Theorem fmptap 5776

Description: Append an additional value to a function. (Contributed by NM, 6-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptap.0a	|- A e. _V
fmptap.0b	|- B e. _V
fmptap.1	|- ( R u. { A } ) = S
fmptap.2	|- ( x = A -> C = B )

Assertion

Ref	Expression
fmptap	|- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, R   x, S

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem fmptap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptap.0a	. . . . 5 |- A e. _V
2		fmptap.0b	. . . . 5 |- B e. _V
3		fmptsn 5775	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . 4 |- { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B )
5		elsni 3651	. . . . . 6 |- ( x e. { A } -> x = A )
6		fmptap.2	. . . . . 6 |- ( x = A -> C = B )
7	5, 6	syl 14	. . . . 5 |- ( x e. { A } -> C = B )
8	7	mpteq2ia 4131	. . . 4 |- ( x e. { A } |-> C ) = ( x e. { A } |-> B )
9	4, 8	eqtr4i 2229	. . 3 |- { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> C )
10	9	uneq2i 3324	. 2 |- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
11		mptun 5409	. 2 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
12		fmptap.1	. . 3 |- ( R u. { A } ) = S
13		mpteq1 4129	. . 3 |- ( ( R u. { A } ) = S -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C ) )
14	12, 13	ax-mp 5	. 2 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C )
15	10, 11, 14	3eqtr2i 2232	1 |- ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   u. cun 3164   {csn 3633   <.cop 3636   |-> cmpt 4106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279

This theorem is referenced by: (None)