Theorem fmptapd 5687

Description: Append an additional value to a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptapd.0a	|- ( ph -> A e. _V )
fmptapd.0b	|- ( ph -> B e. _V )
fmptapd.1	|- ( ph -> ( R u. { A } ) = S )
fmptapd.2	|- ( ( ph /\ x = A ) -> C = B )

Assertion

Ref	Expression
fmptapd	|- ( ph -> ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, R   x, S   ph, x

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem fmptapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptapd.0a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
2		fmptapd.0b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
3		fmptsn 5685	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
5		elsni 3601	. . . . . 6 |- ( x e. { A } -> x = A )
6		fmptapd.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = A ) -> C = B )
7	5, 6	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> C = B )
8	7	mpteq2dva 4079	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { A } |-> C ) = ( x e. { A } |-> B ) )
9	4, 8	eqtr4d 2206	. . 3 |- ( ph -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> C ) )
10	9	uneq2d 3281	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) ) )
11		mptun 5329	. . 3 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) ) )
13		fmptapd.1	. . 3 |- ( ph -> ( R u. { A } ) = S )
14	13	mpteq1d 4074	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C ) )
15	10, 12, 14	3eqtr2d 2209	1 |- ( ph -> ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1348   e. wcel 2141   _Vcvv 2730   u. cun 3119   {csn 3583   <.cop 3586   |-> cmpt 4050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205

This theorem is referenced by:  fmptpr  5688