Theorem funfvex 5715

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	|- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5388	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota y A F y )
2		funfveu 5711	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y )
3		euiotaex 5357	. . 3 |- ( E! y A F y -> ( iota y A F y ) e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( iota y A F y ) e. _V )
5	1, 4	eqeltrid 2325	1 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   E!weu 2086   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   iotacio 5338   Fun wfun 5374   ` cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388

This theorem is used by:  fnbrfvb  5744  fvelrnb  5753  funimass4  5756  fvelimab  5762  fniinfv  5764  funfvdm  5769  dmfco  5776  fvco2  5777  eqfnfv  5809  fndmdif  5817  fndmin  5819  fvimacnvi  5826  fvimacnv  5827  funconstss  5830  fniniseg  5832  fniniseg2  5834  fnniniseg2  5835  fvelrn  5842  rexrn  5848  ralrn  5849  dff3im  5856  fmptco  5877  fsn2  5885  funiun  5893  fnressn  5904  resfunexg  5939  eufnfv  5952  funfvima3  5955  rexima  5963  ralima  5964  fniunfv  5971  elunirn  5975  dff13  5977  foeqcnvco  5999  f1eqcocnv  6000  isocnv2  6021  isoini  6027  f1oiso  6035  fnovex  6121  suppssof1  6324  offveqb  6326  1stexg  6405  2ndexg  6406  smoiso  6578  rdgtfr  6650  rdgruledefgg  6651  rdgivallem  6657  frectfr  6676  frecrdg  6684  en1  7092  fundmen  7100  fnfi  7256  ordiso2  7382  cc2lem  7639  climshft2  12097  slotex  13437  strsetsid  13443  ressbas2d  13481  ressbasid  13483  strressid  13484  ressval3d  13485  imasex  13685  imasival  13686  imasbas  13687  imasplusg  13688  imasmulr  13689  imasaddfn  13697  imasaddval  13698  imasaddf  13699  imasmulfn  13700  imasmulval  13701  imasmulf  13702  qusval  13703  qusex  13705  qusaddvallemg  13713  qusaddflemg  13714  qusaddval  13715  qusaddf  13716  qusmulval  13717  qusmulf  13718  xpsfeq  13725  ismgm  13736  plusffvalg  13741  grpidvalg  13752  fn0g  13754  fngzsum  13767  gzsumvalx  13768  gzsumfzval  13770  gzsumress  13771  gzsum0  13772  issgrp  13777  ismnddef  13790  issubmnd  13814  ress0g  13815  ismhm  13827  mhmex  13828  issubm  13838  0mhm  13852  grppropstrg  13883  grpinvfvalg  13906  grpinvval  13907  grpinvfng  13908  grpsubfvalg  13909  grpsubval  13910  grpressid  13925  grplactfval  13965  qusgrp2  13975  mulgfvalg  13983  mulgval  13984  mulgex  13985  mulgfng  13986  issubg  14035  subgex  14038  issubg2m  14051  isnsg  14064  releqgg  14082  eqgex  14083  eqgfval  14084  eqgen  14089  isghm  14105  cntzex  14150  cntrval  14151  cntzfval  14152  cntzval  14153  ablressid  14229  prdsex  14279  prdsval  14280  prdsbaslemss  14281  prdsbas  14283  prdsplusg  14284  prdsmulr  14285  xpsval  14308  pwsbas  14312  pwselbasb  14313  pwssnf1o  14318  mgptopng  14335  isrng  14340  rngressid  14360  qusrng  14364  dfur2g  14373  issrg  14376  isring  14411  ringidss  14441  ringressid  14477  qusring2  14480  dvdsrvald  14509  dvdsrex  14514  unitgrp  14532  unitabl  14533  invrfvald  14538  unitlinv  14542  unitrinv  14543  dvrfvald  14549  rdivmuldivd  14560  invrpropdg  14565  dfrhm2  14570  rhmex  14573  rhmunitinv  14594  isnzr2  14600  issubrng  14616  issubrg  14638  subrgugrp  14657  rrgval  14679  isdomn  14687  aprval  14700  aprap  14707  aprprop  14710  islmod  14736  scaffvalg  14752  rmodislmod  14797  lssex  14800  lsssetm  14802  islssm  14803  islssmg  14804  islss3  14825  lspfval  14834  lspval  14836  lspcl  14837  lspex  14841  sraval  14883  sralemg  14884  srascag  14888  sravscag  14889  sraipg  14890  sraex  14892  rlmsubg  14904  rlmvnegg  14911  ixpsnbasval  14912  lidlex  14919  rspex  14920  lidlss  14922  lidlrsppropdg  14941  qusrhm  14974  mopnset  14998  aspval  15124  asclfval  15130  psrval  15161  fnpsr  15162  psrbasg  15197  psrelbas  15198  psrplusgg  15201  psraddcl  15203  psrmulrg  15205  psrmulclfilem  15209  psr0cl  15211  psrnegcl  15213  psr1clfi  15218  psrlidmfi  15219  mvrval2  15228  mvrffi  15230  mplvalg  15234  fnmpl  15237  mplplusgg  15252  vtxvalg  16495  vtxex  16497  eupth2lem3lem6fi  16950