Theorem hashennn 10744

Description: The size of a set equinumerous to an element of om. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashennn	|- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, N

Proof of Theorem hashennn

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ihash 10740	. . . . 5 |- ♯ = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
2	1	fveq1i 5512	. . . 4 |- (♯ ` A ) = ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A )
3		funmpt 5250	. . . . 5 |- Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
4		hashennnuni 10743	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = N )
5	4	eqcomd 2183	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
6		nnfi 6866	. . . . . . . . . . 11 |- ( N e. om -> N e. Fin )
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. Fin )
8		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N ~~ A )
9	8	ensymd 6777	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A ~~ N )
10		enfii 6868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. Fin /\ A ~~ N ) -> A e. Fin )
11	7, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. Fin )
12		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> N e. om )
13		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> z = N )
14		breq2 4004	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = A -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
16	15	rabbidv 2726	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
17	16	unieqd 3818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
18	13, 17	eqeq12d 2192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = A /\ z = N ) -> ( z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
19	18	opelopabga 4260	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Fin /\ N e. om ) -> ( <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
20	11, 12, 19	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } <-> N = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } ) )
21	5, 20	mpbird 167	. . . . . . 7 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> <. A , N >. e. { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } } )
22		mptv 4097	. . . . . . 7 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = { <. x , z >. | z = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } }
23	21, 22	eleqtrrdi 2271	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
24		opeldmg 4828	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ N e. om ) -> ( <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) )
25	11, 12, 24	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( <. A , N >. e. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) )
26	23, 25	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
27		fvco 5582	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
28	3, 26, 27	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
29	2, 28	eqtrid 2222	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
30	11	elexd 2750	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> A e. _V )
31	4, 12	eqeltrd 2254	. . . . . 6 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. om )
32	14	rabbidv 2726	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
33	32	unieqd 3818	. . . . . . 7 |- ( x = A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
34		eqid 2177	. . . . . . 7 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
35	33, 34	fvmptg 5588	. . . . . 6 |- ( ( A e. _V /\ U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. om ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
36	30, 31, 35	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
37	36, 4	eqtrd 2210	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = N )
38	37	fveq2d 5515	. . 3 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) )
39	29, 38	eqtrd 2210	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) )
40		ordom 4603	. . . . . . 7 |- Ord om
41		ordirr 4538	. . . . . . 7 |- ( Ord om -> -. om e. om )
42	40, 41	ax-mp 5	. . . . . 6 |- -. om e. om
43		eleq1 2240	. . . . . 6 |- ( om = N -> ( om e. om <-> N e. om ) )
44	42, 43	mtbii 674	. . . . 5 |- ( om = N -> -. N e. om )
45	44	necon2ai 2401	. . . 4 |- ( N e. om -> om =/= N )
46		fvunsng 5706	. . . 4 |- ( ( N e. om /\ om =/= N ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
47	45, 46	mpdan 421	. . 3 |- ( N e. om -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
48	47	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` N ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )
49	39, 48	eqtrd 2210	1 |- ( ( N e. om /\ N ~~ A ) -> (♯ ` A ) = (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ` N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   =/= wne 2347   {crab 2459   _Vcvv 2737   u. cun 3127   {csn 3591   <.cop 3594   U.cuni 3807   class class class wbr 4000   {copab 4060   |-> cmpt 4061   Ord word 4359   omcom 4586   dom cdm 4623   o. ccom 4627   Fun wfun 5206   ` cfv 5212  (class class class)co 5869  freccfrec 6385   ~~ cen 6732   ~<_ cdom 6733   Fincfn 6734   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   +oocpnf 7979   ZZcz 9242  ♯chash 10739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-ihash 10740

This theorem is referenced by:  hashcl  10745  hashfz1  10747  hashen  10748  fihashdom  10767  hashun  10769