Theorem fun2 5494

Description: The union of two functions with disjoint domains. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fun2	⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)

Proof of Theorem fun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fun 5493	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(𝐶 ∪ 𝐶))
2		unidm 3347	. . 3 ⊢ (𝐶 ∪ 𝐶) = 𝐶
3		feq3 5454	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∪ 𝐶) = 𝐶 → ((𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(𝐶 ∪ 𝐶) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(𝐶 ∪ 𝐶) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)
5	1, 4	sylib 122	1 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∪ cun 3195   ∩ cin 3196  ∅c0 3491  ⟶wf 5310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4381  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-fun 5316  df-fn 5317  df-f 5318

This theorem is referenced by:  fun2d  5495  ac6sfi  7048  fseq1p1m1  10278  fxnn0nninf  10648