Theorem fun2 5517

Description: The union of two functions with disjoint domains. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fun2	|- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )

Proof of Theorem fun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fun 5516	. 2 |- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) )
2		unidm 3352	. . 3 |- ( C u. C ) = C
3		feq3 5474	. . 3 |- ( ( C u. C ) = C -> ( ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) <-> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) <-> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )
5	1, 4	sylib 122	1 |- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   u. cun 3199   i^i cin 3200   (/)c0 3496   -->wf 5329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337

This theorem is referenced by:  fun2d  5518  ac6sfi  7130  fseq1p1m1  10391  fxnn0nninf  10764