ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashennn Unicode version

Theorem hashennn 10085
Description: The size of a set equinumerous to an element of  om. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashennn  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( `  A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) `  N ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, N

Proof of Theorem hashennn
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ihash 10081 . . . . 5  |- =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
21fveq1i 5269 . . . 4  |-  ( `  A
)  =  ( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )
3 funmpt 5017 . . . . 5  |-  Fun  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
4 hashennnuni 10084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  N )
54eqcomd 2090 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
6 nnfi 6540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  om  ->  N  e.  Fin )
76adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  e.  Fin )
8 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  ~~  A )
98ensymd 6452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A  ~~  N )
10 enfii 6542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Fin  /\  A  ~~  N )  ->  A  e.  Fin )
117, 9, 10syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A  e.  Fin )
12 simpl 107 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  N  e.  om )
13 simpr 108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  z  =  N )
14 breq2 3824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  A  ->  (
y  ~<_  x  <->  y  ~<_  A ) )
1514adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  ( y  ~<_  x  <->  y  ~<_  A ) )
1615rabbidv 2604 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
1716unieqd 3647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
1813, 17eqeq12d 2099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  A  /\  z  =  N )  ->  ( z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  <->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } ) )
1918opelopabga 4064 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  om )  ->  ( <. A ,  N >.  e.  { <. x ,  z >.  |  z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } }  <->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } ) )
2011, 12, 19syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( <. A ,  N >.  e.  { <. x ,  z >.  |  z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } }  <->  N  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } ) )
215, 20mpbird 165 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  <. A ,  N >.  e. 
{ <. x ,  z
>.  |  z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } } )
22 mptv 3910 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } )  =  { <. x ,  z >.  |  z  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } }
2321, 22syl6eleqr 2178 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  <. A ,  N >.  e.  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
24 opeldmg 4609 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  N  e.  om )  ->  ( <. A ,  N >.  e.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) ) )
2511, 12, 24syl2anc 403 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( <. A ,  N >.  e.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) ) )
2623, 25mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) )
27 fvco 5337 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  /\  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) )  -> 
( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } )  o.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
283, 26, 27sylancr 405 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } )  o.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
292, 28syl5eq 2129 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( `  A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
3011elexd 2626 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  A  e.  _V )
314, 12eqeltrd 2161 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  om )
3214rabbidv 2604 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
3332unieqd 3647 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x }  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
34 eqid 2085 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } )  =  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
3533, 34fvmptg 5343 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  om )  ->  ( ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) `  A
)  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
3630, 31, 35syl2anc 403 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
3736, 4eqtrd 2117 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  N )
3837fveq2d 5272 . . 3  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  N ) )
3929, 38eqtrd 2117 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( `  A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  N ) )
40 ordom 4394 . . . . . . 7  |-  Ord  om
41 ordirr 4331 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
4240, 41ax-mp 7 . . . . . 6  |-  -.  om  e.  om
43 eleq1 2147 . . . . . 6  |-  ( om  =  N  ->  ( om  e.  om  <->  N  e.  om ) )
4442, 43mtbii 632 . . . . 5  |-  ( om  =  N  ->  -.  N  e.  om )
4544necon2ai 2305 . . . 4  |-  ( N  e.  om  ->  om  =/=  N )
46 fvunsng 5454 . . . 4  |-  ( ( N  e.  om  /\  om  =/=  N )  -> 
( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  N )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) )
4745, 46mpdan 412 . . 3  |-  ( N  e.  om  ->  (
(frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } ) `  N
)  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 ) `  N ) )
4847adantr 270 . 2  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  N )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 ) `  N
) )
4939, 48eqtrd 2117 1  |-  ( ( N  e.  om  /\  N  ~~  A )  -> 
( `  A )  =  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1287    e. wcel 1436    =/= wne 2251   {crab 2359   _Vcvv 2615    u. cun 2986   {csn 3431   <.cop 3434   U.cuni 3636   class class class wbr 3820   {copab 3873    |-> cmpt 3874   Ord word 4163   omcom 4378   dom cdm 4411    o. ccom 4415   Fun wfun 4975   ` cfv 4981  (class class class)co 5613  freccfrec 6109    ~~ cen 6407    ~<_ cdom 6408   Fincfn 6409   0cc0 7294   1c1 7295    + caddc 7297   +oocpnf 7463   ZZcz 8683  ♯chash 10080
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-nul 3940  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-iinf 4376
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-tr 3912  df-id 4094  df-iord 4167  df-on 4169  df-suc 4172  df-iom 4379  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-res 4423  df-ima 4424  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-er 6244  df-en 6410  df-dom 6411  df-fin 6412  df-ihash 10081
This theorem is referenced by:  hashcl  10086  hashfz1  10088  hashen  10089  fihashdom  10108  hashun  10110
  Copyright terms: Public domain W3C validator