Nearby theorems
|
|
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dfgcd2 | Unicode version | ||
Description: Alternate definition of
the  operator,
see definition in
[ApostolNT] p. 15. (Contributed by
AV, 8-Aug-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| dfgcd2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
       
  |
, , ,
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcdcl 11969 |
. . . . . 6
 | |
| 2 | 1 | nn0ge0d 9234 |
. . . . 5
|
| 3 | gcddvds 11966 |
. . . . 5
| |
| 4 | 3anass 982 |
. . . . . . . 8
| |
| 5 | ancom 266 |
. . . . . . . 8
| |
| 6 | 4, 5 | bitri 184 |
. . . . . . 7
|
| 7 | dvdsgcd 12015 |
. . . . . . 7
| |
| 8 | 6, 7 | sylbir 135 |
. . . . . 6
|
| 9 | 8 | ralrimiva 2550 |
. . . . 5
|
| 10 | 2, 3, 9 | 3jca 1177 |
. . . 4
|
| 11 | 10 | adantr 276 |
. . 3
|
| 12 | breq2 4009 |
. . . . 5
| |
| 13 | breq1 4008 |
. . . . . 6
| |
| 14 | breq1 4008 |
. . . . . 6
| |
| 15 | 13, 14 | anbi12d 473 |
. . . . 5
|
| 16 | breq2 4009 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 16 | imbi2d 230 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | ralbidv 2477 |
. . . . 5
|
| 19 | 12, 15, 18 | 3anbi123d 1312 |
. . . 4
|
| 20 | 19 | adantl 277 |
. . 3
|
| 21 | 11, 20 | mpbird 167 |
. 2
|
| 22 | gcdval 11962 |
. . . 4
      
 | |
| 23 | 22 | adantr 276 |
. . 3
|
| 24 | iftrue 3541 |
. . . . . . 7
| |
| 25 | 24 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 26 | breq2 4009 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 27 | breq2 4009 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 28 | 26, 27 | bi2anan9 606 |
. . . . . . . . . 10
|
| 29 | breq2 4009 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 30 | breq2 4009 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 31 | 29, 30 | bi2anan9 606 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 32 | 31 | imbi1d 231 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 33 | 32 | ralbidv 2477 |
. . . . . . . . . 10
|
| 34 | 28, 33 | 3anbi23d 1315 |
. . . . . . . . 9
|
| 35 | dvdszrcl 11801 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 36 | dvds0 11815 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 37 | 36, 36 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 38 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 39 | pm5.5 242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 40 | 38, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 41 | 40 | ralbidva 2473 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 42 | 0z 9266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 43 | breq1 4008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 44 | 43 | rspcv 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | 42, 44 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 46 | 0dvds 11820 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 47 | 46 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 48 | eqcom 2179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 49 | 47, 48 | imbitrrdi 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 50 | 45, 49 | syl5 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 51 | 50 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 52 | 41, 51 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 53 | 52 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 54 | 53 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 55 | 35, 54 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 56 | 55 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 57 | 56 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | 57 | 3imp 1193 |
. . . . . . . . 9
|
| 59 | 34, 58 | biimtrdi 163 |
. . . . . . . 8
|
| 60 | 59 | adantld 278 |
. . . . . . 7
|
| 61 | 60 | imp 124 |
. . . . . 6
|
| 62 | 25, 61 | eqtrd 2210 |
. . . . 5
|
| 63 | 62 | ancoms 268 |
. . . 4
|
| 64 | iffalse 3544 |
. . . . . . 7
| |
| 65 | 64 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 66 | lttri3 8039 |
. . . . . . . 8
| |
| 67 | 66 | adantl 277 |
. . . . . . 7
|
| 68 | dvdszrcl 11801 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 69 | 68 | simpld 112 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 70 | 69 | zred 9377 |
. . . . . . . . . 10
|
| 71 | 70 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
|
| 72 | 71 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . 8
|
| 73 | 72 | ad2antll 491 |
. . . . . . 7
|
| 74 | breq1 4008 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 75 | breq1 4008 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 76 | 74, 75 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . 10
|
| 77 | 76 | elrab 2895 |
. . . . . . . . 9
|
| 78 | breq1 4008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 79 | breq1 4008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 80 | 78, 79 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 81 | breq1 4008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 82 | 80, 81 | imbi12d 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 83 | 82 | rspcv 2839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 84 | 83 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 85 | 84 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 86 | 85 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 87 | elnn0z 9268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 88 | 87 | simplbi2 385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 89 | 88 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 90 | 68, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 91 | 90 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 92 | 91 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 93 | zre 9259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 94 | 93 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 95 | 94 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 96 | 71 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 97 | simp-5l 543 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 98 | elnn0 9180 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
  | |
| 99 | 2a1 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 100 | breq1 4008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 101 | breq1 4008 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 102 | 100, 101 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 103 | 102 | anbi2d 464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 104 | 103 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 105 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
| |
| 106 | zdceq 9330 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
DECID | |
| 107 | 42, 106 | mpan2 425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
|
| 108 | ianordc 899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
| |
| 109 | 107, 108 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 110 | 109 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 111 | 105, 110 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 112 | dvdszrcl 11801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 113 | 0dvds 11820 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 114 | pm2.24 621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 115 | 113, 114 | biimtrdi 163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 116 | 115 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 117 | 112, 116 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 118 | 117 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 119 | 118 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 120 | dvdszrcl 11801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 121 | 0dvds 11820 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 122 | pm2.24 621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 123 | 121, 122 | biimtrdi 163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 124 | 123 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 125 | 120, 124 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 126 | 125 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 127 | 126 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 128 | 119, 127 | jaoi 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 129 | 111, 128 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 130 | 129 | adantld 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 131 | 130 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 132 | 104, 131 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 133 | 132 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 134 | 99, 133 | jaoi 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 135 | 98, 134 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 136 | 135 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 138 | dvdsle 11852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 139 | 97, 137, 138 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 140 | 139 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 141 | 140 | com14 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 142 | 141 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 143 | 142 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 144 | 143 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 145 | 95, 96, 144 | lensymd 8081 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 146 | 145 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 147 | 92, 146 | mpan2d 428 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 148 | 147 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 149 | 86, 148 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 150 | 149 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 151 | 150 | 3impia 1200 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 152 | 151 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 153 | 152 | expimpd 363 |
. . . . . . . . . 10
|
| 154 | 153 | expimpd 363 |
. . . . . . . . 9
|
| 155 | 77, 154 | sylbi 121 |
. . . . . . . 8
|
| 156 | 155 | impcom 125 |
. . . . . . 7
|
| 157 | 69 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 158 | 157 | ancri 324 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 159 | 158 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 160 | 159 | ad2antll 491 |
. . . . . . . . . 10
|
| 161 | 160 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
|
| 162 | breq1 4008 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 163 | breq1 4008 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 164 | 162, 163 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . 10
|
| 165 | 164 | elrab 2895 |
. . . . . . . . 9
|
| 166 | 161, 165 | sylibr 134 |
. . . . . . . 8
|
| 167 | breq2 4009 |
. . . . . . . . 9
| |
| 168 | 167 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
|
| 169 | simprr 531 |
. . . . . . . 8
| |
| 170 | 166, 168, 169 | rspcedvd 2849 |
. . . . . . 7
|
| 171 | 67, 73, 156, 170 | eqsuptid 6998 |
. . . . . 6
|
| 172 | 65, 171 | eqtrd 2210 |
. . . . 5
|
| 173 | 172 | ancoms 268 |
. . . 4
|
| 174 | gcdmndc 11947 |
. . . . . 6
DECID | |
| 175 | 174 | adantr 276 |
. . . . 5
DECID |
| 176 | exmiddc 836 |
. . . . 5
DECID
| |
| 177 | 175, 176 | syl 14 |
. . . 4
|
| 178 | 63, 173, 177 | mpjaodan 798 |
. . 3
|
| 179 | 23, 178 | eqtr2d 2211 |
. 2
|
| 180 | 21, 179 | impbida 596 |
1
|
| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 708 DECID wdc 834
w3a 978
wceq 1353
wcel 2148
wral 2455
crab 2459
cif 3536
class class class wbr 4005 (class class class)co 5877
csup 6983
cr 7812
cc0 7813
clt 7994
cle 7995
cn 8921
cn0 9178
cz 9255
cdvds 11796 cgcd 11945 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-frec 6394 df-sup 6985 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-q 9622 df-rp 9656 df-fz 10011 df-fzo 10145 df-fl 10272 df-mod 10325 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 df-dvds 11797 df-gcd 11946 |
| This theorem is referenced by: (None) |
| Copyright terms: Public domain | W3C validator |