Theorem fmptapd 5702

Description: Append an additional value to a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptapd.0a	|- ( ph -> A e. _V )
fmptapd.0b	|- ( ph -> B e. _V )
fmptapd.1	|- ( ph -> ( R u. { A } ) = S )
fmptapd.2	|- ( ( ph /\ x = A ) -> C = B )

Assertion

Ref	Expression
fmptapd	|- ( ph -> ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, R   x, S   ph, x

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem fmptapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptapd.0a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
2		fmptapd.0b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
3		fmptsn 5700	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
5		elsni 3609	. . . . . 6 |- ( x e. { A } -> x = A )
6		fmptapd.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = A ) -> C = B )
7	5, 6	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> C = B )
8	7	mpteq2dva 4090	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { A } |-> C ) = ( x e. { A } |-> B ) )
9	4, 8	eqtr4d 2213	. . 3 |- ( ph -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> C ) )
10	9	uneq2d 3289	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) ) )
11		mptun 5342	. . 3 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) ) )
13		fmptapd.1	. . 3 |- ( ph -> ( R u. { A } ) = S )
14	13	mpteq1d 4085	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C ) )
15	10, 12, 14	3eqtr2d 2216	1 |- ( ph -> ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   _Vcvv 2737   u. cun 3127   {csn 3591   <.cop 3594   |-> cmpt 4061

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218

This theorem is referenced by:  fmptpr  5703