Theorem fmptap 5675

Description: Append an additional value to a function. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptap.0a	|- A e. _V
fmptap.0b	|- B e. _V
fmptap.1	|- ( R u. { A } ) = S
fmptap.2	|- ( x = A -> C = B )

Assertion

Ref	Expression
fmptap	|- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, R   x, S

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem fmptap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptap.0a	. . . . 5 |- A e. _V
2		fmptap.0b	. . . . 5 |- B e. _V
3		fmptsn 5674	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
4	1, 2, 3	mp2an 423	. . . 4 |- { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B )
5		elsni 3594	. . . . . 6 |- ( x e. { A } -> x = A )
6		fmptap.2	. . . . . 6 |- ( x = A -> C = B )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. { A } -> C = B )
8	7	mpteq2ia 4068	. . . 4 |- ( x e. { A } |-> C ) = ( x e. { A } |-> B )
9	4, 8	eqtr4i 2189	. . 3 |- { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> C )
10	9	uneq2i 3273	. 2 |- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
11		mptun 5319	. 2 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
12		fmptap.1	. . 3 |- ( R u. { A } ) = S
13		mpteq1 4066	. . 3 |- ( ( R u. { A } ) = S -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C )
15	10, 11, 14	3eqtr2i 2192	1 |- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1343   e. wcel 2136   _Vcvv 2726   u. cun 3114   {csn 3576   <.cop 3579   |-> cmpt 4043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-v 2728  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195

This theorem is referenced by: (None)