Theorem fmpt 5662

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpt.1	|- F = ( x e. A |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fmpt	|- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> C )
2	1	fnmpt 5338	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> F Fn A )
3	1	rnmpt 4871	. . . 4 |- ran F = { y | E. x e. A y = C }
4		r19.29 2614	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ E. x e. A y = C ) -> E. x e. A ( C e. B /\ y = C ) )
5		eleq1 2240	. . . . . . . . 9 |- ( y = C -> ( y e. B <-> C e. B ) )
6	5	biimparc 299	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. B /\ y = C ) -> y e. B )
7	6	rexlimivw 2590	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A ( C e. B /\ y = C ) -> y e. B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ E. x e. A y = C ) -> y e. B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A. x e. A C e. B -> ( E. x e. A y = C -> y e. B ) )
10	9	abssdv 3229	. . . 4 |- ( A. x e. A C e. B -> { y | E. x e. A y = C } C_ B )
11	3, 10	eqsstrid 3201	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> ran F C_ B )
12		df-f 5216	. . 3 |- ( F : A --> B <-> ( F Fn A /\ ran F C_ B ) )
13	2, 11, 12	sylanbrc 417	. 2 |- ( A. x e. A C e. B -> F : A --> B )
14		fimacnv 5641	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( `' F " B ) = A )
15	1	mptpreima 5118	. . . 4 |- ( `' F " B ) = { x e. A | C e. B }
16	14, 15	eqtr3di 2225	. . 3 |- ( F : A --> B -> A = { x e. A | C e. B } )
17		rabid2 2653	. . 3 |- ( A = { x e. A | C e. B } <-> A. x e. A C e. B )
18	16, 17	sylib 122	. 2 |- ( F : A --> B -> A. x e. A C e. B )
19	13, 18	impbii 126	1 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   C_ wss 3129   |-> cmpt 4061   `'ccnv 4622   ran crn 4624   "cima 4626   Fn wfn 5207   -->wf 5208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4290  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-fv 5220

This theorem is referenced by:  f1ompt  5663  fmpti  5664  fvmptelcdm  5665  fmptd  5666  fmptdf  5669  rnmptss  5673  f1oresrab  5677  idref  5752  f1mpt  5766  f1stres  6154  f2ndres  6155  fmpox  6195  fmpoco  6211  iunon  6279  mptelixpg  6728  dom2lem  6766  uzf  9520  pcmptcl  12323  upxp  13439  txdis1cn  13445  cnmpt11  13450  cnmpt21  13458  fsumcncntop  13723  cncfmpt1f  13751  mulcncflem  13757  mulcncf  13758  cnmptlimc  13810  sincn  13857  coscn  13858