ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashinfom Unicode version

Theorem hashinfom 10151
Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashinfom  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  = +oo )

Proof of Theorem hashinfom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ihash 10149 . . . . 5  |- =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
21fveq1i 5290 . . . 4  |-  ( `  A
)  =  ( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )
3 funmpt 5038 . . . . 5  |-  Fun  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
4 funrel 5019 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  ->  Rel  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
53, 4ax-mp 7 . . . . . 6  |-  Rel  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
6 peano1 4399 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
7 reldom 6442 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_
87brrelex2i 4471 . . . . . . . . 9  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
9 hashinfuni 10150 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  om )
10 omex 4398 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
119, 10syl6eqel 2178 . . . . . . . . 9  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  _V )
12 breq2 3841 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
y  ~<_  x  <->  y  ~<_  A ) )
1312rabbidv 2608 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
1413unieqd 3659 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x }  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
15 eqid 2088 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } )  =  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
1614, 15fvmptg 5364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) `  A
)  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
178, 11, 16syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
1817, 9eqtrd 2120 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  om )
196, 18syl5eleqr 2177 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  (/)  e.  ( ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) )
20 relelfvdm 5320 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  /\  (/) 
e.  ( ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) `  A
) )  ->  A  e.  dom  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
215, 19, 20sylancr 405 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
22 fvco 5358 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  /\  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) )  -> 
( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } )  o.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
233, 21, 22sylancr 405 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (
(frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
242, 23syl5eq 2132 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
2518fveq2d 5293 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  om ) )
2624, 25eqtrd 2120 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  om )
)
27 pnfxr 7519 . . 3  |- +oo  e.  RR*
28 ordom 4411 . . . . 5  |-  Ord  om
29 ordirr 4348 . . . . 5  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
3028, 29ax-mp 7 . . . 4  |-  -.  om  e.  om
31 zex 8729 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  _V
3231mptex 5505 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  e.  _V
33 vex 2622 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
3432, 33fvex 5309 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V
3534ax-gen 1383 . . . . . . 7  |-  A. z
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  _V
36 0z 8731 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
37 frecfnom 6148 . . . . . . 7  |-  ( ( A. z ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V  /\  0  e.  ZZ )  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  Fn  om )
3835, 36, 37mp2an 417 . . . . . 6  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  Fn  om
39 fndm 5099 . . . . . 6  |-  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  Fn  om  ->  dom frec
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  =  om )
4038, 39ax-mp 7 . . . . 5  |-  dom frec (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  =  om
4140eleq2i 2154 . . . 4  |-  ( om  e.  dom frec ( (
x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  <->  om  e.  om )
4230, 41mtbir 631 . . 3  |-  -.  om  e.  dom frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )
43 fsnunfv 5481 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\ +oo  e.  RR*  /\  -.  om  e.  dom frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) )  ->  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `
 om )  = +oo )
4410, 27, 42, 43mp3an 1273 . 2  |-  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  om )  = +oo
4526, 44syl6eq 2136 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  = +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1287    = wceq 1289    e. wcel 1438   {crab 2363   _Vcvv 2619    u. cun 2995   (/)c0 3284   {csn 3441   <.cop 3444   U.cuni 3648   class class class wbr 3837    |-> cmpt 3891   Ord word 4180   omcom 4395   dom cdm 4428    o. ccom 4432   Rel wrel 4433   Fun wfun 4996    Fn wfn 4997   ` cfv 5002  (class class class)co 5634  freccfrec 6137    ~<_ cdom 6436   0cc0 7329   1c1 7330    + caddc 7332   +oocpnf 7498   RR*cxr 7500   ZZcz 8720  ♯chash 10148
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1re 7418  ax-addrcl 7421  ax-rnegex 7433
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-recs 6052  df-frec 6138  df-dom 6439  df-pnf 7503  df-xr 7505  df-neg 7635  df-z 8721  df-ihash 10149
This theorem is referenced by:  filtinf  10165
  Copyright terms: Public domain W3C validator