Theorem fmpt 5578

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
fmpt.1	|- F = ( x e. A |-> C )

Assertion

Ref	Expression
fmpt	|- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fmpt

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpt.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> C )
2	1	fnmpt 5257	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> F Fn A )
3	1	rnmpt 4795	. . . 4 |- ran F = { y | E. x e. A y = C }
4		r19.29 2572	. . . . . . 7 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ E. x e. A y = C ) -> E. x e. A ( C e. B /\ y = C ) )
5		eleq1 2203	. . . . . . . . 9 |- ( y = C -> ( y e. B <-> C e. B ) )
6	5	biimparc 297	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. B /\ y = C ) -> y e. B )
7	6	rexlimivw 2548	. . . . . . 7 |- ( E. x e. A ( C e. B /\ y = C ) -> y e. B )
8	4, 7	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A. x e. A C e. B /\ E. x e. A y = C ) -> y e. B )
9	8	ex 114	. . . . 5 |- ( A. x e. A C e. B -> ( E. x e. A y = C -> y e. B ) )
10	9	abssdv 3176	. . . 4 |- ( A. x e. A C e. B -> { y | E. x e. A y = C } C_ B )
11	3, 10	eqsstrid 3148	. . 3 |- ( A. x e. A C e. B -> ran F C_ B )
12		df-f 5135	. . 3 |- ( F : A --> B <-> ( F Fn A /\ ran F C_ B ) )
13	2, 11, 12	sylanbrc 414	. 2 |- ( A. x e. A C e. B -> F : A --> B )
14	1	mptpreima 5040	. . . 4 |- ( `' F " B ) = { x e. A | C e. B }
15		fimacnv 5557	. . . 4 |- ( F : A --> B -> ( `' F " B ) = A )
16	14, 15	syl5reqr 2188	. . 3 |- ( F : A --> B -> A = { x e. A | C e. B } )
17		rabid2 2610	. . 3 |- ( A = { x e. A | C e. B } <-> A. x e. A C e. B )
18	16, 17	sylib 121	. 2 |- ( F : A --> B -> A. x e. A C e. B )
19	13, 18	impbii 125	1 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   e. wcel 1481   {cab 2126   A.wral 2417   E.wrex 2418   {crab 2421   C_ wss 3076   |-> cmpt 3997   `'ccnv 4546   ran crn 4548   "cima 4550   Fn wfn 5126   -->wf 5127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  f1ompt  5579  fmpti  5580  fvmptelrn  5581  fmptd  5582  fmptdf  5585  rnmptss  5589  f1oresrab  5593  idref  5666  f1mpt  5680  f1stres  6065  f2ndres  6066  fmpox  6106  fmpoco  6121  iunon  6189  mptelixpg  6636  dom2lem  6674  uzf  9353  upxp  12480  txdis1cn  12486  cnmpt11  12491  cnmpt21  12499  fsumcncntop  12764  cncfmpt1f  12792  mulcncflem  12798  mulcncf  12799  cnmptlimc  12851  sincn  12898  coscn  12899