Theorem fxnn0nninf 10373

Description: A function from NN0* into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.) TODO: use infnninf 7088 instead of infnninfOLD 7089. More generally, this theorem and most theorems in this section could use an extended G defined by G = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. <. om , +oo >. ) and F = ( n e. suc om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) as in nnnninf2 7091.

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
fxnn0nninf	|- I :NN0* -->ℕ∞

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem fxnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2		fxnn0nninf.f	. . . . . 6 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
3	1, 2	fnn0nninf 10372	. . . . 5 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞
4		pnfex 7952	. . . . . . . 8 |- +oo e. _V
5		omex 4570	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
6		1oex 6392	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. _V
7	6	snex 4164	. . . . . . . . 9 |- { 1o } e. _V
8	5, 7	xpex 4719	. . . . . . . 8 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
9	4, 8	f1osn 5472	. . . . . . 7 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -1-1-onto-> { ( om X. { 1o } ) }
10		f1of 5432	. . . . . . 7 |- ( { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -1-1-onto-> { ( om X. { 1o } ) } -> { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om X. { 1o } ) } )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om X. { 1o } ) }
12		infnninfOLD 7089	. . . . . . 7 |- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞
13		snssi 3717	. . . . . . 7 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞ -> { ( om X. { 1o } ) } C_ ℕ∞ )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { ( om X. { 1o } ) } C_ ℕ∞
15		fss 5349	. . . . . 6 |- ( ( { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om X. { 1o } ) } /\ { ( om X. { 1o } ) } C_ ℕ∞ ) -> { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞ )
16	11, 14, 15	mp2an 423	. . . . 5 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞
17	3, 16	pm3.2i 270	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ /\ { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞ )
18		disj 3457	. . . . 5 |- ( ( NN0 i^i { +oo } ) = (/) <-> A. x e. NN0 -. x e. { +oo } )
19		nn0nepnf 9185	. . . . . . 7 |- ( x e. NN0 -> x =/= +oo )
20	19	neneqd 2357	. . . . . 6 |- ( x e. NN0 -> -. x = +oo )
21		elsni 3594	. . . . . 6 |- ( x e. { +oo } -> x = +oo )
22	20, 21	nsyl 618	. . . . 5 |- ( x e. NN0 -> -. x e. { +oo } )
23	18, 22	mprgbir 2524	. . . 4 |- ( NN0 i^i { +oo } ) = (/)
24		fun2 5361	. . . 4 |- ( ( ( ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ /\ { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞ ) /\ ( NN0 i^i { +oo } ) = (/) ) -> ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ )
25	17, 23, 24	mp2an 423	. . 3 |- ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞
26		fxnn0nninf.i	. . . 4 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
27	26	feq1i 5330	. . 3 |- ( I : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ <-> ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ )
28	25, 27	mpbir 145	. 2 |- I : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞
29		df-xnn0 9178	. . 3 |- NN0* = ( NN0 u. { +oo } )
30	29	feq2i 5331	. 2 |- ( I :NN0* -->ℕ∞ <-> I : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ )
31	28, 30	mpbir 145	1 |- I :NN0* -->ℕ∞

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   = wceq 1343   e. wcel 2136   u. cun 3114   i^i cin 3115   C_ wss 3116   (/)c0 3409   ifcif 3520   {csn 3576   <.cop 3579   |-> cmpt 4043   omcom 4567   X. cxp 4602   `'ccnv 4603   o. ccom 4608   -->wf 5184   -1-1-onto->wf1o 5187  (class class class)co 5842  freccfrec 6358   1oc1o 6377  ℕ_∞xnninf 7084   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   +oocpnf 7930   NN0cn0 9114  NN0*cxnn0 9177   ZZcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-ltadd 7869

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-map 6616  df-nninf 7085  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-inn 8858  df-n0 9115  df-xnn0 9178  df-z 9192  df-uz 9467

This theorem is referenced by: (None)