ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashennn Unicode version

Theorem hashennn 10795
Description: The size of a set equinumerous to an element of  om. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashennn  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( `  A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) `  N ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, N

Proof of Theorem hashennn
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ihash 10791 . . . . 5  |- =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
21fveq1i 5535 . . . 4  |-  ( `  A
)  =  ( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )
3 funmpt 5273 . . . . 5  |-  Fun  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
4 hashennnuni 10794 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  N )
54eqcomd 2195 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
6 nnfi 6901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  om  ->  N  e.  Fin )
76adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  e.  Fin )
8 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  ~~  A )
98ensymd 6810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A  ~~  N )
10 enfii 6903 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  A  ~~  N )  ->  A  e.  Fin )
117, 9, 10syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A  e.  Fin )
12 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  e.  om )
13 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  z  =  N )
14 breq2 4022 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  (
y  ~<_  x  <->  y  ~<_  A ) )
1514adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  ( y  ~<_  x  <->  y  ~<_  A ) )
1615rabbidv 2741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
1716unieqd 3835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
1813, 17eqeq12d 2204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  ( z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  <->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } ) )
1918opelopabga 4281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  om )  ->  ( <. A ,  N >.  e.  { <. x ,  z >.  |  z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } }  <->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } ) )
2011, 12, 19syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( <. A ,  N >.  e.  { <. x ,  z >.  |  z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } }  <->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } ) )
215, 20mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  <. A ,  N >.  e. 
{ <. x ,  z
>.  |  z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } } )
22 mptv 4115 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } )  =  { <. x ,  z >.  |  z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } }
2321, 22eleqtrrdi 2283 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  <. A ,  N >.  e.  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
24 opeldmg 4850 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  om )  ->  ( <. A ,  N >.  e.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) ) )
2511, 12, 24syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( <. A ,  N >.  e.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) ) )
2623, 25mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) )
27 fvco 5607 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  /\  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) )  -> 
( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } )  o.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
283, 26, 27sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } )  o.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
292, 28eqtrid 2234 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( `  A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
3011elexd 2765 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A  e.  _V )
314, 12eqeltrd 2266 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  om )
3214rabbidv 2741 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
3332unieqd 3835 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x }  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
34 eqid 2189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } )  =  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
3533, 34fvmptg 5613 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  om )  ->  ( ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) `  A
)  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
3630, 31, 35syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
3736, 4eqtrd 2222 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  N )
3837fveq2d 5538 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  N ) )
3929, 38eqtrd 2222 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( `  A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  N ) )
40 ordom 4624 . . . . . . 7  |-  Ord  om
41 ordirr 4559 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  om
43 eleq1 2252 . . . . . 6  |-  ( om  =  N  ->  ( om  e.  om  <->  N  e.  om ) )
4442, 43mtbii 675 . . . . 5  |-  ( om  =  N  ->  -.  N  e.  om )
4544necon2ai 2414 . . . 4  |-  ( N  e.  om  ->  om  =/=  N )
46 fvunsng 5731 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  om  =/=  N )  -> 
( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  N )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) )
4745, 46mpdan 421 . . 3  |-  ( N  e.  om  ->  (
(frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } ) `  N
)  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 ) `  N ) )
4847adantr 276 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  N )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) )
4939, 48eqtrd 2222 1  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( `  A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   {crab 2472   _Vcvv 2752    u. cun 3142   {csn 3607   <.cop 3610   U.cuni 3824   class class class wbr 4018   {copab 4078    |-> cmpt 4079   Ord word 4380   omcom 4607   dom cdm 4644    o. ccom 4648   Fun wfun 5229   ` cfv 5235  (class class class)co 5897  freccfrec 6416    ~~ cen 6765    ~<_ cdom 6766   Fincfn 6767   0cc0 7842   1c1 7843    + caddc 7845   +oocpnf 8020   ZZcz 9284  ♯chash 10790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-er 6560  df-en 6768  df-dom 6769  df-fin 6770  df-ihash 10791
This theorem is referenced by:  hashcl  10796  hashfz1  10798  hashen  10799  fihashdom  10818  hashun  10820
  Copyright terms: Public domain W3C validator