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Theorem dfgcd2 11691
Description: Alternate definition of the  gcd operator, see definition in [ApostolNT] p. 15. (Contributed by AV, 8-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfgcd2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( D  =  ( M  gcd  N )  <-> 
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, e    e, M    e, N

Proof of Theorem dfgcd2
Dummy variables  f  g  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcdcl 11644 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
21nn0ge0d 9026 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( M  gcd  N ) )
3 gcddvds 11641 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
4 3anass 966 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( e  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
5 ancom 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  e  e.  ZZ ) )
64, 5bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  e  e.  ZZ ) )
7 dvdsgcd 11689 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) )
86, 7sylbir 134 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N
) ) )
98ralrimiva 2503 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) )
102, 3, 93jca 1161 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) )
1110adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  D  =  ( M  gcd  N ) )  ->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N ) 
||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) )
12 breq2 3928 . . . . 5  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( 0  <_  D  <->  0  <_  ( M  gcd  N ) ) )
13 breq1 3927 . . . . . 6  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( D  ||  M  <->  ( M  gcd  N )  ||  M ) )
14 breq1 3927 . . . . . 6  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( D  ||  N  <->  ( M  gcd  N )  ||  N ) )
1513, 14anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  <->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N ) ) )
16 breq2 3928 . . . . . . 7  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( e  ||  D  <->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) )
1716imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
)  <->  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N
) ) ) )
1817ralbidv 2435 . . . . 5  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
)  <->  A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) )
1912, 15, 183anbi123d 1290 . . . 4  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  <->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N ) 
||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
2019adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  D  =  ( M  gcd  N ) )  ->  ( (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  <->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N ) 
||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
2111, 20mpbird 166 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  D  =  ( M  gcd  N ) )  ->  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) )
22 gcdval 11637 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) ) )
2322adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  ( M  gcd  N )  =  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) ) )
24 iftrue 3474 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
2524adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
26 breq2 3928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  0  ->  ( D  ||  M  <->  D  ||  0
) )
27 breq2 3928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  0  ->  ( D  ||  N  <->  D  ||  0
) )
2826, 27bi2anan9 595 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( D 
||  M  /\  D  ||  N )  <->  ( D  ||  0  /\  D  ||  0 ) ) )
29 breq2 3928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  0  ->  (
e  ||  M  <->  e  ||  0 ) )
30 breq2 3928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  (
e  ||  N  <->  e  ||  0 ) )
3129, 30bi2anan9 595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  <->  ( e  ||  0  /\  e  ||  0 ) ) )
3231imbi1d 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N )  -> 
e  ||  D )  <->  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
) ) )
3332ralbidv 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  <->  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D ) ) )
3428, 333anbi23d 1293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  <->  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
) ) ) )
35 dvdszrcl 11487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D 
||  0  ->  ( D  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ ) )
36 dvds0 11497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  e.  ZZ  ->  e  ||  0 )
3736, 36jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  e.  ZZ  ->  (
e  ||  0  /\  e  ||  0 ) )
3837adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( e  ||  0  /\  e  ||  0
) )
39 pm5.5 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  ( ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
)  <->  e  ||  D
) )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
)  <->  e  ||  D
) )
4140ralbidva 2431 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  <->  A. e  e.  ZZ  e  ||  D
) )
42 0z 9058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  ZZ
43 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  0  ->  (
e  ||  D  <->  0  ||  D ) )
4443rspcv 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  ||  D ) )
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  ||  D )
46 0dvds 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  ||  D  <->  D  = 
0 ) )
4746biimpd 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  ||  D  ->  D  =  0 ) )
48 eqcom 2139 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  =  D  <->  D  = 
0 )
4947, 48syl6ibr 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  ||  D  ->  0  =  D ) )
5045, 49syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  =  D ) )
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  -> 
( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  =  D ) )
5241, 51sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) )
5352ex 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0
)  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5453adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5535, 54syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D 
||  0  ->  (
0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0
)  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5655adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  ->  ( 0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5756com12 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  D  ->  (
( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
58573imp 1175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D ) )  -> 
0  =  D )
5934, 58syl6bi 162 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  0  =  D ) )
6059adantld 276 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  0  =  D ) )
6160imp 123 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  0  =  D )
6225, 61eqtrd 2170 . . . . 5  |-  ( ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
6362ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) )  /\  ( M  =  0  /\  N  =  0
) )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
64 iffalse 3477 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )
6564adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )
66 lttri3 7837 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
6766adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
68 dvdszrcl 11487 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D 
||  M  ->  ( D  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
6968simpld 111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D 
||  M  ->  D  e.  ZZ )
7069zred 9166 . . . . . . . . . 10  |-  ( D 
||  M  ->  D  e.  RR )
7170adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  ->  D  e.  RR )
72713ad2ant2 1003 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  D  e.  RR )
7372ad2antll 482 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  D  e.  RR )
74 breq1 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
n  ||  M  <->  y  ||  M ) )
75 breq1 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
n  ||  N  <->  y  ||  N ) )
7674, 75anbi12d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <-> 
( y  ||  M  /\  y  ||  N ) ) )
7776elrab 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) ) )
78 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  y  ->  (
e  ||  M  <->  y  ||  M ) )
79 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  y  ->  (
e  ||  N  <->  y  ||  N ) )
8078, 79anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  y  ->  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  <-> 
( y  ||  M  /\  y  ||  N ) ) )
81 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  y  ->  (
e  ||  D  <->  y  ||  D ) )
8280, 81imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  y  ->  (
( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  D )  <->  ( (
y  ||  M  /\  y  ||  N )  -> 
y  ||  D )
) )
8382rspcv 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  D )  ->  (
( y  ||  M  /\  y  ||  N )  ->  y  ||  D
) ) )
8483com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( y  ||  M  /\  y  ||  N )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  y  ||  D ) ) )
8584imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  ->  ( A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
)  ->  y  ||  D ) )
8685ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  y  ||  D ) )
87 elnn0z 9060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  NN0  <->  ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D ) )
8887simplbi2 382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  <_  D  ->  D  e.  NN0 ) )
8988adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  D  ->  D  e.  NN0 )
)
9068, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D 
||  M  ->  (
0  <_  D  ->  D  e.  NN0 ) )
9190adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  -> 
( 0  <_  D  ->  D  e.  NN0 )
)
9291impcom 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  D  e.  NN0 )
93 zre 9051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
9493ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  y  e.  RR )
9594ad2antrl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  y  e.  RR )
9671ad3antlr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  D  e.  RR )
97 simp-5l 532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
98 elnn0 8972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( D  e.  NN0  <->  ( D  e.  NN  \/  D  =  0 ) )
99 2a1 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( D  e.  NN  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
100 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( D  =  0  ->  ( D  ||  M  <->  0  ||  M ) )
101 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( D  =  0  ->  ( D  ||  N  <->  0  ||  N ) )
102100, 101anbi12d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( D  =  0  ->  (
( D  ||  M  /\  D  ||  N )  <-> 
( 0  ||  M  /\  0  ||  N ) ) )
103102anbi2d 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( D  =  0  ->  (
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  <->  ( 0  <_  D  /\  ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
) ) ) )
104103adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( D  =  0  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  <->  ( 0  <_  D  /\  (
0  ||  M  /\  0  ||  N ) ) ) )
105 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
106 zdceq 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  =  0 )
10742, 106mpan2 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( M  e.  ZZ  -> DECID  M  =  0
)
108 ianordc 884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  (DECID  M  =  0  ->  ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0
)  <->  ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 ) ) )
109107, 108syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  <->  ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 ) ) )
110109ad2antrl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  <->  ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0
) ) )
111105, 110mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 ) )
112 dvdszrcl 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 0 
||  M  ->  (
0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)
113 0dvds 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  ||  M  <->  M  = 
0 ) )
114 pm2.24 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( M  =  0  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) )
115113, 114syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  ||  M  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
116115adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  M  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
117112, 116mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 0 
||  M  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) )
118117adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N )  -> 
( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) )
119118com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( -.  M  =  0  -> 
( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
)  ->  D  e.  NN ) )
120 dvdszrcl 11487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 0 
||  N  ->  (
0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
121 0dvds 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
122 pm2.24 610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  =  0  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) )
123121, 122syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
124123adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  N  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
125120, 124mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 0 
||  N  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) )
126125adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N )  -> 
( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) )
127126com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( -.  N  =  0  -> 
( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
)  ->  D  e.  NN ) )
128119, 127jaoi 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 )  ->  (
( 0  ||  M  /\  0  ||  N )  ->  D  e.  NN ) )
129111, 128syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
)  ->  D  e.  NN ) )
130129adantld 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) )
131130adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( D  =  0  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  (
0  ||  M  /\  0  ||  N ) )  ->  D  e.  NN ) )
132104, 131sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( D  =  0  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  D  e.  NN )
)
133132ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( D  =  0  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
13499, 133jaoi 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( D  e.  NN  \/  D  =  0 )  ->  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
13598, 134sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( D  e.  NN0  ->  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
136135impcom 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) )
137136imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )  ->  D  e.  NN )
138 dvdsle 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( y  ||  D  ->  y  <_  D )
)
13997, 137, 138syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )  ->  (
y  ||  D  ->  y  <_  D ) )
140139exp31 361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( D  e.  NN0  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  (
y  ||  D  ->  y  <_  D ) ) ) )
141140com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y 
||  D  ->  ( D  e.  NN0  ->  (
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( (
( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
y  <_  D )
) ) )
142141imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  ||  D  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
y  <_  D )
) )
143142impcom 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  /\  ( y 
||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  -> 
( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
y  <_  D )
)
144143imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  y  <_  D
)
14595, 96, 144lensymd 7877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  -.  D  <  y )
146145exp31 361 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( ( y 
||  D  /\  D  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
14792, 146mpan2d 424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( y  ||  D  ->  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
148147com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( y  ||  D  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
14986, 148syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  (
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
150149com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
1511503impia 1178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) )
152151com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) )  ->  -.  D  <  y ) )
153152expimpd 360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  -.  D  <  y ) )
154153expimpd 360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  ->  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  -.  D  <  y ) )
15577, 154sylbi 120 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  ->  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  ->  -.  D  <  y ) )
156155impcom 124 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  y  e.  {
n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } )  ->  -.  D  <  y )
15769adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  ->  D  e.  ZZ )
158157ancri 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  -> 
( D  e.  ZZ  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
1591583ad2ant2 1003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  ( D  e.  ZZ  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
160159ad2antll 482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  ( D  e.  ZZ  /\  ( D 
||  M  /\  D  ||  N ) ) )
161160adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  -> 
( D  e.  ZZ  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
162 breq1 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  D  ->  (
n  ||  M  <->  D  ||  M
) )
163 breq1 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  D  ->  (
n  ||  N  <->  D  ||  N
) )
164162, 163anbi12d 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  D  ->  (
( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <-> 
( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
165164elrab 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  <->  ( D  e.  ZZ  /\  ( D 
||  M  /\  D  ||  N ) ) )
166161, 165sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  ->  D  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } )
167 breq2 3928 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  D  ->  (
y  <  z  <->  y  <  D ) )
168167adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  /\  z  =  D )  ->  ( y  <  z  <->  y  <  D ) )
169 simprr 521 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  -> 
y  <  D )
170166, 168, 169rspcedvd 2790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } y  <  z )
17167, 73, 156, 170eqsuptid 6877 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  )  =  D )
17265, 171eqtrd 2170 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
173172ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
174 gcdmndc 11626 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
175174adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  -> DECID 
( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
176 exmiddc 821 . . . . 5  |-  (DECID  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  -> 
( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  \/  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0
) ) )
177175, 176syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  \/ 
-.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
17863, 173, 177mpjaodan 787 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
17923, 178eqtr2d 2171 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  D  =  ( M  gcd  N ) )
18021, 179impbida 585 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( D  =  ( M  gcd  N )  <-> 
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697  DECID wdc 819    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   {crab 2418   ifcif 3469   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   supcsup 6862   RRcr 7612   0cc0 7613    < clt 7793    <_ cle 7794   NNcn 8713   NN0cn0 8970   ZZcz 9047    || cdvds 11482    gcd cgcd 11624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-sup 6864  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-fz 9784  df-fzo 9913  df-fl 10036  df-mod 10089  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-dvds 11483  df-gcd 11625
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