Theorem fun2 5536

Description: The union of two functions with disjoint domains. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fun2	⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)

Proof of Theorem fun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fun 5535	. 2 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(𝐶 ∪ 𝐶))
2		unidm 3361	. . 3 ⊢ (𝐶 ∪ 𝐶) = 𝐶
3		feq3 5492	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∪ 𝐶) = 𝐶 → ((𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(𝐶 ∪ 𝐶) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶))
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶(𝐶 ∪ 𝐶) ↔ (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)
5	1, 4	sylib 122	1 ⊢ (((𝐹:𝐴⟶𝐶 ∧ 𝐺:𝐵⟶𝐶) ∧ (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅) → (𝐹 ∪ 𝐺):(𝐴 ∪ 𝐵)⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∪ cun 3208   ∩ cin 3209  ∅c0 3507  ⟶wf 5347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-br 4109  df-opab 4171  df-id 4413  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355

This theorem is referenced by:  fun2d  5537  ac6sfi  7154  fseq1p1m1  10427  fxnn0nninf  10800