Theorem fvco3 5485

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	|- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5267	. 2 |- ( G : A --> B -> G Fn A )
2		fvco2 5483	. 2 |- ( ( G Fn A /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
3	1, 2	sylan 281	1 |- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1331   e. wcel 1480   o. ccom 4538   Fn wfn 5113   -->wf 5114   ` cfv 5118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-br 3925  df-opab 3985  df-id 4210  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-fv 5126

This theorem is referenced by:  fvco4  5486  foco2  5648  f1ocnvfv1  5671  f1ocnvfv2  5672  fcof1  5677  fcofo  5678  cocan1  5681  cocan2  5682  isotr  5710  algrflem  6119  algrflemg  6120  difinfsn  6978  ctssdccl  6989  0tonninf  10205  1tonninf  10206  summodclem3  11142  fsumf1o  11152  fsumcl2lem  11160  fsumadd  11168  fsummulc2  11210  algcvg  11718  ennnfonelemnn0  11924  ctinfomlemom  11929  cnptopco  12380  lmtopcnp  12408  upxp  12430  uptx  12432  cnmpt11  12441  cnmpt21  12449  comet  12657  cnmetdval  12687  climcncf  12729  cncfco  12736  limccnpcntop  12802  dvcoapbr  12829  dvcjbr  12830  dvfre  12832  isomninnlem  13214