Theorem fvco3 5705

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	|- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5473	. 2 |- ( G : A --> B -> G Fn A )
2		fvco2 5703	. 2 |- ( ( G Fn A /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   o. ccom 4723   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-fv 5326

This theorem is referenced by:  fvco4  5706  foco2  5877  f1ocnvfv1  5901  f1ocnvfv2  5902  fcof1  5907  fcofo  5908  cocan1  5911  cocan2  5912  isotr  5940  algrflem  6375  algrflemg  6376  difinfsn  7267  ctssdccl  7278  cc3  7454  0tonninf  10662  1tonninf  10663  seqf1oglem2  10742  seqf1og  10743  summodclem3  11891  fsumf1o  11901  fsumcl2lem  11909  fsumadd  11917  fsummulc2  11959  prodmodclem3  12086  fprodf1o  12099  fprodmul  12102  algcvg  12570  eulerthlemth  12754  ennnfonelemnn0  12993  ctinfomlemom  12998  mhmco  13523  gsumfzreidx  13874  gsumfzmhm  13880  mplsubgfileminv  14664  cnptopco  14896  lmtopcnp  14924  upxp  14946  uptx  14948  cnmpt11  14957  cnmpt21  14965  comet  15173  cnmetdval  15203  climcncf  15258  cncfco  15265  limccnpcntop  15349  dvcoapbr  15381  dvcjbr  15382  dvfre  15384  plycjlemc  15434  plycj  15435  isomninnlem  16398  iswomninnlem  16417  ismkvnnlem  16420