ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashinfom Unicode version

Theorem hashinfom 10790
Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashinfom  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  = +oo )

Proof of Theorem hashinfom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ihash 10788 . . . . 5  |- =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
21fveq1i 5535 . . . 4  |-  ( `  A
)  =  ( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )
3 funmpt 5273 . . . . 5  |-  Fun  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
4 funrel 5252 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  ->  Rel  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Rel  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
6 peano1 4611 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
7 reldom 6771 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_
87brrelex2i 4688 . . . . . . . . 9  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
9 hashinfuni 10789 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  om )
10 omex 4610 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
119, 10eqeltrdi 2280 . . . . . . . . 9  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  _V )
12 breq2 4022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
y  ~<_  x  <->  y  ~<_  A ) )
1312rabbidv 2741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
1413unieqd 3835 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x }  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
15 eqid 2189 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } )  =  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
1614, 15fvmptg 5613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) `  A
)  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
178, 11, 16syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
1817, 9eqtrd 2222 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  om )
196, 18eleqtrrid 2279 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  (/)  e.  ( ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) )
20 relelfvdm 5566 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  /\  (/) 
e.  ( ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) `  A
) )  ->  A  e.  dom  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
215, 19, 20sylancr 414 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
22 fvco 5607 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  /\  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) )  -> 
( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } )  o.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
233, 21, 22sylancr 414 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (
(frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
242, 23eqtrid 2234 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
2518fveq2d 5538 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  om ) )
2624, 25eqtrd 2222 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  om )
)
27 pnfxr 8040 . . 3  |- +oo  e.  RR*
28 ordom 4624 . . . . 5  |-  Ord  om
29 ordirr 4559 . . . . 5  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
3028, 29ax-mp 5 . . . 4  |-  -.  om  e.  om
31 zex 9292 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  _V
3231mptex 5763 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  e.  _V
33 vex 2755 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
3432, 33fvex 5554 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V
3534ax-gen 1460 . . . . . . 7  |-  A. z
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  _V
36 0z 9294 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
37 frecfnom 6426 . . . . . . 7  |-  ( ( A. z ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V  /\  0  e.  ZZ )  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  Fn  om )
3835, 36, 37mp2an 426 . . . . . 6  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  Fn  om
39 fndm 5334 . . . . . 6  |-  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  Fn  om  ->  dom frec
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  =  om )
4038, 39ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom frec (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  =  om
4140eleq2i 2256 . . . 4  |-  ( om  e.  dom frec ( (
x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  <->  om  e.  om )
4230, 41mtbir 672 . . 3  |-  -.  om  e.  dom frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )
43 fsnunfv 5738 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\ +oo  e.  RR*  /\  -.  om  e.  dom frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) )  ->  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `
 om )  = +oo )
4410, 27, 42, 43mp3an 1348 . 2  |-  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  om )  = +oo
4526, 44eqtrdi 2238 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  = +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1362    = wceq 1364    e. wcel 2160   {crab 2472   _Vcvv 2752    u. cun 3142   (/)c0 3437   {csn 3607   <.cop 3610   U.cuni 3824   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079   Ord word 4380   omcom 4607   dom cdm 4644    o. ccom 4648   Rel wrel 4649   Fun wfun 5229    Fn wfn 5230   ` cfv 5235  (class class class)co 5896  freccfrec 6415    ~<_ cdom 6765   0cc0 7841   1c1 7842    + caddc 7844   +oocpnf 8019   RR*cxr 8021   ZZcz 9283  ♯chash 10787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1re 7935  ax-addrcl 7938  ax-rnegex 7950
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-recs 6330  df-frec 6416  df-dom 6768  df-pnf 8024  df-xr 8026  df-neg 8161  df-z 9284  df-ihash 10788
This theorem is referenced by:  filtinf  10803
  Copyright terms: Public domain W3C validator