Theorem mkvprop 7134

Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the A = om case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mkvprop	|- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ph )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem mkvprop

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1521	. . . . . . 7 |- F/ n A e. Markov
2		nfra1 2501	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. A DECID ph
3	1, 2	nfan 1558	. . . . . 6 |- F/ n ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph )
4		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> n e. A )
5		0lt2o 6420	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> (/) e. 2o )
7		1lt2o 6421	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. 2o
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> 1o e. 2o )
9		rsp 2517	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. A DECID ph -> ( n e. A -> DECID ph ) )
10	9	imp 123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> DECID ph )
11	6, 8, 10	ifcldcd 3561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
12	11	adantll 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
13		eqid 2170	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
14	13	fvmpt2 5579	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. A /\ if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
15	4, 12, 14	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
16	15	eqeq1d 2179	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o <-> if ( ph , (/) , 1o ) = 1o ) )
17		1n0 6411	. . . . . . . . . 10 |- 1o =/= (/)
18	17	nesymi 2386	. . . . . . . . 9 |- -. (/) = 1o
19		iftrue 3531	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( ph , (/) , 1o ) = (/) )
20	19	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
21	18, 20	mtbiri 670	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = 1o )
22	21	con2i 622	. . . . . . 7 |- ( if ( ph , (/) , 1o ) = 1o -> -. ph )
23	16, 22	syl6bi 162	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> -. ph ) )
24	3, 23	ralimdaa 2536	. . . . 5 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) -> ( A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> A. n e. A -. ph ) )
25	24	con3d 626	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) -> ( -. A. n e. A -. ph -> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
26	25	3impia 1195	. . 3 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o )
27		mptexg 5721	. . . . 5 |- ( A e. Markov -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V )
28	27	3ad2ant1 1013	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V )
29		ismkv 7129	. . . . . 6 |- ( A e. Markov -> ( A e. Markov <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) ) )
30	29	ibi 175	. . . . 5 |- ( A e. Markov -> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) )
31	30	3ad2ant1 1013	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) )
32		nfra1 2501	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. A -. ph
33	32	nfn 1651	. . . . . 6 |- F/ n -. A. n e. A -. ph
34	1, 2, 33	nf3an 1559	. . . . 5 |- F/ n ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph )
35	11	3ad2antl2 1155	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
36	34, 35, 13	fmptdf 5653	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o )
37		feq1 5330	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( f : A --> 2o <-> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o ) )
38		nfmpt1 4082	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
39	38	nfeq2 2324	. . . . . . . . 9 |- F/ n f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
40		fveq1 5495	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( f ` n ) = ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) )
41	40	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f ` n ) = 1o <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
42	39, 41	ralbid 2468	. . . . . . . 8 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( A. n e. A ( f ` n ) = 1o <-> A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
43	42	notbid 662	. . . . . . 7 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o <-> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
44	40	eqeq1d 2179	. . . . . . . 8 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f ` n ) = (/) <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
45	39, 44	rexbid 2469	. . . . . . 7 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( E. n e. A ( f ` n ) = (/) <-> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
46	43, 45	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) <-> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) )
47	37, 46	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) ) )
48	47	spcgv 2817	. . . 4 |- ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V -> ( A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) ) )
49	28, 31, 36, 48	syl3c 63	. . 3 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
50	26, 49	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) )
51		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> n e. A )
52	51, 35, 14	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
53	52	eqeq1d 2179	. . . 4 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> if ( ph , (/) , 1o ) = (/) ) )
54	9	3ad2ant2 1014	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A -> DECID ph ) )
55	54	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> DECID ph )
56	17	neii 2342	. . . . . . . . 9 |- -. 1o = (/)
57		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> -. ph )
58	57	iffalsed 3536	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> if ( ph , (/) , 1o ) = 1o )
59	58	eqeq1d 2179	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
60	56, 59	mtbiri 670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = (/) )
61	60	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( -. ph -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = (/) ) )
62	61	con2d 619	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) -> -. -. ph ) )
63		notnotrdc 838	. . . . . 6 |- (DECID ph -> ( -. -. ph -> ph ) )
64	55, 62, 63	sylsyld 58	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) -> ph ) )
65	64, 19	impbid1 141	. . . 4 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) <-> ph ) )
66	53, 65	bitrd 187	. . 3 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> ph ) )
67	34, 66	rexbida 2465	. 2 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> E. n e. A ph ) )
68	50, 67	mpbid 146	1 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 829   /\ w3a 973   A.wal 1346   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   _Vcvv 2730   (/)c0 3414   ifcif 3526   |-> cmpt 4050   -->wf 5194   ` cfv 5198   1oc1o 6388   2oc2o 6389  Markovcmarkov 7127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-1o 6395  df-2o 6396  df-markov 7128

This theorem is referenced by: (None)