Theorem fun2 5431

Description: The union of two functions with disjoint domains. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fun2	|- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )

Proof of Theorem fun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fun 5430	. 2 |- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) )
2		unidm 3306	. . 3 |- ( C u. C ) = C
3		feq3 5392	. . 3 |- ( ( C u. C ) = C -> ( ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) <-> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) <-> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )
5	1, 4	sylib 122	1 |- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   u. cun 3155   i^i cin 3156   (/)c0 3450   -->wf 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262

This theorem is referenced by:  ac6sfi  6959  fseq1p1m1  10169  fxnn0nninf  10531