Theorem fvco3 5532

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	|- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5312	. 2 |- ( G : A --> B -> G Fn A )
2		fvco2 5530	. 2 |- ( ( G Fn A /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )
3	1, 2	sylan 281	1 |- ( ( G : A --> B /\ C e. A ) -> ( ( F o. G ) ` C ) = ( F ` ( G ` C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 2125   o. ccom 4583   Fn wfn 5158   -->wf 5159   ` cfv 5163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-sep 4078  ax-pow 4130  ax-pr 4164

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ral 2437  df-rex 2438  df-v 2711  df-sbc 2934  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-br 3962  df-opab 4022  df-id 4248  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-fv 5171

This theorem is referenced by:  fvco4  5533  foco2  5695  f1ocnvfv1  5718  f1ocnvfv2  5719  fcof1  5724  fcofo  5725  cocan1  5728  cocan2  5729  isotr  5757  algrflem  6166  algrflemg  6167  difinfsn  7030  ctssdccl  7041  cc3  7167  0tonninf  10316  1tonninf  10317  summodclem3  11254  fsumf1o  11264  fsumcl2lem  11272  fsumadd  11280  fsummulc2  11322  prodmodclem3  11449  fprodf1o  11462  fprodmul  11465  algcvg  11897  eulerthlemth  12076  ennnfonelemnn0  12110  ctinfomlemom  12115  cnptopco  12569  lmtopcnp  12597  upxp  12619  uptx  12621  cnmpt11  12630  cnmpt21  12638  comet  12846  cnmetdval  12876  climcncf  12918  cncfco  12925  limccnpcntop  12991  dvcoapbr  13018  dvcjbr  13019  dvfre  13021  isomninnlem  13550  iswomninnlem  13569  ismkvnnlem  13572