Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fxnn0nninf Unicode version

Theorem fxnn0nninf 10315
 Description: A function from NN0* into ℕ∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.) TODO: use infnninf 7052 instead of infnninfOLD 7053. More generally, this theorem and most theorems in this section could use an extended defined by frec and as in nnnninf2 7055.
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g frec
fxnn0nninf.f
fxnn0nninf.i
Assertion
Ref Expression
fxnn0nninf NN0*
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem fxnn0nninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.g . . . . . 6 frec
2 fxnn0nninf.f . . . . . 6
31, 2fnn0nninf 10314 . . . . 5
4 pnfex 7910 . . . . . . . 8
5 omex 4546 . . . . . . . . 9
6 1oex 6361 . . . . . . . . . 10
76snex 4141 . . . . . . . . 9
85, 7xpex 4694 . . . . . . . 8
94, 8f1osn 5447 . . . . . . 7
10 f1of 5407 . . . . . . 7
119, 10ax-mp 5 . . . . . 6
12 infnninfOLD 7053 . . . . . . 7
13 snssi 3696 . . . . . . 7
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6
15 fss 5324 . . . . . 6
1611, 14, 15mp2an 423 . . . . 5
173, 16pm3.2i 270 . . . 4
18 disj 3438 . . . . 5
19 nn0nepnf 9140 . . . . . . 7
2019neneqd 2345 . . . . . 6
21 elsni 3574 . . . . . 6
2220, 21nsyl 618 . . . . 5
2318, 22mprgbir 2512 . . . 4
24 fun2 5336 . . . 4
2517, 23, 24mp2an 423 . . 3
26 fxnn0nninf.i . . . 4
2726feq1i 5305 . . 3
2825, 27mpbir 145 . 2
29 df-xnn0 9133 . . 3 NN0*
3029feq2i 5306 . 2 NN0*
3128, 30mpbir 145 1 NN0*
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wa 103   wceq 1332   wcel 2125   cun 3096   cin 3097   wss 3098  c0 3390  cif 3501  csn 3556  cop 3559   cmpt 4021  com 4543   cxp 4577  ccnv 4578   ccom 4583  wf 5159  wf1o 5162  (class class class)co 5814  freccfrec 6327  c1o 6346  ℕ∞xnninf 7049  cc0 7711  c1 7712   caddc 7714   cpnf 7888  cn0 9069  NN0*cxnn0 9132  cz 9146 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-recs 6242  df-frec 6328  df-1o 6353  df-2o 6354  df-map 6584  df-nninf 7050  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-xnn0 9133  df-z 9147  df-uz 9419 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator