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| Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > dfgcd2 | Unicode version | ||
Description: Alternate definition of
the  operator,
see definition in
[ApostolNT] p. 15. (Contributed by
AV, 8-Aug-2021.) |
| Ref | Expression |
|---|---|
| dfgcd2 |
     ![/\](wedge.gif "/\"){kind=small} 
       
  |
, , ,
are mutually distinct and
distinct from all other variables.| Step | Hyp | Ref | Expression |
|---|---|---|---|
| 1 | gcdcl 11961 |
. . . . . 6
 | |
| 2 | 1 | nn0ge0d 9230 |
. . . . 5
|
| 3 | gcddvds 11958 |
. . . . 5
| |
| 4 | 3anass 982 |
. . . . . . . 8
| |
| 5 | ancom 266 |
. . . . . . . 8
| |
| 6 | 4, 5 | bitri 184 |
. . . . . . 7
|
| 7 | dvdsgcd 12007 |
. . . . . . 7
| |
| 8 | 6, 7 | sylbir 135 |
. . . . . 6
|
| 9 | 8 | ralrimiva 2550 |
. . . . 5
|
| 10 | 2, 3, 9 | 3jca 1177 |
. . . 4
|
| 11 | 10 | adantr 276 |
. . 3
|
| 12 | breq2 4007 |
. . . . 5
| |
| 13 | breq1 4006 |
. . . . . 6
| |
| 14 | breq1 4006 |
. . . . . 6
| |
| 15 | 13, 14 | anbi12d 473 |
. . . . 5
|
| 16 | breq2 4007 |
. . . . . . 7
| |
| 17 | 16 | imbi2d 230 |
. . . . . 6
|
| 18 | 17 | ralbidv 2477 |
. . . . 5
|
| 19 | 12, 15, 18 | 3anbi123d 1312 |
. . . 4
|
| 20 | 19 | adantl 277 |
. . 3
|
| 21 | 11, 20 | mpbird 167 |
. 2
|
| 22 | gcdval 11954 |
. . . 4
      
 | |
| 23 | 22 | adantr 276 |
. . 3
|
| 24 | iftrue 3539 |
. . . . . . 7
| |
| 25 | 24 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 26 | breq2 4007 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 27 | breq2 4007 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 28 | 26, 27 | bi2anan9 606 |
. . . . . . . . . 10
|
| 29 | breq2 4007 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 30 | breq2 4007 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 31 | 29, 30 | bi2anan9 606 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 32 | 31 | imbi1d 231 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 33 | 32 | ralbidv 2477 |
. . . . . . . . . 10
|
| 34 | 28, 33 | 3anbi23d 1315 |
. . . . . . . . 9
|
| 35 | dvdszrcl 11794 |
. . . . . . . . . . . . 13
| |
| 36 | dvds0 11808 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 37 | 36, 36 | jca 306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 38 | 37 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 39 | pm5.5 242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
| |
| 40 | 38, 39 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 41 | 40 | ralbidva 2473 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 42 | 0z 9262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 43 | breq1 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 44 | 43 | rspcv 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 45 | 42, 44 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 46 | 0dvds 11813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 47 | 46 | biimpd 144 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 48 | eqcom 2179 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
| |
| 49 | 47, 48 | syl6ibr 162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 50 | 45, 49 | syl5 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 51 | 50 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 52 | 41, 51 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 53 | 52 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 54 | 53 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 55 | 35, 54 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 56 | 55 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 57 | 56 | com12 30 |
. . . . . . . . . 10
|
| 58 | 57 | 3imp 1193 |
. . . . . . . . 9
|
| 59 | 34, 58 | syl6bi 163 |
. . . . . . . 8
|
| 60 | 59 | adantld 278 |
. . . . . . 7
|
| 61 | 60 | imp 124 |
. . . . . 6
|
| 62 | 25, 61 | eqtrd 2210 |
. . . . 5
|
| 63 | 62 | ancoms 268 |
. . . 4
|
| 64 | iffalse 3542 |
. . . . . . 7
| |
| 65 | 64 | adantr 276 |
. . . . . 6
|
| 66 | lttri3 8035 |
. . . . . . . 8
| |
| 67 | 66 | adantl 277 |
. . . . . . 7
|
| 68 | dvdszrcl 11794 |
. . . . . . . . . . . 12
| |
| 69 | 68 | simpld 112 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 70 | 69 | zred 9373 |
. . . . . . . . . 10
|
| 71 | 70 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
|
| 72 | 71 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . 8
|
| 73 | 72 | ad2antll 491 |
. . . . . . 7
|
| 74 | breq1 4006 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 75 | breq1 4006 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 76 | 74, 75 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . 10
|
| 77 | 76 | elrab 2893 |
. . . . . . . . 9
|
| 78 | breq1 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 79 | breq1 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 80 | 78, 79 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 81 | breq1 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
| |
| 82 | 80, 81 | imbi12d 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 83 | 82 | rspcv 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 84 | 83 | com23 78 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 85 | 84 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 86 | 85 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 87 | elnn0z 9264 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
| |
| 88 | 87 | simplbi2 385 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 89 | 88 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 90 | 68, 89 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 91 | 90 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 92 | 91 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 93 | zre 9255 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
| |
| 94 | 93 | ad2antrr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 95 | 94 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 96 | 71 | ad3antlr 493 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 97 | simp-5l 543 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 98 | elnn0 9176 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
  | |
| 99 | 2a1 25 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
| |
| 100 | breq1 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 101 | breq1 4006 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
| |
| 102 | 100, 101 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 103 | 102 | anbi2d 464 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 104 | 103 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 105 | simplr 528 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
| |
| 106 | zdceq 9326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
DECID | |
| 107 | 42, 106 | mpan2 425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
|
| 108 | ianordc 899 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
DECID
| |
| 109 | 107, 108 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 110 | 109 | ad2antrl 490 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 111 | 105, 110 | mpbid 147 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 112 | dvdszrcl 11794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 113 | 0dvds 11813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 114 | pm2.24 621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 115 | 113, 114 | syl6bi 163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 116 | 115 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 117 | 112, 116 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 118 | 117 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 119 | 118 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 120 | dvdszrcl 11794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
| |
| 121 | 0dvds 11813 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 122 | pm2.24 621 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
| |
| 123 | 121, 122 | syl6bi 163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
|
| 124 | 123 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
|
| 125 | 120, 124 | mpcom 36 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
|
| 126 | 125 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
|
| 127 | 126 | com12 30 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
|
| 128 | 119, 127 | jaoi 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
|
| 129 | 111, 128 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
|
| 130 | 129 | adantld 278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
|
| 131 | 130 | adantl 277 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
|
| 132 | 104, 131 | sylbid 150 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
|
| 133 | 132 | ex 115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
|
| 134 | 99, 133 | jaoi 716 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
|
| 135 | 98, 134 | sylbi 121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
|
| 136 | 135 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
|
| 137 | 136 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
|
| 138 | dvdsle 11844 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
| |
| 139 | 97, 137, 138 | syl2anc 411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
|
| 140 | 139 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
| 141 | 140 | com14 88 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
|
| 142 | 141 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
|
| 143 | 142 | impcom 125 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
|
| 144 | 143 | imp 124 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
|
| 145 | 95, 96, 144 | lensymd 8077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
|
| 146 | 145 | exp31 364 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
|
| 147 | 92, 146 | mpan2d 428 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
|
| 148 | 147 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
|
| 149 | 86, 148 | syld 45 |
. . . . . . . . . . . . . 14
|
| 150 | 149 | com13 80 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 151 | 150 | 3impia 1200 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 152 | 151 | com12 30 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 153 | 152 | expimpd 363 |
. . . . . . . . . 10
|
| 154 | 153 | expimpd 363 |
. . . . . . . . 9
|
| 155 | 77, 154 | sylbi 121 |
. . . . . . . 8
|
| 156 | 155 | impcom 125 |
. . . . . . 7
|
| 157 | 69 | adantr 276 |
. . . . . . . . . . . . 13
|
| 158 | 157 | ancri 324 |
. . . . . . . . . . . 12
|
| 159 | 158 | 3ad2ant2 1019 |
. . . . . . . . . . 11
|
| 160 | 159 | ad2antll 491 |
. . . . . . . . . 10
|
| 161 | 160 | adantr 276 |
. . . . . . . . 9
|
| 162 | breq1 4006 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 163 | breq1 4006 |
. . . . . . . . . . 11
| |
| 164 | 162, 163 | anbi12d 473 |
. . . . . . . . . 10
|
| 165 | 164 | elrab 2893 |
. . . . . . . . 9
|
| 166 | 161, 165 | sylibr 134 |
. . . . . . . 8
|
| 167 | breq2 4007 |
. . . . . . . . 9
| |
| 168 | 167 | adantl 277 |
. . . . . . . 8
|
| 169 | simprr 531 |
. . . . . . . 8
| |
| 170 | 166, 168, 169 | rspcedvd 2847 |
. . . . . . 7
|
| 171 | 67, 73, 156, 170 | eqsuptid 6995 |
. . . . . 6
|
| 172 | 65, 171 | eqtrd 2210 |
. . . . 5
|
| 173 | 172 | ancoms 268 |
. . . 4
|
| 174 | gcdmndc 11939 |
. . . . . 6
DECID | |
| 175 | 174 | adantr 276 |
. . . . 5
DECID |
| 176 | exmiddc 836 |
. . . . 5
DECID
| |
| 177 | 175, 176 | syl 14 |
. . . 4
|
| 178 | 63, 173, 177 | mpjaodan 798 |
. . 3
|
| 179 | 23, 178 | eqtr2d 2211 |
. 2
|
| 180 | 21, 179 | impbida 596 |
1
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| Colors of variables: wff set class |
| Syntax hints: wn 3
wi 4
wa 104
wb 105 wo 708 DECID wdc 834
w3a 978
wceq 1353
wcel 2148
wral 2455
crab 2459
cif 3534
class class class wbr 4003 (class class class)co 5874
csup 6980
cr 7809
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clt 7990
cle 7991
cn 8917
cn0 9174
cz 9251
cdvds 11789 cgcd 11937 |
| This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-mulrcl 7909 ax-addcom 7910 ax-mulcom 7911 ax-addass 7912 ax-mulass 7913 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-1rid 7917 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-precex 7920 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 ax-pre-mulgt0 7927 ax-pre-mulext 7928 ax-arch 7929 ax-caucvg 7930 |
| This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-po 4296 df-iso 4297 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-frec 6391 df-sup 6982 df-pnf 7992 df-mnf 7993 df-xr 7994 df-ltxr 7995 df-le 7996 df-sub 8128 df-neg 8129 df-reap 8530 df-ap 8537 df-div 8628 df-inn 8918 df-2 8976 df-3 8977 df-4 8978 df-n0 9175 df-z 9252 df-uz 9527 df-q 9618 df-rp 9652 df-fz 10007 df-fzo 10140 df-fl 10267 df-mod 10320 df-seqfrec 10443 df-exp 10517 df-cj 10846 df-re 10847 df-im 10848 df-rsqrt 11002 df-abs 11003 df-dvds 11790 df-gcd 11938 |
| This theorem is referenced by: (None) |
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