Theorem fmptap 5874

Description: Append an additional value to a function. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptap.0a	|- A e. _V
fmptap.0b	|- B e. _V
fmptap.1	|- ( R u. { A } ) = S
fmptap.2	|- ( x = A -> C = B )

Assertion

Ref	Expression
fmptap	|- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, R   x, S

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem fmptap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptap.0a	. . . . 5 |- A e. _V
2		fmptap.0b	. . . . 5 |- B e. _V
3		fmptsn 5873	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . 4 |- { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B )
5		elsni 3707	. . . . . 6 |- ( x e. { A } -> x = A )
6		fmptap.2	. . . . . 6 |- ( x = A -> C = B )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. { A } -> C = B )
8	7	mpteq2ia 4196	. . . 4 |- ( x e. { A } |-> C ) = ( x e. { A } |-> B )
9	4, 8	eqtr4i 2256	. . 3 |- { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> C )
10	9	uneq2i 3370	. 2 |- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
11		mptun 5490	. 2 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
12		fmptap.1	. . 3 |- ( R u. { A } ) = S
13		mpteq1 4194	. . 3 |- ( ( R u. { A } ) = S -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C )
15	10, 11, 14	3eqtr2i 2259	1 |- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   u. cun 3209   {csn 3689   <.cop 3692   |-> cmpt 4171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359

This theorem is referenced by: (None)