Theorem mkvprop 7462

Description: Markov's Principle expressed in terms of propositions (or more precisely, the A = om case is Markov's Principle). (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mkvprop	|- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ph )

Distinct variable group:   A, n

Allowed substitution hint:   ph( n)

Proof of Theorem mkvprop

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1577	. . . . . . 7 |- F/ n A e. Markov
2		nfra1 2575	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. A DECID ph
3	1, 2	nfan 1614	. . . . . 6 |- F/ n ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph )
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> n e. A )
5		0lt2o 6687	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. 2o
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> (/) e. 2o )
7		1lt2o 6688	. . . . . . . . . . . 12 |- 1o e. 2o
8	7	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> 1o e. 2o )
9		rsp 2591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. A DECID ph -> ( n e. A -> DECID ph ) )
10	9	imp 124	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> DECID ph )
11	6, 8, 10	ifcldcd 3664	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. n e. A DECID ph /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
12	11	adantll 476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
13		eqid 2234	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
14	13	fvmpt2 5766	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. A /\ if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
15	4, 12, 14	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
16	15	eqeq1d 2243	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o <-> if ( ph , (/) , 1o ) = 1o ) )
17		1n0 6678	. . . . . . . . . 10 |- 1o =/= (/)
18	17	nesymi 2460	. . . . . . . . 9 |- -. (/) = 1o
19		iftrue 3631	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> if ( ph , (/) , 1o ) = (/) )
20	19	eqeq1d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = 1o <-> (/) = 1o ) )
21	18, 20	mtbiri 682	. . . . . . . 8 |- ( ph -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = 1o )
22	21	con2i 632	. . . . . . 7 |- ( if ( ph , (/) , 1o ) = 1o -> -. ph )
23	16, 22	biimtrdi 163	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> -. ph ) )
24	3, 23	ralimdaa 2610	. . . . 5 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) -> ( A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> A. n e. A -. ph ) )
25	24	con3d 636	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph ) -> ( -. A. n e. A -. ph -> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
26	25	3impia 1227	. . 3 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o )
27		mptexg 5916	. . . . 5 |- ( A e. Markov -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V )
28	27	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V )
29		ismkv 7457	. . . . . 6 |- ( A e. Markov -> ( A e. Markov <-> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) ) )
30	29	ibi 176	. . . . 5 |- ( A e. Markov -> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) )
31	30	3ad2ant1 1045	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) )
32		nfra1 2575	. . . . . . 7 |- F/ n A. n e. A -. ph
33	32	nfn 1706	. . . . . 6 |- F/ n -. A. n e. A -. ph
34	1, 2, 33	nf3an 1615	. . . . 5 |- F/ n ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph )
35	11	3ad2antl2 1187	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> if ( ph , (/) , 1o ) e. 2o )
36	34, 35, 13	fmptdf 5839	. . . 4 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o )
37		feq1 5496	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( f : A --> 2o <-> ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o ) )
38		nfmpt1 4208	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
39	38	nfeq2 2398	. . . . . . . . 9 |- F/ n f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) )
40		fveq1 5674	. . . . . . . . . 10 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( f ` n ) = ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) )
41	40	eqeq1d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f ` n ) = 1o <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
42	39, 41	ralbid 2542	. . . . . . . 8 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( A. n e. A ( f ` n ) = 1o <-> A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
43	42	notbid 673	. . . . . . 7 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o <-> -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o ) )
44	40	eqeq1d 2243	. . . . . . . 8 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f ` n ) = (/) <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
45	39, 44	rexbid 2543	. . . . . . 7 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( E. n e. A ( f ` n ) = (/) <-> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
46	43, 45	imbi12d 234	. . . . . 6 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) <-> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) )
47	37, 46	imbi12d 234	. . . . 5 |- ( f = ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) -> ( ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) <-> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) ) )
48	47	spcgv 2906	. . . 4 |- ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) e. _V -> ( A. f ( f : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( f ` n ) = 1o -> E. n e. A ( f ` n ) = (/) ) ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) : A --> 2o -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) ) ) )
49	28, 31, 36, 48	syl3c 63	. . 3 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( -. A. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = 1o -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) ) )
50	26, 49	mpd 13	. 2 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) )
51		simpr 110	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> n e. A )
52	51, 35, 14	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = if ( ph , (/) , 1o ) )
53	52	eqeq1d 2243	. . . 4 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> if ( ph , (/) , 1o ) = (/) ) )
54	9	3ad2ant2 1046	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( n e. A -> DECID ph ) )
55	54	imp 124	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> DECID ph )
56	17	neii 2416	. . . . . . . . 9 |- -. 1o = (/)
57		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> -. ph )
58	57	iffalsed 3636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> if ( ph , (/) , 1o ) = 1o )
59	58	eqeq1d 2243	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) <-> 1o = (/) ) )
60	56, 59	mtbiri 682	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) /\ -. ph ) -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = (/) )
61	60	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( -. ph -> -. if ( ph , (/) , 1o ) = (/) ) )
62	61	con2d 629	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) -> -. -. ph ) )
63		notnotrdc 851	. . . . . 6 |- (DECID ph -> ( -. -. ph -> ph ) )
64	55, 62, 63	sylsyld 58	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) -> ph ) )
65	64, 19	impbid1 142	. . . 4 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( if ( ph , (/) , 1o ) = (/) <-> ph ) )
66	53, 65	bitrd 188	. . 3 |- ( ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) /\ n e. A ) -> ( ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> ph ) )
67	34, 66	rexbida 2539	. 2 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> ( E. n e. A ( ( n e. A |-> if ( ph , (/) , 1o ) ) ` n ) = (/) <-> E. n e. A ph ) )
68	50, 67	mpbid 147	1 |- ( ( A e. Markov /\ A. n e. A DECID ph /\ -. A. n e. A -. ph ) -> E. n e. A ph )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 842   /\ w3a 1005   A.wal 1396   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   _Vcvv 2815   (/)c0 3512   ifcif 3624   |-> cmpt 4176   -->wf 5353   ` cfv 5357   1oc1o 6653   2oc2o 6654  Markovcmarkov 7455

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-1o 6660  df-2o 6661  df-markov 7456

This theorem is referenced by: (None)