Theorem funfvex 5482

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	|- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5175	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota y A F y )
2		funfveu 5478	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y )
3		euiotaex 5148	. . 3 |- ( E! y A F y -> ( iota y A F y ) e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( iota y A F y ) e. _V )
5	1, 4	eqeltrid 2244	1 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   E!weu 2006   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   class class class wbr 3965   dom cdm 4583   iotacio 5130   Fun wfun 5161   ` cfv 5167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-sbc 2938  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fv 5175

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5506  fvelrnb  5513  funimass4  5516  fvelimab  5521  fniinfv  5523  funfvdm  5528  dmfco  5533  fvco2  5534  eqfnfv  5562  fndmdif  5569  fndmin  5571  fvimacnvi  5578  fvimacnv  5579  funconstss  5582  fniniseg  5584  fniniseg2  5586  fnniniseg2  5587  rexsupp  5588  fvelrn  5595  rexrn  5601  ralrn  5602  dff3im  5609  fmptco  5630  fsn2  5638  fnressn  5650  resfunexg  5685  eufnfv  5692  funfvima3  5695  rexima  5700  ralima  5701  fniunfv  5707  elunirn  5711  dff13  5713  foeqcnvco  5735  f1eqcocnv  5736  isocnv2  5757  isoini  5763  f1oiso  5771  fnovex  5848  suppssof1  6043  offveqb  6045  1stexg  6109  2ndexg  6110  smoiso  6243  rdgtfr  6315  rdgruledefgg  6316  rdgivallem  6322  frectfr  6341  frecrdg  6349  en1  6737  fundmen  6744  fnfi  6874  ordiso2  6969  cc2lem  7169  climshft2  11185  slotex  12177  strsetsid  12183