Theorem fvco3 5726

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	|- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5489	. 2 |- ( G : A --> B -> G Fn A )
2		fvco2 5724	. 2 |- ( ( G Fn A /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   o. ccom 4735   Fn wfn 5328   -->wf 5329   ` cfv 5333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341

This theorem is referenced by:  fvco4  5727  foco2  5904  f1ocnvfv1  5928  f1ocnvfv2  5929  fcof1  5934  fcofo  5935  cocan1  5938  cocan2  5939  isotr  5967  algrflem  6403  algrflemg  6404  difinfsn  7359  ctssdccl  7370  cc3  7547  0tonninf  10765  1tonninf  10766  seqf1oglem2  10845  seqf1og  10846  summodclem3  12021  fsumf1o  12031  fsumcl2lem  12039  fsumadd  12047  fsummulc2  12089  prodmodclem3  12216  fprodf1o  12229  fprodmul  12232  algcvg  12700  eulerthlemth  12884  ennnfonelemnn0  13123  ctinfomlemom  13128  mhmco  13653  gsumfzreidx  14004  gsumfzmhm  14010  mplsubgfileminv  14801  cnptopco  15033  lmtopcnp  15061  upxp  15083  uptx  15085  cnmpt11  15094  cnmpt21  15102  comet  15310  cnmetdval  15340  climcncf  15395  cncfco  15402  limccnpcntop  15486  dvcoapbr  15518  dvcjbr  15519  dvfre  15521  plycjlemc  15571  plycj  15572  isomninnlem  16762  iswomninnlem  16782  ismkvnnlem  16785  gfsumval  16809  gsumgfsumlem  16812  gfsump1  16815