Theorem fun2 5304

Description: The union of two functions with disjoint domains. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fun2	|- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )

Proof of Theorem fun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fun 5303	. 2 |- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) )
2		unidm 3224	. . 3 |- ( C u. C ) = C
3		feq3 5265	. . 3 |- ( ( C u. C ) = C -> ( ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) <-> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) <-> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )
5	1, 4	sylib 121	1 |- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1332   u. cun 3074   i^i cin 3075   (/)c0 3368   -->wf 5127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135

This theorem is referenced by:  ac6sfi  6800  fseq1p1m1  9905  fxnn0nninf  10242