Theorem fmptdf 5494

Description: A version of fmptd 5491 using bound-variable hypothesis instead of a distinct variable condition for ph. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptdf.1	|- F/ x ph
fmptdf.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
fmptdf.3	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fmptdf	|- ( ph -> F : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fmptdf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptdf.1	. . 3 |- F/ x ph
2		fmptdf.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
3	2	ex 114	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A -> B e. C ) )
4	1, 3	ralrimi 2456	. 2 |- ( ph -> A. x e. A B e. C )
5		fmptdf.3	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
6	5	fmpt 5488	. 2 |- ( A. x e. A B e. C <-> F : A --> C )
7	4, 6	sylib 121	1 |- ( ph -> F : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1296   F/wnf 1401   e. wcel 1445   A.wral 2370   |-> cmpt 3921   -->wf 5045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057

This theorem is referenced by:  mkvprop  6901