Theorem hashinfom 10742

Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
hashinfom	|- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = +oo )

Proof of Theorem hashinfom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ihash 10740	. . . . 5 |- ♯ = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
2	1	fveq1i 5512	. . . 4 |- (♯ ` A ) = ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A )
3		funmpt 5250	. . . . 5 |- Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
4		funrel 5229	. . . . . . 7 |- ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) -> Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . 6 |- Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
6		peano1 4590	. . . . . . 7 |- (/) e. om
7		reldom 6739	. . . . . . . . . 10 |- Rel ~<_
8	7	brrelex2i 4667	. . . . . . . . 9 |- ( om ~<_ A -> A e. _V )
9		hashinfuni 10741	. . . . . . . . . 10 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } = om )
10		omex 4589	. . . . . . . . . 10 |- om e. _V
11	9, 10	eqeltrdi 2268	. . . . . . . . 9 |- ( om ~<_ A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. _V )
12		breq2 4004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = A -> ( y ~<_ x <-> y ~<_ A ) )
13	12	rabbidv 2726	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = A -> { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
14	13	unieqd 3818	. . . . . . . . . 10 |- ( x = A -> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
15		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) = ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } )
16	14, 15	fvmptg 5588	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. _V /\ U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } e. _V ) -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
17	8, 11, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( om ~<_ A -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ A } )
18	17, 9	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( om ~<_ A -> ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) = om )
19	6, 18	eleqtrrid 2267	. . . . . 6 |- ( om ~<_ A -> (/) e. ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) )
20		relelfvdm 5543	. . . . . 6 |- ( ( Rel ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ (/) e. ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
21	5, 19, 20	sylancr 414	. . . . 5 |- ( om ~<_ A -> A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) )
22		fvco 5582	. . . . 5 |- ( ( Fun ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) /\ A e. dom ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
23	3, 21, 22	sylancr 414	. . . 4 |- ( om ~<_ A -> ( ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) o. ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ) ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
24	2, 23	eqtrid 2222	. . 3 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) )
25	18	fveq2d 5515	. . 3 |- ( om ~<_ A -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` ( ( x e. _V |-> U. { y e. ( om u. { om } ) | y ~<_ x } ) ` A ) ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) )
26	24, 25	eqtrd 2210	. 2 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) )
27		pnfxr 8000	. . 3 |- +oo e. RR*
28		ordom 4603	. . . . 5 |- Ord om
29		ordirr 4538	. . . . 5 |- ( Ord om -> -. om e. om )
30	28, 29	ax-mp 5	. . . 4 |- -. om e. om
31		zex 9251	. . . . . . . . . 10 |- ZZ e. _V
32	31	mptex 5738	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) e. _V
33		vex 2740	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
34	32, 33	fvex 5531	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
35	34	ax-gen 1449	. . . . . . 7 |- A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V
36		0z 9253	. . . . . . 7 |- 0 e. ZZ
37		frecfnom 6396	. . . . . . 7 |- ( ( A. z ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) ` z ) e. _V /\ 0 e. ZZ ) -> frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om )
38	35, 36, 37	mp2an 426	. . . . . 6 |- frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om
39		fndm 5311	. . . . . 6 |- (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) Fn om -> dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = om )
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . 5 |- dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) = om
41	40	eleq2i 2244	. . . 4 |- ( om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) <-> om e. om )
42	30, 41	mtbir 671	. . 3 |- -. om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
43		fsnunfv 5713	. . 3 |- ( ( om e. _V /\ +oo e. RR* /\ -. om e. dom frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) ) -> ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) = +oo )
44	10, 27, 42, 43	mp3an 1337	. 2 |- ( (frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 ) u. { <. om , +oo >. } ) ` om ) = +oo
45	26, 44	eqtrdi 2226	1 |- ( om ~<_ A -> (♯ ` A ) = +oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   A.wal 1351   = wceq 1353   e. wcel 2148   {crab 2459   _Vcvv 2737   u. cun 3127   (/)c0 3422   {csn 3591   <.cop 3594   U.cuni 3807   class class class wbr 4000   |-> cmpt 4061   Ord word 4359   omcom 4586   dom cdm 4623   o. ccom 4627   Rel wrel 4628   Fun wfun 5206   Fn wfn 5207   ` cfv 5212  (class class class)co 5869  freccfrec 6385   ~<_ cdom 6733   0cc0 7802   1c1 7803   + caddc 7805   +oocpnf 7979   RR*cxr 7981   ZZcz 9242  ♯chash 10739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1re 7896  ax-addrcl 7899  ax-rnegex 7911

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-recs 6300  df-frec 6386  df-dom 6736  df-pnf 7984  df-xr 7986  df-neg 8121  df-z 9243  df-ihash 10740

This theorem is referenced by:  filtinf  10755