Theorem funfvex 5524

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	|- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5216	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota y A F y )
2		funfveu 5520	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y )
3		euiotaex 5186	. . 3 |- ( E! y A F y -> ( iota y A F y ) e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( iota y A F y ) e. _V )
5	1, 4	eqeltrid 2262	1 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E!weu 2024   e. wcel 2146   _Vcvv 2735   class class class wbr 3998   dom cdm 4620   iotacio 5168   Fun wfun 5202   ` cfv 5208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ral 2458  df-rex 2459  df-v 2737  df-sbc 2961  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-br 3999  df-opab 4060  df-id 4287  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5548  fvelrnb  5555  funimass4  5558  fvelimab  5564  fniinfv  5566  funfvdm  5571  dmfco  5576  fvco2  5577  eqfnfv  5605  fndmdif  5613  fndmin  5615  fvimacnvi  5622  fvimacnv  5623  funconstss  5626  fniniseg  5628  fniniseg2  5630  fnniniseg2  5631  rexsupp  5632  fvelrn  5639  rexrn  5645  ralrn  5646  dff3im  5653  fmptco  5674  fsn2  5682  fnressn  5694  resfunexg  5729  eufnfv  5738  funfvima3  5741  rexima  5746  ralima  5747  fniunfv  5753  elunirn  5757  dff13  5759  foeqcnvco  5781  f1eqcocnv  5782  isocnv2  5803  isoini  5809  f1oiso  5817  fnovex  5898  suppssof1  6090  offveqb  6092  1stexg  6158  2ndexg  6159  smoiso  6293  rdgtfr  6365  rdgruledefgg  6366  rdgivallem  6372  frectfr  6391  frecrdg  6399  en1  6789  fundmen  6796  fnfi  6926  ordiso2  7024  cc2lem  7240  climshft2  11282  slotex  12456  strsetsid  12462  ismgm  12642  plusffvalg  12647  grpidvalg  12658  fn0g  12660  issgrp  12675  ismnddef  12685  ismhm  12716  issubm  12726  0mhm  12735  grppropstrg  12757  grpinvfvalg  12777  grpinvval  12778  grpinvfng  12779  grpsubfvalg  12780  grpsubval  12781  grplactfval  12832  mulgfvalg  12846  mulgval  12847  mulgfng  12848  mgptopng  12937  dfur2g  12942  issrg  12945  isring  12980