ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fmpt Unicode version

Theorem fmpt 5570
Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpt.1  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
Assertion
Ref Expression
fmpt  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  F : A --> B )
Distinct variable groups:    x, A    x, B
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)

Proof of Theorem fmpt
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  A  |->  C )
21fnmpt 5249 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  F  Fn  A )
31rnmpt 4787 . . . 4  |-  ran  F  =  { y  |  E. x  e.  A  y  =  C }
4 r19.29 2569 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  E. x  e.  A  y  =  C )  ->  E. x  e.  A  ( C  e.  B  /\  y  =  C
) )
5 eleq1 2202 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  C  ->  (
y  e.  B  <->  C  e.  B ) )
65biimparc 297 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  B  /\  y  =  C )  ->  y  e.  B )
76rexlimivw 2545 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( C  e.  B  /\  y  =  C )  ->  y  e.  B )
84, 7syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( A. x  e.  A  C  e.  B  /\  E. x  e.  A  y  =  C )  -> 
y  e.  B )
98ex 114 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  ( E. x  e.  A  y  =  C  ->  y  e.  B ) )
109abssdv 3171 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  { y  |  E. x  e.  A  y  =  C }  C_  B )
113, 10eqsstrid 3143 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  ran  F  C_  B )
12 df-f 5127 . . 3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B ) )
132, 11, 12sylanbrc 413 . 2  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  ->  F : A
--> B )
141mptpreima 5032 . . . 4  |-  ( `' F " B )  =  { x  e.  A  |  C  e.  B }
15 fimacnv 5549 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )
1614, 15syl5reqr 2187 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  A  =  { x  e.  A  |  C  e.  B } )
17 rabid2 2607 . . 3  |-  ( A  =  { x  e.  A  |  C  e.  B }  <->  A. x  e.  A  C  e.  B )
1816, 17sylib 121 . 2  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  C  e.  B )
1913, 18impbii 125 1  |-  ( A. x  e.  A  C  e.  B  <->  F : A --> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   {cab 2125   A.wral 2416   E.wrex 2417   {crab 2420    C_ wss 3071    |-> cmpt 3989   `'ccnv 4538   ran crn 4540   "cima 4542    Fn wfn 5118   -->wf 5119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131
This theorem is referenced by:  f1ompt  5571  fmpti  5572  fvmptelrn  5573  fmptd  5574  fmptdf  5577  rnmptss  5581  f1oresrab  5585  idref  5658  f1mpt  5672  f1stres  6057  f2ndres  6058  fmpox  6098  fmpoco  6113  iunon  6181  mptelixpg  6628  dom2lem  6666  uzf  9341  upxp  12455  txdis1cn  12461  cnmpt11  12466  cnmpt21  12474  fsumcncntop  12739  cncfmpt1f  12767  mulcncflem  12773  mulcncf  12774  cnmptlimc  12826  sincn  12873  coscn  12874
  Copyright terms: Public domain W3C validator