ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fxnn0nninf Unicode version

Theorem fxnn0nninf 10162
Description: A function from NN0* into ℕ. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
fxnn0nninf.f  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
fxnn0nninf.i  |-  I  =  ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } )
Assertion
Ref Expression
fxnn0nninf  |-  I :NN0* -->
Distinct variable group:    i, n
Allowed substitution hints:    F( x, i, n)    G( x, i, n)    I( x, i, n)

Proof of Theorem fxnn0nninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.g . . . . . 6  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
2 fxnn0nninf.f . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
31, 2fnn0nninf 10161 . . . . 5  |-  ( F  o.  `' G ) : NN0 -->
4 pnfex 7783 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  _V
5 omex 4475 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
6 1oex 6287 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  _V
76snex 4077 . . . . . . . . 9  |-  { 1o }  e.  _V
85, 7xpex 4622 . . . . . . . 8  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.  _V
94, 8f1osn 5373 . . . . . . 7  |-  { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } : { +oo } -1-1-onto-> {
( om  X.  { 1o } ) }
10 f1of 5333 . . . . . . 7  |-  ( {
<. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } : { +oo } -1-1-onto-> { ( om  X.  { 1o } ) }  ->  { <. +oo , 
( om  X.  { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om  X.  { 1o } ) } )
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om  X.  { 1o } ) }
12 infnninf 6988 . . . . . . 7  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.
13 snssi 3632 . . . . . . 7  |-  ( ( om  X.  { 1o } )  e.  ->  { ( om 
X.  { 1o }
) }  C_ )
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6  |-  { ( om  X.  { 1o } ) }  C_
15 fss 5252 . . . . . 6  |-  ( ( { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om  X.  { 1o } ) }  /\  { ( om  X.  { 1o } ) }  C_ )  ->  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } : { +oo } --> )
1611, 14, 15mp2an 420 . . . . 5  |-  { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } : { +oo } -->
173, 16pm3.2i 268 . . . 4  |-  ( ( F  o.  `' G
) : NN0 -->  /\ 
{ <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } : { +oo } --> )
18 disj 3379 . . . . 5  |-  ( ( NN0  i^i  { +oo } )  =  (/)  <->  A. x  e.  NN0  -.  x  e. 
{ +oo } )
19 nn0nepnf 9002 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  =/= +oo )
2019neneqd 2304 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN0  ->  -.  x  = +oo )
21 elsni 3513 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { +oo }  ->  x  = +oo )
2220, 21nsyl 600 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN0  ->  -.  x  e.  { +oo } )
2318, 22mprgbir 2465 . . . 4  |-  ( NN0 
i^i  { +oo } )  =  (/)
24 fun2 5264 . . . 4  |-  ( ( ( ( F  o.  `' G ) : NN0 -->  /\  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } : { +oo } --> )  /\  ( NN0  i^i  { +oo } )  =  (/) )  ->  ( ( F  o.  `' G
)  u.  { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } ) : ( NN0  u.  { +oo } ) --> )
2517, 23, 24mp2an 420 . . 3  |-  ( ( F  o.  `' G
)  u.  { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } ) : ( NN0  u.  { +oo } ) -->
26 fxnn0nninf.i . . . 4  |-  I  =  ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } )
2726feq1i 5233 . . 3  |-  ( I : ( NN0  u.  { +oo } ) -->  <->  ( ( F  o.  `' G
)  u.  { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } ) : ( NN0  u.  { +oo } ) --> )
2825, 27mpbir 145 . 2  |-  I : ( NN0  u.  { +oo } ) -->
29 df-xnn0 8995 . . 3  |- NN0*  =  ( NN0  u.  { +oo } )
3029feq2i 5234 . 2  |-  ( I :NN0* -->  <->  I : ( NN0  u.  { +oo } ) --> )
3128, 30mpbir 145 1  |-  I :NN0* -->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 103    = wceq 1314    e. wcel 1463    u. cun 3037    i^i cin 3038    C_ wss 3039   (/)c0 3331   ifcif 3442   {csn 3495   <.cop 3498    |-> cmpt 3957   omcom 4472    X. cxp 4505   `'ccnv 4506    o. ccom 4511   -->wf 5087   -1-1-onto->wf1o 5090  (class class class)co 5740  freccfrec 6253   1oc1o 6272  ℕxnninf 6971   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587   +oocpnf 7761   NN0cn0 8931  NN0*cxnn0 8994   ZZcz 9008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-addcom 7684  ax-addass 7686  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-ltadd 7700
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-recs 6168  df-frec 6254  df-1o 6279  df-2o 6280  df-map 6510  df-nninf 6973  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-inn 8681  df-n0 8932  df-xnn0 8995  df-z 9009  df-uz 9279
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator