Theorem fun2 5219

Description: The union of two functions with disjoint domains. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fun2	|- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )

Proof of Theorem fun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fun 5218	. 2 |- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) )
2		unidm 3158	. . 3 |- ( C u. C ) = C
3		feq3 5181	. . 3 |- ( ( C u. C ) = C -> ( ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) <-> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C ) )
4	2, 3	ax-mp 7	. 2 |- ( ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) <-> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )
5	1, 4	sylib 121	1 |- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1296   u. cun 3011   i^i cin 3012   (/)c0 3302   -->wf 5045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053

This theorem is referenced by:  ac6sfi  6694  fseq1p1m1  9657  fxnn0nninf  9993