Theorem fmptsn 5617

Description: Express a singleton function in maps-to notation. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fmptsn	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   V( x)   W( x)

Proof of Theorem fmptsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 4594	. 2 |- ( { A } X. { B } ) = ( x e. { A } |-> B )
2		xpsng 5603	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( { A } X. { B } ) = { <. A , B >. } )
3	1, 2	syl5reqr 2188	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   {csn 3532   <.cop 3535   |-> cmpt 3997   X. cxp 4545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138

This theorem is referenced by:  fmptap  5618  fmptapd  5619