Theorem hashennn 10693

Description: The size of a set equinumerous to an element of om. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennn	|- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, N

Proof of Theorem hashennn

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ihash 10689	. . . . 5 |- ♯ = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
2	1	fveq1i 5487	. . . 4 |- (♯ ` A ) = ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A )
3		funmpt 5226	. . . . 5 |- Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
4		hashennnuni 10692	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )
5	4	eqcomd 2171	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
6		nnfi 6838	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> N e. Fin )
7	6	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. Fin )
8		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N ~~ A )
9	8	ensymd 6749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A ~~ N )
10		enfii 6840	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ A ~~ N ) -> A e. Fin )
11	7, 9, 10	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. Fin )
12		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. om )
13		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> z = N )
14		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
16	15	rabbidv 2715	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
17	16	unieqd 3800	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
18	13, 17	eqeq12d 2180	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> ( z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
19	18	opelopabga 4241	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ N e. om ) -> ( <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
20	11, 12, 19	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
21	5, 20	mpbird 166	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } )
22		mptv 4079	. . . . . . 7 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } }
23	21, 22	eleqtrrdi 2260	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
24		opeldmg 4809	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ N e. om ) -> ( <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) )
25	11, 12, 24	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) )
26	23, 25	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
27		fvco 5556	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
28	3, 26, 27	sylancr 411	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
29	2, 28	syl5eq 2211	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
30	11	elexd 2739	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. _V )
31	4, 12	eqeltrd 2243	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. om )
32	14	rabbidv 2715	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
33	32	unieqd 3800	. . . . . . 7 |- ( x = A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
34		eqid 2165	. . . . . . 7 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
35	33, 34	fvmptg 5562	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. om ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
36	30, 31, 35	syl2anc 409	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
37	36, 4	eqtrd 2198	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = N )
38	37	fveq2d 5490	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) )
39	29, 38	eqtrd 2198	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) )
40		ordom 4584	. . . . . . 7 |- Ord om
41		ordirr 4519	. . . . . . 7 |- ( Ord om -> -. om e. om )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 |- -. om e. om
43		eleq1 2229	. . . . . 6 |- ( om = N -> ( om e. om <-> N e. om ) )
44	42, 43	mtbii 664	. . . . 5 |- ( om = N -> -. N e. om )
45	44	necon2ai 2390	. . . 4 |- ( N e. om -> om =/= N )
46		fvunsng 5679	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ om =/= N ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
47	45, 46	mpdan 418	. . 3 |- ( N e. om -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
48	47	adantr 274	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
49	39, 48	eqtrd 2198	1 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   =/= wne 2336   {crab 2448   _Vcvv 2726   u. cun 3114   {csn 3576   <.cop 3579   U.cuni 3789   class class class wbr 3982   {copab 4042   |-> cmpt 4043   Ord word 4340   omcom 4567   dom cdm 4604   o. ccom 4608   Fun wfun 5182   ` cfv 5188  (class class class)co 5842  freccfrec 6358   ~~ cen 6704   ~<_ cdom 6705   Fincfn 6706   0cc0 7753   1c1 7754   + caddc 7756   +oocpnf 7930   ZZcz 9191  ♯chash 10688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709  df-ihash 10689

This theorem is referenced by:  hashcl  10694  hashfz1  10696  hashen  10697  fihashdom  10716  hashun  10718