ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fxnn0nninf Unicode version

Theorem fxnn0nninf 9809
Description: A function from NN0* into ℕ. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jul-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fxnn0nninf.g  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
fxnn0nninf.f  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
fxnn0nninf.i  |-  I  =  ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } )
Assertion
Ref Expression
fxnn0nninf  |-  I :NN0* -->
Distinct variable group:    i, n
Allowed substitution hints:    F( x, i, n)    G( x, i, n)    I( x, i, n)

Proof of Theorem fxnn0nninf
StepHypRef Expression
1 fxnn0nninf.g . . . . . 6  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
2 fxnn0nninf.f . . . . . 6  |-  F  =  ( n  e.  om  |->  ( i  e.  om  |->  if ( i  e.  n ,  1o ,  (/) ) ) )
31, 2fnn0nninf 9808 . . . . 5  |-  ( F  o.  `' G ) : NN0 -->
4 pnfex 7520 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  _V
5 omex 4398 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  _V
6 1oex 6171 . . . . . . . . . 10  |-  1o  e.  _V
76snex 4011 . . . . . . . . 9  |-  { 1o }  e.  _V
85, 7xpex 4541 . . . . . . . 8  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.  _V
94, 8f1osn 5277 . . . . . . 7  |-  { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } : { +oo } -1-1-onto-> {
( om  X.  { 1o } ) }
10 f1of 5237 . . . . . . 7  |-  ( {
<. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } : { +oo } -1-1-onto-> { ( om  X.  { 1o } ) }  ->  { <. +oo , 
( om  X.  { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om  X.  { 1o } ) } )
119, 10ax-mp 7 . . . . . 6  |-  { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om  X.  { 1o } ) }
12 infnninf 6784 . . . . . . 7  |-  ( om 
X.  { 1o }
)  e.
13 snssi 3576 . . . . . . 7  |-  ( ( om  X.  { 1o } )  e.  ->  { ( om 
X.  { 1o }
) }  C_ )
1412, 13ax-mp 7 . . . . . 6  |-  { ( om  X.  { 1o } ) }  C_
15 fss 5157 . . . . . 6  |-  ( ( { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } : { +oo } --> { ( om  X.  { 1o } ) }  /\  { ( om  X.  { 1o } ) }  C_ )  ->  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } : { +oo } --> )
1611, 14, 15mp2an 417 . . . . 5  |-  { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } : { +oo } -->
173, 16pm3.2i 266 . . . 4  |-  ( ( F  o.  `' G
) : NN0 -->  /\ 
{ <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } : { +oo } --> )
18 disj 3328 . . . . 5  |-  ( ( NN0  i^i  { +oo } )  =  (/)  <->  A. x  e.  NN0  -.  x  e. 
{ +oo } )
19 nn0nepnf 8714 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  =/= +oo )
2019neneqd 2276 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN0  ->  -.  x  = +oo )
21 elsni 3459 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { +oo }  ->  x  = +oo )
2220, 21nsyl 593 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN0  ->  -.  x  e.  { +oo } )
2318, 22mprgbir 2433 . . . 4  |-  ( NN0 
i^i  { +oo } )  =  (/)
24 fun2 5169 . . . 4  |-  ( ( ( ( F  o.  `' G ) : NN0 -->  /\  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } : { +oo } --> )  /\  ( NN0  i^i  { +oo } )  =  (/) )  ->  ( ( F  o.  `' G
)  u.  { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } ) : ( NN0  u.  { +oo } ) --> )
2517, 23, 24mp2an 417 . . 3  |-  ( ( F  o.  `' G
)  u.  { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } ) : ( NN0  u.  { +oo } ) -->
26 fxnn0nninf.i . . . 4  |-  I  =  ( ( F  o.  `' G )  u.  { <. +oo ,  ( om 
X.  { 1o }
) >. } )
2726feq1i 5140 . . 3  |-  ( I : ( NN0  u.  { +oo } ) -->  <->  ( ( F  o.  `' G
)  u.  { <. +oo ,  ( om  X.  { 1o } ) >. } ) : ( NN0  u.  { +oo } ) --> )
2825, 27mpbir 144 . 2  |-  I : ( NN0  u.  { +oo } ) -->
29 df-xnn0 8707 . . 3  |- NN0*  =  ( NN0  u.  { +oo } )
3029feq2i 5141 . 2  |-  ( I :NN0* -->  <->  I : ( NN0  u.  { +oo } ) --> )
3128, 30mpbir 144 1  |-  I :NN0* -->
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438    u. cun 2995    i^i cin 2996    C_ wss 2997   (/)c0 3284   ifcif 3389   {csn 3441   <.cop 3444    |-> cmpt 3891   omcom 4395    X. cxp 4426   `'ccnv 4427    o. ccom 4432   -->wf 4998   -1-1-onto->wf1o 5001  (class class class)co 5634  freccfrec 6137   1oc1o 6156  ℕxnninf 6768   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332   +oocpnf 7498   NN0cn0 8643  NN0*cxnn0 8706   ZZcz 8720
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-addcom 7424  ax-addass 7426  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-ltadd 7440
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-recs 6052  df-frec 6138  df-1o 6163  df-2o 6164  df-map 6387  df-nninf 6770  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-inn 8395  df-n0 8644  df-xnn0 8707  df-z 8721  df-uz 8989
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator