Theorem mkvprop 7032

Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the A = om case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mkvprop	|- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ph )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem mkvprop

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1508	. . . . . . 7 |- F/ n A e. Markov
2		nfra1 2466	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. A DECID ph
3	1, 2	nfan 1544	. . . . . 6 |- F/ n ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph )
4		simpr 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> n e. A )
5		0lt2o 6338	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> (/) e. 2o )
7		1lt2o 6339	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. 2o
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> 1o e. 2o )
9		rsp 2480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. A DECID ph -> ( n e. A -> DECID ph ) )
10	9	imp 123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> DECID ph )
11	6, 8, 10	ifcldcd 3507	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
12	11	adantll 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
13		eqid 2139	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
14	13	fvmpt2 5504	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. A /\ if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
15	4, 12, 14	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
16	15	eqeq1d 2148	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o <-> if ( ph , (/) , 1o ) = 1o ) )
17		1n0 6329	. . . . . . . . . 10 |- 1o =/= (/)
18	17	nesymi 2354	. . . . . . . . 9 |- -. (/) = 1o
19		iftrue 3479	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( ph , (/) , 1o ) = (/) )
20	19	eqeq1d 2148	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
21	18, 20	mtbiri 664	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = 1o )
22	21	con2i 616	. . . . . . 7 |- ( if ( ph , (/) , 1o ) = 1o -> -. ph )
23	16, 22	syl6bi 162	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> -. ph ) )
24	3, 23	ralimdaa 2498	. . . . 5 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) -> ( A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> A. n e. A -. ph ) )
25	24	con3d 620	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) -> ( -. A. n e. A -. ph -> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
26	25	3impia 1178	. . 3 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o )
27		mptexg 5645	. . . . 5 |- ( A e. Markov -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V )
28	27	3ad2ant1 1002	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V )
29		ismkv 7027	. . . . . 6 |- ( A e. Markov -> ( A e. Markov <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) ) )
30	29	ibi 175	. . . . 5 |- ( A e. Markov -> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) )
31	30	3ad2ant1 1002	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) )
32		nfra1 2466	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. A -. ph
33	32	nfn 1636	. . . . . 6 |- F/ n -. A. n e. A -. ph
34	1, 2, 33	nf3an 1545	. . . . 5 |- F/ n ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph )
35	11	3ad2antl2 1144	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
36	34, 35, 13	fmptdf 5577	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o )
37		feq1 5255	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( f : A --> 2o <-> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o ) )
38		nfmpt1 4021	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
39	38	nfeq2 2293	. . . . . . . . 9 |- F/ n f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
40		fveq1 5420	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( f ` n ) = ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) )
41	40	eqeq1d 2148	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f ` n ) = 1o <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
42	39, 41	ralbid 2435	. . . . . . . 8 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( A. n e. A ( f ` n ) = 1o <-> A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
43	42	notbid 656	. . . . . . 7 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o <-> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
44	40	eqeq1d 2148	. . . . . . . 8 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f ` n ) = (/) <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
45	39, 44	rexbid 2436	. . . . . . 7 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( E. n e. A ( f ` n ) = (/) <-> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
46	43, 45	imbi12d 233	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) <-> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) )
47	37, 46	imbi12d 233	. . . . 5 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) ) )
48	47	spcgv 2773	. . . 4 |- ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V -> ( A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) ) )
49	28, 31, 36, 48	syl3c 63	. . 3 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
50	26, 49	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) )
51		simpr 109	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> n e. A )
52	51, 35, 14	syl2anc 408	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
53	52	eqeq1d 2148	. . . 4 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> if ( ph , (/) , 1o ) = (/) ) )
54	9	3ad2ant2 1003	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A -> DECID ph ) )
55	54	imp 123	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> DECID ph )
56	17	neii 2310	. . . . . . . . 9 |- -. 1o = (/)
57		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> -. ph )
58	57	iffalsed 3484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> if ( ph , (/) , 1o ) = 1o )
59	58	eqeq1d 2148	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
60	56, 59	mtbiri 664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = (/) )
61	60	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( -. ph -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = (/) ) )
62	61	con2d 613	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) -> -. -. ph ) )
63		notnotrdc 828	. . . . . 6 |- (DECID ph -> ( -. -. ph -> ph ) )
64	55, 62, 63	sylsyld 58	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) -> ph ) )
65	64, 19	impbid1 141	. . . 4 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) <-> ph ) )
66	53, 65	bitrd 187	. . 3 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> ph ) )
67	34, 66	rexbida 2432	. 2 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> E. n e. A ph ) )
68	50, 67	mpbid 146	1 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 819   /\ w3a 962   A.wal 1329   = wceq 1331   e. wcel 1480   A.wral 2416   E.wrex 2417   _Vcvv 2686   (/)c0 3363   ifcif 3474   |-> cmpt 3989   -->wf 5119   ` cfv 5123   1oc1o 6306   2oc2o 6307  Markovcmarkov 7025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-2o 6314  df-markov 7026

This theorem is referenced by: (None)