Theorem hashennn 10726

Description: The size of a set equinumerous to an element of om. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennn	|- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, N

Proof of Theorem hashennn

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ihash 10722	. . . . 5 |- ♯ = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
2	1	fveq1i 5508	. . . 4 |- (♯ ` A ) = ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A )
3		funmpt 5246	. . . . 5 |- Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
4		hashennnuni 10725	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )
5	4	eqcomd 2181	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
6		nnfi 6862	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> N e. Fin )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. Fin )
8		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N ~~ A )
9	8	ensymd 6773	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A ~~ N )
10		enfii 6864	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ A ~~ N ) -> A e. Fin )
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. Fin )
12		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. om )
13		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> z = N )
14		breq2 4002	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
16	15	rabbidv 2724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
17	16	unieqd 3816	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
18	13, 17	eqeq12d 2190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> ( z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
19	18	opelopabga 4257	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ N e. om ) -> ( <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
20	11, 12, 19	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
21	5, 20	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } )
22		mptv 4095	. . . . . . 7 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } }
23	21, 22	eleqtrrdi 2269	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
24		opeldmg 4825	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ N e. om ) -> ( <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) )
25	11, 12, 24	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) )
26	23, 25	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
27		fvco 5578	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
28	3, 26, 27	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
29	2, 28	eqtrid 2220	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
30	11	elexd 2748	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. _V )
31	4, 12	eqeltrd 2252	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. om )
32	14	rabbidv 2724	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
33	32	unieqd 3816	. . . . . . 7 |- ( x = A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
34		eqid 2175	. . . . . . 7 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
35	33, 34	fvmptg 5584	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. om ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
36	30, 31, 35	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
37	36, 4	eqtrd 2208	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = N )
38	37	fveq2d 5511	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) )
39	29, 38	eqtrd 2208	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) )
40		ordom 4600	. . . . . . 7 |- Ord om
41		ordirr 4535	. . . . . . 7 |- ( Ord om -> -. om e. om )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 |- -. om e. om
43		eleq1 2238	. . . . . 6 |- ( om = N -> ( om e. om <-> N e. om ) )
44	42, 43	mtbii 674	. . . . 5 |- ( om = N -> -. N e. om )
45	44	necon2ai 2399	. . . 4 |- ( N e. om -> om =/= N )
46		fvunsng 5702	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ om =/= N ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
47	45, 46	mpdan 421	. . 3 |- ( N e. om -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
48	47	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
49	39, 48	eqtrd 2208	1 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2146   =/= wne 2345   {crab 2457   _Vcvv 2735   u. cun 3125   {csn 3589   <.cop 3592   U.cuni 3805   class class class wbr 3998   {copab 4058   |-> cmpt 4059   Ord word 4356   omcom 4583   dom cdm 4620   o. ccom 4624   Fun wfun 5202   ` cfv 5208  (class class class)co 5865  freccfrec 6381   ~~ cen 6728   ~<_ cdom 6729   Fincfn 6730   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   +oocpnf 7963   ZZcz 9224  ♯chash 10721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-ihash 10722

This theorem is referenced by:  hashcl  10727  hashfz1  10729  hashen  10730  fihashdom  10749  hashun  10751