Theorem fxnn0nninf 10441

Description: A function from NN0* into ℕ_∞. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.) TODO: use infnninf 7125 instead of infnninfOLD 7126. More generally, this theorem and most theorems in this section could use an extended G defined by G = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. <. om , +oo >. ) and F = ( n e. suc om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) ) as in nnnninf2 7128.

Hypotheses

Ref	Expression
fxnn0nninf.g	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
fxnn0nninf.f	|- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
fxnn0nninf.i	|- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )

Assertion

Ref	Expression
fxnn0nninf	|- I :NN0* -->ℕ∞

Distinct variable group:   i, n

Allowed substitution hints:   F( x, i, n)   G( x, i, n)   I( x, i, n)

Proof of Theorem fxnn0nninf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fxnn0nninf.g	. . . . . 6 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
2		fxnn0nninf.f	. . . . . 6 |- F = ( n e. om |-> ( i e. om |-> if ( i e. n , 1o , (/) ) ) )
3	1, 2	fnn0nninf 10440	. . . . 5 |- ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞
4		pnfex 8014	. . . . . . . 8 |- +oo e. _V
5		omex 4594	. . . . . . . . 9 |- om e. _V
6		1oex 6428	. . . . . . . . . 10 |- 1o e. _V
7	6	snex 4187	. . . . . . . . 9 |- { 1o } e. _V
8	5, 7	xpex 4743	. . . . . . . 8 |- ( om X. { 1o } ) e. _V
9	4, 8	f1osn 5503	. . . . . . 7 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -1-1-onto-> { ( om X. { 1o } ) }
10		f1of 5463	. . . . . . 7 |- ( { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -1-1-onto-> { ( om X. { 1o } ) } -> { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om X. { 1o } ) } )
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om X. { 1o } ) }
12		infnninfOLD 7126	. . . . . . 7 |- ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞
13		snssi 3738	. . . . . . 7 |- ( ( om X. { 1o } ) e. ℕ∞ -> { ( om X. { 1o } ) } C_ ℕ∞ )
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 |- { ( om X. { 1o } ) } C_ ℕ∞
15		fss 5379	. . . . . 6 |- ( ( { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om X. { 1o } ) } /\ { ( om X. { 1o } ) } C_ ℕ∞ ) -> { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞ )
16	11, 14, 15	mp2an 426	. . . . 5 |- { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞
17	3, 16	pm3.2i 272	. . . 4 |- ( ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ /\ { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞ )
18		disj 3473	. . . . 5 |- ( ( NN0 i^i { +oo } ) = (/) <-> A. x e. NN0 -. x e. { +oo } )
19		nn0nepnf 9250	. . . . . . 7 |- ( x e. NN0 -> x =/= +oo )
20	19	neneqd 2368	. . . . . 6 |- ( x e. NN0 -> -. x = +oo )
21		elsni 3612	. . . . . 6 |- ( x e. { +oo } -> x = +oo )
22	20, 21	nsyl 628	. . . . 5 |- ( x e. NN0 -> -. x e. { +oo } )
23	18, 22	mprgbir 2535	. . . 4 |- ( NN0 i^i { +oo } ) = (/)
24		fun2 5391	. . . 4 |- ( ( ( ( F o. `' G ) : NN0 -->ℕ∞ /\ { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } : { +oo } -->ℕ∞ ) /\ ( NN0 i^i { +oo } ) = (/) ) -> ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ )
25	17, 23, 24	mp2an 426	. . 3 |- ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞
26		fxnn0nninf.i	. . . 4 |- I = ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } )
27	26	feq1i 5360	. . 3 |- ( I : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ <-> ( ( F o. `' G ) u. { <. +oo , ( om X. { 1o } ) >. } ) : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ )
28	25, 27	mpbir 146	. 2 |- I : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞
29		df-xnn0 9243	. . 3 |- NN0* = ( NN0 u. { +oo } )
30	29	feq2i 5361	. 2 |- ( I :NN0* -->ℕ∞ <-> I : ( NN0 u. { +oo } ) -->ℕ∞ )
31	28, 30	mpbir 146	1 |- I :NN0* -->ℕ∞

Syntax hints:   -. wn 3   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   u. cun 3129   i^i cin 3130   C_ wss 3131   (/)c0 3424   ifcif 3536   {csn 3594   <.cop 3597   |-> cmpt 4066   omcom 4591   X. cxp 4626   `'ccnv 4627   o. ccom 4632   -->wf 5214   -1-1-onto->wf1o 5217  (class class class)co 5878  freccfrec 6394   1oc1o 6413  ℕ_∞xnninf 7121   0cc0 7814   1c1 7815   + caddc 7817   +oocpnf 7992   NN0cn0 9179  NN0*cxnn0 9242   ZZcz 9256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-recs 6309  df-frec 6395  df-1o 6420  df-2o 6421  df-map 6653  df-nninf 7122  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-xnn0 9243  df-z 9257  df-uz 9532

This theorem is referenced by: (None)