Theorem fmptdf 5715

Description: A version of fmptd 5712 using bound-variable hypothesis instead of a distinct variable condition for ph. (Contributed by Glauco Siliprandi, 29-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptdf.1	|- F/ x ph
fmptdf.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
fmptdf.3	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
fmptdf	|- ( ph -> F : A --> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   ph( x)   B( x)   F( x)

Proof of Theorem fmptdf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptdf.1	. . 3 |- F/ x ph
2		fmptdf.2	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. C )
3	2	ex 115	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A -> B e. C ) )
4	1, 3	ralrimi 2565	. 2 |- ( ph -> A. x e. A B e. C )
5		fmptdf.3	. . 3 |- F = ( x e. A |-> B )
6	5	fmpt 5708	. 2 |- ( A. x e. A B e. C <-> F : A --> C )
7	4, 6	sylib 122	1 |- ( ph -> F : A --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   F/wnf 1471   e. wcel 2164   A.wral 2472   |-> cmpt 4090   -->wf 5250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  mkvprop  7217