Theorem hashinfom 10726

Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashinfom	|- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = +oo )

Proof of Theorem hashinfom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ihash 10724	. . . . 5 |- ♯ = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
2	1	fveq1i 5508	. . . 4 |- (♯ ` A ) = ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A )
3		funmpt 5246	. . . . 5 |- Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
4		funrel 5225	. . . . . . 7 |- ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
6		peano1 4587	. . . . . . 7 |- (/) e. om
7		reldom 6735	. . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_
8	7	brrelex2i 4664	. . . . . . . . 9 |- ( om ~<_ A -> A e. _V )
9		hashinfuni 10725	. . . . . . . . . 10 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )
10		omex 4586	. . . . . . . . . 10 |- om e. _V
11	9, 10	eqeltrdi 2266	. . . . . . . . 9 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. _V )
12		breq2 4002	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
13	12	rabbidv 2724	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
14	13	unieqd 3816	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
15		eqid 2175	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
16	14, 15	fvmptg 5584	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. _V ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
17	8, 11, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ A -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
18	17, 9	eqtrd 2208	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ A -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = om )
19	6, 18	eleqtrrid 2265	. . . . . 6 |- ( om ~<_ A -> (/) e. ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) )
20		relelfvdm 5539	. . . . . 6 |- ( ( Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ (/) e. ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
21	5, 19, 20	sylancr 414	. . . . 5 |- ( om ~<_ A -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
22		fvco 5578	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
23	3, 21, 22	sylancr 414	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
24	2, 23	eqtrid 2220	. . 3 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
25	18	fveq2d 5511	. . 3 |- ( om ~<_ A -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) )
26	24, 25	eqtrd 2208	. 2 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) )
27		pnfxr 7984	. . 3 |- +oo e. RR*
28		ordom 4600	. . . . 5 |- Ord om
29		ordirr 4535	. . . . 5 |- ( Ord om -> -. om e. om )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . 4 |- -. om e. om
31		zex 9235	. . . . . . . . . 10 |- ZZ e. _V
32	31	mptex 5734	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
33		vex 2738	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
34	32, 33	fvex 5527	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
35	34	ax-gen 1447	. . . . . . 7 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
36		0z 9237	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
37		frecfnom 6392	. . . . . . 7 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ 0 e. ZZ ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om )
38	35, 36, 37	mp2an 426	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om
39		fndm 5307	. . . . . 6 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om -> dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = om )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = om
41	40	eleq2i 2242	. . . 4 |- ( om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) <-> om e. om )
42	30, 41	mtbir 671	. . 3 |- -. om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
43		fsnunfv 5709	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ +oo e. RR* /\ -. om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) = +oo )
44	10, 27, 42, 43	mp3an 1337	. 2 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) = +oo
45	26, 44	eqtrdi 2224	1 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2146   {crab 2457   _Vcvv 2735   u. cun 3125   (/)c0 3420   {csn 3589   <.cop 3592   U.cuni 3805   class class class wbr 3998   |-> cmpt 4059   Ord word 4356   omcom 4583   dom cdm 4620   o. ccom 4624   Rel wrel 4625   Fun wfun 5202   Fn wfn 5203   ` cfv 5208  (class class class)co 5865  freccfrec 6381   ~<_ cdom 6729   0cc0 7786   1c1 7787   + caddc 7789   +oocpnf 7963   RR*cxr 7965   ZZcz 9226  ♯chash 10723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883  ax-rnegex 7895

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-ov 5868  df-recs 6296  df-frec 6382  df-dom 6732  df-pnf 7968  df-xr 7970  df-neg 8105  df-z 9227  df-ihash 10724

This theorem is referenced by:  filtinf  10739