ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dfgcd2 Unicode version

Theorem dfgcd2 11913
Description: Alternate definition of the  gcd operator, see definition in [ApostolNT] p. 15. (Contributed by AV, 8-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dfgcd2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( D  =  ( M  gcd  N )  <-> 
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )
Distinct variable groups:    D, e    e, M    e, N

Proof of Theorem dfgcd2
Dummy variables  f  g  n  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gcdcl 11865 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  e.  NN0 )
21nn0ge0d 9151 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( M  gcd  N ) )
3 gcddvds 11862 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N ) )
4 3anass 967 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( e  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )
5 ancom 264 . . . . . . . 8  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  e  e.  ZZ ) )
64, 5bitri 183 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  e  e.  ZZ ) )
7 dvdsgcd 11911 . . . . . . 7  |-  ( ( e  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) )
86, 7sylbir 134 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N
) ) )
98ralrimiva 2530 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) )
102, 3, 93jca 1162 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N ) 
||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) )
1110adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  D  =  ( M  gcd  N ) )  ->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N ) 
||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) )
12 breq2 3971 . . . . 5  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( 0  <_  D  <->  0  <_  ( M  gcd  N ) ) )
13 breq1 3970 . . . . . 6  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( D  ||  M  <->  ( M  gcd  N )  ||  M ) )
14 breq1 3970 . . . . . 6  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( D  ||  N  <->  ( M  gcd  N )  ||  N ) )
1513, 14anbi12d 465 . . . . 5  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  <->  ( ( M  gcd  N )  ||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N ) ) )
16 breq2 3971 . . . . . . 7  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( e  ||  D  <->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) )
1716imbi2d 229 . . . . . 6  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
)  <->  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N
) ) ) )
1817ralbidv 2457 . . . . 5  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
)  <->  A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) )
1912, 15, 183anbi123d 1294 . . . 4  |-  ( D  =  ( M  gcd  N )  ->  ( (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  <->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N ) 
||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
2019adantl 275 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  D  =  ( M  gcd  N ) )  ->  ( (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  <->  ( 0  <_  ( M  gcd  N )  /\  ( ( M  gcd  N ) 
||  M  /\  ( M  gcd  N )  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  ( M  gcd  N ) ) ) ) )
2111, 20mpbird 166 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  D  =  ( M  gcd  N ) )  ->  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) )
22 gcdval 11858 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  gcd  N
)  =  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) ) )
2322adantr 274 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  ( M  gcd  N )  =  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) ) )
24 iftrue 3511 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
2524adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  0 )
26 breq2 3971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  =  0  ->  ( D  ||  M  <->  D  ||  0
) )
27 breq2 3971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  =  0  ->  ( D  ||  N  <->  D  ||  0
) )
2826, 27bi2anan9 596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( D 
||  M  /\  D  ||  N )  <->  ( D  ||  0  /\  D  ||  0 ) ) )
29 breq2 3971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  =  0  ->  (
e  ||  M  <->  e  ||  0 ) )
30 breq2 3971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  (
e  ||  N  <->  e  ||  0 ) )
3129, 30bi2anan9 596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  <->  ( e  ||  0  /\  e  ||  0 ) ) )
3231imbi1d 230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N )  -> 
e  ||  D )  <->  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
) ) )
3332ralbidv 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  <->  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D ) ) )
3428, 333anbi23d 1297 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  <->  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
) ) ) )
35 dvdszrcl 11699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D 
||  0  ->  ( D  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ ) )
36 dvds0 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  e.  ZZ  ->  e  ||  0 )
3736, 36jca 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  e.  ZZ  ->  (
e  ||  0  /\  e  ||  0 ) )
3837adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( e  ||  0  /\  e  ||  0
) )
39 pm5.5 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  ( ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
)  <->  e  ||  D
) )
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  /\  e  e.  ZZ )  ->  ( ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D
)  <->  e  ||  D
) )
4140ralbidva 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  <->  A. e  e.  ZZ  e  ||  D
) )
42 0z 9183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  ZZ
43 breq1 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  0  ->  (
e  ||  D  <->  0  ||  D ) )
4443rspcv 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  ( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  ||  D ) )
4542, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  ||  D )
46 0dvds 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  ||  D  <->  D  = 
0 ) )
4746biimpd 143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  ||  D  ->  D  =  0 ) )
48 eqcom 2159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  =  D  <->  D  = 
0 )
4947, 48syl6ibr 161 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  ||  D  ->  0  =  D ) )
5045, 49syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( D  e.  ZZ  ->  ( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  =  D ) )
5150adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  -> 
( A. e  e.  ZZ  e  ||  D  ->  0  =  D ) )
5241, 51sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) )
5352ex 114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0
)  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5453adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5535, 54syl 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D 
||  0  ->  (
0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  0  /\  e  ||  0
)  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5655adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  ->  ( 0  <_  D  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
5756com12 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  D  ->  (
( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D )  ->  0  =  D ) ) )
58573imp 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  0  /\  D  ||  0 )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  0  /\  e  ||  0 )  ->  e  ||  D ) )  -> 
0  =  D )
5934, 58syl6bi 162 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  0  =  D ) )
6059adantld 276 . . . . . . 7  |-  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  0  =  D ) )
6160imp 123 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  0  =  D )
6225, 61eqtrd 2190 . . . . 5  |-  ( ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
6362ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) )  /\  ( M  =  0  /\  N  =  0
) )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
64 iffalse 3514 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )
6564adantr 274 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )
66 lttri3 7959 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR )  ->  ( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
6766adantl 275 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( f  e.  RR  /\  g  e.  RR ) )  -> 
( f  =  g  <-> 
( -.  f  < 
g  /\  -.  g  <  f ) ) )
68 dvdszrcl 11699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D 
||  M  ->  ( D  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ ) )
6968simpld 111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D 
||  M  ->  D  e.  ZZ )
7069zred 9291 . . . . . . . . . 10  |-  ( D 
||  M  ->  D  e.  RR )
7170adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  ->  D  e.  RR )
72713ad2ant2 1004 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  D  e.  RR )
7372ad2antll 483 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  D  e.  RR )
74 breq1 3970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
n  ||  M  <->  y  ||  M ) )
75 breq1 3970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  y  ->  (
n  ||  N  <->  y  ||  N ) )
7674, 75anbi12d 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  y  ->  (
( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <-> 
( y  ||  M  /\  y  ||  N ) ) )
7776elrab 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  <->  ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) ) )
78 breq1 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  y  ->  (
e  ||  M  <->  y  ||  M ) )
79 breq1 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( e  =  y  ->  (
e  ||  N  <->  y  ||  N ) )
8078, 79anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  y  ->  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  <-> 
( y  ||  M  /\  y  ||  N ) ) )
81 breq1 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( e  =  y  ->  (
e  ||  D  <->  y  ||  D ) )
8280, 81imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( e  =  y  ->  (
( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  D )  <->  ( (
y  ||  M  /\  y  ||  N )  -> 
y  ||  D )
) )
8382rspcv 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e  ||  M  /\  e  ||  N
)  ->  e  ||  D )  ->  (
( y  ||  M  /\  y  ||  N )  ->  y  ||  D
) ) )
8483com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( y  ||  M  /\  y  ||  N )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  y  ||  D ) ) )
8584imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  ->  ( A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
)  ->  y  ||  D ) )
8685ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  y  ||  D ) )
87 elnn0z 9185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D  e.  NN0  <->  ( D  e.  ZZ  /\  0  <_  D ) )
8887simplbi2 383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  ZZ  ->  (
0  <_  D  ->  D  e.  NN0 ) )
8988adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  D  ->  D  e.  NN0 )
)
9068, 89syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D 
||  M  ->  (
0  <_  D  ->  D  e.  NN0 ) )
9190adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  -> 
( 0  <_  D  ->  D  e.  NN0 )
)
9291impcom 124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  D  e.  NN0 )
93 zre 9176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
9493ad2antrr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  y  e.  RR )
9594ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  y  e.  RR )
9671ad3antlr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  D  e.  RR )
97 simp-5l 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
98 elnn0 9097 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( D  e.  NN0  <->  ( D  e.  NN  \/  D  =  0 ) )
99 2a1 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( D  e.  NN  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
100 breq1 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( D  =  0  ->  ( D  ||  M  <->  0  ||  M ) )
101 breq1 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( D  =  0  ->  ( D  ||  N  <->  0  ||  N ) )
102100, 101anbi12d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( D  =  0  ->  (
( D  ||  M  /\  D  ||  N )  <-> 
( 0  ||  M  /\  0  ||  N ) ) )
103102anbi2d 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( D  =  0  ->  (
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  <->  ( 0  <_  D  /\  ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
) ) ) )
104103adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( D  =  0  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  <->  ( 0  <_  D  /\  (
0  ||  M  /\  0  ||  N ) ) ) )
105 simplr 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
106 zdceq 9244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  -> DECID  M  =  0 )
10742, 106mpan2 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( M  e.  ZZ  -> DECID  M  =  0
)
108 ianordc 885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  (DECID  M  =  0  ->  ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0
)  <->  ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 ) ) )
109107, 108syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  <->  ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 ) ) )
110109ad2antrl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  <->  ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0
) ) )
111105, 110mpbid 146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 ) )
112 dvdszrcl 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 0 
||  M  ->  (
0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )
)
113 0dvds 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  ||  M  <->  M  = 
0 ) )
114 pm2.24 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( M  =  0  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) )
115113, 114syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
0  ||  M  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
116115adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  M  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
117112, 116mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 0 
||  M  ->  ( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) )
118117adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N )  -> 
( -.  M  =  0  ->  D  e.  NN ) )
119118com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( -.  M  =  0  -> 
( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
)  ->  D  e.  NN ) )
120 dvdszrcl 11699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( 0 
||  N  ->  (
0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )
)
121 0dvds 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  <->  N  = 
0 ) )
122 pm2.24 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  =  0  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) )
123121, 122syl6bi 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0  ||  N  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
124123adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  N  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) ) )
125120, 124mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( 0 
||  N  ->  ( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) )
126125adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N )  -> 
( -.  N  =  0  ->  D  e.  NN ) )
127126com12 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( -.  N  =  0  -> 
( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
)  ->  D  e.  NN ) )
128119, 127jaoi 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( -.  M  =  0  \/  -.  N  =  0 )  ->  (
( 0  ||  M  /\  0  ||  N )  ->  D  e.  NN ) )
129111, 128syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
)  ->  D  e.  NN ) )
130129adantld 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( 0  ||  M  /\  0  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) )
131130adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( D  =  0  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  (
0  ||  M  /\  0  ||  N ) )  ->  D  e.  NN ) )
132104, 131sylbid 149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( D  =  0  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  D  e.  NN )
)
133132ex 114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( D  =  0  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
13499, 133jaoi 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( D  e.  NN  \/  D  =  0 )  ->  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
13598, 134sylbi 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( D  e.  NN0  ->  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) ) )
136135impcom 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  D  e.  NN ) )
137136imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )  ->  D  e.  NN )
138 dvdsle 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  D  e.  NN )  ->  ( y  ||  D  ->  y  <_  D )
)
13997, 137, 138syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  /\  D  e.  NN0 )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )  ->  (
y  ||  D  ->  y  <_  D ) )
140139exp31 362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( D  e.  NN0  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  (
y  ||  D  ->  y  <_  D ) ) ) )
141140com14 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y 
||  D  ->  ( D  e.  NN0  ->  (
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( (
( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
y  <_  D )
) ) )
142141imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( y  ||  D  /\  D  e.  NN0 )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
y  <_  D )
) )
143142impcom 124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  /\  ( y 
||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  -> 
( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
y  <_  D )
)
144143imp 123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  y  <_  D
)
14595, 96, 144lensymd 8001 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  /\  (
y  ||  D  /\  D  e.  NN0 ) )  /\  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) ) )  ->  -.  D  <  y )
146145exp31 362 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( ( y 
||  D  /\  D  e.  NN0 )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
14792, 146mpan2d 425 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( y  ||  D  ->  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
148147com13 80 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( y  ||  D  ->  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
14986, 148syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  (
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
150149com13 80 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) )  ->  ( A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) ) )
1511503impia 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  (
( ( ( y  e.  ZZ  /\  (
y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  ->  -.  D  <  y ) )
152151com12 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y 
||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ ) )  -> 
( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) )  ->  -.  D  <  y ) )
153152expimpd 361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  ( (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  -.  D  <  y ) )
154153expimpd 361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( y  ||  M  /\  y  ||  N ) )  ->  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  -.  D  <  y ) )
15577, 154sylbi 120 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  ->  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  ->  -.  D  <  y ) )
156155impcom 124 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  y  e.  {
n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } )  ->  -.  D  <  y )
15769adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  ->  D  e.  ZZ )
158157ancri 322 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  -> 
( D  e.  ZZ  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
1591583ad2ant2 1004 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) )  ->  ( D  e.  ZZ  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
160159ad2antll 483 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  ( D  e.  ZZ  /\  ( D 
||  M  /\  D  ||  N ) ) )
161160adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  -> 
( D  e.  ZZ  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
162 breq1 3970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  D  ->  (
n  ||  M  <->  D  ||  M
) )
163 breq1 3970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  D  ->  (
n  ||  N  <->  D  ||  N
) )
164162, 163anbi12d 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  D  ->  (
( n  ||  M  /\  n  ||  N )  <-> 
( D  ||  M  /\  D  ||  N ) ) )
165164elrab 2868 . . . . . . . . 9  |-  ( D  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) }  <->  ( D  e.  ZZ  /\  ( D 
||  M  /\  D  ||  N ) ) )
166161, 165sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  ->  D  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } )
167 breq2 3971 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  D  ->  (
y  <  z  <->  y  <  D ) )
168167adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  /\  z  =  D )  ->  ( y  <  z  <->  y  <  D ) )
169 simprr 522 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  -> 
y  <  D )
170166, 168, 169rspcedvd 2822 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) ) )  /\  ( y  e.  RR  /\  y  < 
D ) )  ->  E. z  e.  { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } y  <  z )
17167, 73, 156, 170eqsuptid 6943 . . . . . 6  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  )  =  D )
17265, 171eqtrd 2190 . . . . 5  |-  ( ( -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  /\  (
( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )  ->  if (
( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n 
||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
173172ancoms 266 . . . 4  |-  ( ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  (
0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  (
( e  ||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D
) ) )  /\  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  | 
( n  ||  M  /\  n  ||  N ) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
174 gcdmndc 11843 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  -> DECID  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
175174adantr 274 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  -> DECID 
( M  =  0  /\  N  =  0 ) )
176 exmiddc 822 . . . . 5  |-  (DECID  ( M  =  0  /\  N  =  0 )  -> 
( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  \/  -.  ( M  =  0  /\  N  =  0
) ) )
177175, 176syl 14 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  ( ( M  =  0  /\  N  =  0 )  \/ 
-.  ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ) )
17863, 173, 177mpjaodan 788 . . 3  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  if ( ( M  =  0  /\  N  =  0 ) ,  0 ,  sup ( { n  e.  ZZ  |  ( n  ||  M  /\  n  ||  N
) } ,  RR ,  <  ) )  =  D )
17923, 178eqtr2d 2191 . 2  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  /\  ( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N
)  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) )  ->  D  =  ( M  gcd  N ) )
18021, 179impbida 586 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( D  =  ( M  gcd  N )  <-> 
( 0  <_  D  /\  ( D  ||  M  /\  D  ||  N )  /\  A. e  e.  ZZ  ( ( e 
||  M  /\  e  ||  N )  ->  e  ||  D ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698  DECID wdc 820    /\ w3a 963    = wceq 1335    e. wcel 2128   A.wral 2435   {crab 2439   ifcif 3506   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826   supcsup 6928   RRcr 7733   0cc0 7734    < clt 7914    <_ cle 7915   NNcn 8838   NN0cn0 9095   ZZcz 9172    || cdvds 11694    gcd cgcd 11841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853  ax-caucvg 7854
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-frec 6340  df-sup 6930  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-3 8898  df-4 8899  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-fz 9919  df-fzo 10051  df-fl 10178  df-mod 10231  df-seqfrec 10354  df-exp 10428  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755  df-rsqrt 10909  df-abs 10910  df-dvds 11695  df-gcd 11842
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator