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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > fseq1p1m1 | Unicode version |
Description: Add/remove an item to/from the end of a finite sequence. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 7-Mar-2014.) |
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fseq1p1m1.1 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | simpr1 1003 |
. . . . . 6
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2 | nn0p1nn 9213 |
. . . . . . . . 9
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3 | 2 | adantr 276 |
. . . . . . . 8
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4 | simpr2 1004 |
. . . . . . . 8
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5 | fseq1p1m1.1 |
. . . . . . . . 9
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6 | fsng 5689 |
. . . . . . . . 9
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7 | 5, 6 | mpbiri 168 |
. . . . . . . 8
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8 | 3, 4, 7 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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9 | 4 | snssd 3737 |
. . . . . . 7
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10 | 8, 9 | fssd 5378 |
. . . . . 6
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11 | fzp1disj 10077 |
. . . . . . 7
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12 | 11 | a1i 9 |
. . . . . 6
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13 | fun2 5389 |
. . . . . 6
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14 | 1, 10, 12, 13 | syl21anc 1237 |
. . . . 5
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15 | 1z 9277 |
. . . . . . . 8
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16 | simpl 109 |
. . . . . . . . 9
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17 | nn0uz 9560 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 1m1e0 8986 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 18 | fveq2i 5518 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 17, 19 | eqtr4i 2201 |
. . . . . . . . 9
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21 | 16, 20 | eleqtrdi 2270 |
. . . . . . . 8
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22 | fzsuc2 10076 |
. . . . . . . 8
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23 | 15, 21, 22 | sylancr 414 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | eqcomd 2183 |
. . . . . 6
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25 | 24 | feq2d 5353 |
. . . . 5
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26 | 14, 25 | mpbid 147 |
. . . 4
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27 | simpr3 1005 |
. . . . 5
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28 | 27 | feq1d 5352 |
. . . 4
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29 | 26, 28 | mpbird 167 |
. . 3
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30 | 27 | reseq1d 4906 |
. . . . . 6
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31 | ffn 5365 |
. . . . . . . . . 10
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32 | fnresdisj 5326 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 1, 31, 32 | 3syl 17 |
. . . . . . . . 9
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34 | 12, 33 | mpbid 147 |
. . . . . . . 8
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35 | 34 | uneq1d 3288 |
. . . . . . 7
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36 | resundir 4921 |
. . . . . . 7
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37 | uncom 3279 |
. . . . . . . 8
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38 | un0 3456 |
. . . . . . . 8
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39 | 37, 38 | eqtr2i 2199 |
. . . . . . 7
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40 | 35, 36, 39 | 3eqtr4g 2235 |
. . . . . 6
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41 | ffn 5365 |
. . . . . . 7
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42 | fnresdm 5325 |
. . . . . . 7
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43 | 10, 41, 42 | 3syl 17 |
. . . . . 6
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44 | 30, 40, 43 | 3eqtrd 2214 |
. . . . 5
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45 | 44 | fveq1d 5517 |
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46 | 16 | nn0zd 9371 |
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47 | 46 | peano2zd 9376 |
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48 | snidg 3621 |
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49 | fvres 5539 |
. . . . 5
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50 | 47, 48, 49 | 3syl 17 |
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52 | fvsng 5712 |
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53 | 51, 52 | eqtrid 2222 |
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54 | 3, 4, 53 | syl2anc 411 |
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55 | 45, 50, 54 | 3eqtr3d 2218 |
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56 | 27 | reseq1d 4906 |
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57 | incom 3327 |
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58 | 57, 12 | eqtrid 2222 |
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59 | ffn 5365 |
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60 | fnresdisj 5326 |
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61 | 8, 59, 60 | 3syl 17 |
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62 | 58, 61 | mpbid 147 |
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63 | 62 | uneq2d 3289 |
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64 | resundir 4921 |
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65 | un0 3456 |
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67 | 63, 64, 66 | 3eqtr4g 2235 |
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68 | fnresdm 5325 |
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69 | 1, 31, 68 | 3syl 17 |
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70 | 56, 67, 69 | 3eqtrrd 2215 |
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71 | 29, 55, 70 | 3jca 1177 |
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72 | simpr1 1003 |
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73 | fzssp1 10064 |
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74 | fssres 5391 |
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75 | 72, 73, 74 | sylancl 413 |
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76 | simpr3 1005 |
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77 | 76 | feq1d 5352 |
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78 | 75, 77 | mpbird 167 |
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79 | simpr2 1004 |
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80 | 2 | adantr 276 |
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81 | nnuz 9561 |
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82 | 80, 81 | eleqtrdi 2270 |
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83 | eluzfz2 10029 |
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84 | 82, 83 | syl 14 |
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85 | 72, 84 | ffvelcdmd 5652 |
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86 | 79, 85 | eqeltrrd 2255 |
. . 3
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87 | ffn 5365 |
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88 | 72, 87 | syl 14 |
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89 | fnressn 5702 |
. . . . . . . 8
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90 | 88, 84, 89 | syl2anc 411 |
. . . . . . 7
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91 | opeq2 3779 |
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92 | 91 | sneqd 3605 |
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93 | 79, 92 | syl 14 |
. . . . . . 7
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94 | 90, 93 | eqtrd 2210 |
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95 | 5, 94 | eqtr4id 2229 |
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96 | 76, 95 | uneq12d 3290 |
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97 | simpl 109 |
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98 | 97, 20 | eleqtrdi 2270 |
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99 | 15, 98, 22 | sylancr 414 |
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100 | 99 | reseq2d 4907 |
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101 | resundi 4920 |
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102 | 100, 101 | eqtr2di 2227 |
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103 | fnresdm 5325 |
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104 | 72, 87, 103 | 3syl 17 |
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105 | 96, 102, 104 | 3eqtrrd 2215 |
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106 | 78, 86, 105 | 3jca 1177 |
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107 | 71, 106 | impbida 596 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-sep 4121 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-addcom 7910 ax-addass 7912 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-apti 7925 ax-pre-ltadd 7926 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-id 4293 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-pnf 7992 df-mnf 7993 df-xr 7994 df-ltxr 7995 df-le 7996 df-sub 8128 df-neg 8129 df-inn 8918 df-n0 9175 df-z 9252 df-uz 9527 df-fz 10007 |
This theorem is referenced by: fseq1m1p1 10092 |
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