Theorem fvco3 5779

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	|- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5536	. 2 |- ( G : A --> B -> G Fn A )
2		fvco2 5777	. 2 |- ( ( G Fn A /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   o. ccom 4780   Fn wfn 5375   -->wf 5376   ` cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388

This theorem is used by:  fvco4  5780  foco2  5962  f1ocnvfv1  5986  f1ocnvfv2  5987  fcof1  5992  fcofo  5993  cocan1  5996  cocan2  5997  isotr  6025  algrflem  6469  algrflemg  6470  difinfsn  7446  ctssdccl  7457  cc3  7640  0tonninf  10897  1tonninf  10898  seqf1oglem2  10977  seqf1og  10978  summodclem3  12171  fsumf1o  12181  fsumcl2lem  12189  fsumadd  12197  fsummulc2  12239  prodmodclem3  12366  fprodf1o  12379  fprodmul  12382  algcvg  12850  eulerthlemth  13038  ennnfonelemnn0  13370  ctinfomlemom  13375  mhmco  13855  gzsumreidx  14230  gzsummhm  14234  gzsumshift  14238  gsumvalfi  14241  gsump1  14246  gsumf1ofi  14249  cnptopco  15465  lmtopcnp  15493  upxp  15515  uptx  15517  cnmpt11  15526  cnmpt21  15534  comet  15742  cnmetdval  15772  climcncf  15827  cncfco  15834  limccnpcntop  15918  dvcoapbr  15950  dvcjbr  15951  dvfre  15953  plycjlemc  16003  plycj  16004  isomninnlem  17302  iswomninnlem  17323  ismkvnnlem  17326