Theorem fmpt 5753

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpt.1	|- F = ( x e. A |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fmpt	|- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> C )
2	1	fnmpt 5422	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> F Fn A )
3	1	rnmpt 4945	. . . 4 |- ran F = { y | E. x e. A y = C }
4		r19.29 2645	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ E. x e. A y = C ) -> E. x e. A ( C e. B /\ y = C ) )
5		eleq1 2270	. . . . . . . . 9 |- ( y = C -> ( y e. B <-> C e. B ) )
6	5	biimparc 299	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. B /\ y = C ) -> y e. B )
7	6	rexlimivw 2621	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A ( C e. B /\ y = C ) -> y e. B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ E. x e. A y = C ) -> y e. B )
9	8	ex 115	. . . . 5 |- ( A. x e. A C e. B -> ( E. x e. A y = C -> y e. B ) )
10	9	abssdv 3275	. . . 4 |- ( A. x e. A C e. B -> { y | E. x e. A y = C } C_ B )
11	3, 10	eqsstrid 3247	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> ran F C_ B )
12		df-f 5294	. . 3 |- ( F : A --> B <-> ( F Fn A /\ ran F C_ B ) )
13	2, 11, 12	sylanbrc 417	. 2 |- ( A. x e. A C e. B -> F : A --> B )
14		fimacnv 5732	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( `' F " B ) = A )
15	1	mptpreima 5195	. . . 4 |- ( `' F " B ) = { x e. A | C e. B }
16	14, 15	eqtr3di 2255	. . 3 |- ( F : A --> B -> A = { x e. A | C e. B } )
17		rabid2 2685	. . 3 |- ( A = { x e. A | C e. B } <-> A. x e. A C e. B )
18	16, 17	sylib 122	. 2 |- ( F : A --> B -> A. x e. A C e. B )
19	13, 18	impbii 126	1 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   {cab 2193   A.wral 2486   E.wrex 2487   {crab 2490   C_ wss 3174   |-> cmpt 4121   `'ccnv 4692   ran crn 4694   "cima 4696   Fn wfn 5285   -->wf 5286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  f1ompt  5754  fmpti  5755  fvmptelcdm  5756  fmptd  5757  fmptdf  5760  rnmptss  5764  f1oresrab  5768  idref  5848  f1mpt  5863  f1stres  6268  f2ndres  6269  fmpox  6309  fmpoco  6325  iunon  6393  mptelixpg  6844  dom2lem  6886  uzf  9686  pcmptcl  12780  gsumfzmhm2  13795  upxp  14859  txdis1cn  14865  cnmpt11  14870  cnmpt21  14878  fsumcncntop  15154  cncfmpt1f  15185  mulcncflem  15194  mulcncf  15195  cnmptlimc  15261  sincn  15356  coscn  15357  lgseisenlem3  15664