ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  hashinfom Unicode version

Theorem hashinfom 10492
Description: The value of the ♯ function on an infinite set. (Contributed by Jim Kingdon, 20-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
hashinfom  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  = +oo )

Proof of Theorem hashinfom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ihash 10490 . . . . 5  |- =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
21fveq1i 5390 . . . 4  |-  ( `  A
)  =  ( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )
3 funmpt 5131 . . . . 5  |-  Fun  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
4 funrel 5110 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  ->  Rel  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Rel  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
6 peano1 4478 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
7 reldom 6607 . . . . . . . . . 10  |-  Rel  ~<_
87brrelex2i 4553 . . . . . . . . 9  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  _V )
9 hashinfuni 10491 . . . . . . . . . 10  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  =  om )
10 omex 4477 . . . . . . . . . 10  |-  om  e.  _V
119, 10syl6eqel 2208 . . . . . . . . 9  |-  ( om  ~<_  A  ->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  _V )
12 breq2 3903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  A  ->  (
y  ~<_  x  <->  y  ~<_  A ) )
1312rabbidv 2649 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  A  ->  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x }  =  { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
1413unieqd 3717 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  A  ->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x }  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
15 eqid 2117 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } )  =  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )
1614, 15fvmptg 5465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A }  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) `  A
)  =  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  A } )
178, 11, 16syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  A } )
1817, 9eqtrd 2150 . . . . . . 7  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A )  =  om )
196, 18eleqtrrid 2207 . . . . . 6  |-  ( om  ~<_  A  ->  (/)  e.  ( ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) )
20 relelfvdm 5421 . . . . . 6  |-  ( ( Rel  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  /\  (/) 
e.  ( ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) `  A
) )  ->  A  e.  dom  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
215, 19, 20sylancr 410 . . . . 5  |-  ( om  ~<_  A  ->  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) )
22 fvco 5459 . . . . 5  |-  ( ( Fun  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } )  /\  A  e.  dom  ( x  e.  _V  |->  U. {
y  e.  ( om  u.  { om }
)  |  y  ~<_  x } ) )  -> 
( ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } )  o.  ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
233, 21, 22sylancr 410 . . . 4  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (
(frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u. 
{ <. om , +oo >. } )  o.  (
x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) ) `
 A )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e. 
_V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
242, 23syl5eq 2162 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) ) )
2518fveq2d 5393 . . 3  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  ( ( x  e.  _V  |->  U. { y  e.  ( om  u.  { om } )  |  y  ~<_  x } ) `  A ) )  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  om ) )
2624, 25eqtrd 2150 . 2  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  =  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  om )
)
27 pnfxr 7786 . . 3  |- +oo  e.  RR*
28 ordom 4490 . . . . 5  |-  Ord  om
29 ordirr 4427 . . . . 5  |-  ( Ord 
om  ->  -.  om  e.  om )
3028, 29ax-mp 5 . . . 4  |-  -.  om  e.  om
31 zex 9031 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  _V
3231mptex 5614 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) )  e.  _V
33 vex 2663 . . . . . . . . 9  |-  z  e. 
_V
3432, 33fvex 5409 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V
3534ax-gen 1410 . . . . . . 7  |-  A. z
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) `  z )  e.  _V
36 0z 9033 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
37 frecfnom 6266 . . . . . . 7  |-  ( ( A. z ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) `  z )  e.  _V  /\  0  e.  ZZ )  -> frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  Fn  om )
3835, 36, 37mp2an 422 . . . . . 6  |- frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  Fn  om
39 fndm 5192 . . . . . 6  |-  (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  Fn  om  ->  dom frec
( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  =  om )
4038, 39ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom frec (
( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  =  om
4140eleq2i 2184 . . . 4  |-  ( om  e.  dom frec ( (
x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  <->  om  e.  om )
4230, 41mtbir 645 . . 3  |-  -.  om  e.  dom frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )
43 fsnunfv 5589 . . 3  |-  ( ( om  e.  _V  /\ +oo  e.  RR*  /\  -.  om  e.  dom frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 ) )  ->  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  +  1
) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `
 om )  = +oo )
4410, 27, 42, 43mp3an 1300 . 2  |-  ( (frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )  u.  { <. om , +oo >. } ) `  om )  = +oo
4526, 44syl6eq 2166 1  |-  ( om  ~<_  A  ->  ( `  A
)  = +oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4   A.wal 1314    = wceq 1316    e. wcel 1465   {crab 2397   _Vcvv 2660    u. cun 3039   (/)c0 3333   {csn 3497   <.cop 3500   U.cuni 3706   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959   Ord word 4254   omcom 4474   dom cdm 4509    o. ccom 4513   Rel wrel 4514   Fun wfun 5087    Fn wfn 5088   ` cfv 5093  (class class class)co 5742  freccfrec 6255    ~<_ cdom 6601   0cc0 7588   1c1 7589    + caddc 7591   +oocpnf 7765   RR*cxr 7767   ZZcz 9022  ♯chash 10489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1re 7682  ax-addrcl 7685  ax-rnegex 7697
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-ov 5745  df-recs 6170  df-frec 6256  df-dom 6604  df-pnf 7770  df-xr 7772  df-neg 7904  df-z 9023  df-ihash 10490
This theorem is referenced by:  filtinf  10506
  Copyright terms: Public domain W3C validator