Theorem fmptapd 5657

Description: Append an additional value to a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmptapd.0a	|- ( ph -> A e. _V )
fmptapd.0b	|- ( ph -> B e. _V )
fmptapd.1	|- ( ph -> ( R u. { A } ) = S )
fmptapd.2	|- ( ( ph /\ x = A ) -> C = B )

Assertion

Ref	Expression
fmptapd	|- ( ph -> ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, R   x, S   ph, x

Allowed substitution hint:   C( x)

Proof of Theorem fmptapd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmptapd.0a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
2		fmptapd.0b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
3		fmptsn 5655	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ph -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> B ) )
5		elsni 3578	. . . . . 6 |- ( x e. { A } -> x = A )
6		fmptapd.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x = A ) -> C = B )
7	5, 6	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. { A } ) -> C = B )
8	7	mpteq2dva 4054	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { A } |-> C ) = ( x e. { A } |-> B ) )
9	4, 8	eqtr4d 2193	. . 3 |- ( ph -> { <. A , B >. } = ( x e. { A } |-> C ) )
10	9	uneq2d 3261	. 2 |- ( ph -> ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) ) )
11		mptun 5300	. . 3 |- ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) )
12	11	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( ( x e. R |-> C ) u. ( x e. { A } |-> C ) ) )
13		fmptapd.1	. . 3 |- ( ph -> ( R u. { A } ) = S )
14	13	mpteq1d 4049	. 2 |- ( ph -> ( x e. ( R u. { A } ) |-> C ) = ( x e. S |-> C ) )
15	10, 12, 14	3eqtr2d 2196	1 |- ( ph -> ( ( x e. R |-> C ) u. { <. A , B >. } ) = ( x e. S |-> C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   u. cun 3100   {csn 3560   <.cop 3563   |-> cmpt 4025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176

This theorem is referenced by:  fmptpr  5658