Theorem fvresd 5580

Description: The value of a restricted function, deduction version of fvres 5579. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvresd.1	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
fvresd	|- ( ph -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Proof of Theorem fvresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvresd.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		fvres 5579	. 2 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2164   |` cres 4662   ` cfv 5255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-res 4672  df-iota 5216  df-fv 5263

This theorem is referenced by:  difinfsn  7161  seqf1oglem2  10594  gsumsplit1r  12984  resmhm  13062  resghm  13333  upxp  14451  uptx  14453  reeflog  15039  relogef  15040  trilpolemlt1  15601