Theorem mkvprop 7440

Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the A = om case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mkvprop	|- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ph )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem mkvprop

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. . . . . . 7 |- F/ n A e. Markov
2		nfra1 2573	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. A DECID ph
3	1, 2	nfan 1614	. . . . . 6 |- F/ n ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph )
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> n e. A )
5		0lt2o 6665	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> (/) e. 2o )
7		1lt2o 6666	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. 2o
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> 1o e. 2o )
9		rsp 2589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. A DECID ph -> ( n e. A -> DECID ph ) )
10	9	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> DECID ph )
11	6, 8, 10	ifcldcd 3656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
12	11	adantll 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
13		eqid 2232	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
14	13	fvmpt2 5752	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. A /\ if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
15	4, 12, 14	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
16	15	eqeq1d 2241	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o <-> if ( ph , (/) , 1o ) = 1o ) )
17		1n0 6656	. . . . . . . . . 10 |- 1o =/= (/)
18	17	nesymi 2458	. . . . . . . . 9 |- -. (/) = 1o
19		iftrue 3623	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( ph , (/) , 1o ) = (/) )
20	19	eqeq1d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
21	18, 20	mtbiri 682	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = 1o )
22	21	con2i 632	. . . . . . 7 |- ( if ( ph , (/) , 1o ) = 1o -> -. ph )
23	16, 22	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> -. ph ) )
24	3, 23	ralimdaa 2608	. . . . 5 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) -> ( A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> A. n e. A -. ph ) )
25	24	con3d 636	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) -> ( -. A. n e. A -. ph -> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
26	25	3impia 1227	. . 3 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o )
27		mptexg 5902	. . . . 5 |- ( A e. Markov -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V )
28	27	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V )
29		ismkv 7435	. . . . . 6 |- ( A e. Markov -> ( A e. Markov <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) ) )
30	29	ibi 176	. . . . 5 |- ( A e. Markov -> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) )
31	30	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) )
32		nfra1 2573	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. A -. ph
33	32	nfn 1706	. . . . . 6 |- F/ n -. A. n e. A -. ph
34	1, 2, 33	nf3an 1615	. . . . 5 |- F/ n ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph )
35	11	3ad2antl2 1187	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
36	34, 35, 13	fmptdf 5825	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o )
37		feq1 5482	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( f : A --> 2o <-> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o ) )
38		nfmpt1 4196	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
39	38	nfeq2 2396	. . . . . . . . 9 |- F/ n f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
40		fveq1 5660	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( f ` n ) = ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) )
41	40	eqeq1d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f ` n ) = 1o <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
42	39, 41	ralbid 2540	. . . . . . . 8 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( A. n e. A ( f ` n ) = 1o <-> A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
43	42	notbid 673	. . . . . . 7 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o <-> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
44	40	eqeq1d 2241	. . . . . . . 8 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f ` n ) = (/) <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
45	39, 44	rexbid 2541	. . . . . . 7 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( E. n e. A ( f ` n ) = (/) <-> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
46	43, 45	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) <-> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) )
47	37, 46	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) ) )
48	47	spcgv 2903	. . . 4 |- ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V -> ( A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) ) )
49	28, 31, 36, 48	syl3c 63	. . 3 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
50	26, 49	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) )
51		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> n e. A )
52	51, 35, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
53	52	eqeq1d 2241	. . . 4 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> if ( ph , (/) , 1o ) = (/) ) )
54	9	3ad2ant2 1046	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A -> DECID ph ) )
55	54	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> DECID ph )
56	17	neii 2414	. . . . . . . . 9 |- -. 1o = (/)
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> -. ph )
58	57	iffalsed 3628	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> if ( ph , (/) , 1o ) = 1o )
59	58	eqeq1d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
60	56, 59	mtbiri 682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = (/) )
61	60	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( -. ph -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = (/) ) )
62	61	con2d 629	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) -> -. -. ph ) )
63		notnotrdc 851	. . . . . 6 |- (DECID ph -> ( -. -. ph -> ph ) )
64	55, 62, 63	sylsyld 58	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) -> ph ) )
65	64, 19	impbid1 142	. . . 4 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) <-> ph ) )
66	53, 65	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> ph ) )
67	34, 66	rexbida 2537	. 2 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> E. n e. A ph ) )
68	50, 67	mpbid 147	1 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   _Vcvv 2812   (/)c0 3505   ifcif 3616   |-> cmpt 4164   -->wf 5339   ` cfv 5343   1oc1o 6631   2oc2o 6632  Markovcmarkov 7433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4218  ax-sep 4221  ax-nul 4229  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3506  df-if 3617  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-tr 4202  df-id 4405  df-iord 4478  df-on 4480  df-suc 4483  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-ima 4753  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fn 5346  df-f 5347  df-f1 5348  df-fo 5349  df-f1o 5350  df-fv 5351  df-1o 6638  df-2o 6639  df-markov 7434

This theorem is referenced by: (None)