ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashennn Unicode version

Theorem hashennn 10726
Description: The size of a set equinumerous to an element of  om. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashennn  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( `  A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) `  N ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, N

Proof of Theorem hashennn
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ihash 10722 . . . . 5  |- =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
21fveq1i 5508 . . . 4  |-  ( `  A
)  =  ( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )
3 funmpt 5246 . . . . 5  |-  Fun  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
4 hashennnuni 10725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  N )
54eqcomd 2181 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
6 nnfi 6862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  om  ->  N  e.  Fin )
76adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  e.  Fin )
8 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  ~~  A )
98ensymd 6773 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A  ~~  N )
10 enfii 6864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  A  ~~  N )  ->  A  e.  Fin )
117, 9, 10syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A  e.  Fin )
12 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  e.  om )
13 simpr 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  z  =  N )
14 breq2 4002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  (
y  ~<_  x  <->  y  ~<_  A ) )
1514adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  ( y  ~<_  x  <->  y  ~<_  A ) )
1615rabbidv 2724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
1716unieqd 3816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
1813, 17eqeq12d 2190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  ( z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  <->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } ) )
1918opelopabga 4257 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  om )  ->  ( <. A ,  N >.  e.  { <. x ,  z >.  |  z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } }  <->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } ) )
2011, 12, 19syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( <. A ,  N >.  e.  { <. x ,  z >.  |  z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } }  <->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } ) )
215, 20mpbird 167 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  <. A ,  N >.  e. 
{ <. x ,  z
>.  |  z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } } )
22 mptv 4095 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } )  =  { <. x ,  z >.  |  z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } }
2321, 22eleqtrrdi 2269 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  <. A ,  N >.  e.  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
24 opeldmg 4825 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  om )  ->  ( <. A ,  N >.  e.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) ) )
2511, 12, 24syl2anc 411 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( <. A ,  N >.  e.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) ) )
2623, 25mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) )
27 fvco 5578 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  /\  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) )  -> 
( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } )  o.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
283, 26, 27sylancr 414 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } )  o.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
292, 28eqtrid 2220 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( `  A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
3011elexd 2748 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A  e.  _V )
314, 12eqeltrd 2252 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  om )
3214rabbidv 2724 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
3332unieqd 3816 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x }  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
34 eqid 2175 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } )  =  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
3533, 34fvmptg 5584 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  om )  ->  ( ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) `  A
)  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
3630, 31, 35syl2anc 411 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
3736, 4eqtrd 2208 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  N )
3837fveq2d 5511 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  N ) )
3929, 38eqtrd 2208 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( `  A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  N ) )
40 ordom 4600 . . . . . . 7  |-  Ord  om
41 ordirr 4535 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
4240, 41ax-mp 5 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  om
43 eleq1 2238 . . . . . 6  |-  ( om  =  N  ->  ( om  e.  om  <->  N  e.  om ) )
4442, 43mtbii 674 . . . . 5  |-  ( om  =  N  ->  -.  N  e.  om )
4544necon2ai 2399 . . . 4  |-  ( N  e.  om  ->  om  =/=  N )
46 fvunsng 5702 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  om  =/=  N )  -> 
( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  N )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) )
4745, 46mpdan 421 . . 3  |-  ( N  e.  om  ->  (
(frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } ) `  N
)  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 ) `  N ) )
4847adantr 276 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  N )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) )
4939, 48eqtrd 2208 1  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( `  A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2146    =/= wne 2345   {crab 2457   _Vcvv 2735    u. cun 3125   {csn 3589   <.cop 3592   U.cuni 3805   class class class wbr 3998   {copab 4058    |-> cmpt 4059   Ord word 4356   omcom 4583   dom cdm 4620    o. ccom 4624   Fun wfun 5202   ` cfv 5208  (class class class)co 5865  freccfrec 6381    ~~ cen 6728    ~<_ cdom 6729   Fincfn 6730   0cc0 7786   1c1 7787    + caddc 7789   +oocpnf 7963   ZZcz 9224  ♯chash 10721
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-ihash 10722
This theorem is referenced by:  hashcl  10727  hashfz1  10729  hashen  10730  fihashdom  10749  hashun  10751
  Copyright terms: Public domain W3C validator