Theorem hashinfom 10870

Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashinfom	|- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = +oo )

Proof of Theorem hashinfom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ihash 10868	. . . . 5 |- ♯ = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
2	1	fveq1i 5559	. . . 4 |- (♯ ` A ) = ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A )
3		funmpt 5296	. . . . 5 |- Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
4		funrel 5275	. . . . . . 7 |- ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
6		peano1 4630	. . . . . . 7 |- (/) e. om
7		reldom 6804	. . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_
8	7	brrelex2i 4707	. . . . . . . . 9 |- ( om ~<_ A -> A e. _V )
9		hashinfuni 10869	. . . . . . . . . 10 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )
10		omex 4629	. . . . . . . . . 10 |- om e. _V
11	9, 10	eqeltrdi 2287	. . . . . . . . 9 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. _V )
12		breq2 4037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
13	12	rabbidv 2752	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
14	13	unieqd 3850	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
15		eqid 2196	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
16	14, 15	fvmptg 5637	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. _V ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
17	8, 11, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ A -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
18	17, 9	eqtrd 2229	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ A -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = om )
19	6, 18	eleqtrrid 2286	. . . . . 6 |- ( om ~<_ A -> (/) e. ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) )
20		relelfvdm 5590	. . . . . 6 |- ( ( Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ (/) e. ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
21	5, 19, 20	sylancr 414	. . . . 5 |- ( om ~<_ A -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
22		fvco 5631	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
23	3, 21, 22	sylancr 414	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
24	2, 23	eqtrid 2241	. . 3 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
25	18	fveq2d 5562	. . 3 |- ( om ~<_ A -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) )
26	24, 25	eqtrd 2229	. 2 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) )
27		pnfxr 8079	. . 3 |- +oo e. RR*
28		ordom 4643	. . . . 5 |- Ord om
29		ordirr 4578	. . . . 5 |- ( Ord om -> -. om e. om )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . 4 |- -. om e. om
31		zex 9335	. . . . . . . . . 10 |- ZZ e. _V
32	31	mptex 5788	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
33		vex 2766	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
34	32, 33	fvex 5578	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
35	34	ax-gen 1463	. . . . . . 7 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
36		0z 9337	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
37		frecfnom 6459	. . . . . . 7 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ 0 e. ZZ ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om )
38	35, 36, 37	mp2an 426	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om
39		fndm 5357	. . . . . 6 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om -> dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = om )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = om
41	40	eleq2i 2263	. . . 4 |- ( om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) <-> om e. om )
42	30, 41	mtbir 672	. . 3 |- -. om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
43		fsnunfv 5763	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ +oo e. RR* /\ -. om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) = +oo )
44	10, 27, 42, 43	mp3an 1348	. 2 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) = +oo
45	26, 44	eqtrdi 2245	1 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 2167   {crab 2479   _Vcvv 2763   u. cun 3155   (/)c0 3450   {csn 3622   <.cop 3625   U.cuni 3839   class class class wbr 4033   |-> cmpt 4094   Ord word 4397   omcom 4626   dom cdm 4663   o. ccom 4667   Rel wrel 4668   Fun wfun 5252   Fn wfn 5253   ` cfv 5258  (class class class)co 5922  freccfrec 6448   ~<_ cdom 6798   0cc0 7879   1c1 7880   + caddc 7882   +oocpnf 8058   RR*cxr 8060   ZZcz 9326  ♯chash 10867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976  ax-rnegex 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-recs 6363  df-frec 6449  df-dom 6801  df-pnf 8063  df-xr 8065  df-neg 8200  df-z 9327  df-ihash 10868

This theorem is referenced by:  filtinf  10883