Theorem fun2 5390

Description: The union of two functions with disjoint domains. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fun2	|- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )

Proof of Theorem fun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fun 5389	. 2 |- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) )
2		unidm 3279	. . 3 |- ( C u. C ) = C
3		feq3 5351	. . 3 |- ( ( C u. C ) = C -> ( ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) <-> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ( F u. G ) : ( A u. B ) --> ( C u. C ) <-> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )
5	1, 4	sylib 122	1 |- ( ( ( F : A --> C /\ G : B --> C ) /\ ( A i^i B ) = (/) ) -> ( F u. G ) : ( A u. B ) --> C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   u. cun 3128   i^i cin 3129   (/)c0 3423   -->wf 5213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-v 2740  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-id 4294  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221

This theorem is referenced by:  ac6sfi  6898  fseq1p1m1  10094  fxnn0nninf  10438