Theorem hashinfom 10760

Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashinfom	|- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = +oo )

Proof of Theorem hashinfom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ihash 10758	. . . . 5 |- ♯ = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
2	1	fveq1i 5518	. . . 4 |- (♯ ` A ) = ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A )
3		funmpt 5256	. . . . 5 |- Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
4		funrel 5235	. . . . . . 7 |- ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
6		peano1 4595	. . . . . . 7 |- (/) e. om
7		reldom 6747	. . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_
8	7	brrelex2i 4672	. . . . . . . . 9 |- ( om ~<_ A -> A e. _V )
9		hashinfuni 10759	. . . . . . . . . 10 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )
10		omex 4594	. . . . . . . . . 10 |- om e. _V
11	9, 10	eqeltrdi 2268	. . . . . . . . 9 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. _V )
12		breq2 4009	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
13	12	rabbidv 2728	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
14	13	unieqd 3822	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
15		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
16	14, 15	fvmptg 5594	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. _V ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
17	8, 11, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ A -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
18	17, 9	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ A -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = om )
19	6, 18	eleqtrrid 2267	. . . . . 6 |- ( om ~<_ A -> (/) e. ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) )
20		relelfvdm 5549	. . . . . 6 |- ( ( Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ (/) e. ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
21	5, 19, 20	sylancr 414	. . . . 5 |- ( om ~<_ A -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
22		fvco 5588	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
23	3, 21, 22	sylancr 414	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
24	2, 23	eqtrid 2222	. . 3 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
25	18	fveq2d 5521	. . 3 |- ( om ~<_ A -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) )
26	24, 25	eqtrd 2210	. 2 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) )
27		pnfxr 8012	. . 3 |- +oo e. RR*
28		ordom 4608	. . . . 5 |- Ord om
29		ordirr 4543	. . . . 5 |- ( Ord om -> -. om e. om )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . 4 |- -. om e. om
31		zex 9264	. . . . . . . . . 10 |- ZZ e. _V
32	31	mptex 5744	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
33		vex 2742	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
34	32, 33	fvex 5537	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
35	34	ax-gen 1449	. . . . . . 7 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
36		0z 9266	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
37		frecfnom 6404	. . . . . . 7 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ 0 e. ZZ ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om )
38	35, 36, 37	mp2an 426	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om
39		fndm 5317	. . . . . 6 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om -> dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = om )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = om
41	40	eleq2i 2244	. . . 4 |- ( om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) <-> om e. om )
42	30, 41	mtbir 671	. . 3 |- -. om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
43		fsnunfv 5719	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ +oo e. RR* /\ -. om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) = +oo )
44	10, 27, 42, 43	mp3an 1337	. 2 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) = +oo
45	26, 44	eqtrdi 2226	1 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   _Vcvv 2739   u. cun 3129   (/)c0 3424   {csn 3594   <.cop 3597   U.cuni 3811   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   Ord word 4364   omcom 4591   dom cdm 4628   o. ccom 4632   Rel wrel 4633   Fun wfun 5212   Fn wfn 5213   ` cfv 5218  (class class class)co 5877  freccfrec 6393   ~<_ cdom 6741   0cc0 7813   1c1 7814   + caddc 7816   +oocpnf 7991   RR*cxr 7993   ZZcz 9255  ♯chash 10757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1re 7907  ax-addrcl 7910  ax-rnegex 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-recs 6308  df-frec 6394  df-dom 6744  df-pnf 7996  df-xr 7998  df-neg 8133  df-z 9256  df-ihash 10758

This theorem is referenced by:  filtinf  10773