Theorem fxnn0nninf 10315

Description: A function from NN0* into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.) TODO: use infnninf 7052 instead of infnninfOLD 7053. More generally, this theorem and most theorems in this section could use an extended G defined by G = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. <. om , +oo >. ) and F = ( n e. suc om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) as in nnnninf2 7055.

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
fxnn0nninf	|- I :NN0* -->ℕ∞

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem fxnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2		fxnn0nninf.f	. . . . . 6 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
3	1, 2	fnn0nninf 10314	. . . . 5 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞
4		pnfex 7910	. . . . . . . 8 |- +oo e. _V
5		omex 4546	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
6		1oex 6361	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. _V
7	6	snex 4141	. . . . . . . . 9 |- { 1o } e. _V
8	5, 7	xpex 4694	. . . . . . . 8 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
9	4, 8	f1osn 5447	. . . . . . 7 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -1-1-onto-> { ( om X. { 1o } ) }
10		f1of 5407	. . . . . . 7 |- ( { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -1-1-onto-> { ( om X. { 1o } ) } -> { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om X. { 1o } ) } )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om X. { 1o } ) }
12		infnninfOLD 7053	. . . . . . 7 |- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞
13		snssi 3696	. . . . . . 7 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞ -> { ( om X. { 1o } ) } C_ ℕ∞ )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { ( om X. { 1o } ) } C_ ℕ∞
15		fss 5324	. . . . . 6 |- ( ( { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om X. { 1o } ) } /\ { ( om X. { 1o } ) } C_ ℕ∞ ) -> { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞ )
16	11, 14, 15	mp2an 423	. . . . 5 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞
17	3, 16	pm3.2i 270	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ /\ { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞ )
18		disj 3438	. . . . 5 |- ( ( NN0 i^i { +oo } ) = (/) <-> A. x e. NN0 -. x e. { +oo } )
19		nn0nepnf 9140	. . . . . . 7 |- ( x e. NN0 -> x =/= +oo )
20	19	neneqd 2345	. . . . . 6 |- ( x e. NN0 -> -. x = +oo )
21		elsni 3574	. . . . . 6 |- ( x e. { +oo } -> x = +oo )
22	20, 21	nsyl 618	. . . . 5 |- ( x e. NN0 -> -. x e. { +oo } )
23	18, 22	mprgbir 2512	. . . 4 |- ( NN0 i^i { +oo } ) = (/)
24		fun2 5336	. . . 4 |- ( ( ( ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ /\ { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞ ) /\ ( NN0 i^i { +oo } ) = (/) ) -> ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ )
25	17, 23, 24	mp2an 423	. . 3 |- ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞
26		fxnn0nninf.i	. . . 4 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
27	26	feq1i 5305	. . 3 |- ( I : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ <-> ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ )
28	25, 27	mpbir 145	. 2 |- I : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞
29		df-xnn0 9133	. . 3 |- NN0* = ( NN0 u. { +oo } )
30	29	feq2i 5306	. 2 |- ( I :NN0* -->ℕ∞ <-> I : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ )
31	28, 30	mpbir 145	1 |- I :NN0* -->ℕ∞

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 2125   u. cun 3096   i^i cin 3097   C_ wss 3098   (/)c0 3390   ifcif 3501   {csn 3556   <.cop 3559   |-> cmpt 4021   omcom 4543   X. cxp 4577   `'ccnv 4578   o. ccom 4583   -->wf 5159   -1-1-onto->wf1o 5162  (class class class)co 5814  freccfrec 6327   1oc1o 6346  ℕ_∞xnninf 7049   0cc0 7711   1c1 7712   + caddc 7714   +oocpnf 7888   NN0cn0 9069  NN0*cxnn0 9132   ZZcz 9146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-addcom 7811  ax-addass 7813  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-ltadd 7827

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-recs 6242  df-frec 6328  df-1o 6353  df-2o 6354  df-map 6584  df-nninf 7050  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-inn 8813  df-n0 9070  df-xnn0 9133  df-z 9147  df-uz 9419

This theorem is referenced by: (None)