Theorem fvco 5499

Description: Value of a function composition. Similar to Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 28. (Contributed by NM, 22-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco	|- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( F o. G ) ` A ) = ( F ` ( G ` A ) ) )

Proof of Theorem fvco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 5161	. 2 |- ( Fun G <-> G Fn dom G )
2		fvco2 5498	. 2 |- ( ( G Fn dom G /\ A e. dom G ) -> ( ( F o. G ) ` A ) = ( F ` ( G ` A ) ) )
3	1, 2	sylanb 282	1 |- ( ( Fun G /\ A e. dom G ) -> ( ( F o. G ) ` A ) = ( F ` ( G ` A ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   dom cdm 4547   o. ccom 4551   Fun wfun 5125   Fn wfn 5126   ` cfv 5131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2914  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139

This theorem is referenced by:  hashinfom  10556  hashennn  10558