Theorem fvco3 5628

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	|- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5403	. 2 |- ( G : A --> B -> G Fn A )
2		fvco2 5626	. 2 |- ( ( G Fn A /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   o. ccom 4663   Fn wfn 5249   -->wf 5250   ` cfv 5254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262

This theorem is referenced by:  fvco4  5629  foco2  5796  f1ocnvfv1  5820  f1ocnvfv2  5821  fcof1  5826  fcofo  5827  cocan1  5830  cocan2  5831  isotr  5859  algrflem  6282  algrflemg  6283  difinfsn  7159  ctssdccl  7170  cc3  7328  0tonninf  10511  1tonninf  10512  seqf1oglem2  10591  seqf1og  10592  summodclem3  11523  fsumf1o  11533  fsumcl2lem  11541  fsumadd  11549  fsummulc2  11591  prodmodclem3  11718  fprodf1o  11731  fprodmul  11734  algcvg  12186  eulerthlemth  12370  ennnfonelemnn0  12579  ctinfomlemom  12584  mhmco  13062  gsumfzreidx  13407  gsumfzmhm  13413  cnptopco  14390  lmtopcnp  14418  upxp  14440  uptx  14442  cnmpt11  14451  cnmpt21  14459  comet  14667  cnmetdval  14697  climcncf  14739  cncfco  14746  limccnpcntop  14829  dvcoapbr  14856  dvcjbr  14857  dvfre  14859  isomninnlem  15520  iswomninnlem  15539  ismkvnnlem  15542