Theorem fmptap 5719

Description: Append an additional value to a function. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptap.0a	|- A e. _V
fmptap.0b	|- B e. _V
fmptap.1	|- ( R u. { A } ) = S
fmptap.2	|- ( x = A -> C = B )

Assertion

Ref	Expression
fmptap	|- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, R   x, S

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem fmptap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptap.0a	. . . . 5 |- A e. _V
2		fmptap.0b	. . . . 5 |- B e. _V
3		fmptsn 5718	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . 4 |- { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B )
5		elsni 3622	. . . . . 6 |- ( x e. { A } -> x = A )
6		fmptap.2	. . . . . 6 |- ( x = A -> C = B )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. { A } -> C = B )
8	7	mpteq2ia 4101	. . . 4 |- ( x e. { A } |-> C ) = ( x e. { A } |-> B )
9	4, 8	eqtr4i 2211	. . 3 |- { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> C )
10	9	uneq2i 3298	. 2 |- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
11		mptun 5359	. 2 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
12		fmptap.1	. . 3 |- ( R u. { A } ) = S
13		mpteq1 4099	. . 3 |- ( ( R u. { A } ) = S -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C )
15	10, 11, 14	3eqtr2i 2214	1 |- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2158   _Vcvv 2749   u. cun 3139   {csn 3604   <.cop 3607   |-> cmpt 4076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235

This theorem is referenced by: (None)