Theorem fvresd 5720

Description: The value of a restricted function, deduction version of fvres 5719. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvresd.1	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
fvresd	|- ( ph -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Proof of Theorem fvresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvresd.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		fvres 5719	. 2 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   |` cres 4776   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-xp 4780  df-res 4786  df-iota 5337  df-fv 5385

This theorem is used by:  resfvresima  5956  difinfsn  7440  seqf1oglem2  10957  gzsumsplit1r  13715  resmhm  13794  resghm  14063  upxp  15373  uptx  15375  reeflog  15964  relogef  15965  mpodvdsmulf1o  16104  uhgrspansubgrlem  16517  wlkres  16620  trilpolemlt1  17090