Theorem fvco3 5586

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	|- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5364	. 2 |- ( G : A --> B -> G Fn A )
2		fvco2 5584	. 2 |- ( ( G Fn A /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   o. ccom 4629   Fn wfn 5210   -->wf 5211   ` cfv 5215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5177  df-fun 5217  df-fn 5218  df-f 5219  df-fv 5223

This theorem is referenced by:  fvco4  5587  foco2  5752  f1ocnvfv1  5775  f1ocnvfv2  5776  fcof1  5781  fcofo  5782  cocan1  5785  cocan2  5786  isotr  5814  algrflem  6227  algrflemg  6228  difinfsn  7096  ctssdccl  7107  cc3  7264  0tonninf  10434  1tonninf  10435  summodclem3  11381  fsumf1o  11391  fsumcl2lem  11399  fsumadd  11407  fsummulc2  11449  prodmodclem3  11576  fprodf1o  11589  fprodmul  11592  algcvg  12040  eulerthlemth  12224  ennnfonelemnn0  12415  ctinfomlemom  12420  mhmco  12806  cnptopco  13593  lmtopcnp  13621  upxp  13643  uptx  13645  cnmpt11  13654  cnmpt21  13662  comet  13870  cnmetdval  13900  climcncf  13942  cncfco  13949  limccnpcntop  14015  dvcoapbr  14042  dvcjbr  14043  dvfre  14045  isomninnlem  14638  iswomninnlem  14657  ismkvnnlem  14660