Theorem hashennn 10962

Description: The size of a set equinumerous to an element of om. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennn	|- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, N

Proof of Theorem hashennn

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ihash 10958	. . . . 5 |- ♯ = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
2	1	fveq1i 5600	. . . 4 |- (♯ ` A ) = ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A )
3		funmpt 5328	. . . . 5 |- Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
4		hashennnuni 10961	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )
5	4	eqcomd 2213	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
6		nnfi 6995	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> N e. Fin )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. Fin )
8		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N ~~ A )
9	8	ensymd 6898	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A ~~ N )
10		enfii 6997	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ A ~~ N ) -> A e. Fin )
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. Fin )
12		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. om )
13		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> z = N )
14		breq2 4063	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
16	15	rabbidv 2765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
17	16	unieqd 3875	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
18	13, 17	eqeq12d 2222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> ( z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
19	18	opelopabga 4327	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ N e. om ) -> ( <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
20	11, 12, 19	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
21	5, 20	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } )
22		mptv 4157	. . . . . . 7 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } }
23	21, 22	eleqtrrdi 2301	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
24		opeldmg 4902	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ N e. om ) -> ( <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) )
25	11, 12, 24	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) )
26	23, 25	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
27		fvco 5672	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
28	3, 26, 27	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
29	2, 28	eqtrid 2252	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
30	11	elexd 2790	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. _V )
31	4, 12	eqeltrd 2284	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. om )
32	14	rabbidv 2765	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
33	32	unieqd 3875	. . . . . . 7 |- ( x = A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
34		eqid 2207	. . . . . . 7 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
35	33, 34	fvmptg 5678	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. om ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
36	30, 31, 35	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
37	36, 4	eqtrd 2240	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = N )
38	37	fveq2d 5603	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) )
39	29, 38	eqtrd 2240	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) )
40		ordom 4673	. . . . . . 7 |- Ord om
41		ordirr 4608	. . . . . . 7 |- ( Ord om -> -. om e. om )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 |- -. om e. om
43		eleq1 2270	. . . . . 6 |- ( om = N -> ( om e. om <-> N e. om ) )
44	42, 43	mtbii 676	. . . . 5 |- ( om = N -> -. N e. om )
45	44	necon2ai 2432	. . . 4 |- ( N e. om -> om =/= N )
46		fvunsng 5801	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ om =/= N ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
47	45, 46	mpdan 421	. . 3 |- ( N e. om -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
48	47	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
49	39, 48	eqtrd 2240	1 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2178   =/= wne 2378   {crab 2490   _Vcvv 2776   u. cun 3172   {csn 3643   <.cop 3646   U.cuni 3864   class class class wbr 4059   {copab 4120   |-> cmpt 4121   Ord word 4427   omcom 4656   dom cdm 4693   o. ccom 4697   Fun wfun 5284   ` cfv 5290  (class class class)co 5967  freccfrec 6499   ~~ cen 6848   ~<_ cdom 6849   Fincfn 6850   0cc0 7960   1c1 7961   + caddc 7963   +oocpnf 8139   ZZcz 9407  ♯chash 10957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-er 6643  df-en 6851  df-dom 6852  df-fin 6853  df-ihash 10958

This theorem is referenced by:  hashcl  10963  hashfz1  10965  hashen  10966  fihashdom  10985  hashun  10987