Theorem hashinfom 10556

Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashinfom	|- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = +oo )

Proof of Theorem hashinfom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ihash 10554	. . . . 5 |- ♯ = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
2	1	fveq1i 5430	. . . 4 |- (♯ ` A ) = ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A )
3		funmpt 5169	. . . . 5 |- Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
4		funrel 5148	. . . . . . 7 |- ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
6		peano1 4516	. . . . . . 7 |- (/) e. om
7		reldom 6647	. . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_
8	7	brrelex2i 4591	. . . . . . . . 9 |- ( om ~<_ A -> A e. _V )
9		hashinfuni 10555	. . . . . . . . . 10 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )
10		omex 4515	. . . . . . . . . 10 |- om e. _V
11	9, 10	eqeltrdi 2231	. . . . . . . . 9 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. _V )
12		breq2 3941	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
13	12	rabbidv 2678	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
14	13	unieqd 3755	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
15		eqid 2140	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
16	14, 15	fvmptg 5505	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. _V ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
17	8, 11, 16	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ A -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
18	17, 9	eqtrd 2173	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ A -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = om )
19	6, 18	eleqtrrid 2230	. . . . . 6 |- ( om ~<_ A -> (/) e. ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) )
20		relelfvdm 5461	. . . . . 6 |- ( ( Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ (/) e. ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
21	5, 19, 20	sylancr 411	. . . . 5 |- ( om ~<_ A -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
22		fvco 5499	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
23	3, 21, 22	sylancr 411	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
24	2, 23	syl5eq 2185	. . 3 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
25	18	fveq2d 5433	. . 3 |- ( om ~<_ A -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) )
26	24, 25	eqtrd 2173	. 2 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) )
27		pnfxr 7842	. . 3 |- +oo e. RR*
28		ordom 4528	. . . . 5 |- Ord om
29		ordirr 4465	. . . . 5 |- ( Ord om -> -. om e. om )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . 4 |- -. om e. om
31		zex 9087	. . . . . . . . . 10 |- ZZ e. _V
32	31	mptex 5654	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
33		vex 2692	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
34	32, 33	fvex 5449	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
35	34	ax-gen 1426	. . . . . . 7 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
36		0z 9089	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
37		frecfnom 6306	. . . . . . 7 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ 0 e. ZZ ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om )
38	35, 36, 37	mp2an 423	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om
39		fndm 5230	. . . . . 6 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om -> dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = om )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = om
41	40	eleq2i 2207	. . . 4 |- ( om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) <-> om e. om )
42	30, 41	mtbir 661	. . 3 |- -. om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
43		fsnunfv 5629	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ +oo e. RR* /\ -. om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) = +oo )
44	10, 27, 42, 43	mp3an 1316	. 2 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) = +oo
45	26, 44	eqtrdi 2189	1 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1330   = wceq 1332   e. wcel 1481   {crab 2421   _Vcvv 2689   u. cun 3074   (/)c0 3368   {csn 3532   <.cop 3535   U.cuni 3744   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   Ord word 4292   omcom 4512   dom cdm 4547   o. ccom 4551   Rel wrel 4552   Fun wfun 5125   Fn wfn 5126   ` cfv 5131  (class class class)co 5782  freccfrec 6295   ~<_ cdom 6641   0cc0 7644   1c1 7645   + caddc 7647   +oocpnf 7821   RR*cxr 7823   ZZcz 9078  ♯chash 10553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1re 7738  ax-addrcl 7741  ax-rnegex 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-recs 6210  df-frec 6296  df-dom 6644  df-pnf 7826  df-xr 7828  df-neg 7960  df-z 9079  df-ihash 10554

This theorem is referenced by:  filtinf  10570