Theorem fvco3 5673

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	|- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5445	. 2 |- ( G : A --> B -> G Fn A )
2		fvco2 5671	. 2 |- ( ( G Fn A /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   o. ccom 4697   Fn wfn 5285   -->wf 5286   ` cfv 5290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298

This theorem is referenced by:  fvco4  5674  foco2  5845  f1ocnvfv1  5869  f1ocnvfv2  5870  fcof1  5875  fcofo  5876  cocan1  5879  cocan2  5880  isotr  5908  algrflem  6338  algrflemg  6339  difinfsn  7228  ctssdccl  7239  cc3  7415  0tonninf  10622  1tonninf  10623  seqf1oglem2  10702  seqf1og  10703  summodclem3  11806  fsumf1o  11816  fsumcl2lem  11824  fsumadd  11832  fsummulc2  11874  prodmodclem3  12001  fprodf1o  12014  fprodmul  12017  algcvg  12485  eulerthlemth  12669  ennnfonelemnn0  12908  ctinfomlemom  12913  mhmco  13437  gsumfzreidx  13788  gsumfzmhm  13794  mplsubgfileminv  14577  cnptopco  14809  lmtopcnp  14837  upxp  14859  uptx  14861  cnmpt11  14870  cnmpt21  14878  comet  15086  cnmetdval  15116  climcncf  15171  cncfco  15178  limccnpcntop  15262  dvcoapbr  15294  dvcjbr  15295  dvfre  15297  plycjlemc  15347  plycj  15348  isomninnlem  16171  iswomninnlem  16190  ismkvnnlem  16193