Theorem fvco3 5652

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	|- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5427	. 2 |- ( G : A --> B -> G Fn A )
2		fvco2 5650	. 2 |- ( ( G Fn A /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
3	1, 2	sylan 283	1 |- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2176   o. ccom 4680   Fn wfn 5267   -->wf 5268   ` cfv 5272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-sbc 2999  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-fv 5280

This theorem is referenced by:  fvco4  5653  foco2  5824  f1ocnvfv1  5848  f1ocnvfv2  5849  fcof1  5854  fcofo  5855  cocan1  5858  cocan2  5859  isotr  5887  algrflem  6317  algrflemg  6318  difinfsn  7204  ctssdccl  7215  cc3  7382  0tonninf  10587  1tonninf  10588  seqf1oglem2  10667  seqf1og  10668  summodclem3  11724  fsumf1o  11734  fsumcl2lem  11742  fsumadd  11750  fsummulc2  11792  prodmodclem3  11919  fprodf1o  11932  fprodmul  11935  algcvg  12403  eulerthlemth  12587  ennnfonelemnn0  12826  ctinfomlemom  12831  mhmco  13355  gsumfzreidx  13706  gsumfzmhm  13712  mplsubgfileminv  14495  cnptopco  14727  lmtopcnp  14755  upxp  14777  uptx  14779  cnmpt11  14788  cnmpt21  14796  comet  15004  cnmetdval  15034  climcncf  15089  cncfco  15096  limccnpcntop  15180  dvcoapbr  15212  dvcjbr  15213  dvfre  15215  plycjlemc  15265  plycj  15266  isomninnlem  16006  iswomninnlem  16025  ismkvnnlem  16028