ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashinfom Unicode version

Theorem hashinfom 10475
Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashinfom  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  = +oo )

Proof of Theorem hashinfom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ihash 10473 . . . . 5  |- =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
21fveq1i 5388 . . . 4  |-  ( `  A
)  =  ( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )
3 funmpt 5129 . . . . 5  |-  Fun  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
4 funrel 5108 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  ->  Rel  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Rel  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
6 peano1 4476 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
7 reldom 6605 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_
87brrelex2i 4551 . . . . . . . . 9  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
9 hashinfuni 10474 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  om )
10 omex 4475 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
119, 10syl6eqel 2206 . . . . . . . . 9  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  _V )
12 breq2 3901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
y  ~<_  x  <->  y  ~<_  A ) )
1312rabbidv 2647 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
1413unieqd 3715 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x }  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
15 eqid 2115 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } )  =  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
1614, 15fvmptg 5463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) `  A
)  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
178, 11, 16syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
1817, 9eqtrd 2148 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  om )
196, 18eleqtrrid 2205 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  (/)  e.  ( ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) )
20 relelfvdm 5419 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  /\  (/) 
e.  ( ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) `  A
) )  ->  A  e.  dom  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
215, 19, 20sylancr 408 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
22 fvco 5457 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  /\  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) )  -> 
( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } )  o.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
233, 21, 22sylancr 408 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (
(frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
242, 23syl5eq 2160 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
2518fveq2d 5391 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  om ) )
2624, 25eqtrd 2148 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  om )
)
27 pnfxr 7782 . . 3  |- +oo  e.  RR*
28 ordom 4488 . . . . 5  |-  Ord  om
29 ordirr 4425 . . . . 5  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
3028, 29ax-mp 5 . . . 4  |-  -.  om  e.  om
31 zex 9017 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  _V
3231mptex 5612 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  e.  _V
33 vex 2661 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
3432, 33fvex 5407 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V
3534ax-gen 1408 . . . . . . 7  |-  A. z
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  _V
36 0z 9019 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
37 frecfnom 6264 . . . . . . 7  |-  ( ( A. z ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V  /\  0  e.  ZZ )  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  Fn  om )
3835, 36, 37mp2an 420 . . . . . 6  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  Fn  om
39 fndm 5190 . . . . . 6  |-  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  Fn  om  ->  dom frec
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  =  om )
4038, 39ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom frec (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  =  om
4140eleq2i 2182 . . . 4  |-  ( om  e.  dom frec ( (
x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  <->  om  e.  om )
4230, 41mtbir 643 . . 3  |-  -.  om  e.  dom frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )
43 fsnunfv 5587 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\ +oo  e.  RR*  /\  -.  om  e.  dom frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) )  ->  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `
 om )  = +oo )
4410, 27, 42, 43mp3an 1298 . 2  |-  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  om )  = +oo
4526, 44syl6eq 2164 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  = +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1312    = wceq 1314    e. wcel 1463   {crab 2395   _Vcvv 2658    u. cun 3037   (/)c0 3331   {csn 3495   <.cop 3498   U.cuni 3704   class class class wbr 3897    |-> cmpt 3957   Ord word 4252   omcom 4472   dom cdm 4507    o. ccom 4511   Rel wrel 4512   Fun wfun 5085    Fn wfn 5086   ` cfv 5091  (class class class)co 5740  freccfrec 6253    ~<_ cdom 6599   0cc0 7584   1c1 7585    + caddc 7587   +oocpnf 7761   RR*cxr 7763   ZZcz 9008  ♯chash 10472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1re 7678  ax-addrcl 7681  ax-rnegex 7693
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-recs 6168  df-frec 6254  df-dom 6602  df-pnf 7766  df-xr 7768  df-neg 7900  df-z 9009  df-ihash 10473
This theorem is referenced by:  filtinf  10489
  Copyright terms: Public domain W3C validator