Theorem fxnn0nninf 10582

Description: A function from NN0* into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.) TODO: use infnninf 7225 instead of infnninfOLD 7226. More generally, this theorem and most theorems in this section could use an extended G defined by G = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. <. om , +oo >. ) and F = ( n e. suc om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) as in nnnninf2 7228.

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
fxnn0nninf	|- I :NN0* -->ℕ∞

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem fxnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2		fxnn0nninf.f	. . . . . 6 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
3	1, 2	fnn0nninf 10581	. . . . 5 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞
4		pnfex 8125	. . . . . . . 8 |- +oo e. _V
5		omex 4640	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
6		1oex 6509	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. _V
7	6	snex 4228	. . . . . . . . 9 |- { 1o } e. _V
8	5, 7	xpex 4789	. . . . . . . 8 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
9	4, 8	f1osn 5561	. . . . . . 7 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -1-1-onto-> { ( om X. { 1o } ) }
10		f1of 5521	. . . . . . 7 |- ( { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -1-1-onto-> { ( om X. { 1o } ) } -> { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om X. { 1o } ) } )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om X. { 1o } ) }
12		infnninfOLD 7226	. . . . . . 7 |- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞
13		snssi 3776	. . . . . . 7 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞ -> { ( om X. { 1o } ) } C_ ℕ∞ )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { ( om X. { 1o } ) } C_ ℕ∞
15		fss 5436	. . . . . 6 |- ( ( { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om X. { 1o } ) } /\ { ( om X. { 1o } ) } C_ ℕ∞ ) -> { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞ )
16	11, 14, 15	mp2an 426	. . . . 5 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞
17	3, 16	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ /\ { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞ )
18		disj 3508	. . . . 5 |- ( ( NN0 i^i { +oo } ) = (/) <-> A. x e. NN0 -. x e. { +oo } )
19		nn0nepnf 9365	. . . . . . 7 |- ( x e. NN0 -> x =/= +oo )
20	19	neneqd 2396	. . . . . 6 |- ( x e. NN0 -> -. x = +oo )
21		elsni 3650	. . . . . 6 |- ( x e. { +oo } -> x = +oo )
22	20, 21	nsyl 629	. . . . 5 |- ( x e. NN0 -> -. x e. { +oo } )
23	18, 22	mprgbir 2563	. . . 4 |- ( NN0 i^i { +oo } ) = (/)
24		fun2 5448	. . . 4 |- ( ( ( ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ /\ { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞ ) /\ ( NN0 i^i { +oo } ) = (/) ) -> ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ )
25	17, 23, 24	mp2an 426	. . 3 |- ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞
26		fxnn0nninf.i	. . . 4 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
27	26	feq1i 5417	. . 3 |- ( I : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ <-> ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ )
28	25, 27	mpbir 146	. 2 |- I : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞
29		df-xnn0 9358	. . 3 |- NN0* = ( NN0 u. { +oo } )
30	29	feq2i 5418	. 2 |- ( I :NN0* -->ℕ∞ <-> I : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ )
31	28, 30	mpbir 146	1 |- I :NN0* -->ℕ∞

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1372   e. wcel 2175   u. cun 3163   i^i cin 3164   C_ wss 3165   (/)c0 3459   ifcif 3570   {csn 3632   <.cop 3635   |-> cmpt 4104   omcom 4637   X. cxp 4672   `'ccnv 4673   o. ccom 4678   -->wf 5266   -1-1-onto->wf1o 5269  (class class class)co 5943  freccfrec 6475   1oc1o 6494  ℕ_∞xnninf 7220   0cc0 7924   1c1 7925   + caddc 7927   +oocpnf 8103   NN0cn0 9294  NN0*cxnn0 9357   ZZcz 9371

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-recs 6390  df-frec 6476  df-1o 6501  df-2o 6502  df-map 6736  df-nninf 7221  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-inn 9036  df-n0 9295  df-xnn0 9358  df-z 9372  df-uz 9648

This theorem is referenced by:  nninfctlemfo  12332