Theorem fvco3 5770

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	|- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5528	. 2 |- ( G : A --> B -> G Fn A )
2		fvco2 5768	. 2 |- ( ( G Fn A /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   o. ccom 4773   Fn wfn 5367   -->wf 5368   ` cfv 5372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380

This theorem is referenced by:  fvco4  5771  foco2  5949  f1ocnvfv1  5973  f1ocnvfv2  5974  fcof1  5979  fcofo  5980  cocan1  5983  cocan2  5984  isotr  6012  algrflem  6455  algrflemg  6456  difinfsn  7430  ctssdccl  7441  cc3  7624  0tonninf  10855  1tonninf  10856  seqf1oglem2  10935  seqf1og  10936  summodclem3  12125  fsumf1o  12135  fsumcl2lem  12143  fsumadd  12151  fsummulc2  12193  prodmodclem3  12320  fprodf1o  12333  fprodmul  12336  algcvg  12804  eulerthlemth  12988  ennnfonelemnn0  13291  ctinfomlemom  13296  mhmco  13774  gzsumreidx  14118  gzsummhm  14122  gzsumshift  14126  gsumvalfi  14129  gsump1  14134  gsumf1ofi  14137  mplsubgfileminv  15014  cnptopco  15246  lmtopcnp  15274  upxp  15296  uptx  15298  cnmpt11  15307  cnmpt21  15315  comet  15523  cnmetdval  15553  climcncf  15608  cncfco  15615  limccnpcntop  15699  dvcoapbr  15731  dvcjbr  15732  dvfre  15734  plycjlemc  15784  plycj  15785  isomninnlem  16984  iswomninnlem  17004  ismkvnnlem  17007