Theorem fmpt 5644

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpt.1	|- F = ( x e. A |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fmpt	|- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> C )
2	1	fnmpt 5322	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> F Fn A )
3	1	rnmpt 4857	. . . 4 |- ran F = { y | E. x e. A y = C }
4		r19.29 2607	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ E. x e. A y = C ) -> E. x e. A ( C e. B /\ y = C ) )
5		eleq1 2233	. . . . . . . . 9 |- ( y = C -> ( y e. B <-> C e. B ) )
6	5	biimparc 297	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. B /\ y = C ) -> y e. B )
7	6	rexlimivw 2583	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A ( C e. B /\ y = C ) -> y e. B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ E. x e. A y = C ) -> y e. B )
9	8	ex 114	. . . . 5 |- ( A. x e. A C e. B -> ( E. x e. A y = C -> y e. B ) )
10	9	abssdv 3221	. . . 4 |- ( A. x e. A C e. B -> { y | E. x e. A y = C } C_ B )
11	3, 10	eqsstrid 3193	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> ran F C_ B )
12		df-f 5200	. . 3 |- ( F : A --> B <-> ( F Fn A /\ ran F C_ B ) )
13	2, 11, 12	sylanbrc 415	. 2 |- ( A. x e. A C e. B -> F : A --> B )
14		fimacnv 5623	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( `' F " B ) = A )
15	1	mptpreima 5102	. . . 4 |- ( `' F " B ) = { x e. A | C e. B }
16	14, 15	eqtr3di 2218	. . 3 |- ( F : A --> B -> A = { x e. A | C e. B } )
17		rabid2 2646	. . 3 |- ( A = { x e. A | C e. B } <-> A. x e. A C e. B )
18	16, 17	sylib 121	. 2 |- ( F : A --> B -> A. x e. A C e. B )
19	13, 18	impbii 125	1 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   {cab 2156   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   C_ wss 3121   |-> cmpt 4048   `'ccnv 4608   ran crn 4610   "cima 4612   Fn wfn 5191   -->wf 5192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-id 4276  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-fv 5204

This theorem is referenced by:  f1ompt  5645  fmpti  5646  fvmptelrn  5647  fmptd  5648  fmptdf  5651  rnmptss  5655  f1oresrab  5659  idref  5734  f1mpt  5748  f1stres  6136  f2ndres  6137  fmpox  6177  fmpoco  6193  iunon  6261  mptelixpg  6710  dom2lem  6748  uzf  9483  pcmptcl  12287  upxp  13031  txdis1cn  13037  cnmpt11  13042  cnmpt21  13050  fsumcncntop  13315  cncfmpt1f  13343  mulcncflem  13349  mulcncf  13350  cnmptlimc  13402  sincn  13449  coscn  13450