Theorem fvresd 5695

Description: The value of a restricted function, deduction version of fvres 5694. (Contributed by Glauco Siliprandi, 8-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvresd.1	|- ( ph -> A e. B )

Assertion

Ref	Expression
fvresd	|- ( ph -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Proof of Theorem fvresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvresd.1	. 2 |- ( ph -> A e. B )
2		fvres 5694	. 2 |- ( A e. B -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> ( ( F |` B ) ` A ) = ( F ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2203   |` cres 4751   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-res 4761  df-iota 5312  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  resfvresima  5923  difinfsn  7391  seqf1oglem2  10882  gsumsplit1r  13611  resmhm  13700  resghm  13977  upxp  15137  uptx  15139  reeflog  15728  relogef  15729  mpodvdsmulf1o  15858  uhgrspansubgrlem  16271  wlkres  16374  trilpolemlt1  16825