Theorem mkvprop 7491

Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the A = om case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mkvprop	|- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ph )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem mkvprop

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1581	. . . . . . 7 |- F/ n A e. Markov
2		nfra1 2581	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. A DECID ph
3	1, 2	nfan 1618	. . . . . 6 |- F/ n ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph )
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> n e. A )
5		0lt2o 6707	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> (/) e. 2o )
7		1lt2o 6708	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. 2o
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> 1o e. 2o )
9		rsp 2597	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. A DECID ph -> ( n e. A -> DECID ph ) )
10	9	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> DECID ph )
11	6, 8, 10	ifcldcd 3678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
12	11	adantll 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
13		eqid 2238	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
14	13	fvmpt2 5786	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. A /\ if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
15	4, 12, 14	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
16	15	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o <-> if ( ph , (/) , 1o ) = 1o ) )
17		1n0 6698	. . . . . . . . . 10 |- 1o =/= (/)
18	17	nesymi 2466	. . . . . . . . 9 |- -. (/) = 1o
19		iftrue 3645	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( ph , (/) , 1o ) = (/) )
20	19	eqeq1d 2247	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
21	18, 20	mtbiri 686	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = 1o )
22	21	con2i 636	. . . . . . 7 |- ( if ( ph , (/) , 1o ) = 1o -> -. ph )
23	16, 22	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> -. ph ) )
24	3, 23	ralimdaa 2616	. . . . 5 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) -> ( A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> A. n e. A -. ph ) )
25	24	con3d 640	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) -> ( -. A. n e. A -. ph -> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
26	25	3impia 1231	. . 3 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o )
27		mptexg 5936	. . . . 5 |- ( A e. Markov -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V )
28	27	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V )
29		ismkv 7486	. . . . . 6 |- ( A e. Markov -> ( A e. Markov <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) ) )
30	29	ibi 176	. . . . 5 |- ( A e. Markov -> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) )
31	30	3ad2ant1 1049	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) )
32		nfra1 2581	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. A -. ph
33	32	nfn 1710	. . . . . 6 |- F/ n -. A. n e. A -. ph
34	1, 2, 33	nf3an 1619	. . . . 5 |- F/ n ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph )
35	11	3ad2antl2 1191	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
36	34, 35, 13	fmptdf 5859	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o )
37		feq1 5514	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( f : A --> 2o <-> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o ) )
38		nfmpt1 4222	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
39	38	nfeq2 2404	. . . . . . . . 9 |- F/ n f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
40		fveq1 5692	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( f ` n ) = ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) )
41	40	eqeq1d 2247	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f ` n ) = 1o <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
42	39, 41	ralbid 2548	. . . . . . . 8 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( A. n e. A ( f ` n ) = 1o <-> A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
43	42	notbid 677	. . . . . . 7 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o <-> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
44	40	eqeq1d 2247	. . . . . . . 8 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f ` n ) = (/) <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
45	39, 44	rexbid 2549	. . . . . . 7 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( E. n e. A ( f ` n ) = (/) <-> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
46	43, 45	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) <-> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) )
47	37, 46	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) ) )
48	47	spcgv 2912	. . . 4 |- ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V -> ( A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) ) )
49	28, 31, 36, 48	syl3c 63	. . 3 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
50	26, 49	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) )
51		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> n e. A )
52	51, 35, 14	syl2anc 415	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
53	52	eqeq1d 2247	. . . 4 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> if ( ph , (/) , 1o ) = (/) ) )
54	9	3ad2ant2 1050	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A -> DECID ph ) )
55	54	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> DECID ph )
56	17	neii 2422	. . . . . . . . 9 |- -. 1o = (/)
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> -. ph )
58	57	iffalsed 3650	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> if ( ph , (/) , 1o ) = 1o )
59	58	eqeq1d 2247	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
60	56, 59	mtbiri 686	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = (/) )
61	60	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( -. ph -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = (/) ) )
62	61	con2d 633	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) -> -. -. ph ) )
63		notnotrdc 855	. . . . . 6 |- (DECID ph -> ( -. -. ph -> ph ) )
64	55, 62, 63	sylsyld 58	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) -> ph ) )
65	64, 19	impbid1 142	. . . 4 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) <-> ph ) )
66	53, 65	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> ph ) )
67	34, 66	rexbida 2545	. 2 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> E. n e. A ph ) )
68	50, 67	mpbid 147	1 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   A.wal 1400   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   ifcif 3638   |-> cmpt 4190   -->wf 5371   ` cfv 5375   1oc1o 6673   2oc2o 6674  Markovcmarkov 7484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-1o 6680  df-2o 6681  df-markov 7485

This theorem is referenced by: (None)