Theorem funfvex 5446

Description: The value of a function exists. A special case of Corollary 6.13 of [TakeutiZaring] p. 27. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funfvex	|- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Proof of Theorem funfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-fv 5139	. 2 |- ( F ` A ) = ( iota y A F y )
2		funfveu 5442	. . 3 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> E! y A F y )
3		euiotaex 5112	. . 3 |- ( E! y A F y -> ( iota y A F y ) e. _V )
4	2, 3	syl 14	. 2 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( iota y A F y ) e. _V )
5	1, 4	eqeltrid 2227	1 |- ( ( Fun F /\ A e. dom F ) -> ( F ` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1481   E!weu 2000   _Vcvv 2689   class class class wbr 3937   dom cdm 4547   iotacio 5094   Fun wfun 5125   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  fnbrfvb  5470  fvelrnb  5477  funimass4  5480  fvelimab  5485  fniinfv  5487  funfvdm  5492  dmfco  5497  fvco2  5498  eqfnfv  5526  fndmdif  5533  fndmin  5535  fvimacnvi  5542  fvimacnv  5543  funconstss  5546  fniniseg  5548  fniniseg2  5550  fnniniseg2  5551  rexsupp  5552  fvelrn  5559  rexrn  5565  ralrn  5566  dff3im  5573  fmptco  5594  fsn2  5602  fnressn  5614  resfunexg  5649  eufnfv  5656  funfvima3  5659  rexima  5664  ralima  5665  fniunfv  5671  elunirn  5675  dff13  5677  foeqcnvco  5699  f1eqcocnv  5700  isocnv2  5721  isoini  5727  f1oiso  5735  fnovex  5812  suppssof1  6007  offveqb  6009  1stexg  6073  2ndexg  6074  smoiso  6207  rdgtfr  6279  rdgruledefgg  6280  rdgivallem  6286  frectfr  6305  frecrdg  6313  en1  6701  fundmen  6708  fnfi  6833  ordiso2  6928  cc2lem  7098  climshft2  11107  slotex  12025  strsetsid  12031