Theorem hashennn 11032

Description: The size of a set equinumerous to an element of om. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennn	|- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, N

Proof of Theorem hashennn

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ihash 11028	. . . . 5 |- ♯ = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
2	1	fveq1i 5636	. . . 4 |- (♯ ` A ) = ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A )
3		funmpt 5362	. . . . 5 |- Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
4		hashennnuni 11031	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )
5	4	eqcomd 2235	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
6		nnfi 7054	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> N e. Fin )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. Fin )
8		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N ~~ A )
9	8	ensymd 6952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A ~~ N )
10		enfii 7056	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ A ~~ N ) -> A e. Fin )
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. Fin )
12		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. om )
13		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> z = N )
14		breq2 4090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
16	15	rabbidv 2789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
17	16	unieqd 3902	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
18	13, 17	eqeq12d 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> ( z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
19	18	opelopabga 4355	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ N e. om ) -> ( <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
20	11, 12, 19	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
21	5, 20	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } )
22		mptv 4184	. . . . . . 7 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } }
23	21, 22	eleqtrrdi 2323	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
24		opeldmg 4934	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ N e. om ) -> ( <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) )
25	11, 12, 24	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) )
26	23, 25	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
27		fvco 5712	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
28	3, 26, 27	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
29	2, 28	eqtrid 2274	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
30	11	elexd 2814	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. _V )
31	4, 12	eqeltrd 2306	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. om )
32	14	rabbidv 2789	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
33	32	unieqd 3902	. . . . . . 7 |- ( x = A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
34		eqid 2229	. . . . . . 7 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
35	33, 34	fvmptg 5718	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. om ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
36	30, 31, 35	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
37	36, 4	eqtrd 2262	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = N )
38	37	fveq2d 5639	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) )
39	29, 38	eqtrd 2262	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) )
40		ordom 4703	. . . . . . 7 |- Ord om
41		ordirr 4638	. . . . . . 7 |- ( Ord om -> -. om e. om )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 |- -. om e. om
43		eleq1 2292	. . . . . 6 |- ( om = N -> ( om e. om <-> N e. om ) )
44	42, 43	mtbii 678	. . . . 5 |- ( om = N -> -. N e. om )
45	44	necon2ai 2454	. . . 4 |- ( N e. om -> om =/= N )
46		fvunsng 5843	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ om =/= N ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
47	45, 46	mpdan 421	. . 3 |- ( N e. om -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
48	47	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
49	39, 48	eqtrd 2262	1 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   {crab 2512   _Vcvv 2800   u. cun 3196   {csn 3667   <.cop 3670   U.cuni 3891   class class class wbr 4086   {copab 4147   |-> cmpt 4148   Ord word 4457   omcom 4686   dom cdm 4723   o. ccom 4727   Fun wfun 5318   ` cfv 5324  (class class class)co 6013  freccfrec 6551   ~~ cen 6902   ~<_ cdom 6903   Fincfn 6904   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   +oocpnf 8201   ZZcz 9469  ♯chash 11027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-ihash 11028

This theorem is referenced by:  hashcl  11033  hashfz1  11035  hashen  11036  fihashdom  11056  hashun  11058