| 62 | 25, 61 | eqtrd 2198 |
. . . . 5
|
| 63 | 62 | ancoms 266 |
. . . 4
|
| 64 | iffalse 3528 |
. . . . . . 7
| |
| 65 | 64 | adantr 274 |
. . . . . 6
|
| 66 | lttri3 7978 |
. . . . . . . 8
| |
| 67 | 66 | adantl 275 |
. . . . . . 7
|
| 68 | dvdszrcl 11732 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 69 | 68 | simpld 111 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 70 | 69 | zred 9313 |
. . . . . . . . . 10
|
| 71 | 70 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
|
| 72 | 71 | 3ad2ant2 1009 |
. . . . . . . 8
|
| 73 | 72 | ad2antll 483 |
. . . . . . 7
|
| 74 | breq1 3985 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 75 | breq1 3985 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 76 | 74, 75 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . 10
|
| 77 | 76 | elrab 2882 |
. . . . . . . . 9
|
| 78 | breq1 3985 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 79 | breq1 3985 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 80 | 78, 79 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 81 | breq1 3985 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 82 | 80, 81 | imbi12d 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 83 | 82 | rspcv 2826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 84 | 83 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 85 | 84 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 86 | 85 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 87 | elnn0z 9204 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 88 | 87 | simplbi2 383 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 89 | 88 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 90 | 68, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 91 | 90 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 92 | 91 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 93 | zre 9195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 94 | 93 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 95 | 94 | ad2antrl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 96 | 71 | ad3antlr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 97 | simp-5l 533 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 98 | elnn0 9116 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
  | |
| 99 | 2a1 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 100 | breq1 3985 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 101 | breq1 3985 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 102 | 100, 101 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 103 | 102 | anbi2d 460 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 104 | 103 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 105 | simplr 520 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
| |
| 106 | zdceq 9266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
DECID | |
| 107 | 42, 106 | mpan2 422 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
|
| 108 | ianordc 889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
| |
| 109 | 107, 108 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 110 | 109 | ad2antrl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 111 | 105, 110 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 112 | dvdszrcl 11732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 113 | 0dvds 11751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 114 | pm2.24 611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 115 | 113, 114 | syl6bi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 116 | 115 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 117 | 112, 116 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 118 | 117 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 119 | 118 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 120 | dvdszrcl 11732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 121 | 0dvds 11751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 122 | pm2.24 611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 123 | 121, 122 | syl6bi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 124 | 123 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 125 | 120, 124 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 126 | 125 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 127 | 126 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 128 | 119, 127 | jaoi 706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 129 | 111, 128 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 130 | 129 | adantld 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 131 | 130 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 132 | 104, 131 | sylbid 149 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 133 | 132 | ex 114 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 134 | 99, 133 | jaoi 706 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 135 | 98, 134 | sylbi 120 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 136 | 135 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 137 | 136 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 138 | dvdsle 11782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 139 | 97, 137, 138 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 140 | 139 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 141 | 140 | com14 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 142 | 141 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 143 | 142 | impcom 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 144 | 143 | imp 123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 145 | 95, 96, 144 | lensymd 8020 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 146 | 145 | exp31 362 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 147 | 92, 146 | mpan2d 425 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 148 | 147 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 149 | 86, 148 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 150 | 149 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 151 | 150 | 3impia 1190 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 152 | 151 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 153 | 152 | expimpd 361 |
. . . . . . . . . 10
|
| 154 | 153 | expimpd 361 |
. . . . . . . . 9
|
| 155 | 77, 154 | sylbi 120 |
. . . . . . . 8
|
| 156 | 155 | impcom 124 |
. . . . . . 7
|
| 157 | 69 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 158 | 157 | ancri 322 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 159 | 158 | 3ad2ant2 1009 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 160 | 159 | ad2antll 483 |
. . . . . . . . . 10
|
| 161 | 160 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
|
| 162 | breq1 3985 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 163 | breq1 3985 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 164 | 162, 163 | anbi12d 465 |
. . . . . . . . . 10
|
| 165 | 164 | elrab 2882 |
. . . . . . . . 9
|
| 166 | 161, 165 | sylibr 133 |
. . . . . . . 8
|
| 167 | breq2 3986 |
. . . . . . . . 9
| |
| 168 | 167 | adantl 275 |
. . . . . . . 8
|
| 169 | simprr 522 |
. . . . . . . 8
| |
| 170 | 166, 168, 169 | rspcedvd 2836 |
. . . . . . 7
|
| 171 | 67, 73, 156, 170 | eqsuptid 6962 |
. . . . . 6
|
| 172 | 65, 171 | eqtrd 2198 |
. . . . 5
|
| 173 | 172 | ancoms 266 |
. . . 4
|
| 174 | gcdmndc 11877 |
. . . . . 6
DECID | |
| 175 | 174 | adantr 274 |
. . . . 5
DECID |
| 176 | exmiddc 826 |
. . . . 5
DECID
| |
| 177 | 175, 176 | syl 14 |
. . . 4
|
| 178 | 63, 173, 177 | mpjaodan 788 |
. . 3
|
| 179 | 23, 178 | eqtr2d 2199 |
. 2
|
| 180 | 21, 179 | impbida 586 |
1
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| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 103
wb 104 wo 698 DECID wdc 824
w3a 968
wceq 1343
wcel 2136
wral 2444
crab 2448
cif 3520
class class class wbr 3982 (class class class)co 5842
csup 6947
cr 7752
cc0 7753
clt 7933
cle 7934
cn 8857
cn0 9114
cz 9191
cdvds 11727 cgcd 11875 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872 ax-caucvg 7873 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-frec 6359 df-sup 6949 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-2 8916 df-3 8917 df-4 8918 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-q 9558 df-rp 9590 df-fz 9945 df-fzo 10078 df-fl 10205 df-mod 10258 df-seqfrec 10381 df-exp 10455 df-cj 10784 df-re 10785 df-im 10786 df-rsqrt 10940 df-abs 10941 df-dvds 11728 df-gcd 11876 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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