Theorem funfvex 5431

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	|- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5126	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota y A F y )
2		funfveu 5427	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y )
3		euiotaex 5099	. . 3 |- ( E! y A F y -> ( iota y A F y ) e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( iota y A F y ) e. _V )
5	1, 4	eqeltrid 2224	1 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1480   E!weu 1997   _Vcvv 2681   class class class wbr 3924   dom cdm 4534   iotacio 5081   Fun wfun 5112   ` cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5455  fvelrnb  5462  funimass4  5465  fvelimab  5470  fniinfv  5472  funfvdm  5477  dmfco  5482  fvco2  5483  eqfnfv  5511  fndmdif  5518  fndmin  5520  fvimacnvi  5527  fvimacnv  5528  funconstss  5531  fniniseg  5533  fniniseg2  5535  fnniniseg2  5536  rexsupp  5537  fvelrn  5544  rexrn  5550  ralrn  5551  dff3im  5558  fmptco  5579  fsn2  5587  fnressn  5599  resfunexg  5634  eufnfv  5641  funfvima3  5644  rexima  5649  ralima  5650  fniunfv  5656  elunirn  5660  dff13  5662  foeqcnvco  5684  f1eqcocnv  5685  isocnv2  5706  isoini  5712  f1oiso  5720  fnovex  5797  suppssof1  5992  offveqb  5994  1stexg  6058  2ndexg  6059  smoiso  6192  rdgtfr  6264  rdgruledefgg  6265  rdgivallem  6271  frectfr  6290  frecrdg  6298  en1  6686  fundmen  6693  fnfi  6818  ordiso2  6913  climshft2  11068  slotex  11975  strsetsid  11981